高考试题——数学理（宁夏卷）.pdf

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1、2008年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）理科数学数 学（理）试题头说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷 第 222 4 题为选考题，其它题为必考题.考生作答时，将答案答在答题卡上.在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各

2、题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.5.做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.参考公式：样本数据X1，x2，X”的标准参 锥体体积公式5=（玉一元/一（一亍y +（X”一 亍 1 V=3Sh其中方为样本平均数柱体体积公式V=Sh其中S为底面面积，h 为高其中S为底面面积，h 为高球的表面积、体积公式,4,S=4nR2,V=-nR33其中R为球的半径第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数y=2sin（ox+夕）（。0）在

3、区间 0,2兀 的图像如下：那么0=()1 1A.1 B.2 C.-D.一2 322 2z2.已知复数z=l i,则-=()Z-1A.2z B.-2i C.2 D.23.如果等腰三角形的周长是底边长的5 倍，那么它的顶角的余弦值为（)4.设等比数列 4 的公比q=2,前 F 项和为5,则&=（）5.右面的程序框图，如果输入三个实数a,b,c,要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项 中 的（）A.c x B.x c C.c b D.b c6.已知6。2 的 0，则使得（1 一。咨）2 0,则a=.丫2 V214.设 双 曲 线 二-21=1的右顶点为从 右焦点为F

4、.过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交9 16于点8,则AFB的面积为.15.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱9柱的体积为一，底面周长为3,则这个球的体积为8-1 6.从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 25根棉花的纤维长度（单位：mm）,甲品种：271308乙品种:284320273310292322280314295322285319304324285323306327287325307329292325312331294328313333295331315336301334315337303337316343303352318

5、356结果如下:307318由以上数据设计了如下茎叶图甲乙78 755393543410210272829303142 54 62735 5 6 888575431323334c r0 21 33264 7 97根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论:：.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.1 7.（本小题满分12分）已知 可 是一个等差数列，且生=1，a5=-5.(I )求%的通项4；(I I)求 凡 前 n 项和5“的最大值.1 8 .(本小题满分1 2 分)如图，已知点P在正方体A8CD-A 8 C 。的对角线3 D 上，N P D 4 =6

6、0.(I )求 D P 与 C C 所成角的大小；(I I)求 D P 与平面A D D所成角的大小.1 9 .(本小题满分1 2 分)A 3两个投资项目的利润率分别为随机变量X i 和 X?.根据市场分析，X i 和 X 2 的分布列分别为%22%8%1 2%P0.20.50.3(I)在 A B两个项目上各投资1 0 0 万元，斤和 力分别表示投资项目A 和 B所获得的利润，求方差。看,如：(I I)将 MOW 尤W 1 0 0)万元投资4项目，1 0 0-尤万元投资8 项目，/(x)表示投资A 项目所得利润的方差与投资8 项目所得利润的方差的和.求/(X)的最小值，并指出X为何值时，/(X

7、)取到最小值.(注：D(a X+b)=a2D X )2 0 .(本小题满分1 2 分)2 2在直角坐标系x O y 中，椭圆C1：+二=l(o b 0)的左、右焦点分别为后 也是抛物线C2：y2=4 xa h的焦点，点M为 G与 C2 在第一象限的交点，且 I M F 2 I=2 .3(I)求 Q 的方程;(I I)平面上的点N满足丽=丽+丽，直线/M N,且与Q交于A,B两点，若 次 赤=0,求直线/的方程.2 1 .(本小题满分1 2分)设函数/(x)=o r+L(a,be Z),曲线y =/(幻在点(2,7(2)处的切线方程为y=3.x+b(I )求f(x)的解析式：(H)证明：函数y

8、=/(x)的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；(I I I)证明：曲线y =/(x)上任一点的切线与直线x=l和 直 线*x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.2 2 .(本小题满分1 0分)选 修4一1：几何证明选讲如图，过圆。外一点M作它的条切线，切点为A,过A点作直线A P垂 直 直 线,垂足为P .(I )证明：O M Q 9 P =O A2；(ID N为线段A P上一点，直线NB垂直直线ON,且交圆。于8点.过B点的切线交直线ON于K .证明：Z

9、OK M=9 0 2 3 .(本小题满分1 0分)选 修4一4；坐标系与参数方程x=c o s 8,已知曲线G：(夕为参数)，曲线Cz：y =si n。x=也”2V2(t为参数).(I )指出G，Cz各是什么曲线，并说明Q与C2公共点的个数;(H)若把G，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C；,C；.写出C；,G 的参数方程.C：与c；公共点的个数和G与G公共点的个数是否相同？说明你的理由.2 4.(本小题满分10分)选 修4 5:不等式选讲已知函数/(X)=|X-8|-|A:-4|.(I)作出函数了=/(X)的图像；(I I)解不等式除一8|-k一4|2.答案B B D CA

