高考数学真题分类汇编圆锥曲线与方程（含解析）.pdf

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1、圆锥曲线与方程1.(2 0 1 2 浙江高考卷 T 8 5分)如图，分别是双曲线C：-=1 (a,b 0)的在左、右焦点，B是虚轴的端点，直 线 F出 与 C的两条渐近线分别交于P,Q两点，线段P Q 的垂直平分线与x 轴交于点M。若 M WklFFz l,则 C的离心率是手B 乎C.二D.百(第 8 题图)【解析】如图：I 如I=6,I。W =c.局=2,km=-.C CY=2*+C)直线0 为：y=(x+c),两条渐近线为：y=才.由，：，得：0(-,-)；c a b c-a c-ay=(x+c)由 ,得：(W,上).J直线网-为：y=-2(xW),c+a c+ac+a c c+a.3 7

2、 a令 y=0 得：xu=r.又：【物=2 c,.,.3c=x“=wr,解之得：e2=-=【答案】B【点评】本题主要考察双曲线的标准方程和简单的几何性质，求离心率一般要先列出关于2.(2 0 1 2 四川高考卷 T 8 5 分)己知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点。，并且经过点(2,%)。若点到该抛物线焦点的距离为3,贝 力。M1=()A、2 7 2B、2 7 3D、2 7 5 答案B 解析 设抛物线方程为y.=2px(p0),则焦点坐标为(R,0),准线方程为x=-R,2 2 M在 抛 物 线 上，M到焦点的距离等于到准线的距离./(2亨+.=3,且 J(2+|=3解 得：p=l,y0

3、=2V2.点M (2,2扬.-.10 M 1=汇+(2 痣=2 百 点评 本题旨在考查抛物线的定义：IMF|=d,(M为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，d为点M到准线的距离).2 23.(2012 山东高考卷T U5分)已知双曲线G：-写=1(。0/0)的离心率为2.a b若抛物线C2:X2=2py(p 0)的焦点到双曲线C,的渐近线的距离为2,则抛物线G的方程为(A)X=-y(B)x2=y(C)x2=8y(D)x2=16y【答案】D【解析】双曲线的一条渐近线为y=2 X，即bx ay=0,抛 物 线 的 焦 点 为，抛物a 2；Q-a.P 线 焦 点 到 渐 近 线 距 离 为dJ /2

4、|=q “=2 n 4e=8,故而抛物线方程为yla2+b2 c 2x1-6 y.【点评】本题考查圆锥曲线的性质，点的直线的距离公式等解析几何知识，属于知识的综合考察.预测明年结合抛物线的概念与性质考查.4.(2012 山东高考卷-门。-5分)已知椭圆C：b 刃的离心率为方，双曲线炉-k=1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆c的方程为(A)A 号=1(B喋+卷=1 嘘+/1 (D)导/=1【答案】D【解析】双曲线 H=1的渐近线方程为y=x,代入 A 芸可得2 a 2 b 2 2 7,V3x2=-=-,S =4x2=16,则 a2 b 2=4(小+/)，又

5、由 e=巨 可 得 a=2匕，则a2+b222 2b4 5 b2,于 是 从=5,4 =2 0.椭圆方程为三_ +_ =1,答案应选D.20 5【点评】本题考察了双曲线与椭圆的基本性质,属于运算能力的考察，求圆锥曲线方程的基本方法之就是待定系数法，就是根据已知条件得到圆锥曲线方程中系数的方程或者方程组，通过解方程或者方程组或得系数值.2 25.(2012 新课标卷T4 5分)设 我 怎 是椭圆E：1+与=(a 8 0)的左、右焦点，矿 b P为直线x=2 上一点，居尸片是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为()2所以e=c =3,故选C.a 4【点评】：本题考查了圆锥曲线的几何性质离心率的计

6、算，正确把握条件是解题的关键.6.(2012 新课标卷 T8 5分)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线产=16%的准线交于人，B两点，|4川=4百，则C的实轴长为(A)7 2 (B)2&(C)4(D)8【答案】：CX2 V2【解析】：由题意得，设等轴双曲线的方程为-二=1,又抛物线2=16%的准线方a a程为尤=一4.代入双曲线的方程得丁=1 6-/=y=V 16-a2,所以2 J1 6-Y =4 G,解得“=2,所以双曲线的实轴长为2a=4,故选C.【点评】：本题考查了等轴双曲线与抛物线的相关知识，计算相交弦长，确定圆锥曲线的几何性质.x y 7.（2012 湖南高考卷T5

