高考数学重点考点解析第七章第4节数列求和.pdf

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1、第4节数列求和最新 考 纲1.熟练掌握等差、等比数列的前项和公式；2.了解非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.I基础诊断 回归教材，夯实基础知 识 梳 理求数列的前项和的方法(1)公式法等差数列的前项和公式n(2 0 1 5。2 016=42 0172 016+。2 017=。2 018以上累加得，a+2。2+勿3+2。4+2。2 016+。2 017=的+4+,+。2 018，/.671+2+3+4 4+。2 016=42 018。2=根-1.答 案13 m I考点突破 分类讲练，以例求法考 点 一 分 组转化法求和【例1】(2 0 1 6天津卷)已知 为 是等比数列，前项和为S”(G

2、 N*),且;一；=U U2A a=6 3.(1)求 斯 的通项公式；(2)若对任意的G N*,必是10g2。”和lo g 2%+i的等差中项，求数列(一1)居 的前2 项和.解(1)设数列 斯 的公比为q.由已知，有-51 十1=公2，U UC ClQ解得q=2或q=-1.1一“6又由 Se=。1 q=6 3,知 q#1,1 -?6所以 =6 3,得1 =1.所以斯=2 L1 1 2(2)由题意,得 bn=(lo g2a +lo g2an+i)=1(lo g 2 2n_1+lo g22n)=n 即 勿 是 首 项 为 公 差 为1的等差数列.设数列(一1)”后 的前项和为T”则沅+比)+(一

3、房+&)H-H一比-i+b幻=为 +历+优+。4+岳 一 1 +。2=2 3”-)=22.规 律 方 法(1)若数列 金 的通项公式为G,=土小，且 斯,与 为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列 ca的前项和.(2)若数列 金 的通项公式为品=0,0+2斯=4工+3.(1)求 为 的通项公式；(2)设为=一，求数列 0“的前项和.1解(1)由 +2。“=4 szi+3,可知 a+1+2an+1=4 S+1+3.可得 +1+2(an+1 )=4 a+1,即 2(a”+1 +aH)=%+1 一%=(a”+1+)(0,可得 an+an=2.又a彳+2 0=4。1+3,解 得a i =-1(舍去)

4、或又外 0,由以上两式联立方程组解得=2,夕=2,所 以a=2n.,(2/?+1)(Z?i+M+i)由题意知 S2n+i=-2-Z-=(2 +1)为+|,又 2”+1=bnbn+1，bn+1 WO,所以 bn=2n+l.A令 c=bl t ,则n,c2 n+1n=,因此 =C+C2+c 夕抖升+早2+1又)=奈+1H条H-F 当J+竽4,两式相减得3T”=|+；+3H-H*)答A，所 以 乙=5 义?？I课时作业 分层训练，提升能力基础巩固题组一、选择题1.(2 0 1 7 杭州调研)数列伍”的前n项和为Sn,已知S=1 2+34H-F(1),l-n,则 Si7=()A.9 B.8 C.17

5、D.16解析 Si7=1 2+34+56+15 16+17=1+(2+3)+(4+5)+(6+7)+,+(14+15)+(16+17)=1+1 +1 +1=9.答 案 A2.数列“”的通项公式为处=(-1)(4-3),则它的前100项之和Sioo等于()A.200 B.-200 C.400 D.-400解析 SIOO=(413)(4X2 3)+(4X3 3)-(4X100-3)=4X(1-2)+(3-4)H-F(99-100)=4X(-50)=-200.答 案 B3.(2018 湖州调研)已知数列 恁 满足斯+一斯=2,at=5,则|ail+|a21T-卜 1%1=()A.9 B.15 C.1

6、8 D.30解析-a+l-a =2,0=-5,.数列%是公差为2 的等差数列.an -5+2(-1)=2-7.ri(5-I-2 -7)数列 aa 的前n 项和Sn=2=26.7令 a”=2-7 2 0,解得2,W3 时，=-a”；时,|a”|=a.贝+|%1=-。2-6 +如+的+恁二S6-2S3=62-6 X 6-2(32-6X3)=18.答 案 C4.已知数列“”满足0 =1,a2=3,即+1 口-1=%(2 2),则数列“4 的前40项和 S40等于()A.20 B.40 C.60 D.80解 析 由 an+=(/72),O|=1 ,。2=3,可得的=3,。4=1,。5=鼻,。6=不，C

