高考试题辽宁卷理科数学试题.pdf

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1、2006年高考试题辽宁卷理科数学试题选择题(1)设集合A =1,2 ,则满足Au 8=l,2,3 的集合B的个数是(A)l (B)3 (C)4 (D)8(2)设/(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是(A)/(x)/(x)是 奇 函 数(B)/(x)|/(x)|是奇函数(C)/(x)/(X)是 偶 函 数(D)/(x)+/(x)是偶函数(3)给出下列四个命题：垂直于同一直线的两条直线互相平行.垂直于同一平面的两个平面互相平行.若 直 线12与同一平面所成的角相等，则乙,12互相平行.若直线/4是异面直线，则与4,都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是(A)l (B)2 (C)3 (

2、D)4(4)双曲线2 y2 =4的两条渐近线与直线*=3围 成.个三角形区域表示该区域的不等式组是x-y 0(A)00 x Q(B)x+y W00 x 3x-y 0(C)-x+y 004x 43x-y 0(D)00 x 3(5)设是R上的一个运算,A是R的非空子集，若 对 任 意 A有a b A，则称A对运算。封闭，下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是(A)自然数集(B)整 数 集(。有理数集(D)无理数集(6)AB C的 三内角A,B,C所 对 边 的 长 分 别 为a,b,c设 向 量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a)，若 p q,则角 C 的大小为7

3、T 7T 7T 2 4(A)-(B)-(C)-(D)6 3 2 3(7)与方程y=e2 A-2/+l(x 2 0)的曲线关于直线y=x对称的曲线的方程为(A)y=l n(l +V x)(B)y=I n(l-V x)(C)y=-l n(l +V x)(D)y=-l n(l-V x)(8)曲线 +=1(/6)与 曲 线 二 一+=1(5 m P A P B.则实数2的取值范围是1 C 1 V 2(A)-2 1(B)1-2 1 (C)-2 1+(D)2 2 2 21-W 丸 1 H-22二.填空题(1 3)设g(x)=短 x 0.2(1 4)/4 6、/4 6、4 6、1 1m(/V 不升+苗 不)

4、x/5 4、,5 4.,5 4.(6-5)+(6r-5r)+-+(F-F)(1 5)5名乒乓球队员中，有 2名老队员和3名新队员.现从中选出3 名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员，且 1、2 号中至少有1 名新队员的排法有种.(以数作答)(16)若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为a，则co s a =三.解答题(17)(本小题满分12分)已知函数/(x)=s i n?x +2s i n x co s x +3co s 2 x ,x w /?.求:(I)函数/(x)的最大值及取得最大值的自变量X的集合;(II)函数/(X)的单调增区间.(18)(本小题

5、满分12分)已知正方形A 8C O.E、尸分别是A 8、C O的中点，将A 0 E沿。E折起，如图所示,记二面角A-OE C的大小为。(0。%).证 明B/平面A D E；(II)若A C O为正三角形，试判断点A在平面6c OE内的射影G是 否 在 直 线 上,证 明 你的 结 论，并 求 角。的 余 弦值.(19)(本小题满分12分)现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、1；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中价格下6 2 3降的概率都是p(0p l),设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，记乙项目产品

6、价格在一年内的下降次数为彳,对乙项目每投资十万元，J取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量。、4 2分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润.(I)求。、&的概率分布和数学期望E。、E 2;(II)当E。E4 2时，求P的取值范围.（20）（本小题满分14 分）已知点，8（,为）（玉H）是抛物线V=2p x（p 0）上的两个动点，。是坐标原 点，向量次，砺满足佟+西=伊-西.设圆C的 方 程 为/+2一（须+口一（3 +2）=0（I）证明线段A 8是圆。的直径；（II）当圆C 的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求 P的值。21.（本小题满

