高考数学高考试题——数学(天津卷)(理).pdf

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1、高考数学普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工农医类)参考公式：0如果事件A,B互相排斥，那么P(AUB)=P(A)+P。棱柱的体积公式丫=$鼠其中S表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1)i是虚数单位，包=2-z(A)l+2i(B)-l-2i(C)l-2i(D)-l+2ix+y 3(2)设变量x,y满足约束条件：.则目标函数z=2x+3y的最小值为2 x-y 3(A)6(B)7(C)8(D)23(3)命 题“存在2X0 0(B)存在 X。GR,20(C)对任意的xeR,2A 0(4)设函数/(x)=；x-ln x(x 0

2、),则 y=/(x)A在区间(L 1),(1,e)内均有零点。eB在区间(L l),(l,e)内均无零点。eC在区间d，l)内有零点，在区间(l,e)内无零点。eD在区间d,l)内无零点，在区间(l,e)内有零点。e(5)阅读右图的程序框图，则输出的S二A 26 B35 C40 D 57(6)设。0口 0.若6是3与3的 等 比 中 项，则 工+，的最小值为a b1A 8 B 4 C l D-4TT(7)已知函数/(x)=sin(sx+)(x/?,0)的最小正周期为不，为了得到函数4g(x)=cosw x的图象，只要将y=/(x)的图象TT TTA向左平移2个单位长度 B向右平移上个单位长度8

3、 8TTC向左平移一个单位长度4TTD向右平移一个单位长度4(8)已知函数/(X)x2+4 x,x 0,4 x-x2,x /(Q),则实数。的取值范围是A (o o,l)U(2,4-o o)B (1,2)C (2,1)D (8,-2)u(1,+8)(9).设抛物线/=2 x的焦点为F,过 点M(、万，0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于C,忸川=2,则ABCF与AACF的 成 面 积 之 比=SAACF4 2 4 1(A)-(B)-(C)-(D)-5 3 7 2(10)Q b(ax)2的解集中的整数恰有3个，则(A)-l a 0 (B)0 a l(C)l a 3 (D)3a

4、0)的公共弦的长为2 6,贝 ij a=_(15)在四边形 ABCD 中，A B =D C =(1,1),=r氏4+尸二 3C=z-BO,则四边BA BC BD形ABCD的面积是(1 6)用 数 字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位,.h的数字之和为偶数的四位数共有 个(用数字作答)三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。(1 7)(本小题满分12分)在/ABC 中，BC=V5,AC=3,sinC=2sinA(I)求 A B 的值:(II)求 s in 2 A-?)的值(18)(本小题满分12分)在 10件产品中，有

5、3 件一等品，4 件二等品，3 件三等品。从这10件产品中任取3 件，求:(I)取出的3 件产品中一等品件数X 的分布列和数学期望；(I I)取出的3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。(1 9)(本小题满分12分)如图，在五面体ABCDEF中，F A，平 面 ABCD,AD/BC/FE,AB1AD,M 为 E C 的中点,1AF=AB=BC=FE=-AD2 求异面直线BF与 DE所成的角的大小;(I I)证明平面AMD_L平面CDE；(III)求二面角A-CD-E的余弦值。(2 0)(本小题满分12分)已知函数/(x)=(/+a x-2 a2+3a)ex(x e R),其中 a e R

6、(1)当a=0 时，求曲线y=/(x)在点(1,/)处的切线的斜率;2(2)当时，求函数/(X)的单调区间与极值。(2 1)(本小题满分1 4 分)2 2以知椭圆+与=(a b 0)的两个焦点分别为6(一，,0)和工匕,0)9 0),过点a b2(,0)的 直 线 与 椭 圆 相 交 与 两 点，且FA/F2B,FiA2F2B.(1)求椭圆的离心率；(2)求直线A B 的斜率；(3)设 点 C与 点 A 关于坐标原点对称，直 线 月8上有一点”(加,)(m。0)在 4 耳。的外接圆上，求2 的值m(2 2)(本小题满分1 4 分)已知等差数列。“的公差为d (d H 0),等比数列 2 的公比

7、为q (q l)。设 S“=岫+a2b2.+anbnTn=aA-a2b2+,+(严。也门 N*(I)若 q =4 =1,d=2,q=3,求 S3 的值；(I I)若=1,证 明(1-q)S,“-(1+q)心“=2”如一？),nw NZi-q(III)若正数n满 足 2 4 n q,设匕&,人 和 4,打，/”是 1 2 ，n的两个不同的排列,C W C=4*1 +%3 2 +%。2+。*2+4 证明 1 2 02009年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)参考解答选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5 分，满分50分。(1)D(2)B(3)D(4)D(5)C(6)B(7)