10、(1 3)B CD AD AC/、3 23 (1 4)1 5、4万(1 5)3(1 6).1.乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）。2.甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散.（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）.甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）.3.甲品种棉花的纤维长度的中位效为3 0 7 mm,乙品种棉花的纤谁长度的中位数为3 1 8 mm4.乙品种棉花的纤堆长度基本上是对称的.而且大多集中在中间（均值附近）.甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（3

11、5 2 ）外.也大致对称.其分布较均匀.三、解答题（1 7）解：（1）设/的公差为d,由已知条件，.4 +d=1,解 f J l q =3,J =2 ,4+4 d =5 所 以=4 +(一l)d=2n+5。(2)Sn=nax+o(n-l),、2-d-n+4n=4-(-2)所以=2时，取到最大值4。(1 8)解:如图，以。为原点，D 4为单位长度 建 立 空 间 直 角 坐 标 系x y z。则 方=(1,0,0)，加7=(0,0,1).连结BD,B D.在平面3 8。中，延长OP交5。于”.设曲0）,由 已 知 伸，研=6 0。,由方亚 百=|明 怛 冏co s（DH,DA可得2 z =,2加

12、2+1。五 一解得2 =J,所以DH2V2 V2 12 27(I )因为 co s =上立x 0 +5v x O +lx l2lx V2_ V 2一 2 所以=45.即。产与C C所成的角为45.(I I)平面44O D的一个法向量是灰=(0,1,0).因为 cos-x0+xl+lxO2 2_2所以丽，皮=60.可得DP与平面AA:DD所成的角为30.1 9.解：DY=(5-6)2X0.8+(10-6)2X0.2=4,1 x 0EY2=2X0.2+8X0.5+12X0.3=8,DY2=(2-8)2X0.2+(8-8)2X0.5+(12-8)2X0.3=12.+D100-x100DYi+100-

13、xY100)DY2=品疗+3(1 0 0*=(4x2-600 x+3X1002),当1=幽=75时，/(x)=3为最小值.2x42 0.解:(I)由 G ：y?=4x 知居(1,0).设MQ,y j,M在G上，因为=所以芯+l=g,汨 2 2屈得 玉=5，%=亍.M在G上，且椭圆G的半焦距c=l,于是 4 8,-1-=1,0,故所求直线/的方程为旷=卡九一2右，或丫=瓜+2G.2 1.解：(I)r a)=(x+b)22a H-=1,广于是2：。解 得,1 A ba-二 0,i或，9a-,47 8b=3因，b e Z ,故/(x)=x +-.x-1(H)证明：已 知 函 数)|=%，2=,都是奇

14、函数.X所以函数g(x)=x +1也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形.X而/(X)=X-1 +1 .X-1可知，函数g(x)的图像按向量a =(1,1)平移，即得到函数/(X)的图像，故函数/(X)的图像是以点(1,1)为中心的中心对称图形.(1 A(III)证明：在曲线上任取一点天,%+-由/(入0)=1 二 知，过此点的切线方程为(%0 1)片一%()+1 =X。一1(X/).令 x =得1切线与直线x =l交 点 为1,受 汇、X。_ 1,令y=x得y=2%o-l,切线与直线y=x交点为(2玉)-1,2%-1).直线x =1与直线y=x的交点为(1,1).从而所围三角形的面积

15、为L22|2X0-2|=2所以，所围三角形的面积为定值2.22.解：（I）证明：因为MA是圆。的切线，所以。4,AM.又因为A P J.O M.在RtaQAM中，由射影定理知，OA2=OMVOP.（II）证明：因为8K是圆。的切线，B N 1O K .同（I）,有 08?=ONVOK,又 OB=OA,所以OPOOM=ONQ9K,即”=也.OP OK又 NNOP=NMOK,所以 A O N P sA O M K ,故NOKM=NOPN=90.23.解：（I）G是圆，G是直线.G的普通方程为尤?+y 2=i,圆心G（0,0）,半径r=l.G的普通方程为x-y+应=o.因为圆心a到直线x-y+/=0