7、分12分）已知函数f（x）=-a x3+b x2+cx +d 淇 中 a,b,c 是以d 为公差的等差数列，且3a 0,d 0.设/为/（x）的 极 小 值 点，在 1-竺,0上，/（X）在用处取得最大植，在a%处 取 得 最 小 值，将点（%0，/（工 0）,区,/区）,0 2，/（了 2，/。2）依次记为八，B,C求兀的值（H）若 ABC有一边平行于x 轴，且面积为2+Q,求 a,d的值22.（本小题满分12分）已知启 乃=一,/（）=畀,其中k n（n,k e N J设尸(x)=C%(x 2)+C,%(x 2)+.+c (x 2)+.+C (x 2),x e l/.(I)写出；(I I)

8、证明:对任意的 x x2e -l,l，恒有归(石)-F(X2)|0(A)00 x3x-yNO(B)(x+y 4 00 x3x-y 0(C)x+y 00 x3x-y 0(D)00 x 3【解析】双曲线/y=4的两条渐近线方程为y =x,与直线x =3 围成一个三角形区x-”0域时有 x+y2 0。0 x 0)的曲线关于直线y =x对称的曲线的方程为(A)y =l n(l +4)(B)y-l n(l-V x)(C)y=-l n(l +V x)(D)y=-l n(l-/x)【解 析】y=e2 x-2ex+l(x 0)=(ex-I)2=y ,vx 0,.-.ex ,即：靖=l +J7 nx=l n(l

9、 +4)，所以/T(x)=l n(l +J7),故选择答案 A。【点评】本题考查了方程和函数的关系以及反函数的求解。同时还考查了转化能力。(8)曲线+一 =1(m 6)与 曲 线 二 一+二 一=1(5 m 9)的1 0-m 6-m 5-m 9 -m(A)焦距相等(B)离心率相等(C)焦 点 相 同(D)准线相同2 2【解 析】由 一 +二 一=1(机 6)知 该 方 程 表 示 焦 点 在x轴 上 的 椭 圆，由1 0-m 6-m+二 一=1(5 m ,+2+2。田=aan+2+an+an+2 n an+an+2=2a,=aH(l+q2 2q)-0=q-1即%=2,所以S.=2，故选择答案C

10、。【点评】本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。(1 0)直线y =2k与曲线外2/+y 2=8 A 2 k l伙6 7?,月工工0)的公共点的个数为(A)l (B)2(C)3(D)4【解析】将y =2Z代入9 A 2f+y 2=诙2凶 得：9吐+4/=侬2国n 9 l x-1 8|M +4=0,显然该关于I x l的方程有两正解，即x有四解，所以交点有4个,故选择答案D。【点评】本题考查了方程与曲线的关系以及绝对值的变换技巧，同时对二次方程的实根分布也进行了简单的考查。(1 1)已知函数/(x)=g(s in x +c os x)-g|s in x-c os x|,则/(%

11、)的值域是 /?1 /?(A)-l,1 (B),1 (C)-1,-(D)-1,L 2 2 2s in x-c os xc os x(s in x c os x)s in x(s in x P A P B.则实数2的取值范围是1 ,V 2 ,1 ,7 2 ,V 2 ,V 2(A)(B)1-几 1 (C)%1 4-(D)1-4 P A-P B=(1 一 九 2)(-1,1)(2,-2)(/1 -l,l-Z)=2 A2-4/l+l 05 5解得：1一 +因点P是线段AB上的一个动点，所以04；lWl,即满足条件的2 2实数4的取值范围是1-J 4/1 4 1,故选择答案B.2【点评】本题考查向量的表

12、示方法，向量的基本运算，定比分点中定比的范围等等.二.填空题ex x 0.21 1 In-1【解析】g(g(5)=g(ln/)=e 2=-.【点评】本题考察了分段函数的表达式、指对数的运算.(1 4)limn oo6 5,4 6、，4 6、，4 6、，4 4 4、，6 6 6、【解析】lim7 手 一*于 一 支-方 亨+“豆广K+村5 4、，5 4、.5 4.5 5 5.4 4 4.(%一7+(初 一m)+(6一3)为+整+)一1+芋+熏)(：)-(1)n11-1 11-lim-61-(6r?1-(5n【点评】本题考查了等比数列的求和公式以及数列极限的基本类型.(1 5)5名乒乓球队员中，有

