高考试题数学(辽宁卷)(理).pdf

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1、2010年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供理科考生使用)第I卷一、选择题：本大题共1 2小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，(1)已知 A,B 均为集合U=1,3,5,7,9 的子集，且 A CB=3 ,6 u B A A=9 4IJ A=(A)1,3 (B)3,7,9 (C)3,5,9 (D)3 5 9【答案】D【命题立意】本题考查了集合之间的关系、集合的交集、补集的运算，考查了同学们借助于V e n n图解决集合问题的能力。【解析】因为A A B=3 ,所以3 G A,又因为6UB DA=9 ,所以9 G A,所以选D。本题也可以用V e n

2、 n图的方法帮助理解。(2)设a,b为实数，若复数工W=l +i,则(A)a=(C)2 2(B)a=3,0=12 2(D)a=1,8=3【答案】A【命题立意】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查了同学们的计算能力。1 0 /7 A 1【解析】由 一 二=l +i可得l +2 i=(a 勿+(a +与i,所以 ，解得a+bt a+h 13 1=,b=,故选 A。2 22 3(3)两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为和二，两个零件是3 4否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为1 5 1 1(A)-(B)(C)-(D)-2 12 4 6【答案】B【命题立意】

3、本题考查了相互独立事件同时发生的概率，考查了有关概率的计算问题【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A,则2 1 1 3 5P(A)=P(A D+P(A2)=-X-+-X-=(4)如果执行右面的程序框图，输入正整数n,m,满足n2m,那么输出的P 等于(A)C -(B)靖(C)C；(D)线【答案】D【命题立意】本题考查了循环结构的程序框图、排列公式，考查了学生的视图能力以及观察、推理的能力【解析】第一次循环:k=l,p=l,p=n-m+l;第二次循环：k=2,p=(n-m+1 )(/?-/n+2)；第三次循环：七3,p-n-m+)(n-m+2)(n-m+3)第 次循环：43,p=(n-m

4、+l)(n-m+2)n-m+3)(n-)n此时结束循环，输出 p=(-?+l)(-i+2)(”-?+3)(-1)=j r 4jr(5)设。0,函数y=s in(0 x+1)+2 的图像向右平移三个单位后与原图像重合，则的最小值是2 4 3(A)-(B)y (C)j(D)3【答案】C【命题立意】本题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对知识灵活掌握的程度。TT 4jr【解 析】将y=s in(x+)+2的 图 像 向 右 平 移 丁 个 单 位 后 为y-s in 6 9(x-)+2 =sin(69 x +y-4 a)兀3)+2 ,所 以 有 三 一=2 k，即3女3左

5、3a=,又因为0 0,所以kl,故 口 =、彳，所以选C2 2 2(6)设 a 0 是有正数组成的等比数列，S,为其前n项和。己知a 2 a 4=l,3=7,则 项=【答案】B【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了同学们解决问题的能力。【解析】由2 2如=1可得=1,因此又因为S?=4(1+4+4?)=7 ,q 一联力两式有(1 +3)(21 一2)=0,所以q=71 ,所以$5=-7-=3 1,故选B。q q 2 i-l 42(7)设抛物线y 2=8 x的焦点为F,准线为1,P为抛物线上一点,P A L I,A为垂足.如果直线A F的斜率为-、仔，那么|P F|=(A

6、)4，J (B)8 (C)8，J (D)1 6【答案】B【命题立意】本题考查了抛物线的定义、抛物线的焦点与准线、直线与抛物线的位置关系，考查了等价转化的思想。【解析】抛物线的焦点F(2,0),直线A F的方程为y =-G(x 2),所以点A(-2,4，)、P(6,4 6),从而|P F|=6+2=8(8)平面上O,A,B三点不共线，设 砺=。,丽=8,则aOAB的面积等于(A)7 l l2l l2-(b)2(B)+(a bf(C)gjl a Fl f 4 与2(D)+(“b辛【答案】C【命题立意】本题考查了三角形面积的向量表示，考查了向量的内积以及同角三角函数的基本关系。【解析】三角形的面积S