16、的距离为1,所以G与G只有一个公共点.（II）压缩后的参数方程分别为x=cos6,C；，1 （。为参数）；C；：y=-sin62且224一一=（t为参数）.D化为普通方程为：C/：x2+4y2=l,C；：y=学，联立消元得2/+2后+1 =0,其判别式 =（2忘 了-4x2x1=0,所以压缩后的直线C；与椭圆C：仍然只有一个公共点，和C,与G公共点个数相同.24.解:4,x W 4,(I)f(x)=2x+12,48.图像如下：(I I)不等式|x 8|-卜4|2,即/(x)2,由一2x+12=2 得x=5.由函数/(x)图像可知，原不等式的解集为(-8,5).2009年普通高等学校招生全国统一

17、考试（宁夏卷）数 学（理工农医类）第 卷一，选择题：（本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，中有一项是符合题目要求的。（1）已知集合4 =1,3,5,7,9,8=0,3,6,9,12,则4口。.，8 =(A)15,7(C)1,3,9（2）复数3+2i2-3z3-2z=2+3厂(A)0(B)2(B)3,5,7(D)1,2,3(C)-2i(D)2对变量x,y有观测数据理力争（西，y ）（i=l,2,，10）,得散点图1；对变量u,v有观测数据（4 ,V,）10），得散点图2.由这两个散点图可以判断。（A）变量x与y正相关，u与v正相关（B）变量x与y正相关，u与v负相关（C）变量x

18、与y负相关，u与v正相关（D）变量x与丫负相关，u与v负相关(4)双曲线2-二=1的焦点到渐近线的距离为4 12(A)2 G (B)2(C)V3(D)1(5)有四个关于三角函数的命题：2 X 2 工 1 r 、P i：dxG R,sin +cos =p2：dx yG R,sin(x-y)=sinx-sinyP3：V x 0,%2c.5加 p4:sinx=cosy=x+y=y其中假命题的是(A)px,4(B)P2,4(3)PT，3 (4)p2,%2 x+y 4(6)设 x,y 满足,x-y N-l,则z=x+yx-2 y 0),则 f(x)的最大值为(A)4(B)5(C)6(D)7第 I I 卷

19、二、填空题；本大题共4小题，每小题5 分。（13）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F（l,0）,直 线 I 与抛物线C相交于A,B 两点。若 AB的中点为（2,2）,则直线，的方程为.（14）已知函数丫=$而（0 X+9）（0）0,-71 （P71）的图像如图所示，则 9=（15）7名志愿者中安排 6人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排 3 人，则不同的安排方案共有_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 种（用数字作答）。（16）等差数列%前 n 项和为 Sn。已知am_l+am+i-a2m=0,S2,“_|=38,则 m=三、解答题：解答应写出说明文字

20、，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12 分）为了测量两山顶M,N间的距离，飞机沿水平方向在A,B 两点进行测量，A,B,M,N在同一个铅垂平面 内（如示意图），匕机能够测量的数据有俯角和A,B 间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；用文字和公式写出计算M,N间的距离的步骤。B（18）（本小题满分12 分）某工厂有工人1000名，其 中 2 5 0名工人参加过短期培训（称 为 A 类工人），另外7 5 0名工人参加过长期培训（称为B 类工人），现用分层抽样方法（按 A 类、B 类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处

21、生产能力指一天加工的零件数）。（I）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A 类工人，乙为B 类工人；（I I）从 A 类工人中的抽查结果和从B 类工人中的抽插结果分别如下表1和表2.表 1：表 2：生产能力分组100,110)110,120)120,130)130,140)140,150)人数48X53生产能力分组110,120)120,130)130,140)140,150)人数6y3618(i)先确定x,y,再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度口那个更小？(不用计算，可通过观察直方图直接回答结论)(ii)分别估计A类工

22、人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(1 9)(本小题满分12分)如图，四棱锥S-ABC。的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的8倍，P为侧棱SD上的点。(I)求证：A CLSD；(II)若SD 1平面PA C,求二面角P-A C-D的大小(I I I)在(II)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E,使 得BE平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由。(2 0)(本小题满分12分)已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在和1.(I)求椭圆C的方程；A/1:X人/T7止_21(轴上，它的一个顶点到两

23、个焦点的距离分别是7(H)若 P为椭圆C上的动点，M为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，=求 点 M的轨迹方程,0M并说明轨迹是什么曲线。(2 1)(本小题满分1 2 分)已知函数/(x)=(x3+3 x2+ax+b)ex(I)如。=匕=3,求/(x)的单调区间；(I I)若/(X)在(8,a),(2,)单调增加，在(a,2),(,+8)单调减少，证明(5 (X 6.请考生在第(2 2)、(2 3)、(2 4)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题记分。作答时用2 B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。(2 2)本小题满分1 0 分)选 修 4-L几何证明选讲如图，已知A4BC的两