13、2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有种.(以数作答)【解析】两老一新时，有C；x C；8=1 2种排法；两新一老时，有C；C；x A；=3 6种排法，即共有4 8种排法.【点评】本题考查了有限制条件的排列组合问题以及分类讨论思想.(1 6)若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为a，则c os a =【解析】不妨认为一个正四棱柱为正方体，与正方体的所有面成角相等时，为与相交于同一顶点 的 三 个 相 互 垂 直 的 平 面 所 成 角 相 等，即 为 体 对 角 线 与 该 正 方 体

14、 所 成 角.故V2 V6c os a=-=.G 3【点评】本题考查了直线与平面所成角的定义以及正四棱柱的概念，充分考查了转化思想的应用.三.解答题(1 7)(本小题满分1 2分)已知函数/(x)=s in?x +2 s in x c os x +3 c os2 x,x e E.求：(I)函数/(x)的最大值及取得最大值的自变量x的集合：(I I)函数/(x)的单调增区间.【解析】解法一：/(x)=-+s i n 2 x+功,=j +sjn 2X+c o s 2 x =2 +&s i n(2 x +?).当2 x +?=2左+5,即x =+e Z)时，/(x)取得最大值2 +JLT T函数/(

15、x)的取得最大值的自变量x的集合为 x/x e R,x =女 乃+(A e Z).8解法二：f(x)=(s i n2 x +c o s2 x)+2 s i n x c o s x+2 c o s2 x =2 s i n x c o s x +l +2 c o s2x =s i n 2x+c o s 2 x +2=2 +V 2 s i n(2 x +5).当2 x +(=2 k%+,即x =k万+(供e Z)时，f(x)取得最大值2 +JLT T函数/(x)的取得最大值的自变量X的集合为 x/x e R,x =%乃+(Z e Z).8(H)解：f(x)=2 +V 2 s i n(2 x +)L

16、J i yz由题意得：2k7i一一2x+-2k7r+-(k e Z)2 4 237r TC即：k7V-x k7Tk G Z)8 837r因此函数/(x)的单调增区间为伙乃,k；r+8e Z).【点评】本小题考查三角公式，三角函数的性质及己知三角函数值求角等基础知识，考查综合运用三角有关知识的能力.(18)(本小题满分12分)已知正方形A 8 C O.E、/分别是A 3、C O 的中点，将A O E沿。E 折起，如图所示,记二面角 A OE C 的大小为。(0。乃).(I)证 明 平 面 ADE；(II)若A C O 为正三角形，试判断点A 在平面8 c O E 内的射影G 是否在直线E F 上

17、,证明你的结论，并求角。的余弦值.【解析】(I)证明:EF分别为正方形ABCD得边AB、C D 的中点,EB/FD,且 EB=FD.四边形EBFD为平行四边形.BF/ED/EF u 平面AED,而6 F Z 平面AEOBF/平面 ADE.(H)解 法 1:如右图，点 A 在平面BCDE内的射影G 在直线EF上，过点A 作 AG垂直于平面BCDE,垂足为G,连结GC,GD.AACD为正三角形，AC=AD.CG=GDG在 C D 的垂直平分线上，点 A 在平面BCDE内的射影G 在直线E F 匕过 G 作 GH垂直于ED于 H,连结AH,则A H D E，所 以 为 二 面 角 A-DE-C的平面