8、A(8)C(9)A(10)C二.填 空 题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4 分，满分24 分。(11)40(12)V3(13)(14)1(15)(16)324三.解答题(1 7)本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。满 分 12分。(I)解：在a A B C 中，根据正弦定理，q=空 _sin C sin A于是AB=蚓/=2BC=2后sin 4(I I)解：在A A B C 中，根据余弦定理，得 COSA二 殁 士 S i 二丝1=述lA BA C 5于是 sinA=A/1-COS2 A=422 3从而

9、sin2A=2sinAcosA=zcos2A=cos A-sin A=5 5所 以 sin(2A-)=sin2Acos-cos2Asin=4 4 4 10(18)本小题主要考查古典概型及计算公式、离散型随机变量的分布列和数学期望、互斥事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满 分 12分。(I)解：由于从10件产品中任取3 件的结果为c；,从 10件产品中任取3 件，其中恰有k 件 一 等 品 的 结 果 数 为 那 么 从 10件产品中任取3 件，其中恰有k 件一等品的概率为 P(X=k)=笃 二,k=0,l,2,3.所以随机变量X 的分布列是X0123P72421407403-

10、120X 的数学期望 EX=0 x +lx +2x +3 x=24 40 40 120 10(H)解：设“取出的3 件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A,“恰好取出1 件一等品和2 件三等品 为事件A1“恰好取出2 件一等品“为事件A2,”恰好取出3 件一等品”为事件A3 由于事件Ai，A2,A3 彼此互斥，且人=人2 人 213 而P(A)警U卷P(A2)=P(X=2)=/P(A3)=P(X=3)=击所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=3 74 0+401+-12031120(19)本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂

11、直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力。满 分12分.方法一：(I)解：由题设知，BF/CE,所以/C ED (或其补角)为异面直线BF与DE所成的角。设P为A D的中点，连结EP,PC。因 为F E 4 A P,所 以F A?E P,同理ABqPC。又FA_L平面A B C D,所 以EPJ_平 面ABCDo而PC,A D都在平面ABCD内,故 EP_LPC,EPADo 由 A B J_A D,可得 PCAD 设 F A=a,则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=伍，故NCED=60。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60

12、(II)证明：因为OC=OE且M为CE的中点，所以DM _LCE.连结M P,则MP _L CE.又MPADM=M,故C E，平面AMD.而CE u平面C D E,所以平面AMD，平面CDE.(Ill)解：设Q为CD的中点，连结PQ,EQ.因为CE=D E,所以EQ J.CD.因为PC=P D,所以P Q J.C D,故NEQP为二面角A-C D E的平面角.7 后由(I)可得，EP VPQ,EQ=a,PQ=%a.于是在 RtAEPQ 中，cos ZEQPPQ _yf3瓦一方法二：如图所示，建立空间直角坐标系,点A为 坐 标 原 点。设A8=l,依 题 意 得B(l,0,01 C(l,l,0)

13、,)(0,2,01 E(O,L1),F(0,0,l)(l)解:前=(1,0,1),DE=(O,-L1),工 曰 BFDE 0+0+1 1于是 cos(BF,DE)=,=产=.BFDE V 2.V 2 2所以异面直线B F叮DE所成的角的大小为60.(II)证明：由 而=CE=(-1,0,1),AD=(0,2,0),nTWCE*AM=0,CEAD=0.因 此，C E 1 AM,CE 1 AD.XAM A AD=A,故 CEL 平面 AMD.而CE u平面C D E,所以平面AMD 1平面CDE.(Ill)解：设平面CDE的法向量为=(x,y,z),则 E f 二 u DE=0.-口 一 x+z=

14、0,人 一、于是 令x=1,可得=(1,1,1).一 y+z=0.又由题设，平面ACO的一个法向量为丫 =(0,0,1).所 以，cos(,uv 0+0+1 V3*=-=-=-|w|v|百 1 3(20)本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性叮极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满 分12分。(I)解：当a=0时,f(x)=x2ex,f(x)=(x2+2x)ex,(1)=3e.所以曲线y=/(x)在点(1J)处的切线的斜率为3&(II)解：f x)-x2+(a+2)x-2 a2+4tjex.“2-0,解得x=-2a,=a 2.由a H 知,一2a H

