高考数学重点难点：函数综合问题.pdf

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1、高考数学重点难点：函数中的综合问题函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样.本节课主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，掌握基本解题技巧和方法，并培养考生的思维和创新能力.难点磁场()设函数%)的定义域为R,对任意实数尤、y都有/(x+y)三当x 0时/)0.(1)求人:)、.八。)；(2)证明式x)是周期函数；记 a“三 六+3),求 iim(ln a).2n,18命题意图：本题主要考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力.知识依托：认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件7

2、UI+X 2)$XD 人名)找到问题的突破口.错解分析：不会利用大xi+x43)人M)进行合理变形.技巧与方法：由的+应)或 )变形为/。)=吗+卞=抬)吗)吗)是解决问题的关键.(1)解：因为对x g C 0,g ,都有於I+M)或q),所 以/)=吗+/=吗)0,x G 0,1 又因为/()=(!)22 2 2 2 2人:)$?+?)5 人,)=(9)22 4 4 4 4 4又川)=。01111-A -)=a 2-)=4(2)证明：依题意设y=4 x)关于直线x=l对称，故+lX),即尤)j G R.又由/(x)是偶函数知J(-x)(x)jG R一X)/2 X)x W R.将上式中一x以x

3、代换得/(X)4(X+2)，这表明;U)是 R 上的周期函数，且2是它的一个周期.(3)解:由 知 小)2 0 3丘 0,1,A*4)三 八3+(”-D2 2n 2n=时)2n=(I)=1 */()=.2n又,魂幻的一个周期是21 1 人2+)手)，因此an=a 2 2n 2n-lim(lna)=lim(lna)=O./T o o /l-c o 2 例2甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过c千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度i，(km/h)的平方成正比，比例系数为2固定部分为a元.(1)把全程运输成本y(元)表示为v

4、(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？命题意图：本题考查建立函数的模型、不等式性质、最值等知识，还考查学生综合运用所学数学知识解决实际问题的能力.知识依托：运用建模、函数、数形结合、分类讨论等思想方法.错解分析：不会将实际问题抽象转化为具体的函数问题，易忽略对参变量的限制条件.技巧与方法：四步法：(1)读题；(2)建模；(3)求解；(4)评价.解法一：依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为L全程运输成本为)，=。-+2-=5(-+/7V)V V V V.所求函数及其定义域为y=S(-+bv),ve(O,c .V(2)依题意知，S、

5、a、b、口均为正数：.S-+hv)2s4ab 当且仅当人=加,即9时，式中等号成立.若1 9 Wc则当v R时，有v V b V b V b若。厕当 v (O,c 时，有 S(3+/?v)5(+bc)V b v c=S()+(bvbc)=(cv)(a-bcv)v c vc丁 c u 2 0,且 c hc2,/.a hcv 一 be?。S(+bv)S(+c),当且仅当v=c时等号成立，也即当v=c时,有y m i n；v c综上可知，为使全程运输成本y勒、，当 乎 Wc时，行驶速度应为v=中，当 牛 。时行驶速度应为v=c.解法二：(1)同解法一.(2)：函数y=x+4 仅 0)/6(0,+8)

6、,当 在(0,4)时，丫单调减小，当x W(,+8)时y单调增加，当x=J T 时Xay取得最小值，而全程运输成本函数为y=S/，(v+2),v e(0,c .V当 怖 Wc时，则当时，y最小，若 聆 c 时，则当v=c 时，y最小.结论同上.锦 囊妙计在解决函数综合问题时，要认真分析、处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决，尤其是注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想的综合运用.综合问题的求解往往需要应用多种知识和技能.因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件.歼灭难点训练一、选择题1 .()函数产x

7、+a 与 y=lo&x 的图象可能是()2 .(*)定义在区间(-8,+8)的奇函数)为增函数，偶函数8(*)在区间 0,+8)的图象与/(x)的图象重合，设 6 0,给出下列不等式：其中成立的是()A.与 B.与 C.与 D.与二、填空题3 .(*)若关于x的方程2 2*+2%+。+1=0 有实根，则实数a的取值范围是.三、解答题4 .()设 a 为实数，函数/(x A f+L r a l+l/dR.(1)讨论/(x)的奇偶性；求 危)的最小值.1 1 Y5.(*)设()=-+1 g-.x+1 1+x(1)证明：/U)在其定义域上的单调性；(2)证明：方程r(x)=0 有惟一解；(3)解不等

8、式/x(x)(1,1),都有/)廿。)不 里 上)亳 当 x(-1 +x yi,o)时，有/wo.求证:公)+*)+”!)/+3 +17.(*)某工厂拟建一座平面图(如下图)为矩形且面积为2 0 0平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过1 6米，如果池外周壁建造单价为每米4 0 0元，中间两条隔墙建造单价为每米2 4 8元，池底建造单价为每平方米8 0元(池壁厚度忽略不计，且池无盖).(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(米)的函数关系式，并指出其定义域.(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价.8.(*)已知函数兀0在(-8,0)u(O