7、15分）已知双曲线C ：一 一 彳 力 的 焦 距 为10,点P（2,1）a b 在C的渐近线上,则C的方程为2A.El B.j20 520=1 C.-)y80 20J y2 cD.-一 二 1 w#ww.zz&st ep.520 80【答案】A【解析】设双曲线c：0-2T=1的半焦距为c,则2c=10,c=5.a b b h又（：的渐近线为y=x,点P（2,1）在C的渐近线上，2,即a=2b.aa又c=+，；.a=C 的方程为=1.20 5【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型.8.（2011年四川）在抛物线丁=/=一

8、5 3 0）上 取 横 坐 标 为=-4,匕=2的两点,过这两点引条割线，有平行于该割线的条直线同时与抛物线和圆5犬+5产=36相切，则抛物线顶点的坐标为A.（一2，一9）B.（，一5）C.（2，-9）D,d,-6）【答案】C 解析】由已知的割线的坐标（一4,11-4a）,（2,2 1）,K=2-a,设直线方程为36 _ b2y=（Q 2）x+贝5 +（2 a）2y=x+办 一 5,(2,9)9.(2011年陕西)设抛物线的顶点在原点，准线方程为 =-2,则抛物线的方程是A.V=-8 x B/=8x 二 V=-4 x D.V=4 x【答案】BV-V2j-=l(a0,b0)10.(2011年山东

9、)已知双曲线。b-的两条渐近线均和圆C:犬+V -6 +5=相切，且双曲线的右焦点为圆c 的圆心,则该双曲线的方程为2 2 2 2 2 2 2 2_x_ y_ _ I _x_ y_ _ I _x_ _y_ I _x_ y_ A.5 4 民 4 5 c.3 6 D.6 3【答案】A11.(2011年全国新课标)已知直线1 过双曲线C的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，1 与C交于A,B两点，1ABI为 c 的实轴长的2 倍，C的离心率为(A)6(B)6(C)2(D)3【答案】B12.(2011年全国大纲)已知抛物线C：)=4 x 的焦点为F,直线y=2 x-4 与 c 交于A,B 两点.则 cos

10、/A bB =4 3 _3 _ 4A.5 B.5 c.5 1),5【答案】D1 3.(2011年江西)若曲线C：-+2-2=()与曲线0 2：有四个不同的交点，则实数m的取值范围是_ 7|_ V|BA.(3,3)B.(3,o)u(0,3)_ V|V|_ V|V|C.3,3 口.(一%3)u(3,+oo)【答案】B-=l（a 0）_ _ n14.（2011年湖南）设双曲线a-9 的渐近线方程为 2 y =,则。的值为A.4 B.3 C.2 D.1.【答案】C2 215.（2012 四川高考卷 T15 4 分）椭 圆 土+乙=1的左焦点为E,直线x=?与椭圆4 3相交于点A、B ,当AEAB的周长

11、最大时，AEAB的面积是。2 答案-3 解析 根据椭圆定义知：4a=12,得 a=3,又.。2 一。2=5 点评 本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念.16.（重庆理15）设圆C位于抛物线V =2 x 与直线x=3所围成的封闭区域（包含边界）内,则圆C的半径能取到的最大值为【答案】瓜 T17.（全国新课标理14）（14）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点鸟V2在 x 轴上，离 心 率 为 2.过点斗的直线1 交 C于 A,B两.点，且根 8 8 的周长为16,那么C的方程为.X-1-1【答案】16 8i s.（20U 年安徽）在平面直角坐标系

12、中，如果无与y 都是整数，就称点a，y）为整点，下列命题中正确的是（写出所有正确命题的编号）.存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点如果人与匕都是无理数，则直线y=k x+b不经过任何整点直线,经过无穷多个整点，当且仅当/经过两个不同的整点直线y=履+沙经过无穷多个整点的充分必要条件是：人与都是有理数存在恰经过一个整点的直线【答案】，1 9.(2 0 1 2 浙江高考卷 T 2 1 1 5 分)如 图，椭 圆 C：捺+/=1(4。0)的离心率为:，其左焦点到点产(2,1)的 距 离 为 何.不 过 原 点。的 直 线/与 C相交于4 B两点，且线段四被直线。平分.(第210 图)(I

