高考数学高考试题——数学(福建卷)(理).pdf

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1、高考数学普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学(理工农医类)选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.函数/(x)=sin xco sx最小值是11A.-1 B.-C.-D.1221.【答案】：B 解析/(x)=；sin 2x/(x)min=-g ,故选 B2.已知全集U=R,集合A=x l f 2 x 0 ,则0，A等于A.x I 0 x2 Bx I 0 x2C.x|x2 D x|xW0 或 xW22.【答案】：A 解析计算可得 A=x|x 0或x2 CuA=1x|0 x/()的是1 ,A./=-B./(x)=(x-l)2 C

2、./(x)=/D/(x)=ln(x+l)5.【答案】：A 解析 依题意可得函数应在X e(0,+oo)上单调递减，故由选项可得A正确。6.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是6.【答案】：C 解析)由算法程序图可知，在n=4前均执行 否 命令，故n=2X4=8.故选C 里/7.设m,n是平面a内的两条不同直线，4，乙是平面 内的两条相交直 匚 可线，则1 的一个充分而不必要条件是A.m/3 且 1 a I且 门 IC.m 且 n 力/且 n I7.【答案1 B 解 析 若 机九u a，4 4 u ,则 可 得all13.若all(3则 存 在4 c%,tn 1 I J n I、

3、8.已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%。现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指 定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果。经随机模拟产生了 20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为A.0.35 B0.25 C 0.20 D0.158.【答案】：B24 2 解析 由 随 机 数 可 估 算

4、出 每 次 投 篮 命 中 的 概 率 夕=一=一 则 三 次 投 篮 命 中 两 次 为60 5C/x P2x(l-P)B0.25 故选 B9.设a,b,c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a le I a I=|c I,则|b c I的值一定等于A.以 a,b为两边的三角形面积C.以 a,b为邻边的平行四边形的面积B 以 b,c 为两边的三角形面积D 以 b,c 为邻边的平行四边形的面积9 .【答案】：C 解析 依题意可得,cb 国.史上0 5(瓦c)卜 卧 卜 H s i n(a,c)|=S 故选C.1 0 .函数/(x)=ax +云+c(a/0)的图象关于

5、直线x =-2 对称。据此可推测，对任意的2a非零实数a,b,c,m,n,p,关于x 的方程(x)+叭 x)+p =0的解集都不可能是A.1,2 B 1,4 C 1,2,3,4 D 1,4,1 6,6 41 0 .【答案】：D 解析 本题用特例法解决简洁快速，对方程+域(x)+尸=0中m,n,p分别赋值求出/(x)代入/(x)=0求出检验即得.第二卷(非选择题共1 0 0 分)二、填空题：本大题共5 小题，每小题4 分，共 2 0 分。把答案填在答题卡的相应位置。21 1 .若=a+bi(i为虚数单位，a,b e R)则。+匕=_ _ _ _ _ _ _1-z1 1 .【答案】：2解析：由一

6、=a +b i=2a+)=1 +/,所以a =l,b =1,故a+。=2。1-(l-z)(l+z)1 2 .某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9 位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示。记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算的平均分为9 1,复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的X)无法看清。若记分员计算失误，则数字X应该是1 J.蜂 A一丁9 2 3*2 1 41 2 .【答案】：1解析：观察茎叶图，f 8 8 +8 9 +8 9 +9 2+9 3 +9 0 +X +9 2 +9 1 +9 4,可知有9 1 =-n x =。91 3 .过抛物线y2=2 Px(p 0)的焦点F

7、作倾斜角为45的直线交抛物线于A、B两点，若线段 A B 的长为8,则=1 3 .【答案】：2解 析：由 题 意 可 知 过 焦 点 的 直 线 方 程 为 y =x-K，联 立 有2=/一3 川 +乙=0,又|A 6|=J(1 +1 2)J(3)2 4 x 二=8 n =2。y =x-4 V 41 21 4.若曲线/(x)=+n x 存在垂直于y轴的切线，则实数。取值范围是.1 4.【答案】：(一 8,0),1解析：由题意可知/(x)=2af+,又因为存在垂直于y轴的切线，xo 1 1所以 2 r H 0 a-r(x )a (8,0)ox2x31 5.五位同学围成一圈依序循环报数，规定：第一

8、位同学首次报出的数为1,第二位同学首次报出的数也为1,之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第1 0 0 个数时，甲同学拍手的总次数为1 5.【答案】：5解析：由题意可设第次报数，第+1 次报数，第+2次报数分别为q,an+l,an+2,所 以 有+4 =an+2，又q =1,%=1,由此可得在报到第1 0 0 个数时，甲同学拍手5次。三解答题1 6 .(1 3 分)从集合 1,2,3,4,5 的所有非空手隼中，等可能地取出一个。(1)记性质r：集合中的所有元素之和为1 0,求所取出的非空子

