高考真题分类解析--椭圆.pdf

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1、椭圆08 06 23一、考题选析：2 2例1、（0 8上海春）已知椭圆 一+二 一=1,长轴在y轴上.若焦距为4,则机等于10-m m-2（）A、4 B、5 C、7 D、8例2、（07山东21）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.（I ）求椭圆C的标准方程；（H）若直线/:=丘+?与椭圆C相交于A,B两点（A,B不是左、右顶点），且以A 8为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线/过定点，并求出该定点的坐标。2 2解：（I ）由题意设椭圆的标准方程为T +2 =1（。匕 0）,a b由已知得：Q+C=3,a-c=l,Q=2,C=1,:.b2=

2、a2-c2=3.椭圆的标准方程为+=1.4 3（I I）设 A（xp x）,B（X2,%），y-kx+m,联立，x2 v2+-=1.14 3得（3 +4 k2）x2+Smkx+4（m2-3）=0,A =6 4 m22-16（3 +4 k2）（m2-3）0,Smk1 2 3+4公4（苏 一3）即3 +4_痴 0,则又）1 2=（履1 +?）（区2 +机）=k+永（+2）+/3（小 4二）3+4/因为以AB为直径的圆过椭圆的右焦点。（2,0）,ADBD=-1 即-=-1,X 1-2 2y1y2+X/2 2(玉 +/)+4 =0,3(/-4 A?)+4(m2-3)+16mk3 +4公3+止3 +4/

3、+4 =0,9m2+16mk+4k2=0.解得：八m、=2k,且均满足3 +4公一机2 。，一 7当 叫=-2攵时，/的方程为y=k（x-2）,直线过定点（2,0）,与已知矛盾;当?=号时，/的方程为y=（xf，直线过定点（河.所以，直线/过定点，定点坐标为例3、（07上海春18）如图，在直角坐标系xOy中，设椭圆2 2C:j +=1 （。匕0）的 左 右 两 个 焦 点 分 别 为a b片、F2,过右焦点尸2且与X轴垂直的直线/与椭圆C相交，其中一个交点为例（血，1）.（1）求椭圆C的方程;（2）设椭圆C的一个顶点为8（0,-匕），直 线 交 椭 圆C于另一点N ,求 K B N的面积。解法

4、一Ux轴，B的坐标为（四，0）.乙 1 1 （2 4由 题 意 可 知/乒 得=_ 庐=2,廿=2.2 2所求椭圆方程为+-=1.6分4 2 解法二 山椭圆定义可知MFXMF2=2a.由题意也尸2 =1，MF=2a-l.2分又由RtZ k MF 尸2可知(2a-l f=(2五+1,”0,/.a=2,又。2-b2=2,得b?=2.2 2 椭圆。的方程为+匕=1.4 2分 解 直线8入 的方程为 =彳一血.分y=x-2,/7由 k2 y2 得点N的纵坐标为一.+-=1,34 2分/I-、又|尸向|=2后，SA F,V=-x V 2+x 2V 2=-.I I 4 I L X r 1 D li 2 3

5、 3 7分2 2例4、(06四川)如图把椭圆二+上 =1的长轴A B分成8分，25 16过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于耳，鸟,P七个点，尸是椭圆的一个焦点，则M+M+旧 曰=-例5、(05全国H I)设椭圆的两个焦点分别为耳、居，过作1014椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ,若AFIPF2为等腰直角三角形,A、2C、2-V 2则椭圆的离心率为()D、V 2-1也2例6、(05上 海19)如图，点A、8分 别 是 椭 圆 工+匕=1长3 6 20轴的左、右端点，点尸是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，P A 1P F.(1)求点尸的坐标；(2)设M是椭圆长轴A8上的一点，M到直线

6、AP的 距 离 等 于 求椭圆上的点到点用的距离4的最小值.解(1)由已知可得点A (-6,0),F (4,0)设点P的坐标是(x,y),则A P =x+6,y,F P =x 4,田，由已知得。汇=1 3 0,只能x=,于是y=*6,.点尸的坐标是(3,*Ji).-2-2 2 2(2)直线A P的方程是x-J5 y+6 =0.设点M的坐标是(m,0),则M到直线A P的 距 离 是 也 自，2于是“+61=|机_ 6 1,又-6 4用4 6,解得m=2,2椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有5 4 9d-=(x-2)2+y2=x2-4 x+4 +2 0-x2=-(x-)2+15,9 9 2g,

7、由于一 6 4 x 4 6,.当x=时,d取 得 最 小 值 而.22 2例7、(05湖 南19)已知椭圆C：三+二=1 (a b0)的左.右焦点为片，F2,离a b心率为e.直线/:y=ex +。与九轴.y轴分别交于点A,B,例是直线/与椭圆C的一个公共点，尸是点关于直线/的对称点，设 布 =/1(I )证明：2=l-e2;(II)确定力的值，使得A P K F 2是等腰三角形。(I )证法一：因为A、B分别是直线/：y=ex +a与x轴I、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是(,0),(0,)由ey=ex +，x2 y2 得 +V 2=a bX=-c,_ _ _ _ _ _ 2这里C=率7.