13、)求椭圆C的方程；(II)求助的面积取最大时直线/的方程.【解析】(I)由题：e，=:；(1)a 2左焦点(-c,0)到点尸(2,1)的距离为：d =J(2 +c +|2 =M.(2)由 (2)可解得：a2=4,/r =3,c2=1 .所求椭圆c的方程为：=4 3(II)易得直线冰的方程：y=-x,设 4(*”%)，B(XB,/，R(xo,8).其中及2 2：A,8 在椭圆上，4+应=14 3,=心=迎 鼻=-3 区 上 上=-吆=-3.4 +yB 4 2 yo 24 3设直线4 6 的方程为1；3y=-x +m (加#0),2代入椭圆：2。JI-厂=11=3 x2?mx+加2 3 =0 .3

14、y=-x+mM A =(3 i)2-4 x 3(zn2-3)=3(1 2-m2)0 .工-配V mV 且 它 0.由上又有：XA+XB=m,yA+yB=力=Jl+g XAXB =J1+。yl(XA+XB XAXR =J1+A 8 ,.点0(2,1)到直线1的距离为：4=片+1-叽 坨 丸.Jl+&A B +“A B*Sb AIH=d A B =|勿 +21 J4-,IU-0(舍去)时,(SA A B P)a x=2此 时 直 线/的 方 程 尸-x +2 2【答案】(I)4+?=1；(I I)尸 x+工4 3 2 2【点评】该题综合考察椭圆的概念标准方程、直线和椭圆(曲线与方程)的，此类问题解

15、决的方法是相通的，注意学习.20.(2012 四川高考卷T211 2分)如图，动点M到两定点4(-1,0)、8(2,0)构成 M A B ,且Z M BA=2 Z M A B ,设动点M的轨迹为C。(I)求轨迹。的方程；(H)设直线y=-2 x+机与y轴交于点P,与轨迹C相交于点。、R,.P Q l)(y=-2x+m .,(H)由方程 f ,消去y,可得/_ 4蛆+祖2 +3=0。(*)3x2-/-3 =0由题意，方 程(*)有两根且均在(1,+o o)内，设/(X)=X2-4 2X+/+3所以 0A =(-4/M)2-4(/n2+3)0解得，0 1 1,且 1 1 1 W 2设 Q、R的坐标

16、分别为(%,%),(4,%),由|P Q|0)的交点为F,准线为L,A为 C 上的一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交 L于 B,D 两点.(I)若 N B P O =9 0。，ABO的面积为4加,求 P的值及圆F 的方程；(II)若 A,B,F三点在同一直线m上，直线n与 m平行，且 n与 C 只有一个公共点，求坐标原点m,n 距离的比值.【命题意图】：本试题考查了抛物线与圆的方程，以及两个曲线的公共点处的切线的运用，并在此基础上求解点到直线的距离.（20）解:（I）由已知可得AB尸。为等腰直角三角形，|8D|=2 p,圆尸的半径|E4|=&p.由抛物线定义可知A到/的距离d=F/

17、=-Jlp.因为N8Z）的面积为4五，所以=4右，即;解得 p=-2（舍去），p=2.所以尸（0,1）,圆尸的方程为x?+（y-l）2 =8.（II）因为4,B,尸三点在同一直线m上，所以4B 为圆尸的直径，4 D B =90。.由抛物线定义知|皿=|附=如 8|,所以4 3 0 =30。，加的斜率为日或-程.当加的斜率为正时，由已知可设：y=x +b，代入/=2勿得,337/?,x2-px-2pb0.由于九与C 只有一个公共点，故 A=p2+8p6=0.解 得b=-j36因为m 的截距a=K,W =3,所以坐标原点到加，距离的比值为3.2 b当加的斜率为-正时，由图形对称桂可知，坐标原点到股

18、，也距离的比值为3.3【点评】：本题考查了抛物线与圆的结合点，并且在第二问中体现了分类讨论的数学思想方法，对学生的深度思维有一定的考查.22.（2012 湖南高考卷 T21 13分）在直角坐标系xOy中，曲线C 的点均在C 2：（x-5）2+y2=9外，且 对 G 上任意一点M,M到直线x=-2 的距离等于该点与圆&上点的距离的最小值.（I）求曲线G 的方程；（II）设 P（x,y。）（yW3）为圆G外一点，过 P作圆C?的两条切线，分别与曲线。相交于点A,B和 C,D.证明：当 P在直线x=-4 上运动时，四点A,B,C,D的纵坐标之积为定值.【解析】（I）解 法 1 ：设 M的坐标为（x,