7、 tf|D D幻=1,。8 =3,这是一个周期为6 的数列，一个周期内的6 项之和为学，又4 0=6 X 6+4,所以 54()=6X+1+3+3+1=60.答 案 c5.(2 0 1 8 丽水测试)已知数列 斯 满足 0 =1,a.+i s=2(W N*),则 S2 0i 8=()A.22 0 l8-l B.3-2l 0 0 9-3C.3.2l()(,9-l D.3-21(K)9-2解析2 _。+2 斯+1 2 1。+20 =1 0 2=1=2,又 0r H.斯=亍=2,的，死,成等比数列；。2,4,。6,成等比数列,5 2 0 1 8 =。1+。2 +。3 +。4 +。5+。6 H-0 1

8、 7 +2 0 1 8=(见+的+。5 H-(-。2 0 1 7)+(。2+4 4 +。6 H-F 6/2 0 1 8)1-2 0 0 9 2 (1-21 0 0 9)1-21-2=3.21(K,9-3.答 案 B6,2 2 _+3 2 _+4 2 _ +3+(+1)2 一的值为()A+】B-N+X2 (+2)4 2 (+2)U，4 丸+1 n+2)u2+1 十 +2解 析,(+1)2-1 2 +2 n(+2)=卑_-一4 n+2),.1.1,1,12 2 1 十3 2 1 十4 2 1 十十(+1)2-1-1-T+1-5-1-3+-1-4-12-十1-321+C案答二、填空题7.（2 0 1

9、 7 嘉兴一中检测）有穷数列 1,1+2,1+2+4,，1+2+4+2”-1所 有 项 的 和 为.1 2 解 析 由题意知所求数列的通项为不一7=2 1，故由分组求和法及等比数列的1 2求和公式可得和为2（:二;一=2 -2 .答案 2 i28.数列 为 满足a+a+i=3（N）,且 0=1,S”是数列 知 的前项和，则21=解析 由斯+=4 +1+。+2，。+2=斯，则。1 =。3=。5=。21，2=。4=。6=。20，工 21=+（。2+的）+（。4+。5）H-H （。20+。21）=l+10X；=6.答 案 69.（2017全国H卷）等差数列 斯 的前 项和为 S,t9。3=3,4=1

10、0,则 Zk=l解析 设等差数列 斯 首项为0，公差为乩 则f 6=a +2d=3,由(,4X3IS4=4al+-2-d=10,6 7 1 =1,(/=11 _ 2(1 _L-Sn n(n+1)口 i i i i i哈 瓦、+而+而+”.+无=2（1-扛 卜 打 ,1 1,1 1 十-十一-n n n n+1J=2 12/7n+)n+V答案2n+1.n(+1)S =2110.（2018 金华模拟）在数列 a“中，0=1,勿=2，且恁+2。=1+（1）（金 E）,则%=,Si(x)=解析 当为奇数时，an+2an=0；当为偶数时，。“+2。”=2,恁 的一个通项公式为a=1 n=2k(ZGN+)

11、，n n=1 k(左 WN+),.,c,50X(2+1 0 0)八 2 .Sioo=S 奇+S 儡=50X 1 +z-2 600.1 （为奇数）答案,T/申拓、2 6001 （为偶数）三 解答题11.（2016.北京卷）已知他”是等差数列，勾 是等比数列，且 出=3,仇=9,s=b,4=84.（1）求%的通项公式；设cn=an+bll,求数列 c,J的前n项和.解（1）设等差数列 恁 的公差为力 等比数列出“的公比为q,b?=b、q=3,b ,由 仇=。q2=9 得q=3.,也=仇 尸=3一】，X=/?=1,*),令 丁 产 在+直+就,求 我解(1)当 n=时，a=S,1 2由 Si+呼 1

12、 =1，得 O=，当 时，S,=1 ；斯，S,-i=1 ,则 SLSI=1 。），即 斯一-1 -。），所以斯=护?-1（22）.故数列 处 是以2 1q为首项，；为公比的等比数列.H1 7 1故=2|j（G N*）(2)因为 1-Sn=%”=(，.因为勿为+1 (+1)(+2)n+1 +2所以=+；+7 仍2 b2b3 bnbn+1一(2 3广 13 4厂 十(+1 n+2)-2 +2 一2(+2)-能力提升题组1 3.已知数列。的通项公式为斯=/、尸 六（G N*）,其前项和（十1）yj九十n/n十1为S”，则在数列S1，S2，S2016中，有理数项的项数为（）A.42 B.43 C.44