9、集满足性质r 的概率；(2)记所取出的非空子集的元素个数为g,求 j 的分布列和数学期望EJ1 6、解：(1)记所取出的非空子集满足性质r 为事件A基本事件总数n=以+C；+C；+C；=3 1事件A包含的基本事件是 1,4,5 、2,3,5 、1,2,3,4 事件A包含的基本事件数m=3in 3所以 p(A)=n 3 1（I I）依题意，J的所有可能取值为1,2,3,4,5又 P =l)=C1=25 ,p =2)=yC2 =W1 0,C3 1 0PC =3)=/=3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1C4 5 C5 1。=4)=十才P l.故J的分布列为:自12345P53 11 03

10、 11 03 153?13 1从而E =lx5 1 0 1 0 5 1 8 0+2 x +3 X +4 x +5 x =3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 117(13 分)如图，四边形A B C D 是边长为1的正方形，M D 1 A B C D ,N B 1平面4 8 C D ,且 M D=N B=1,E为 B C 的中点（1）求异面直线N E 与 AM所成角的余弦值（2）在线段A N 上是否存在点S,使得E S,平面AMN?若存在，求线段A S的长；若不存在，请说明理由1 7.解析：（1）在如图，以 D为坐标原点，建立空间直角坐标。一qZ依题意，得 D(0,0,0)7 1(1,0

11、,0)M(0,0,1),C(0,l,0),B(l,l,0),N(1,1,1),(-,1,0)2一 1 W E =(-,0,-l),A M =(-1,0,1)cos 丽 丽 =”N E x A M V10lo所以异面直线NE与 AM所 成 角 的 余 弦 值 为 巫.A1 0（2）假设在线段A N上存在点S ,使得ES 1平面A M N.可 设 屈=4丽 =(0,4,4),1 一 1又 E 4 =E S =E A +A S =(,4 1,2).2 2ES AM=Q,-+2 =0,由ESL平面AMN,得 _ _ _ _ _ _ _ 即2ES AN=0,(1)+4 =0.1 1 1 J 2故;1 =

12、上，此时 A S =(0,上，上),I A S I=.2 2 2 2经检验，当A S =J 时，E S _ L平面A M N.2故线段4N上存在点S ,使得ESL平面4WN,此时A S1 8、(本小题满分1 3分)如图，某市拟在长为8 k m的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段。SM,该曲线段为函数y=A si ncox(A 0,c y 0)x e 0,4 的图象，且图象的最高点为S(3,26)；赛道的后一部分为折线段MNP,为保证参赛运动员的安全，限定/M N P=1 2 0 V 2V(I)求A,0的值和M,P两点间的距离;(I I)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长

13、?1 8.本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识，考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归叮转化思想、数形结合思想，解法一(I )依题意，有 A =，=3 ,又 T=,co=a y=2 3 s i n x4 6 6当 x =4 是，y=2 /3 s i n -y-=3 .M(4,3)又 p(8,3)/.M P =J42+3 2 =5(I I )在 河 中N MN P=1 2 0 ,MP=5,设NP M N=。，贝i0 (9-/3 s i.n 0A +-1 0-/3 s i.n(,6.0.o-04)=-1 0-V-3 (J s i.n 0N +A/3 c

14、o s 0力)=y s i n 9 +60 )v 0 ，60 ,.当0=3 0 时,折线段赛道M NP 最长亦即，将/P M N设计为3 0。时，折线段道M NP 最长解法二：(I )同解法一(I I)在MN P 中,Z MN P=1 2 0 ,MP=5,由余弦定理得MN?+N P2 -2 M N NP co s Z M N P=M P2即 M N2+NP-+M N NP=2 5故(MN+NP)2-25 =M N NP 墨O1 A /o从而-(MN+NP)2 2 5,B P M N+NP0)与 X 轴a的左、右两个交点，直线/过点B,且与x轴垂直，S为/上异于点B的一点，连结A S 交曲线C于

15、点T.(1)若曲线C为半圆，点 T为圆弧A8 的三等分点，试求出点S的坐标；(I I)如图，点 M 是以S B 为直径的圆与线段T B 的交点，试问：是 否 存 在 使 得 O,M,S 三点共线？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由。1 9.【解析】解 法：(I)当曲线C为半圆时，=1,如图，由点T为圆弧AB的三等分点得/B OT=60 或 1 2 0 .当N B OT=60 时，Z S A E=3 0 .2e又 A B=2,故在 S A E 中，有 SB=AB-t an 3 0 =s(t,当/B OT=1 2 0 时,同理可求得点S的坐标为(1,2 6),综上，S(l,孚)或 S(l,

