高三一轮复习专题练习.pdf

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1、填空题专练(1)高三一轮复习专题练习1抽象函数的单调性、奇偶性问题2 01 0061 41、若 f(x)定义域为R,对求证:f(x)在 R上为增函数a,b R 均有 fa(b )fa()f b()(1)求证：f(x)0(2)(3)当 f(6)8 时，解不等式 f(x2 5 x)f(8)22、若 f(x)定义域为R,对a,b R 均 有 f(a b)f(a)f(b)2 且 x 0 时，f(x)2.(1)求证：f(x)在 R上为增函数；(2)若 f(2)8,解不等式f(3 x2 x 3)53,若 f(x)定义域为 R,对 a,b R 均有 f(a b)f(a)f(b),(1)判断f(x)的奇偶性；

2、(2)若 x 0 时，f(x)0,证 明 f(x)在 R上为减函数;(3)若 代 3)3,求 f(x)在 -2,2 上的最大值和最小值。4、若 f(x)定义域为D xx R 且 x 0,且 对 xl,x2 D均有f(xl x2)f(xl)f(x2)(1)求 f(2)判 断 f(x)的奇偶性并证明；(3)如果f(2)l,f(x 1)f(x 1)3 1)的值；且 f(x)在(0,+8)上是增函数，求 x 的范围。5、若 f(x)定义域为 R,且对 xl,x2 D 均有 f(xl x2)f(xl x2)2 f(xl)f(x2)(1)判 断 f(x)的奇偶性；(2)6、已知f(x)是 R上的偶函数，其

3、图像关于直线x 1 对称，对xl,x2 0,都有2 1,且当 x 0 时，0 f(x)1,f(xl x2)&)1.6且)1 2f(l )求 4,f(2 0 的 1 值 1)。7、定义在R上的增函数f(x),对x.y R均 有 f(x y)f(x)f(y)求 f(0)；(2)求证：f(x)为奇函数；(3)若 f(k 3 x)f(3 x 9 x 2)0 对x R 恒成立，求实数k的取值范围。1填空题专练1、已知探照灯的轴截面是抛物线y 2=x,如图所示,平行于对称轴x 轴的光线在抛物线上经P、Q 两点两次反射后，反射光线仍平行于对称轴x 轴.则点P 2的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ 时,从

4、入射点P 到反射点Q 的光线路程最短.利用光学知识符问题转化为焦点弦长的最小值问题，可用通径为焦点弦长的最小值的结论,得 2 P=1 分p=,此 时 交 点 为(,)即为入射点和反射点.2 42 1 1 1在 A B C 中,A B A C|A B A C|2,则 A B C 的面最大值为2 2 解 析 A B A C|2,2|A B|2 A B A C|A CA B A C 2,|A B|A C|8,A B A C|A B|A C|c o s A 2.1 故 A B C 的面积 S|A B|A C|s in A 21|A B|A C|2.(当且仅当A B|A C 2时取等号)W.A B C

5、的面积的最大值是3.函数f(x)=x3+(a-1)x2-(a+1)x-a,若对任意实数 a S -1,1 ,函数 f(x)在(-8,m)和(n,+8)上都是增函数,则m与 n的取值范围分别为_ _ _ _ _ _ _ _.解析：f(x)=x3+(a T)x2-(a+1)x-a,/.f,(x)=3 x2+2(a-1)x-(a+1),令 u(a)=(2 x-l)a+(3 x2-2 x-l),则 当 x 12 时,u(a)=f (x)=5 4 0,不合题意；1 2 当 x 时,要使 u a f x 2 x 1 a 3 x 2 x 1 0,2u(l)(2 x 1)(3 x2 2 x 1)3 x2 2

6、0,只需使2 2 u(1)(2 x 1)(3 x 2 x 1)3 x 4x 0.即 x 43 或 x 33 2 3 又 函 数 f x x a 1 x a 1 x 2在(，1 1 1)和(1 1,)上都是增函数，m W n 2 4.1.已知 A=1,2,3 ,B=1,2 定义集合 A、B 之间的运算“*：A*B=x|x=xl+x2,xl G A,x2 eB ,则集合A*B 中 最 大 的 元 素 是;集合A*B 的 所 有 子 集 的 个 数 为.解析：由定义得A*B=2,3,4,5 ,所以最大的元素是5;A*B 的所有子集个数为2 4=1 6.答案:5 1 64.数列 a n 的构成法则如下