8、y=c所以点M的坐标是(c,).由AM=4 4步导(c H ,)=A(,).a e a ea.a-c=A 即 匕 解得;1 =1-ib2,=Aa、a证法二：因为A、B分别是直线/：y=ex +a与 r 轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分 别 是(-,0),(0,).设 M 的 坐 标 是.3a a(%,%),由 AM =4 A 3 得(%+,y0)=2(,a),e e所以 J)因为点M在椭圆上，所 以+-y=1,a b-U-D 2 )2即F+与UL所以(I9 fe22 e4-2(1-A)e2+(l-A)2=0,解得e?=l 之 即；1 =1 e?.(H)解 法-：因为P F|J J,所以/P

9、F F 2=9 0+/B A R为钝角，要使P F F 2为等腰三角形，必有IP F g l F F z l，即g l P F J=c.、n L-k t.1 ,_ _ .I (C)+0+I I C l C C I设点F l到l的距离为d,由不I P F|=d=-,=c,2 7177得吃1-工e2J 1+/17所以e2=一，于是 =l-e2=3 32即当/I =时,P F1F2为等腰三角形.3解法二：因为P P L/,所以NP F F 2=9 0+N B A R为钝角，要使P R F?为等腰三角形,必有 IP F g l F R I,设点p的坐标是（x o，y。），则4为一。一 1x0+c e%

10、+0 xQ-c-=e-+a.解得e2-3xo=7 c,e+12(l-e2)a3 FT22由IP F R F iF,得+e2+2（1二 加了=4c2,e+1 e+1两边同时除以4A化简得（/）一=/.从而e 2=Le2+l 37 7于是4 1=1 e?=.即当;1 =一忖，P F F 2为等腰三角形。3 3二、考题精练：（-）选择题：尤21、（0 6全国H）已知 A B C的 顶 点 在 椭 圆 一+丁 =1上，顶点A是椭圆的一个焦3点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是（）A、2小 B、6 C、4小 D、122 2 2 22、（06辽宁）曲 线 一 一+匚=1（m 6）与 曲 线

11、 三 一+上 一 =1（5 80）的 离心率为彳，短轴一个端点到右焦点的距离为百.（I）求椭圆C的方程；（II）设直线/与椭圆C交于A,8两点，坐标原点。到直线/的距离为更，求AAOB面2积的最大值。解：（I）设椭圆的半焦距为C,依 题 意=Wa=A/3,2.7 =1,.所求椭圆方程为土+/=i.3（II）设 A，X），B（2，y2）.（1）当轴时，=（2）当AB与x轴不垂直时,设直线A 6的方程为y=Ax+加.t n3得机 2 =-(fe2+l).4由已知I -*,V i T F 2把y=攵无+小代入椭圆方程，整理得(3%2+l)x2+6 kmx+3m2-3=0,(3/+1)2 (3/+1)

12、2=3-1 ；-z =3 H-(女 7 0)W 3 d-=4.9 G+6/+1 0y K,21 Jz ,r OA 2x 3+6k2I反当且仅当9公=不，即k=4时等号成立.当人=0时，kM =百,k3综上所述|4 5|=2.I I m a x.当|AB|最大时，A O B面积取最大值S =x|AB|X =I I 2*1 1 m a x 2 22 28、(0 6江西21)如图，椭圆。：2+二=1(。60)的右焦点a bF(c,0),过点尸的一动直线2绕点E转动，并且交椭圆于A,B 两点,(2)在。的 方 程 中，令 i?=i +c os(9 +si n(9 ,/=s i n 6(0 e b 0)

13、a b-上的点A(xP yi)B(x2,y2)，又设P点坐标为P(x,y),则-6 km 3(疗-1).=素 寸 砧=亚 了=(1 +左2)(_ 为)2 =(1 +/)36 k2 tn2(3F+1 71 2(/1)3必+112(公 +1)(3Y +1-M2)_ 3(%2+1)(9抬+1)P是线段48的中点(1)求点P的轨迹”的方程;J b2x+a2y 2=a2b2.(1)b2X j+a2y 2=a2b2.(2)1。当A B不垂直x轴 时,X i%,由(1)-(2)得b2(X|X 2)2x+a2(y j y 2)2y 0.%丫2_4 y-2X j-x2 a y x-c/.b2x2+a2y2b2c

14、 x=0.(3)2。当A B垂直于x轴时，点P即为点F,满足方程(3)故所求点P的轨迹方程为：b2x2+a2y2-b2c x=O(2)因为，椭 圆Q右准线/方程是 乂=一,原点距/ca2的距离为一，由于 c?=a 2b?,a2=l+c os0+si n 0,cb2=si n 0 (0 0 三角形A B D的面积S=；l y i l+g l y2l=g I y i-y 2ly设直线m的方程为*=1 丫+1,代 入 万+y 2=l中，得(2+k?)y2+2k y-l=02k 1由韦达定理得y i+y 2=-5*y=5寿心2,、2/,、2,8 (k2+l)4 S-=(y i-y2)=(y i+y2)

15、-4 y i y2=p q y-Of Q Q令 t=k 2+1 21,得 4 s2=,=:0),且椭圆机+1上存在点P,使得直线PF1与直线P F2垂 直.求 实 数m的取值范围；（H）设1是相应于焦点 心的准线，直线尸约与/相交于点Q。若 鬻 =2 一 班，求直线尸入的方程。解:.直线PF 直线PF2：.以。为圆心以c 为半径的圆：x 2+y 2=c 2与椭圆：+/=1m+1有交点.即x2+y2=x2 2-+y-、?+1c2有解又 c2=a2-l 72=tn+1 -1 =/n 0=12 1 90 x =-1in设P（x,y）,直线P&方程为：y=k（x-c）a2 n 7 +1 直线/的方程为：x=-=-c yjm.点。的坐标为（缪,3）yjm.篙=2 百 点户分有向线段函所成比为3 6l m+1 k.F2(V m ,0),Q(-，丁)：.P(5 n yjm(4-6)m+1 k(4-V 3)V m (4-百 而).点P 在椭圆上(4一道)m +ly(4-扬布*(k y =j加+1 (4 V 3)V m:.k=(1 1-6 百)m-1m+1直线PF2的方程为：尸土（11-6m-l（x_际）V m+1