19、y）,由已知得k +2|=yj（x-5）2+y2-3 ,易知圆G上的点位于直线x=-2的右侧.于是x +20,所以7（x-5）2+y2=x +5.化简得曲线G的方程为/=2 0%.解法2 ：由题设知，曲线。上任意一点M到圆心。2（5,0）的距离等于它到直线x =-5的距离，因此，曲线a是以（5,0）为焦点，直线x =-5为准线的抛物线，故其方程为V=2 0 x.（II）当点P在直线x =-4上运动时，P的坐标为（4,%），又打*3,则过P且与圆相切得直线的斜率左存在且不为0,每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y-y0=&（x +4）,即k x-y+y/4k=0.于是|5攵+%+的8+1-

20、,整理得72父+1 8y/+尤 9 =0.设过P所作的两条切线P A,P C的斜率分别为匕水2,则匕，&是方程的两个实根，故匕+怎=一身独=一九.1 2 72 4-y 4-yn+4k,=0,y?由 ，”得左/_ 2 0），+2 0（4+4 匕）=0.y-20 x,设四点A,B,C,D的纵坐标分别为%,%,%，%，则是方程的两个实根，所以2 0（%+4占）管 为=-M-L-%同理可得2 0（），。+%）向%”=-;-于是由，三式得=40 0()，。+秋)()，。+4七)】2)3,4 T7八40 0 y；+4(匕 +&2)V o +1 6勺右kk2=呵2时唾640 0.所以，当 P 在直线x =-

21、4 上运动时，四点A,B,C,I)的纵坐标之积为定值640 0.【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程；第二问设出切线方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到A,民 C,O四点纵坐标之积为定值，体 现“设而不求”思想.2 3.(2 0 1 2 山东高考卷 T 2 1 1 3分)2 26如图，椭圆M:二 十二的离心率为二,直线x =和 y =力所围成的矩a bz 2形 A 颗 的 面 积 为 8.(I)求椭圆材的标准方程；(I I)设直线/:=x +m(m R)与椭圆

22、.贿两个不同的交点与 矩 形 4颗有两个不 同 的 交 点 S,T.求 侬 的I ST I最大值及取得最大值时加的值.【解析】(2 1)(D e矩形/颜 面 积 为 8,即2 a.2 b =8 由解得：a=2,b =1 ,椭圆M的标准方程是+/=1.4(I I)卜+4)+8 m x +4加 之 一4=0 ,y=x+m,4m 2 4设 尸(尤,)，),。(,必)，则演+&=一不机,%2 =-由 /=64/-2 0(4/-4)0 得-V 5 m E-44，?4=yj5-m2.当/过A点时，m =,当/过C点时，机=-l.当-右 机 -1 时，有 S(-m-1,-1),7(2,2 +m),ST 1=

23、7 2(3+m),I P 0,求证：P A P B本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力。解：（1）由题设知，。=21=J 5,故M（-2,0）,N（0,-应），所 以 线 段M N中点的坐标为V2(T,-)由于直线PA平分线段MN,故直线PA过线段M N的中点，又直线PA过坐标V2/一 一 2 =行原点，所以 一1 2 .2 2y =2 x代 入 椭 圆 方 程 得 二+匕=1,（2）直线P A的方程 4 2x=解得2 7 4 2 4士士，因此 P（4：）,A（-士,，）.3 3 3 3 3=1,故直线A B

24、的方程为x y 1 =0.C(-,0),-+-3于是 3 直线AC的斜率为3 3因此,4=3 3 3141亍（3）解法-rV2 v2 2亍+三=1,解得%=土 ：，记将直线PA的方程 =履代入 yjl+2k-则尸（,必）,力（一,一必）,于是。（,0）0 +必 _%故直线AB的斜率为+2y =&-代 入 椭 圆 方 程 得（2 +%2）x 2 -2.晨一之（3k2+2）=0,其方程为 2解得 x =(3左？+2)或T c=因 ,.此nu(3k2+一2),二 7)2 +P 2 +k 2 2 +P2+k2 k3-k（2+k2）1k =_=_ _ _ _=-1（3%2+2）3左 2+2 （2 +2）

25、k 2+k2于是直线P B的斜率因此攵/=-1,所以P 4J.P R解法二：设P（X 1,y i）,8（X 2，y 2）k i 0,尤2，玉。2,4（一七,一必）,。（匹,0）._ 0-（y,）_ y,_k/V 9-设直线P B,A B的斜率分别为匕次2因为c在直线AB上，所以 x（rJ 2 xi 2从而%/+1 =2%h+1 =2”口一不2代-2 y；3+24)X-；1 -x2_x2乃一（一必）1 I%2 一（F）4-4 =02 2，工2 f因此A*=一1,所以P 4_ L P B.2 5.（2 0 H年安徽）设 几 ,点4的坐标为（1,1）,点8在抛物线丁二工2上运动，点。满 足8 0 =