7、:a l=l,如果a n-2 为自然数且之前未出现过,则用递推公式a n+l=a n-2.否则用递推公式a n+l=3 a n.则 a6=.解析：；a l-2=T N,；.a 2=3 a l=3.*/a 2-2=l=a l,/.a 3=3 a 2=9,：a 3-2=7,，a 4=7,；a 4-2=5,，a 5=5,V a 5-2=3=a 2,/.a 6=3 a 5=1 5.答案：1 56.已知函数f(x)=解析:f(x)=a x 1x 212 a x l x 2 a 在区间(-2,+8)上为增函数,则实数a的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _.1 2 a x 2,由复合函数的增减性可知,

8、g(x)=l 2 a x 2 在(-2,+8)上为增函数，二.2 a 答案：a l2.8.给出下列四个命题:m,n是两条异面直线,若m 平面a ,则 n 平面a ；若 平 面 P 平面a ,直线m 平 面 a ,则 m 平面6 ;4 平 面 6,平 面 a,B C a=m,若 直 线 直 线 n,n 6 ,则 n _ L a ；直线n 平 面 a ,直线 m 平 面 B,若 116,111。，则 a B.其 中 正 确 的 命 题 的 序 号 是(把 正 确 的命题序号都填在横线上).解析:不成立,n还可以与平面a相交或在平面a 内；成立,这是面面平行与线面平行的转化；成立,这是面面垂直的性质

9、；不成立，平 面 B与 平 面 a可能相交，因此应填.答案:16.如图,直三棱柱A B C-A 1B 1C 1中,P、Q 各是侧棱A A 1,C C 1上的点,且A 1P=C Q,则四棱锥B 1-A 1PQC 1的体积与多面体A B C-PB 1Q的体积比值是解析:令A 1P=C Q=O,则多面体蜕变为四棱锥C-A A 1B 1B,四棱锥B 1-A 1PQC 1蜕变为三棱锥C-A 1B 1C M 如图)，易得其体积比为1:2.答案：1;211.(x 2+l)(x-2)7 的展开式中x 3 的系数是.解析：由(x+D (x-2)=x(x-2)+(x-2),所求系数应为(x-2)的 x 项的系数与

10、x项的系数的和,得 C 7 X (-2)6+C 7 X (-2)4=10 0 8.答案:10 0 8 2 0.已知命题:p:|x-8|2,q:6427277732-3 a x+2 a 2 0).若命题r 是命题p 的必要不充分条件,且命题r是命题q的充分不必要条件,则实数a的 取 值 范 围 是.解析:命题P 即：x|6 x l;命题r即：x a x (a-Dx 的解集为A,且 AG x|0 x 2,那么实数a的 取 值 范 围 是.解析:根据不等式解集的几何意义，作函数y 和函数y=(a-l)x 的图象(如图)，从图上容易得出实数a的取值范围是a 6 2,+8).答案：+8)9、已知关于xa

11、 x 32的解集是区间(4,m),则 9a=,m =.解析:画出a x18 x 3232y=a x+的图象，由题设知P(4,2)是它们的一个交点，21 8 3的一个根是x=4,将 x=4代入，得 a，依题意m是 方 程 18 m 32的另一个根，解得m=36.答案：36 8 11 0、函数f (x)=M+m=.(x 2 2x co sx)2x x 2 的最大值为M,最小值为m,则解析:分子和分母同次的特点.分子展开,得到部分分式,f (x)=l+x si n x2x co sx 2,又(x)T 为奇函数，设 x=t 时,最大值为f(t).则M-l=f (t)-1,m-l=-(M-l),.*.M

