高考数学二轮复习考点解析：数列的综合考查.pdf

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1、高考数学二轮复习考点解析：数列的综合考查数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面；（1）数列本身的有关知识,其中有等差数列与等比数列的概念、性质

2、、通项公式及求和公式。（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。（文科考查以基础为主，有可能是压轴题）一、知识整合1 .在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前 n 项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；2 .在解决综合题和探索性问题实践

3、中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力.3 .培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法.二、方法技巧1.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：（1）定义法：对于n22的任意自然数，验证（q/区一）为同一常数。（2）通项公式法：若 八=与+(n-1)d=。+(n-k)d ,则%为等差数列；若，,则 4 为等比数

4、列。(3)中项公式法：验证中项公式成立。2 .在等差数列 4 中，有关5 的最值问题常用邻项变号法求解：(1)当 0,d 0 时，满足的项数m使得S,取最大值.(2)当q 0 时，满足1 am 0 n2k=24.数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路.5 .解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质,揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略.四.典型考例【问题1腭 差、等比数列的项与和特征问题P 49例1 3 0例2 P56例1 P59

5、 T6.注 1 文中所列例题如末给题目原文均为广州市二轮复习资料上例题例(四 川 卷)数列%的前项和记为S“,=1,%+|=2 S“+1(N 1)(1 )求 凡 的通项 公 式；(II)等 差 数 列 的 各 项 为 正，其 前 项 和 为 7；,且 7；=15,又%+4,%+%,%+4 成等比数列，求北本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力。满 分 1 2分。解：(I )由 an+l=2 Sn+可得=2 S,i+l(2 2),两 式 相 减 得%+|-%=2 a“，4+i=3 a“(2)又。2=2 S 1+1 =3 ：.a2=3 a,故 4 是首项为1,公比为3得

6、等比数列”=3 T(I I)设 低 的公比为d 由1=15得，可得年+4 +么=1 5,可得打=5故可设 4 =5 d 也=5 +d 又=1,4 =3,%=9由题意可得(5 d+l)(5 +d+9)=(5 +3y 解得&=2,%=1 0.等 差 数 列 也 的 各 项 为 正，A d 0 ：.d=27 3 +七4 2=n2+2n1 .设等差数列 4 的首项S 及公差d都为整数，前n项和为5 0.(I )若Si=0,5 i4=9 8,求 数 列 为的通项公式;(1 1)若生26,。0,S“W 7 7,求所有可能的数列 分的通项公式2 .(上海卷)设数列”“的前项和为S“，且对任意正整数“，a,+

7、S“=4 0 9 6。(1)求数列 a,的通项公式？(2)设数列 lo g?an的前项和为7；,对数列 7；,从第几项起Tn -5 0 9?.解：a n+Sn=4 0 9 6,；.a i+Si=4 0 9 6,a i=2 0 4 8.当 n 2 2 时，an=Sn Sn-i=(4 0 9 6 an)(4 0 9 6 an-i)=a-i an =-i 2an=2 0 4 8(-)n2(2)V I o g2 anz：lo g2 2 0 4 8()=1 2 n,/.Tn-(n2+2 3n).2 2由Tn 23+2,而n是正整数,于是,n 4 6.从第4 6项起Tn0,所 以2 /=1,解得q =g,

8、因 而%=为夕1 =二,”=1,2,.(I I)因为%是首项q=g、公比q =；的等比数列，故-(1-).5,=建=1二,电=n 2，2 1 21?n则数列 S 的前n项 和Tn=(1 +2 4-+4-卜 ),(1 +2+n)_+=+.+2 2 22 23n-12nn、H-2，+1T 1 11 1前两式相减，得(1 +2 +)(1-+,H-)H-2 2 2 22 2 2 用-(1-)伽+D 2 2,即 T _ H(n +l)1 n-i-1-7 T 即/”=-1-T -I-4 ,1 2,+1 2 2-2 1-2【问题2】等差、等比数列的判定问题.P53 T7 例P54 T9 例P54 丁9(上海