24、条角平分线AD和 CE相交于H,NB=6 0,F 在 AC上，且 AE=(I)证明：B,D,H,E 四点共圆：(I I)证明：CE平分(2 3)(本小题满分1 0 分)选 修 4 4：坐标系与参数方程。已知曲线C ：=60 ,2连O P,由(I )知AC_ L平面S3。,所以AC_ L OP,且A C _ L。,所以N P。是二面角P-A C-D的平面角。由 S。，平面P A C,知 S D，O P,所以 N P O D=3 0 ,即二面角P-A C-D的大小为3 0。(I I I)在棱SC上存在一点E,使B E平面PA C由(H)可得P O =故可在S P上取一点N,使P N =P。,过N作

25、尸C的平行线与S C的交点4即为E。连B N。在口 中知B N/P O,又由于N E P C,故平面B E N 平面P4 C ,得B E /平面P A C,由于 SN：N P =2：1,故 SE：E C =2:1.解法二:（I）；连8。，设AC交 于8。于0,由题意知S0J平面A8CQ.以0为坐标原点,0B 0G 0S分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系。一盯z如图。设底面边长为a,则高S0=Y$a。2于是 5（0,0,白。）,。（当。,0,0）C（0,-a,0）7202-)=4 O整理得(16矛 一 9濡+16矛y 2 =112,其中尤e 4,4。(i)4 =2时。化简得9 y 2 =1

26、 1 24所以点M的轨迹方程为y =士 掌(-44x W4),轨迹是两条平行于x轴的线段。3v2 v2(ii)4 H士时，方程变形为 二1+“*=1，其中x e -4,44 1 1 2 1 1 21 6/l2-9 liF3当0%时，点 的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足-4 x W 4的部分。当1 2 1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在无轴上的椭圆满足-4 x W 4的部分；4当;1 21时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆；(21)解：(I )当 a =b =-3 时,f(x)=(x3+3 x2-3 x-3)e-x,故尸(x)=-(%3+3 x2-3 x-3)e +(3

27、x2+6x-3)e-x=一*(尤 一3一9幻 xx3)(x+3)6 A当 x-3 或 0 x 0;当一3 c x 3时,f(x)0.从而/(x)在(-,一3),(0,3)单 调 增 加，在(-3,0),(3,+8)单调减少.(1 1)/8)=-(尤 3+3/+以 +b)e-x+(3x2+6x+a)e-x=-e-xx2+(a-6)x+b-a.由条件得：/(2)=0,即23+2(a -6)+b -a =0,故b =4-a,从而f(x)-exx3+(a-6)x+4-2 a.因为尸(a)=/(/?)=0,所以x5+(a 6)x +4 2a =(x-2)(x a)(x -/?)(x2)(x2-(a +0

28、)x+a/3).将右边展开，与左边比较系数得，a +=2,矽=。一2.故/3 ex-+4(x0 J 1 2-4c.又(一 2)3 一2)0,即 的 一2(a +)+4 0.由 此 可 得a 6.(22)解：(I )在a A B C 中，因为/B=60 ,所以/B A C+/B C A=1 20 .因为A D,C E 是角平分线，所以 N H A C+/H C A=60”,故/A H C=1 20 .于是N E H D=/A H C=1 20 .因为/E B D+/E H D=1 80 ,所以B,D,H,E 四点共圆.(1 1 )连结B H,则 B H 为N A B C 的平分线，得/H B D

29、=30 由(I )知 B,D,H,E 四点共圆，所以N C E D=/H B D=30 .又N A H E=/E B D=60 ,由已知可得 E F _L A D,可得 N C E F=30 .所以C E 平分N D E F.(23)解：尤 2 V2(I)G：(*+4)-+(y 3/=i，G：x+丁 =1 a 为圆心是(4,3),半径是1的圆.G 为中心是坐标原点，焦点在X 轴上，长半轴长是8,短半轴长是3 的椭圆.(II)当 f时 上4,4)口叱如血故”2+4 3 4 2 +刎6).G 为直线 x 2y 7=0,M 到 G的距离d =41 4 c os 6 3 s in。一 1 31.从而当c os 6=s in 6=时，d取得最小值色(24)解：(I )y =4|x-1 0|+6|x-20|,0 x 30.(I I)依题意，x满足/4|x-1 0|+6|x-20 1 70,-0 x 30.解不等式组，其解集为9,23所以 X G9,23.