12、+m=2.答案：21 0数列练习2.(20 1 0 全国卷 H)如果等差数列 a n 中,a 3+a 4+a 5=1 2,那么 a l+a 2+,+a 7=()A.1 4 B.21 C.28 D.35 答案 C1 1导数应用专练例 2 已知函数f(x)=x 3+x 1 6,(1)求曲线y =f(x)在点(2,6)处的切线的方程；(2)直 线 1 为曲线y =f(x)的切线，且经过原点，求直线1 的方程及切点坐标；1 (3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y +3 垂直，求切点坐标4与切线的方程.分析首先要判断已知点是否在曲线上，再根据切线的斜率即导数值列方程解决问题.解 析(1”.丫(2)

13、=2 3+2 1 6=-6,.点(2,-6)在曲线上.(x)=(x 3+x-1 6)z=3x 2+1,在点(2,6)处的切线的斜率k=f (2)=3 X 2 2+1 =1 3.切线的方程为y=1 3(x2)+(6).即 y=1 3 x3 2.(2)解法一：设切点为(xO,yO),则直线1 的斜率为f (xO)=3 x2 0+1,3 直线 1 的方程为:y=(3 x2 0 +1)(xx0)+x0+x0 1 6.3 又 ,直线 1 过点(0,0),.,.0=(3 x2 0 4-1)(-x0)+x0+x0-1 6.3 整理得 x3 0=-8)x0 2,y0 (2)+(2)1 6 2 6 1.k=3(

14、2)2 +1 =1 3,直 线 1 的方程为y=1 3 x,切点坐标为(-2,-26).解法二：设直线1的方程为丫=k x,切点为(x0,y0),y0 0 x3 0+x0 1 6 则 k=xO xO 0又.!g(x)+2(3)是否存在实数a,使 f(x)的最小值是3,若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.lx1 解 析(1)当 a=l 时，f (x)=x I n x,f (x)=1 xx.当0 x Vl 时，f (x)0,此 时 f(x)单调递增.，6)的极小值为(1)=1.(2)证明：f(x)的极小值为1,即 f(x)在(0,e 内的最小值为1,.,.f(x)0,f(x)m i n=l.

15、1 I n xlln xl 4,h(x)=g(x)+hr(x)=,2 x2 x 当 O V x V e 时,hf(x)0,h(x)在(0,e 内单调递增.llll.h(x)m a x=h(e)=1=|f (x)|m i n,e 2 2 2 1 .在(1)的条件下，|f (x)|g(x).2(3)假设存在实数 a,使 f (x)=a x ln x(x (0,e )有最小值 3,f(x)=a la x1 xx4当 a W O 时，&)在(0,e 内单调递减,f (x)m i n=f (e)=a e 1=3,a=e(舍去)，此 时 f(x)无最小值；1 1 1 当 OVe时，6)在(0,内单调递减，

16、在，e 内单调递增，a a aI f(x)m i n=f(=l+ln a=3,a=e 2,满足条件；a1 4 当 e时，&)在(0,e 内单调递减，f (x)m i n=f (e)=a e 1=3,a(舍a e 去)，此时f(x)无最小值.综上，存在实数a=e 2,使得当x(0,e 时 f (x)有最小值3.变式迁移5已知函数f (x)=ln(x+a)x2 x 在 x=0处取得极值.求 实 数 a的值；5(2)若关于x 的方程f (x)=+b在区间 0,2 上恰有两个不同的实数2根，求实数b的取值范围.1 2 解 析(1);析x)=ln(x+a)xx,f7(x)=2 x 1.x+a1 又(0)

17、=0 即 1=0,A a=l.a53 3(2)由 f(x)=-+b 得，ln(x+a)-x2-b=0,B|J ln(x+l)-x2+x2 2 2-b =0.3 1 3 2 设 g(x)=ln(x+l)x+b,则 g (x)=2 x+2 2 x+l1 4 4x+5 x1 即 g (x).2 x+1当 x 0,1)时，g (x)0,g(x)在 0,1)内单调递增；当 x (1,2 时,gz(x)0,2 g 2 =ln 2+1 -4+3b 0,1 即 b ln 3-l,b 2 0,1 故 ln 3 T W b V ln 2 +2变式迁移6求证：当 x 0 时;x ln(l+x).证明 令 f(x)=