15、a-2.以下分两种情况讨论。2(1)若a 耳，则 2 aa 2.当x变化时，/(x),/(x)的变化情况如下表:X(oo,-2tz)-2a(-2a 9 a-2)a-2(a-2,+oo)+00+/极大值X极小值/所以x)在(-co,-2a),(a-2,+8)内是增函数，在(-2%。-2)内是减函数.函数/(x)在x=-2a处取得极大值/X-2 a),且/(-2a)=3ae口.函数/(x)在 x =a-2 处取得极小值/(a 2),且/(a 2)=(4 3 a)e 。一2,当x变化时，/(X),/(x)的变化情况如下表:X(-o o,a-2)4 -2(-2,-2a)-2a(2a 9+o o)+00

16、+/极大值X极小值/所以/(x)在(-8,a-2),(-2 a,+8)内是增函数，在(a -2,2 a)内是减函数。函 却(x)在x =a 2处取得极大值/(a-2),/(-2)=(4-3a)ea-2.函数/1(x)在x =-2 a处取得极小值/(-2 a),H/(-2 a)=3ae-2a.(2 1)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力，满 分 1 4分(I)解：由F|A F 2 B 且忻A|=2|F 2 B|,得普=兽=1 厂 r .Z.2a-c从而得a一+c_2整理，得/=3 c 2

17、,故离心率e =且a 3(I I)解：由 得 =/一,2=2C2,所以椭圆的方程可写为2 f+3 y 2 =6,(2、设直线A B的方程为y =k X-,即y =k(x 3 c).y=k(x-3c)由已知设4(占,%),8(,内)，则 它 们 的 坐 标 满 足 方 程 组，2x+3y-6 c消去y整理，得(2 +3/)/一1 8公以+2 7公6/=0.依题意，A=48C2(1-3Z:2)0,3 3=lSk2c而 X.+X.=-71 2 2+3/21k2c2-6 cc*2 +3/由题设知，点 B为线段A E 的中点，所以玉 +3 c =2X2 O i-2r-?r联 立 解 得X I=f2 +3

18、 左 29k2c+2c2+3火 2将,X 2代入中，解 得 左=*.3 c(I I I)解法一：由(I I)可知 =0,工2=耳当女=方-时，得A(0,&c),由已知得C(0,-J L).线段AG的垂直平分线1的方程为y-直 线1与x轴的交点(|,o)是AA与c外接圆的圆心，因此外接圆的方程为x-|)+y2=(+c)直线尸2 的方程为y=0(x c)，于是点H (m,n)的坐标满足方程组m-I 2Jn-y/2(m-c)由?工0,解得/2贝|J=-C,所以一=-3 m 5当出=Y2时同理可得三=迪3m 5(2 2)本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查

19、运算能力，推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力，满 分1 4分。(I )解：由题设，可得见=2/?1也=3 T,eN*所以，S3=向 4-a2b2+a3b3=1 x1+3 x3 +5 x9=5 5(I I)证明：由题设可得=q T则邑”=%+。2 4+。3。+I，Tin=a2q+a3q2-a4qy+.-a2llq2,52n-T2n=2(7 +%/+一出尸)式减去式，得 式加上式，得S2+4=2(%+.+。2-4-2)式两边同乘q,得+5)=2(aiq+a?iqi+.+a2n_qn)所以，(1 -阴“-(1 +汹.=(S2 n-T2n)q(S2 n+T2n)=2d(q+q3+K+产口(?

20、),*i-q(H D 证明：Cj -c2=(aki-4)仇 +(a*,-即)4+K +(见“一 a()b“=(%-3+(后-如+K +电-力 曲 因为d H O,b】H O,所以4曲T1=化 T)+他一+K +&-W(1)若 k,*I,取 i=n（2）若 k“=1”,取 i 满足仁/4 且=/j,i +l W由(1),(2)及题设知，l i 且=G T)+&一 4)q+K -J?+(Ldb 当 发 4 时，得 a -V -1,由 q 2 ，得及 -4 q-1,i =1,2,3.i 1即占T Si,，耳7 廿0 一)又化一4时一心一步,所以C：2=(g-l)+(g T)g+K (q-l)q2-ql=(/,.同理可得自 2-1,因此q w jdh综上，q WQ