7、=g|a|b|sin,而-(ab)2=yja1b2-(ab)2 cos2 ah J l-co s2 =|Z?|sin 2 2(9)设双曲线的一个焦点为F；虚轴的一个端点为B,如果直线F B与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(A)及(B)V 3 理 (D)【答案】D【命题立意】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想。2 2【解析】设双曲线方程为2一当=1(。0 力 0),则 F(c,0),B(0,b)a bb h h直线FB：bx+cy-bc=0 与渐近线y=-x垂直，所以-=-1,即/=a c a所以。2-4 2=%即 e?-e-

8、1 =0,所以e =1 +或 e =(舍去)2 24(1 O)已知点P在曲线y=k二上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则 a的取值e+1范围是71.71 7 t.,71 r3 乃 、(A)0 )(B),-)(,(D)，)4 4 2 2 4 4【答案】D【命题立意】本题考查了导数的几何意义，求导运算以及三角函数的知识。4 e 4 3 万【解析】因为y =r =-7 -1.即 t a n a T,所以一)。(e+1)e+2 +e 4(1 1)已知a 0,则 x o 满足关于x的方程a x=6的充要条件是(A)3XS R,ax2-bx a x -bxa(B)3 x e R,ax2-b x -bx0

9、(D)V x e R,ax2-h x 0,令函数y =-奴 2 一儿=一。(了 f-此时函数对应的开口向2 2 a 2a上，当 x=时，取得最小值-旦，而 X o 满 足 关 于 X的 方 程 a x=b，那 么 X o=2,y m in=a 2a aax bx0=,那么对于任意的 xG R,都有 y=-ax-bx=ax bxa2la 22a 2(1 2)(1 2)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则 a的取值范围是(A)(0,6 +0)(1,2 0)(0(7 6-,7 6 +72 )(D)(0,2 拒)【答案】A【命题立意

10、】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力。【解析】根据条件，四根长为2 的直铁条与两根长为a 的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况：(1)地面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2,a,a,如图，此 时 a可 以 取 最 大 值，可 知 A D=6,S D=A/2-1，则 有址-1 /3 ,即储 0;综上分析可知a (0,/6+V 2 )二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分。(1 3)(1 +x+f)(x-1)6的 展 开 式 中 的 常 数 项 为.x【答案】-5【命题立意】本题考查了二项展开式的通项，考查了二项式常数项的求解方法【解析】。一,)2 的展开

11、式的通项为(+1 =味(-1)3 62 ,当 口3时，4 =一C=-2 0 ,X当 r=4时，T5=C=1 5,因此常数项为-2 0+1 5=-5(1 4)已知一l x+y 4 且 2 x-y 3 ,则 z=2 x-3 y 的 取 值 范 围 是 (答案用区间表示)【答案】(3,8)【命题立意】本题考查了线性规划的最值问题，考查了同学们数形结合解决问题的能力。【解析】画出不等式组 表示的可行域，在可行域内平移直线z=2x-3y,2x-y当直线经过x-y=2与 x+y=4的交点A(3,1)时，目标函数有最小值z=2X3-3X 1=3；当直线经过x+y=-l与 x-y=3的焦点A(1,-2)时，目

12、标函数有最大值z=2X 1+3X2=8.(1 5)如图，网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个 多 面 体 最 长 的 一 条 棱 的 长 为.【答案】2 G【命题立意】本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值问题，考查了同学们的识图能力以及由三视图还原物体的能力。【解析】由三视图可知，此多面体是一个底面边长为2 的正方形且有一条长为2 的侧棱垂直于底面的四棱锥，所以最长棱长为及 2+22+22=2 6(1 6)已知数列 4 满足q =33,4川 4,=2n,则%的最小值为.【答案】【命题立意】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，