18、x ln(l+x),V x 0,xl/.f7(x)=1 0,1 +xl+x又,.,f(x)在x=0处连续，.,.f(x)在 0,+8)上为增函数.；当 x 0 时,f (x)=xln(l+x)f (0)=0,A x ln(1 +x).题型七确定多项式函数的系数例7已知x=l是函数f (x)=m x3 3(m+l)x2 +n x+l的一个极值点，其中m、n R,m 3 m,即 m x2 2(m+l)x+2 0,V m 0,，x2 2 2(m+l)x+0,m m1 2 2即 x2(l+)x+V 0,x 1,1 .(*)m m1 2 2设g(x)=x-2(l+)x+,其函数图象的开口向上.m m由题

19、意(*)式恒成立，2 2 g -1 0 1+2+0m m 今g 1 0-K04 m-l04又 m 0,m V O.34即 m m l 时，f(x)0,当一lV xV l 时 f(x)0 时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f (x)=(x2)e x 0 解得：x 2.n 2.函数f (x)=x+2 c o sx在0,上的最大值点为()2i t J t n A.O B.C.D.6 3 2答 案 Bk n 解析 f (x)=l2 si n x,f (x)=0 在 0,上仅有一解 f (0)=2,2 6JT IT n j t n f=,f=f 为最大值.6 6 2 2 61 73.已知函数丫=乂(

20、x)的图象如图所示，(其中f (x)是 函 数 f(x)的导函数).下面四个图象中y=f(x)的图象大致是()答 案 C解 析 由 y=x f (x)的图象知一 1,1为方程(x)=0的两根.,.当X=-1 或 1 时，函数y=f(x)取得极值.1312 4.设函数f(x)=+c x(c V 0),其图象在点A(l,0)处的切线的32斜率为0,则 f(x)的单调递增区间是_ _ _ _ _ _ _ _.1 答 案 1 311 解析 伊(案=a x 2+b x+c,则由题意，得 f (1)=+c=0 且 f (1)32 411=a+b+c=0,解得 b=一,c,Vc 0,.*.a 0,B P(3

21、x-l)(x-l)O,解得 xW l,因此 331 函数 f(x)的单调递增区间为1.35.(2 010,全国卷 I)已知函数 f (x)=3a x 42(3a+l)x 2+4x.1 (1)当 a=f (x)的极值；6(2)若 f(x)在(-1,1)上是增函数，求 a的取值范围.解析 f，(x)=4(x 1)(3a x 2 +3a x 1).1 当 a=f (x)=2(x +2)(x 1)2,；.f (x)在(一8,一当内单调递减,618在(-2,+8)内单调递增，当 x =-2时，f(x)有极小值.所 以 f(-2)=-1 2 是 f (x)的极小值.(2)在(-1,1)上，f(x)单调增加

22、，当且仅当广(上=4(x l)(3a x 2+3a x 1)2 0,即 3 a x 2+3 a x-l W 0,(i )当 a=0 时恒成立；(i i)当 a0 时若要成立，当且仅当3a 12+3a 1 1W0.1 解 得 a W612 3a(i i i)当 a l 时,f (1)=-a1 2+4 20 且 f +1 20,解 得 a=4.综上所述，a=4,故选C.答案：C3.设 f(x)、g(x)是 R 上的可导函数,伊(x),g (x)分别为f(x)、g(x)的导函数,且满足 f (x)g(x)+f(x)g,(x)0,则当 a x f(b)g(x)B.f(x)g(a)f(a)g(x)19C

23、.f(x)g(x)f(b)g(b)D.f(x)g(x)f(b)g(a)解析：令 y=f (x)g(x),则 y =f (x)g(x)+f(x)gf(x),由于 f (x)g(x)+f(x)g,(x)0,所 以 y在 R上单调递减，又 x f (b)g(b).答案：C4.函数 f (x)=12 x(s i n x +c o s x)在区间 n02 上的值域为()A.11,e 2 B.11222 2,2 eC.I,e 2 D.1,e2解析：f(x)=lx(sinx+cosx)+lx(cosxsinx)=ex22cosx,当 0WxWn2f(x)2 0,且只有在 x=3i2f(x)=0,.f(x)是