18、角.即 Z A H G =0设原正方体的边长为2a,连结AF在折后图的 AEF 中,AF=g a,EF=2AE=2a,即A AEF为直角三角形，A G-E F A E A F.A G a2在 RtAADE 中，A H -DE=A E-A D解法2:点 A 在平面BCDE内的射影G 在直线EF上连结AF,在平面AEF内过点作A G Y E F，垂足为G.AACD为正三角形,F 为 CD 的中点，A F 1 C D又因所以CO _L平面AEFA G u 平面:.AG L C D又 AG _L EF 且 CO c EE=F,C D u 平面BCDE,E F u 平面BCDEAG_L 平面BCDEG

19、为 A 在平面BCDE内的射影G.即点A 在平面BCDE内的射影在直线EF上过 G 作 GH垂直于ED于 H,连结AH,则A H D E，所以Z A H D为二面角A-DE-C的平面角.即 Z A H G =0设原正方体的边长为2a,连结AF在折后图的AAEF中,AF=瓜,EF=2AE=2a,即 AEF为直角三角形，A G E F A E A F.A G =a2在 Rt A ADE 中，AH D E =A E AD：.AH2f=CLV 5：.G Ha275cos 6G H _ 1 A H 4解法3:点 A 在平面BCDE内的射影G 在直线E F 上连结AF,在平面AEF内过点作A GA.E F

20、,垂足为G.AACD为正三角形,F 为 CD 的中点，A F 1 C D又因EE L C D,所以CO J平面AEE：.CD u 平面BCOE，平面AEF1平面BCOE又平面AEFc 平面5CDE=EF4 G J_ E FA G 1 E FA G 1 平面8cOEG 为 A 在平面BCDE内的射影G.即点A 在平面BCDE内的射影在直线EF上过 G 作 GH垂直于ED于 H,连结AH,则AH 1 D E，所 以 为 二 面 角 A-DE-C的平面角.即乙4/G=0设原正方体的边长为2a,连结AF在折后图的 AEF 中,AF=s/3a,EF=2AE=2a,即AAEF为直角三角形，AG E F =

21、A E A F:.A G=a2在 RtAADE 中，AH D E =A E-A DAH =4 aV 5A G H=-=,2V5c o s。=GHAH14【点评】本小题考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识考查空间想象能力和思维能力.(19)(本小题满分12分)现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、,；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中价格下6 2 3降的概率都是p(0 p l),设乙项目产品价格在一年内进行2 次独立的调整，记乙项目产品价格在一年内的下降次数为对乙项目每投资十万元，J 取 0、1、2 时，一年后

22、相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万 元.随 机 变 量&分 别 表 示 对 甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润.(I)求。、刍的概率分布和数学期望后。、(I I)当E E 1.1 8=(P +0.4)(p0.3)0 0.4 p 0.3因 0 p l,所以 E2时,p的取值范围是0 p 0)上的两个动点,。是坐标原点,向量次，丽满 足 母+丽=怦-西.设圆C 的方程为x2+y2-(%,+x2)x-(yj+y2)y=0(I)证明线段A8是圆。的直径；（H）当圆C的圆心到直线X-2Y=0的 距 离 的 最 小 值 为 时;求p的值。【解析】（I）证 明1：.|雨+砺|=|况 砺|,.（e

23、+砺）2=（苏 一 丽）2 2 一 2 1 2 一 一 2OA+20A 0B+0B=0A-20A 0B+0B整理得：OA OB=0 x r+M f =0设M（x,y）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则MA MB=0即（_/）（_ ）+（一弘）（,一%）=0整 理 得+y2-（X,+2）万一（+为）=。故线段A8是圆C的直径证明 2:jO A +OB=OA-OB,：.（OA+OB）2=（0 4-OS）2-*2 ,2 2-2OA+2OA OB+OB=04-20A 0B+0B整理得：OA OBOX j-x2+=0.（1）设（x,y）是以线段AB为直径的圆上则即 匕 旦 匕 义 =-l（x H i