16、2 6)(H)假设存在aa 0),使得O,M,S三点共线.由于点M 在以S B 为直线的圆上，故 B T J_ OS.显然，直线A S 的斜率k 存在且k 0,可设直线A S 的方程为y=k(x+a).由，靛+),=1 得(1 +”2%2 求2+2&%2 1 +/公-/=0y=k(x+a)a2 k2-a2设点 T(xr,yT),:.xT-(一 a)=-彳,.,r a-a2k2 ii.、2ak故甘=+(/左2，从而y T=k g +1)=-1 +Q铲.-a2k2 2ak、亦即 r q-I 7T S I 7T).1+。氏 l+a%D/A 2Q 2ak,*6(a,0),.BT=(-77T)1 +a2

17、 H 1+乂 .(x =a 由 0,a 0,.,.a=/2经检验，当a=4 1 时,O,M,S 三点共线.故存在a=y2，使得O,M,S 三点共线.解法二：(I )同解法一.(I I)假设存在a,使得0,M,S三点共线.由于点M 在以S O 为直径的圆上，故 SM VBT.显然，直线A S 的斜率k 存在且K0,可设直线A S 的方程为y =A(x +a)由，/+,-1 W(l +a22)x2+2a2k2x+a2k2-a2=0y=k(x+a)设点丁(勺,七),则有xT1 +。左故 巧 噂 E，从而力=k 5 +)=；2#亦即丁(.a a2 k 22ak1+a%B(d,0),.*.kBT=7,故

18、=a kXj-a a k x=ci由 得s (a,2 ak),所直线SM 的方程为y-2ak=a2k(x-a)y=k(x+a)O,S,M三点共线当且仅当。在直线SM 上，即2 成=Y k(-a).a 0,K 0,:.a=0故存在a=6，使得O,M,S 三点共线.2 0、(本小题满分1 4分)已知函数 f(x)=-x3+ax2+bx，且/(-1)=0 试用含a 的代数式表示b,并求/(x)的单调区间；(2 )令 a =-1,设 函 数/(x)在内,2(再 )处 取 得 极 值，记 点 M(X 1,/(X),N(x2,/(%,),玉?l 时，l-2 a -l当 x 变化时，f(x)与f(x)的变化

19、情况如下表：由此得，函数/(x)的单调增区间为(oo,l 2 a)和(1,+0 0),单调减区间为(1 2 a,1)。X(-0 0,1 2Q)(1 -2 a,1)(-l,4-oo)尸鱼)+fM单调递增单调递减单调递增当a =l 时，l 2a=1 此 时 有/(x)0恒成立，且仅在x=l 处/(x)=0 ,故函数/（x）的单调增区间为R当。一1 同理可得，函数“X）的单调增区间为（。,-1）和（1-2 凡+8）,单调减区间为（-1,1 -2 a）综上：当a 1 时，函数（无）的单调增区间为（8,1 2 a）和（1,+8）,单调减区间为（l-2 a,-l）；当a =l 时，函数/（x）的单调增区间

20、为R；当a 0 g(2)=-(血 一2 月 0所以存在m e(0,2 使得g=0即当加 2,3 时,MP与曲线/(x)有异于M,P 的公共点综上，t 的最小值为2.(2)类 似(1)于中的观察，可得m的取值范围为(1,3 解法二：(1)同解法一.(2)由a =1 得/。)=一；1 一/一 3%,令/0等价于43(-l)2+6-(m2-4 6 +4)03m2 6/n-(/H2-+4)0m 1 l m 2 或m -1,解得2 m 1又因为-1机4 3,所以m的取值范围为(2,3)从而满足题设条件的r的最小值为2.21、本 题(1)、(2)、(3)三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满 分1

21、4分，如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中，(1)(本小题满分7分)选 修4-4：矩阵与变换(2 一31已知矩阵M 所对应的线性变换把点A(x,y)变成点4”3,5),试 求M的逆矩阵及点A的坐标(2)(本小题满分7分)选 修4-4：坐标系与参数方程已知直线l:3x+4y-12=0与圆C:(夕为 参 数)试判断他们的公共点个数y=2+2 sin 6(3)(本小题满分7分)选 修4-5：不等式选讲解不等式I 2x-l|x|+121.解:依题意得-3、，得M =l,故3从而由13-1x13+3x5、1x13+2x5,2*=2,即4 2,_ 3)为所求.y=-3,(2)解:圆的方程可化为(x+1)2+(y-2)2=4.其圆心为C(-1,2)泮 径 为2.解:当x0时，原不等式可化为-2冗+1 0又 x 0,.x不存在；当0 W x 时，原不等式可化为-2x+1 02X/0 x 0 x ;2 2当 一，.二 一 x 22 2综上，原不等式的解集为a o%I.