13、考查了同学们综合运用知识解决问题的能力。【解析】即=(斯-加i)+(即-1-%-2)+3201)+见=21+2+5 1)+33=33+粘力所 以&=至 +1n n设/()=一 +一 1 ,令/()=+1 0 ,则/()在(屈,+O O)上是单调递增,nn在(0,屈)上 是 递 减 的，因为n W N r 所以当n=5或 6 时/()有最小值。又因为 =所以，&的 最 小 值 为 筌=?5 5 6 6 2 n 6 2三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。(17)(本小题满分12分)在aABC中，a,b,c 分别为内角A,B,C 的对边，且26 i s i n A =(2a+c)s

14、i n B +(2c +/?)s i n C.(I )求 A的大小；(II)求s i n 8 +s i n C的最大值.(17)解：(I)由已知，根据正弦定理得22=(3+C)+(2C+8)Cg J a2=b2+c2+bc由余弦定理得 a2-h2+c2-2Z?c c o s A故 c o s A =-,A=120.6 分2(H)由(I )得：s i n B +s i n C =s i n B +s i n(6 0-B)2c o s B +-s i n B2=sin(600+5)故当B=30时，s i n B+s i n C 取得最大值1。12分(18)(本小题满分12分)为了比较注射A,B两种

15、药物后产生的皮肤疱疹的面积，选 200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每 组 100只，其中一组注射药物A,另一组注射药物B。(I)甲、乙是200只家兔中的2 只，求甲、乙分在不同组的概率；(H)下 表 1 和表2 分别是注射药物A和 B后的试验结果.(疱疹面积单位：mm2)表 1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积(60,65)(65.70)70,75)75,80)频数30 40 20 10表 2：注射药物B 后皮肤疱疹面积的频数分布表疱痹面积(60,65)65,70)70,75)75,80)80,85)频数1025203015(i)完成下面频率分布直方图，并比较注射

16、两种药物后疱疹面积的中位数大小;叛率fflK-0.080.070.060.050 040.030.020.01疆0.080.070.060.050.040.030.020.01 -f-1 4 一 r-r-一 j-r-r .-L1.r-1-一-1-*1 ，11-r I1111r-r*-r-1-_-f -T r-.一.-1L-一-1!t*11111-111_1 .1-T-T -r.一,-一 1L-A.J _ 1 _1i-A J_i_i_i_i_ *60 6s 70 75 80 85 府瘠面积图I注射药物A后皮肤疱声面枳的频率分布直方图0图u60 65 70 75 80 85-疱分面积注射药物B后皮

17、肤疱痒面积的馍率分布直方图(i i)完成下面2 X2 列联表，并回答能否有9 9.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”.表 3：疱疹面积小于70mm2痛疹面积不小于70mm2合计注射药物Aa b=注射药物Bc=d=附,心即端察时(18)解：(I )甲、乙两只家兔分在不同组的概率为4 分2 C _ 1 0 01-图1注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 图II注射药物B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图可以看出注射药物A 后的疱疹面积的中位数在65至 70之间，而注射药物B 后的疱疹面积的中位数在70 至 75之间，所以注射药物A 后疱疹面积的中位数小于注射药物

18、B 后疱疹面积的中位数。8 分(i i)表 3：K2疱疹面积小于70mm2疱疹面积不小于70mm2合计注射药物Aa=70b=3O100注射药物Bc=35d=65100合计10595n=200200 x(70 x65-35x30)2100 x100 x105x95X 24.56由于K2 10.828,所以有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积于注射药物B后的疱疹面积有差异”。12分(1 9)(本小题满分12分)已知三棱锥 P-ABC 中，PA_LABC,ABAC,PA=AC=%AB,N 为 AB 上一点,AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.(I)证明：CMSN；(I I)求 S

19、N 与平面CMN所成角的大小.(1 9)证明:设PA=1,以A为原点，射 线AB,AC,AP分别为x,y,z轴正向建立空间直角坐标N(pO,O),S(l.y.O).4 分因为CM SN=+0=0,2 2所以CM_LSN.6分(ID NC=(-g,1,0),设2=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,令x=2,得 a=(2,1,-2).9分所以SN与片面CMN所成角为4 5。12分(20)(本小题满分12分)设椭圆C：，+5 =l(a 6 0)的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C相交于A,Ba b两点，直线1的倾斜角为6 0,A F =2E B.(I)求椭圆C的离心率；(II)如果|A B|=，