24、 0,n2上的增函数，.f(x)的最大值为f Ji 122=2e,f(x)的最小值为f(0)=12，f(x)在 JI0,2 11上 的 值 域 为，e222.故应选A.答案：A5.已知函数f(x)=x2+2x+a ln x,若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a20的取值范围是()A.a20 B.a 一4D.a0 或 a4 C.a20 或 aW4a 解析：(x)=2x+2+f(x)在(0,1)上单调，x.f (x)2 0或 f (x)WO 在(0,1)上恒成立,即 2 x 2+2 x+a 2 0 或 2 x 2+2 x+a W0 在(0,1)上恒成立，所 以 a2一(2 x 2+2 x)或

25、 a W-(2 x 2+2 x)在(0,1)上恒成立.记 g(x)=(2 x 2+2 x),0 x 0.,A-2 a 2.f(l)0答案：-2 a O x 时,f(x)0.所 以 f(x)的单调递增区间为(一8,和，+8)；单调减区间为(一.当 x时,f(x)有极大值5+；当 X 时，f(x)有极小值5(2)由(1)的分析知y=f(X)的图象的大致形状及走向如图所示，当 5 a k(x 1).2 2令 g(x)=x 2 +x 5,此函数在(1,+8)上是增函数.因为xL 所 以 kWx 2 +x 5 在(1,+8)上恒成立.所以 g(x)g(l)=-3.所 以 k 的取值范围是k W 3.评析

26、：(1)利用导数求单调区间和极值.(2)由(1)的结论，问题转化为y=f(x)和 y=a的图象有3 个不同的交点，利用数形结合的方法求解.(3)将问题转化为不等式恒成立问题，利用分离参数法求解.本题综合考查了利用导数求单调区间、极值以及方程、函数、不等式三者之间的相互转化，对理性思维能力要求较高.1 2.已知函数f(x)=a x 3-6 a x 2+b,问是否存在实数a、b,使 f (x)在 -1,2 上取得最大值 3,最小值一2 9?若存在，求 出 a、b 的值；若不存在，请说明理由.解：显 然 a#0.f (x)=3a x 2 12 a x=3a x (x 4).令 f (x)=0,解得

27、x l=0,x 2=4(舍去).(1)当 a0时,当 x 变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表:又 f(2)=-16a+3,f(-l)=-7a+3,f(-l)f(2).所以当x=2 时,f(x)取得最小值,即一 16a+3=-29,a=2.(2)当 a 0 时，当 x 变 化 时,f(x),f(x)的变化情况如下表：23所以当x=0 时，f(x)取得最小值，所 以 b=-29.又 f(2)=-16a 29,f(-l)=-7a-29,f(2)f(-l).所以当x=2 时，f(x)取得最大值，即一16a 29=3,a=-2.综上所述a=2,b=3 或 a 2,b 29.评析：本题综合运用了求

28、极值、最值的方法确定系数a、b,注意对a 的讨论和最大值、最小值的确定.1 3.已知函数f(x)=x2e ax(a0),求函数在1,2上的最大值.分析：通过求导先判断单调性再求最值.在求最值时，对 a 的情况要进行讨论.解：f(x)=x2e ax(a0),.,.fz(x)=2xe-ax+x2 (-a)e ax=e ax(-ax2+2x).令 f(x)0,即 e ax2(ax+2x)0,得 02时,f(x)在(1,2)上是减函数，a/.f(x)max=f(1)=e a.2 2 2 当 1 2,即时，f(x)在 1,上是增函数，在 2上是a a a24减函数,2，f (x)ma x=f =4 a 2e 2.a2当时，即(K a G 时,f(x)在(1,2)上是增函数，a/.f (x)ma x=f (2)=4 e 2a.综上所述，当 O a l 时，f(x)的最大值为4e 2a,当 l W a W 2 时，f(x)的最大值为4a 2e 2,当 a 2时,f (x)的最大值为e a.评析：求函数在闭区间上的最值，首先应判断函数的单调性，一般情况下是先利用导数求出单调区间，分清单调区间与已知区间的关系，有时也需要分类讨论，分类时要不重不漏.25