9、,+8)上有定义，且在(0,+8)上是增函数，/(1)=0,又8()=si n2 0-J T机c o s。-2 m,e G 0，E ,设股=?以 0)O,mR,N=mf g()0 以Xi)/(X2)=/(X1X2)+X21/(X2)=i/(X1一必)/3)因为 A0 时段)V0,.7/(Xi)-/(X2)0二 )在-9,9上是减函数故大X)的最大值为八-9),最小值为1 9).而大 9)刁(3+3+3)=浜 3)=12次-9)=一式9)=12.Ax)在 区 间 9,9上的最大值为1 2,最小值为一12.歼灭难点训练一、1.解析：分类讨论当。1时和当0 g(l)-g(2)=1 2=1.又大勿一4

10、-a)/1)A 2)=1+2=3.g(a)g(-b)=g(2)-g(1)=21=1,.X b)一/(a)=g(a)g(b).即与成立.答案：C二、3.解析：设2=0,则原方程可变为t2+at+a+=O A =a2-4(a +l)0方程有两个正实根，则 F+f 2=-a 0f 1=Q +1 0解 得:)在(-8,4 上单调递减，从而，函2 4 2数/(x)在(一 8,上的最小值为八)=0 2+1.I I 3 1若,则函数段)在(-8,4 上的最小值为人)=+,且A )q(a).2 2 4 2i a i当x 2 a 0 寸，函数x)=x 2+x a+l=(x+)2&+;当“W时，则函数_/(x)在

11、 。,+8)上的最小值为八一2 4 21 3 1 1一且八一一)勺(a).若。一 一,则 函 数/(X)在 a,+8)上单调递增，从而，函数及0 在 a,+8上的最小2 4 2 2值 为 刎=冉 1.综上，当。忘一工时，函数y(x)的最小值是3一%当一_ L awL时，函数A x)的最小值是不+i；当 时，2 4 2 2 23函数r)的最小值是a+.41 x 05.(1)证明：由 得 大 犬)的 定 义 域 为(-1,1),易判断共外在(一 1,1)内是减函数.x +2 w 0(2)证明：八 0)=4,./7(_ 1)=0,即4 _ 1 是方程/-匕)=0的一个解.若方程f T(x)=0 还

12、有 另 一 个 解 刈 力 则/2 2 2 2T(xo)=O,由反函数的定义知的)=x0 w g,与已知矛盾，故方程广匕)=0 有惟一解.(3)解：/U(x l)_ 1,即/x(x_ _ L)y o).2 2 2-1 X(X-1)1 而 A=-x 0 或 _%01 26.瞅：对於)止上)中的x,y,令 x=v=O,得大0)=0,再令尸一x,又得汽x)t/(一外4 0)=0,即次一 x)=r(x),.火 x)l +xy在工(1,1)上是奇函数设一 1 xi V x2V o，则加6 怨2)邦1讯一 X2)=f(),V 1 V x 2 V 0,A x|x20,l 1-21 一/0,从而於1)一/2)

13、0,即 危|)/X2),故Ax)在 XC(-1,O)上是单调递l-XjX2 1 -xx2减函数.根据奇函数的图象关于原点对称，知/U)在 xw(0)上仍是递减函数，且/a)vo./(-)=/-.=/I-1)(,p2)-ln+3+1 (+1)(及 +2)1 j_ 1(n+1)(+2)1 _ _ 1_=f(中 照早一)=/(7()i 1 1 n+1 7 1 +21-H 4-1 +2-/(l)+/(n)+-+/(7 T)=(；)+(；)-心+.+(！)-*)=一*),o i 时 而(工)足),故原结论成立.2 n+2 27.解：(1)因污水处理水池的长为x 米，则 宽 为 剪 米，总 造 价 y=4

14、00(2r+2X )+248 X X 2+80XxxX324200=800(x+)+1600,由题设条件x0 x 16,200 解 得 12.5WxW16,即函数定义域为12.5,1 6.0 -16I x 先研究函数闫(x)=800(x+)+16000在 12.5,16上的单调性，对于任意的 12.5,16，不妨设X尢 欠 2,则 人孙)一风打)=800(2-%j)+324(-)=8OO(X2Xi)(l ),V 12.5XIX 216./.0XIX21621,EPXX23241-VO.又切一句0,夫初)一九口)0,即 大 工 2)兀3,故函数 5 工)在 12.5 6上是减函数.XX2 当户

15、16 时，y 取得最小值，此时，ymin=800(16+)+16000=45000(元)，一=12.5(米)16x 16综上，当污水处理池的长为16米，宽 为 12.5米时，总造价最低，最低为45000元.8.解：是奇函数，且在(0,+8)上是增函数，.人 工)在(8,0)上也是增函数.又 川)=0,犬-1)=一川)=0,从而，当/W V 0 时，有 xV l 或 OVxVl,则集合 N=Mf g(。)0=相以 )V 1 或 OVg()V1,.G 沪勿|g(，)V-1.由 g(8)/n(x-2)+2,0,1 ,令：%=*,xW 0,1 及n=0(w2)+2,显然为抛物线一段，是过(2,2)点的直线系，在同一坐标系内由xG 0,1 得 y.42后，故 MCA7加|042 后 .