26、2 A,经 过。点 与M x轴垂直的直线交抛物线于点M ,点尸满足QM=2MP,求点p的轨迹方程。第（21）题图本题考查直线和抛物线的方程，平血向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识,考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养.解：由知Q,M,P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P(x,y),Q(x,y0),M(乂1),则/一 y()=y /),则=(1 +A)x2-A y.再设 B(x，乃)，由8。=4Q A,即(x 一 七 J。-x)=2(1 -x,l -%),X j =(1 +A)x 4,解 得 卜=(1+初。一九 将式代入式，消去益,得=(1 +A)x

27、 4,yx=(1 +A)2x2-2(l+2)y-2._ 2 _ 2 _ 2又点B在抛物线=x上，所 以 必=修，再 将 式 代 入 必=修，得(l+l)2x2-2(l+2)y-2 =(l+2)x-/l)2,(1 +2)2 x2-1(1 +2)y -2 =(1 +1)2 x2-2 2(1 +2)x +.,2 2(1 +A)x-2(1 +A)y-2(1 +2)=0.因几0,两 边 同 除 以+得2 x-y l=0.故所求点P的轨迹方程为y=2 x-l-X2 2 G:-F y 1 2 2 _ i2 6.(2 0 1 1年北京)已知椭圆 4 .过 点(m,0)作圆x +=1的切线I交椭圆G于A,B两点

28、.(I)求椭圆G的焦点坐标和离心率；(口)将 表 示 为m的函数，并求AM的最大值.解：(I )由已知得 =2,。=1,所以彳-所以椭圆G的焦点坐标为（一 6，），（6,0）c V 3e=.离心率为 a 2,（I I）由题意知，（19）,（1?_ _）当旭=1时，切 线 1 的方程x =l,点 A、B 的 坐 标 分 别 为 2 2此时1 4 5 1=百当 m=l 时，同理可得当时，设切线1 的方程为了=氏（一?），y=k（x-m）,x2 得（1 +4 女 2）2 8攵 2 机x +4 攵 2 m 2_4=0+y2=1.由4设 A、B 两点的坐标分别为（为，）（，力），则8k2，4 k2 加2

29、 _ 4X +%2 =T ,西元2 =l+4k2 l+4k2J+y2=1 相切，得=即加 2 女 2=/c2+l又由 1 与圆 J*所以I A B 1=J(x2-X,)2+(y2-y,)2I.2,f 64k4m24(4/小4%(1 +4 公)2 1 +4 公461ml-2 Q_*m+3由于当加=3 时，I A B 1=-y/3,I A 8I=所以4Gl 初m2+3,m e (-o o,-l U l,+o o)+3 M+二因为l ml且当机=土上时-，A B|=2,所以5 B|的最大值为2.2 7.（2 0 1 1 年福建）已知直线1：y=x+m,m R。（I）若以点M （2,0）为圆心的圆与直

30、线1 相切与点P,且点P在 y 轴上，求该圆的方程；（I I）若直线1 关于X轴对称的直线为，问直线/与抛物线C：x 2=4 y 是否相切？说明理由。本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分.类与整合思想。满 分 1 3 分。解法一：（1）依题意，点 P的坐标为（0,m）Sxl =1因为,所 以 2 0解得m=2,即点P的坐标为（0,2）从而圆的半径r=1 MP 1=J（2 O1+（0 _ 2 0 =2 V 2,故所求圆的方程为（2 尸+V=8.（I I）因为直线/的方程为y =x +2,所以直线/的方程为y=-x-m-y

31、1=-x-m.得x +4 x +4 m=0 x =4 yA =42 4 x 4 m =1 6（1 m）（1）当 2 =1，即 二 时，直线与抛物线C相切（2）当加H l,那时，直线/与抛物线C不相切。综上，当 m=l时，直线/与抛物线C相切；当机0 1 时，直线/与抛物线C不相切。解法二：（I）设所求圆的半径为r,则圆的方程可设为（x 2）2 +y 2=，依题意，所求圆与直线/：y+”=相切于点P（0,m）,4 +加2 =r2,+V=8.（I I）同解法一。28.（2011年广东）设圆C与两圆（x+G）2 +T=4,（无 一 G y+y 2=4 中的_ 个内切,另一个外切。（1）求 C的圆心轨