9、卷)已知有穷数列%共有2火项(整数左2 2),首项q=2.设该数列的前项和为 5“，且/“I=(a-1)5,+2 (n=1,2,2 k 1),其中常数 a 1.2(1)求 证：数 列 氏 是 等 比 数 列；(2)若a =2赤，数 列a 满 足a=og1(aia2-a,)(n =1.2,2k),求数列 “的通项公式；n(3)若 中的数列,满足不等式|仇 一 3|+也 一3|+|砥3+|砥 一3-1 4,求女的值.2 证 明 当n=l时,a?=2a,则&=a；%2n2k1 时，an+i=(a1)Sn+2,an=(a 1)Sn-i+2,an+1-an=(a-l)an,二也=a,.数 歹ij a“是

10、等比数歹%antt(n-l)n(n-l)解：由 得3/2 3”，照2.周二222+)=2%斤 二2 R1 r n(n-l)1 n-1 一bn=+-+l(n=l,2,./2k).n 2攵-1 2K-13 1 3(3)设bd 3,解得nk+一，又n是正整数,于是当nk时,bnk+l 时,bn.23 3 3 3 3原式=(77 bi)+(b2)+.+(bk)+(bk+i-)+.+(b2k)2 2 2 2 2=(bk+i+.+b2k)(bi+.+bk)(k +2 k-)k (Q +k-l)k=岸-+k -2-+k2 k-1 2 k-lk22k 1k?I/当-“，得 k2-8k+40,4-2 5 3 k

11、2,2 k-1:.当k=2,345,6,7时，原不等式成立.4.例,已知数列 4中，S“是其前项和，并且S,M=4a“+2(=l,2,i),q=l,设 数 列bn=an+i-2%(=1,2,)，求 证：数 列 物,是 等 比 数 列；设 数 列c“=|,(n =l,2,)，求证：数列%是等差数列；求数列%的通项公式及前项和。分析：由于 b“和 c,中的项都和 a“中的项有关,a,中又有S用=4a“+2,可由S+2-S+1作切入点探索解题的途径.注2本题立意与2007年高考题文科20题结构相似.解：由 S“M=4a,+2,S+2=4a+1+2,两 式 相 减，得 S n+2-S n+1=4(a+

12、I-a ),即a“+2=4a”+4a”.(根据b”的构造，如何把该式表示成b同 与b“的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)a“+2-2a“+|=2(a“+2a”)，又 b“=a”+2a“，所以 b“+|=2b“已知$2=4%+2,a j=1,aj+a2=4aj+2,解得 a2=5,b=a2-2a=3 由和得，数列%是首项为3,公比为2的等比数列，故b=32 i.口因为J 喙 耻 即,所叫a-J =若 拿-二、品3 a*4 32*4是g为:，N 2 2 43 1-Q.一.4 4因龙J =J-T*所以余=-1，1=6-1)2.当 n22 时，S“=4a“_1+2=2T(3n-4)+2；

13、当 n=l 时，S1=a=1 也适合上式.综上可知，所求的求和公式为S“=2T(3n-4)+2.说明：1.本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前项和。解决本题的关键在于由条件S a =4%+2得出递推公式。2.解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用.【问题3】函数与数列的综合题P51例3数列是一特殊的函数，其定义域为正整数集，且是自变量从小到大变化时函数值的序列。注意深刻理解函数性质对数列的影响，分析题目特征，探寻解题切入点.P51例3(2 0 06湖 北 卷)已知二次函数y=/(x)的图像经过坐标

14、原点，其导函数为r(x)=6x-2,数列 凡 的 前n项和为S“，点(,S“)(i N*)均在函数旷=/(x)的图像上(I)、求数列 a,J的通项公式；(I I)、设=!,7；是数列 也 的前n项和，4 4+1求使得(2对所有“i N*都成立的最小正整数m；点评：本题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。解：(I )设这二次函数/仞=+队 佃7 0人则/仅六2 0*+“由于/仅片6 x 2,得a=3,b=2,所以 f(x)=3x1 2 2x.1|n7 1 H?因此，要 使 一(1-)加(0)=4 (0)=可 而,-1/e -1 1 +

15、/(0)1-1,(0)=1 ,(0)-1=/+1(0)+2 -2 +2-4 +2/(0)-2 /(0)+2-2a1 +/(0),丁+1 =1a.2数 列 为上首项为,，公比为的等比数列，%=,(4 2 4 2(2)7*2 =a1+2al+3c13+,+2/I 2，一；72“=(一；肛 +(一；)2 a2 +(一；)3 a3 +(-)2/z a2 n,NT：)”i 1 1+l两式相减得：-乙T2=4 2+x-(-)2-,=-(1-)I A 3 /y x f1 n-26.(湖北卷)设数列 “的 前n项和为S ，点(,S“X wN*)均在函数y=3 x2的图像上。3(I )求数列 ,的通项公式；(I