13、 D.451解 析 an(n+1)g+周+1(+)g 局+(n+1)y/n+n n+1 (+1)ynnjn+1F n+1n n+所以日邛十惇-郭俘-郭十洋常卜一部,因此S8,Si5为有理项，又下标3,8,1 5,的通项公式为2 1（22）,所以2 1W 2016,且22,所以2W W 44,所以有理项的项数为43.答 案 B14.在数列 斯 中,斯+1+(1)%=2 一 1,则数列%的前12项 和 等 于()A.76 B.78 C.80 D.82解析 因为.+1+(1)%=2-1,所以。2。1 =1,。3 +42=3,如-43=5,怒+。4=7,恁。5 =9,d )H-C l(,=1 1 ,*

14、,。11+。10=19,C l2 =2 1 ,所以。+的=2,。4+。2=8,*,。|2+。1()=40,所以从第一项开始，依次取两个相邻奇数项的和都等于2,从第二项开始，依次取两个相邻偶数项的和构成以8 为首项，以 16为公差的等差数列，以上式相加可得，Si2=41+2+43+。1 2 =(。1 +的)+(。5+。7)+39+411)+32+4)+(。6+。8)+(。1。+。1 2)=3 X 2+8+24+40=78.答 案 B15.(2017 台州调研)已知数列%满 足:a i=2,。+1 =；_ 斯,则 为。2a3。15=1；设 =(1)%?，数列 与 刖项的和为S?,则2 01 6=解

15、析*ci=2,an 1+即.1 +2 1 3 1 2 1=E 2=言=-3,的=而=一 下 4=7=3,1十51+3。5|-2.1-3._1 _1。4+12，。4+2 5，。4+3 2 3.：a4H+r。4+2。4 +3 =2X(3)Xx1=l.1。2。3一。1 5 =1 3。14415=0。2。3=2乂(一3)义f也=(1)%,/?4n+1 =2,b4n+2 3,/74n+3=2，64=.1 1 25.,.d”+1+匕 4+2+匕 4+3+d =-2 3+=-7.S2O16=得 X =2 100.答 案 3 -2 1 0 01 6.(2 0 1 6 浙江卷)设数列 为 的 前 项 和 为 已

16、 知 2=4,即+I=2S“+1,N*.(1)求通项公式许；(2)求数列-2|的前项和.解(1)由题意得,c i +诙=4,。2 =2。1+1,则=1,2 =3.又当22时,由 an+an=(2 Sn+1)(2 5-1 +1)=2an,得。”+1=3 恁.所以，数列 斯 的通项公式为斯=3 T,“G N*.(2)设为=0i一 一 2|,6 N*,=2,3=1,当N3时，由于3 7+2,故 b”=3 i 2,2 3.设数列 4 的前项和为T”，则 T i=2,T2=3,当“2 3 时，7；,=3 49(1 3 0 2)(+7)(-2)3”I5+1 1221-32,=1,所以刀尸 3 I5+1 1

17、 *,n2,“W N .1 7.(2 0 1 7 山东卷)已知 与 是各项均为正数的等比数列，且 修+应=3,右一检=2.(1)求数列/的通项公式；(2)如图，在 平 面 直 角 坐 标 系 中，依次连接点P G i，1),P2g,2),Pn+i(x“+i，+1)得到折线P 1 P 2 P”+i，求由该折线与直线y=0,x=x i，x=x”+i 所围成的区域的面积0.解（1）设数列 q 的公比为q,由题意得X+即9=3,x(xq=2.所以3,-5q2=0,由已知q0,所以 q=2,X|=1.因此数列/的通项公式为X”=2T.(2)过P 1，P2，P”+1向X轴作垂线,垂足分别为Q”。2，,Q +1.由(1)得 X+I-&=2-2T=2T,记梯形P P“+i Q +i 0 的面积为b,由题意曰=-(廿1+l)-2T=(2+l)X2-2,所以 Tn=bi+b2-FZ?=3X 2-I+5X2+7X2IH-F(2/1-1)X 2n3+(2+1)X 2n_2.又 2=3X20+5X2i+7X22d-F(2n-1)X2n-2+(In+1)X2n-1.(2)一得-7；,=3X 2-+(2+22H-F2T)(2+l)X2T3,2(l-2n-1)2+1 2 一(2+l)X2T.所以Tn=(2-1)X2+l2