32、迹L 的方程；Z3A/5 4石、口,匕 c、,（2）已知点M 5 5，且 P 为 L 上动点，求N 1 1 的最大值及此时点 P的坐标.（1）解：设 C的圆心的坐标为a，），由题设条件知I J（X +石,+V-J（尤 一百）2 +,2|=4x2 2 1-y=化简得L 的方程为4 （2）解：过M,F的直线乙 方程为y =-2（x-6）,将其代入L的方程得1 5 x2-32亚 x+84 =0._66 _14A/5.7d六占6 2石、.I 石2百、M =厂，/=y，故/与L交点为刀（匚，-）9T2（,）.解得 5 1 5 5 5 1 5 1 5因T 1在线段M F外，T 2在线段M F内，故|叩I

33、FT；|=1/1=2,I1 1 FT?l|1 1=2.，若p不在直线MF上，在AM F P中有 M P -F P l|0）连续的斜率之积等于非零常数z的点的轨迹，加上A i、A 2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线.（I ）求曲线C的方程，并讨论C的形状与机值得关系；G厂（）当机=-1时，对 应 的 曲 线 为；对给定的加e（l，0）U（0，+8）,对应的曲线为0 2,K G F设、的 是 5 的两个焦点。试问：在 撒谎个，是否存在点N,使得 N 卜 2的面积S=l?l a-。若存在，求tan N工的值；若不存在，请说明理由。本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的

34、能力，以及分类与整合和数形结合的思想。解：（I）设动点为M,其坐标为（羽 田，k,k _ y y _ ,2-mt.KMA.KMA2-2 2-m，当x#a时，由条件可得 x-a x+a x-a即 m x1-y2=fna2（x w a）又 4（一。,0）,4（4,0）的坐标满足加/一丁2 =ma?，2 2 2故依题意，曲线c的方程为机厂一=以2 7厂 TT,C当?一1时.，曲线C的方程为/_m a2 是焦点在y轴上的椭圆；2 2 2当加=T时，曲线C的方程为无+V=a,C是圆心在原点的圆；2 2二+一 一=1.当一1团时，曲线C的方程为/ma1 C是焦点在x轴上的双曲线。2 2 2（II）由（I）

35、知，当m=-l时，C1的方程为x+y=a；当机 e（-l,O）U（O,+）时，C2的两个焦点分别为耳。&+?,0）,8（。J1+加,0）.对于给定的加（T，）U（0,+o。），C l上存在点N（x。，%）（%丰）使得S=ma2的充要条件是后+需 二 心 为 彳 ，,1 /-2 26ZV1+I y0 1=1 ma.、2.mani i y（）.由得陲 由得.6 +mc,ma 0 II1-V5/n0 -y-W ，即-K m/50 in-或 2时，不存在满足条件的点N,1亚 n 1 +A/5m e-,0 U 0,-当L 2 J I 2时,由 NF=(-aJl+=-x0-%),NF2=J l +m-x0

36、,-y0)可得 NF/NF2=XQ-(l+m)a2+y1=-m a2,令I丽1=不1恒1=弓，/月N=6NF.-NF2=r r,cos 0=-m a2,r,n=-则由 cos。，c1 .ma2 sin 0 1 2.八S=r.r,sin=-=ma tan。从而 2-2cos6 2,于是由S T a-m a tan 0=m 即 tan 9=一红巴!.可 得2 m综上可得：-1-V 5 m G-,0当L 2 J时，在Cl上，存在点N,使得S=l?la 旦tanN K =2;G+m G 0,-当I 2 时，在C l上，存在点N,使得 且tanN K =-2;z .1-V5.1 1 ,l+/5-)U (

37、-,+)当 2 2 时，在c i上，不存在满足条件的点心30.(2011年湖南)2 2 CG：-+-1(Z 0)-_ 2 L如 图7,椭圆 a-b-的离心率为2,X轴被曲线2：y=x 一截得的线段长等于C1的长半轴长。(I )求 C l,C 2 的方程；(H)设C2与y轴的焦点为M,过坐标原点0的直线/与C2相交于点A,B,直线M A,MB分别与C1相交与D.E.(i)证 明:M DXM E;（ii）记MAB,ZMDE的 面 积 分 别 是.问：是否存在直线1,使得S2 32?请说明理由。解：（I ）由题意知e=-从而a=2h,y.2b-a,解得a=2,h-1.a 2设 4 分，口）,5（%2