16、 I)设 二一，7；是数列步 的前n项和，求使得A +17 7 7Tn 对 所 有 w N*都成立的最小正整数m。2 0本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力。解：(I)依题意得，显=3-2,即S“=3 2 2”。当 n 2 2 时，a”“=5“-5“_ =(3/-2)-3(n-l)-2(H-1)=6n-5;当 n=l 时，”|=S|-3 X F-2 X 1-1-6 X 1-5所以。“=6“一5(WN)。(I I)由(I)得切3 =l p_ _ _ _ _ _L _ anan+i(6 n-5)6(+l)-5 2(6 -5 6 n +l

17、J16+16n+1=1 r1因此，使得1(1一一L)=a(x+12411)1111点评：本例为数列与解析几何的综合题，难度较大。（1）、（2）两问运用几何知识算出号,.7.已知抛物线犬2=4）：,过原点作斜率1的直线交抛物线于第一象限内一点耳，又过点作 斜 率 为;的 直 线 交 抛 物 线 于 点 再 过 鸟作斜率为;的直线交抛物线于点4，如此继续，一般地，过点与作斜率为 的直线交抛物线于点门+1,设点与（x.,y“）.（I ）令2=,用一,1，求证：数列也,是等比数列.并求数列也,的前”项和为S”解：（1）因为巴（x.，y“）、在抛物线上，故=4y ，=4y“+|，又 因 为 直 线 匕

18、的 斜 率 为1-，即 冽 二&=,代入可得2 x,+x,21 X2n+I-x2n 1 1H x 7=9 +|+.=产f An+I An Z/,/、/、1 1 1b“=x2/1+l-x2n_,=(x2n+1+x2)-(x2+%2_,)=产一产=一 产9 也,是以;b.4 44 1 3 1为公比的等比数列；Sn=-(1-)-S +l=,3 4 4 4【问题5】数列与算法故8.数 列“的前”项和为S“=n2+2n-l,试用程序框图表示数列通项4的过程,并写出数列的前5项和通项公式4 .9.根据流程图，求%;(2)若a“=-，求n.4015【问题6】数列创新题10.(安徽卷)数列 也 的前项和为S,

19、，已知q =；，S“=“-(-1),=1,2,鬃(I)写出S,与S“的递推关系式(九3 2),并求S“关于 的表达式；q(II)设 fn(x)=xn+,bn=(p X p R)，求数列色 的前项和Tn。n解：由S“=24,_ n(n-l)(n3 2)得：S=n2(S-n(n-1),即(n2-1)S-n2Sn,=n(n-1),所以5S“-5 1,对3 2成立。n n-1由.+丁 1 c c,n c7 Ts“=1,QS,n-1-S 2=1，_$2-S=1 相加得:n-2 2 2 2 1 几 +1 1 2S-2 S=-1,又S=q =,所以S“=,当=1时，也成立。n 2 n+Iq n(n)由力(x

20、)=F X，得超=fn(p)=叩 。n n+I而=p+2P2 +3/+(-1)pn1+npn,pTn=p?+2p3+3p4+(_ Y)pn+npn,(1-pyr=p+p2+p3+pn-1+pn-np+=P0-P)-npl,+1-p1 1 .(福建卷)已知数列 叫 满足=a,峻=1+2 我们知道当a 取不同的值时，得到不同的数列，如当a=l 时，得到无穷数列：1 23,”.;当4 =-1 时,得到有穷数列：-1,-1,0.2 3 2 2(I )求当。为何值时。4=0；(I I)设数列 b j 满 足 也=-1,b n+i=L(e N )，求证2-1a取数列 b n 中的任一个数，都可以得到一个有