24、 H）x-x2 x-x1去分母得：。一）（-2）+（一必）3-/2）=0点（玉,X）,（占,y2）,（,%）（，%）满足上方程，展开并将（D代入得:x2+y2-（x1+x2）x-（y1+y2）y=0故线段AB是圆C的直径证明3:.|次+而 卜 刀 丽 卜.（/+砺了=（砺 而-2 -2 -2 -2OA+20A 0B+0B=0A-20A 0B+0B整理得：OA OB=0=以线段AB为直径的圆的方程为(X -+(y 2 1 2 1)2 =)2 +(弘一为)2 展开并将(1)代入得：Y+y2 一(公 +工2 -(3 +2)y=0故线段AB是圆C的直径(U)解 法1:设圆C的圆心为C(x,y),则2V

25、=A122-2=2 p x为2 =2*2(P 0)2 2.X XI 2-4P2又因 X 1 3 2 +y%=0.X,-x2=一必 y./X 1 。o,；M y2 Ho弘%=-4 p 2工=4 =!(城 +%2)=4(/2 +%2+2,)-乎2 4 P 4 P 4p=(y2+2p2)P所以圆心的轨迹方程为y =pX-2 p2设圆心C到直线x-2 y=0的距离为d,则J(y2 +2/)-2 yl 2 2_ x-2y _ p _ l y-2 p y +2 P l生 y/5 一 国J(y-p?+p21垂)p2 R当 y=p时,d 有 最 小 值,由 题 设 得=-V5 5:.p=2.解 法 2:设圆C

26、 的圆心为C(x,y),则2-2=2pX1,=2P工 2（0）又因%=0.,.X,-%,=-y._v,v-2 1 5-y,为一 4 P 2X*0,二切,为。|%=T p?82/）所以圆心的轨迹方程为y2=p x 2 P 22亚设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为卷一，则m=2因为x-2y+2=0与 y2=px-2P 2无公共点,所 以 当 x-2y-2=0与 y2=p x-2 P 2仅有一个公共点时，该点到直线x-2y=0的距离最小值为2755x _ 2 y_ 2 =0 y2-p x-2 P 2 (3)将(2)代入(3)得 y2-2py+2p2-2 p=Q.A =4 p2-4(2

27、p2-2 p)=0,/p 0p 2.解法3:设圆C的圆心为C(x,y),则1 2-2圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则,x,+x,/、|-4 一(%+%)|d=-V5%2=2 p x”为2=2P x式p 0)2 2.X X -AA_4 p-又因玉-x2+y-y2=0二百“2=一y内/$九2。,必必。0兄 2=T p?.d+力|/+4+2一，4/+力)+8 2|,忑 一 百(兄+%-2 )2+4 24亚p当%+出=2 p时,d有 最 小 值 木，由 题 设 得 宏=手2尺：.p=2.【点评】本小题考查了平面向量的基本运算，圆与抛物线的方程.点到直线的距离公式等基础知识，以及综合运用解析儿何知

28、识解决问题的能力.2 1.(本小题满分12分)已知函数f(x)=-a%3+hx2+cx+d,其中a,b,c是以d为公差的等差数列，且a0,d30.设x0为/(x)的 极 小 值 点，在1-,0 上，f(x)在 芯 处 取 得 最 大 植，在a%2处取 得 最 小 值，将点(%,/(工0),区,/区),区,/(*2，/*2)依次记为人，B,C求X。的值(H)若/ABC有一边平行于x轴，且面积为2+6，求a,d的值【解析】(I)解：,.22=a+c/.fx)=ax2+2bx+c=ax2+(a+c)x+c=(x+l)(ax+c)令/，(x)=。,得=7或x=-a,0,d 0:.Qab 1,-la a