38、，%），则用,彳2 是上述方程的两个实根，于是Xj+X2=k,XXz=-1.又点M 的坐标为（0,1）,所以.弘+1 为+1 （女 X+1）（入2+1）上+%）+1MA*=-1故 MA_LMB,即 MD_LME.y=占 工 _ 1，由 _ 2（ii）设直线M A 的斜率为k l,则直线MA的方程为 =苫-1解得X=0=4 或vy=-1 y=k-则点A 的坐标为（匕，片 T）.又直线MB的斜率为1同理可得点B的坐标为5于是22.阳J+齐1 J +奸匕 21k l iy=k1x-l,x2+4y2-4=0 人 0)a o a a设直线(l/l a),分别与c i,C2 的方程联立，求得A(t,-y/

39、a2-t2-yja2-r).b a.4 分e=时为=走”,分别用力，为当 2 2 表示A,B的纵坐标，可知I B C 1:1 A D21y A i a-4.6 分(II)t=O 时的1不符合题意.f丰时,B O A N 当且仅当B 0的斜率k B O 与 A N 的斜率k A N -相等，即-7 7 7巴 肝 丁a_ htt aab2 1-e2解得a2-b2 e1 a-e2l z l a,又0 e 1,所 以 1,解 得 e 1.因为e-2720 e W 所以当 2时，不存在直线1,使得B O A N；v e -0 =区+外由 题 意 知 ,将其代入3 2 ，得(2+3k2)x2+6kmx+3

40、(,-2)=02+3k2其中 =36k2m2-1 2(2 +3/)(/-2)0,g|j 3k2+2 m2.(*)6km又=-k+=3(f f l2-2)2 +3/IPQ1=V T+F -J(XI+X2)2-4XIX2=J 1 +&2.2 0 3 k f 工所以 2 +3 Kd _ I m I因为点0到直线/的距离为 J i+炉，所以SA8Q=；I P0/J _ 7 2反3k2+2-/1 6 12V 273P Vu?46 m yl3k2+2-m2整理得弘2+2=2机2,且 符 合(*)式,2?、2 -/6km、2 -3(m2-2)八止 匕 时 x；+/=(&+)-2XJX2=(-2)-2x 2=

41、2+3k 2+3k才+4=|(3_x：)+g(3_x；)=4 _|(x；+x；)=2.综上所述，x：+x；=3;y；+$=2,结论成立。(I I)解法一:(1)当直线/的斜率存在时,0M 1Tx11=逅,12。1=21弘1=2,由 知 2OM-PQ l=X2=V6.因此 2(2)当直线/的斜率存在时，由(I)知X|+x2 3k2 2m,y,+y2,/X I+x,、3左 =k -)+m=-+m2 2 2m-3k2+2m2LI詈(A)?4 J2m1+-=IPQ|2=(1+G)24(3k2+2-m2)2(2*+1)m26m2-2 1 “1、A 7(3)，4 广 2 m=2(2+，)，(2+3人 2

42、产m9k20M|2-|P 2I2=1X(3-V)x2x(2+g所以 2 m-m二(3-V)(2+J)nV mc 1 -13D -2-十b 乙2d十-2 75(_ 强_L.)2=22 40M PQ）+（4 +）=1 0.P QJW =5.所以 2 5I OM I I P Q|=2 上的动点，点D是P在x轴上的摄影，M为PD上一点，且MD=PD（I ）.当 P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C的方程；4（I I）求 过 点（3,0）且斜率为S的直线被C所截线段的长度解：（I ）设 M的坐标为（x,y）P的坐标为（x p,yp）xp=x,=0 1 火 ，。41 所表示图形的面积；(3)写出到两条线段/

43、距离相等的点的集合C =P l d(P/)=d(P，/2),其中I1=A B,l2=C D4,8,C,0 是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种，满分分别是2分，6分，8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。A(l,3),B(l,0),C(-l,3),(-l,0)O A(l,3),5(l,0),C(-l,3),r(-l,-2)A(0,1),5(0,0),C(0,0),)(2,0)解：设 (*一 3)是线段/：x y 3 =0(3 4 x 4 5)上一点，贝IPQ1=7(X-1)2+(X-4)2=2(X-)2+-(3X 5)V 2 2 ，当J(P,/)=l P 2 lm

44、 i n=V 5尤=3 忖设线段/的端点分别为4 8,以直线A3为x轴，A3的中点为原点建立直角坐标系,则 A(-l,0),5(1,0)，点集0 由如下曲线围成l,:y=l(lxl l),l2:y=-l(lxl 1)C :(x +l)2+y2=l(x l)其面积为S=4+%。选 择 4 1，3),8(1,0),C(-1,3),0(1,0),O=(x,y)l x =0 选择 41,3),8(1,0),。(一1,3),。(-1,一 2)。=(x,y)I x =0,y 2 0 U (1,y)I y2=4x,2 V y 1 选择 A(0,l),8(0,0),C(0,0),0(2,0)。=(%,)I x