20、求椭圆C的方程.4(20)解：设4(%,乂),8(%2，%)，由题意知 y 0-(I)直线1的 方 程 为y=y/3(x-c),其中。=?一 12y =6(x _ c),联立2 得(3。2+/)产+2屈2勺 一%4=0la2 b2解得 v W c+2。)v _-b c-2 a)解得,3 a 2+-=-3 a2+b2因为AR =2五 3,所 以 一,=2%.HU#1b l e+2a),-4 3bc-2a)3a2+b2 3a 2+从C 2得 离 心 率 e=-=;.6分a 3(II)因为|阴=后|%-讣所以口卷t=今c 2,7 5 5 15 r由一=:得=.所 以=丁，得 a=3,b=V 5 .a

21、 3 3 4 42 2椭圆C的方程为土+二=1.12分9 5(21)(本小题满分12分)已知函数/(x)=(a +l)I n x+a d+l(I)讨论函数/(x)的单调性;(I I)设 a 4|X1-X2 ,求a 的取值范围。(21)解：(I )/(x)的定义域为(0,+8)./(%)=+2 a x=2+f l +1.X X当a 2 0 时，/U)o,故/(X)在(0,+8)单调增加；当。4一1 时，/(x)0；x e(J-W ,+o o)时，fx)0.V 2a V 2a故/(x)在(0,J-手)单调增加，在(、一 匕,+8)单调减少.V 2a V 2a(I I)不妨假设天2 马，而 f(x)

22、+4 x 令 g(x)=/(x)+4x,则 g(x)=9U+2a x +4X等价于g(x)在(0,+8)单调减少，即+2ax+40.XU T H 1 (2x I)2 4x2-2 (2 x-l)2从而a-AE,求 NBAC的大小。2(2 2)证明：(I)由已知条件，可得ZBAE=NCA因为NAEB与NACB是同弧上的圆周角，所以NAE8=NACO故 ABEAADC.5 分A6 A D(II)因为A A B E sa A D C,所以=，即 AB AC=AD AE.A E A C又$=人 8 AC sinN BA C,且 S=1AD A E,故 AB ACsin N6AC=AD AE.2 2则 s

23、in/BAC=i,又NBAC为三角形内角，所以NBAC=90。.10分(2 3)(本小题满分10分)选 修 4-4：坐标系与参数方程已知P 为半圆C：(x =8 S 8 (。为参数，0 6 7 3 ,并确定a,b,c 为何值时,a b c等号成立。(24)证明：(证法一)因为a,b,c 均为正数，由平均值不等式得2a1+b-+c2 3(abc)31 1 1 -1 H-F 3(abc)3a b c(i i V-所 以 一+一 +2 9 m b e)3 a b c J故 a2+Z?+/+(+)2 3(abcy+9(abc).a b c6分22又 3(abc+9(a Z?c)3 2/27 =6G 所

24、以原不等式成立.8分22当且仅当a=b=c 时，式和式等号成立。当且仅当3（必。尸=9（。儿）3 时，式等号成立。即当且仅当a=b=c=3时，原式等号成立。10分（证法二）因为a,b,c 均为正数，由基本不等式得a2+b2 2abb2+c2 2bcc1+a1 lac所以。2+b2+c2 a b +bc+ac_ m 1 1 11 1 1 八同理 +7 7 +-f 2 1-+1-+.6 分a b c ab be ac故 +2+。2+(J _ +j_ +与a b c,1 c 1 c 1N ub+he+cic+3-F 3-F 3ab be ac(3)6 /3所以原不等式成立.8 分当且仅当a=b=c 时，式和式等号成立，当且仅当a=b=c,(ab)2=(be)2=(ac)2=3时，式等号成立。即当且仅当a=b=c=3,时，原式等号成立。10分