29、当一 X 1 时，/,(x)1 时，f(x)0所以f(x)在x=-l处取得最小值即xo=-1(II)v/r(x)=ax1+2bx+c(a 0)f x)的图像的开口向上,对称轴方程为X=-2a由 2 1 知(1 3)一(2)|1,知 h 1-2幺b,0a a ah b d2 b.当 x=4寸，/(x)取得最小值为 f,=-aa a a/(%o)=/(T)=A(1,a),B(0,c)C(,-)3 a a由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴，所以=-,B|Ja2=3J2(!)3 a又由三角形ABC的面积为2+有 得,(1 +2).(C+3)=2+62 a 32/2利用 b=a+d,c=a

30、+2d,得一d+=2+百(2)3 a联立(1)(2)可得 d=3,=3 G.解法 2：v f(x)=ax2 4-2bx+ca 0)/”一一)=o,r(o)=ca2h又c0知f (x)在1-一,0上的最大值为r(0)=caBP：x=0又由 21,知-史,0a a ab b d2 b 当x=时，f(x)取得最小值为f )=，即与=aa a a：/(Xo)=/(1)=一卜1x/2tz),B(0,c)C(,-)3 a a由三角形ABC有-条边平行于x轴知AC平行于x轴，所以1。=-,E J a2=3J2(!)3 a又由三角形A B C的面积为2+6 得,(l +2).(c +q)=2+J52 a 32

31、 1 2利用 b=a+d,c=a+2d,得一d H-=2+/3,(2)3 a联立(1)(2)可得d =3,a =3石【点评】本小题考查了函数的导数，函数的极值的判定，闭区间上二次函数的最值，等差数基础知识的综合应用，考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力22.(本小题满分1 2分)已知工)(x)=xn,fk(x)=个(；)，其中4 (,k G N +),/人 一1 设尸(x)=C%(x 2)+c (x 2)+.+c (x 2)+.+c (x 2),x e _ i,(I)写出力；(II)证明:对任意的x x2e -1,1，恒有四(石)-F(X2)|2(n-1)+(n-l)C2(-2)

32、.+(n-j t+l)C2(n-i)+.+2Cf x2+1当x 0时，F x)0,所以尸(x)在 0,1 上为增函数因函数F(x)为偶函数所以F(x)在-1,0 上为减函数所 以 对 任 意 的 玉w -1,1|F(X,)-F(X2)|.+C T)+C：=n(2n-1)+2-1 =2-(n +2)-n-l因此结论成立.证法2:当一 IWXM I时，F(x)=x2n+C*2 g)+_ i)c 2(-2).+(n-k+l)C*x2(n-/:)+.+2C；-1x2+1当x 0时,F x)0,所以F(x)在 0,1 上为增函数因函数尸(x)为偶函数所以尸。)在-1,0 上为减函数所以对任意的x x2

33、e-1,1|F(X,)-F(X2)|+(n 1)C：.+(n-k+1)C：+2C：又因 F(l)-F(0)=2C；+3C；+沈尸+C T+C：所以 2 F(1)-F(0)=(M+2)C：+C；+C,：T+CT +2C；/%0)=等 C：+C；+C M +C 2(,-t)+.+2Cf x2+1当x 0时，尸(尤)0,所以尸(x)在 0,1 上为增函数因函数尸(x)为偶函数所以尸(x)在-1,0 上为减函数所 以 对 任 意 的 斗,怛-F(l)-F(0)=C：+(一 +(n-k+1)C；+.+2Cx (l +x)x =x C-1+C：x -2+.+c；-1x +1 由=C：x +C RT+.C：-.+C；-x2+x对上式两边求导得(1 +x)-x +nx(l+x)T -nx=n C M-1+(n-l)Cn-2+.(-k+l)C*xn-t+.+2Cx+1F(x)=(l +x2)+nx2(l+x2)-nx2F(1)尸(0)=2 +2 T 一 1 =(+2)2 T 一 1因此结论成立.【点评】本小题考查导数的基本计算，函数的性质，绝对值不等式及组合数性质等基础知识，考查归纳推理能力以及综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.