45、 w 0,y w 0 U(x,y)I y=%,。x 1 U(x,y)I x2=2y-1,1 x 23 7.(2 0 1 1 年四川)椭圆有两顶点A (-1,0)、B(1,0),过其焦点F (0,1)的直线1与椭圆交于C、D两点，并与x 轴交于点P.直线A C 与直线BD交于点Q.3女(I)当|CD|=2 时，求直线1 的方程;(I I)当点P异于A、B 两点时，求证：P,2 为定值。921+X2 =1解：由已知可得椭圆方程为2 ，设/的方程为y-i=（x一 ），A为/的斜率。y=kx-v，丫2=(2+女2)f +2匕-1=0 =k2=2=i k=-y/2(2+k2)2(2+k2)2 2/的方程

46、为y=+i3 8.（2 0 H年天津）在平面直角坐标系x ）中，点尸（“力）伍匕）为动点，石，B分别2 2工+二=1为 椭 圆/b-的左右焦点.已知 尸鸟为等腰三角形.（I ）求椭圆的离心率e；（1【）设直线0 2与椭圆相交于4 8两点，”是直线尸右上的点，满 足 奇.丽=-2,求点M的轨迹方程.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.满分1 3分.（I）解：设尸（一c，。）,居（c,0）（c0）由题意，可得I P K M E K I，即 J(a-c)2+b2=2c.2()2+-1

47、=O,W =-l整理得 a a a(舍)，c 1 1.e=一或a 2,所以 2(I I)解：由(I)知a=2c,b=辰,可得椭圆方程为3/+4卡=1 Ze?,直线PF2方程为 =瓜x 一 ,)3x2+4y2=12_A,B两点的坐标满足方程组y=8(x c)消去y并整理，得5/-8cx=0.x,=0,x2=c,解得 5玉=0,-x 3 4曰 10 x2+5 八y=-尸 一 代人 c=x-y,行 c=-0.将 16&3 I 6x所以x 0 因此，点M的轨迹方程是18-16百xy-15=0(x 0).39.(2011年浙江)已知抛物线a ：v=y,圆2：X 2+0-4)2=1的圆心为点他(I)求点M

48、到抛物线G的准线的距离；(II)已知点P是抛物线9上一点(异于原点),过点P作圆,2的两条切线，交抛物线。于A,B两点，若过M,P两点的直线/垂直于AB,求直线 的方程本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识，同时考查解析儿何的基本思想方法和综合解题能力。满 分15分。1(1)解：由题意可知，抛物线的准线方程为:17所以圆心M (0,4)到准线的距离是4(I I)解:设 P(X(”Xo),A(X,X),3(2，工2),则题意得 X。X。W 1，X。冗 2 ,设过点P的圆C 2 的切线方程为y-X：=M x-,即 y=k x_ 5+x；I/j4-x；l_i则 J1 +K

49、即(x；-1)公+2%(4 -片火+(片4-一 1 =0 ,设 P A,P B 的斜率为仁欢26*&),则 配&是上述方程的两根，所以K+k2=2 x%;4),2 c 4)；-1.将代入y=x得 式一心+hO -X、=o,山于无。是此方程的根,故再=匕/,%2 =%2 _工0 ,所以X；x；7 7 c 2 x0(x(?-4)4加=-L=玉 +%=占 +&2 _ 2/=_ 2 1-2%,%p =一X%X。一 1%L L =自。苧;4)2/).(二=T)由 M P _L A 5 ,得 无 o%广土巫4.所以直线/的方程为 1 1 5_ V2 -4 0.(2 0 1 1 年 重 庆)如 题(2 0)

50、图，椭圆的中心为原点,离心率 2一条准线的方程为X =2 V2(I)求该椭圆的标准方程;UUU U U ll uu u（I I）设动点P满足：。尸=M+2 0 N，其中M,N是椭圆上的点，直线0M与O N的 斜 率 之 积 为2 ,问：是否存在两个定点耳，鸟，使得归 用+归 段 为 定值？若存在，求石，吊 的坐标；若不存在，说明理由.题（2 0）图e=乌=2&,解：(I)由。2 c 解得a =2,c =a2-c2=2（故椭圆的标准方程为4 2(II)设尸(羽丁)，(为，必)，(2，2),则由O P =O M +2O N 得(x,y)=(xp y,)+2(x29y2)=(x1+2 x2,y,+2