21、穷数列 册；(I)解法一：.,%=,%+=1 d-,an.%=1.+-1-=1 .+-1 =-an(+q 2q)=0 n q =即%=2,所以S“=2，故选择答案C。7 .A 提示：由 a i=O,a“+=隼-(w N*).得 a?=-=J J,4=0,.J 3%+1由此可知：数列&是周期变化的，且 三 个 一循环，所以可得:a z o=a 2=-6.故选A8 A解 油 等 差 数 列 的 求 和 公 式 可 得 邑=-=L可得 =2 且 工0S6 6 q+l 5 d 3 1所以a=6 q+1 5 d =幽51 2 1 2 fl 1 +6 6 t/90d3=三,故 选A1 0点评：本题主要考察

22、等比数列的求和公式，难度一般9 c解：在等差数列 中，。2+。8=8,二q+%=8,则该数列前9项和$9=驾=3 6,选C1 0 C解：数列。“、也,都是公差为1的等差数列，其首项分别为q、4,且下+月=5,卬,仇e N*.设%=%,(e N*),则 数 列 c )的前10项 和 等 于%+%+%=ab,+4+9，%=%+(4 T)=4,:.%+的 +%+9=4+5 +6 +13=85,选 C.1 1.(文)解：设等差数列%的首项为a 1，公差为d,由题意得4%+臂”=1 4,1 ft/,+1发:T)即一 7%+笑0=3 0,联立解得 a i=2,d=l,所以 S9=9X2+-1=5 41 2

23、.2n+,-3 解：在 数 列 中,若 4 =l,a“+1 =2。“+3(2 1),二川+3 =2伍“+3)(2 1),即 牝+3是以+3 =4为首项，2为公比的等比数列，an+3 =4-2 T=2n+,所以该数列的通项a“=2,+-3 .1 3.(-8,8)提示；解出“、儿解对数不等式即可.答案：(一8,8)7 4-11 4.”u=2 9 提示：利用S JS后 得解.答案：第1 1项“u=2 9n1 5.-2 提示：由题意可知 q Wl,；可得 2(l-q n)=(l-q n+i)+(：l-q n+2),即 q 2+q一2=0,解得 q=-2 或q=l(不合题意，舍去),*q=-2.1 6

24、解：1 3.解：V 1 0 Sn=an2+5 an+6,1 0 a i=a/+5 a i+6,解之得 a 1=2 或 a 1=3.又 1 0 Sn-1=an-12+5 an1+6(n 2)/(2)由一得 1 0 a n=(a，-a n-2)+6(a n a n-。,即(a n+a n-J(a n ai-5)=0V an+an i 0 ,.an-an i=5 (n 2).当3 1=3时,2 3=1 3,2 1 5=7 3.8 1,谢户”不成等比数歹(J工五W 3；一 当 3 =2 时，&3=1 2,2 1 5=7 2,有 3 32=ala1 5 /,3 i=2,8n=5 n 3.1 7.(I)证

25、 明：%+2=3。“+|-2牝,a+2-+i=2(。川-%),；%=1,=3,二 =2(e N*).an+l an：.。曲%是 以%-6 =2为首项，2为公比的等比数列。(I I)解：由(I)得an+a-2 (e N),an=(a -an_2)+.+(a2 _ q)+q+T 2+.+2 +1 =2 1(n e N*).(Ill)证明：4仇 T牛 T.小 T=(a+1 卢,4出+/m)=2叫，2(+b2+.+bn)-n =nbn,2 他+8 +.+(+%)-(+1)=(+l)bn+1.，得2(&|-1)=(+1)&+,-n b ,即(-1)%-叫 +2=0.叫+2 一(+D%+2=0 一，得 n

26、bn+2-2nbe+也=，即或+2-2%+bn=0,:也.wN*),.也 是等差数列。以(山 东 卷)己 知 数 列 山 中，为斗点(、“在直线y=x上，其 中 向2 3；(I)令2=a“_ 1 -a“-3,求证数列物,是 等 比 数 歹 求 数 列 “假)通项；(IH)设S“、T,分 别 为 数 列 ”“、例 的前“项和，是否存在实数A，使得数列：3为等差数列？若存在，试求出/L若不存在，则说明理由。解：由已知得 a1=,2an+l=an+n,3,31,3v a,=,a,-a,-1=-1 =,-4 2 1 4 2 4又 b,=all+-an-1,b e =an+2-an+l-l,4+i+5

27、+1)%+%一 -1.如=%+a“T =2 2=2=1bn an+2ai-1 fl+l _ f l-1 6+1一/一1 2 是 以-3 为 首 项，以上1为公比的等比数列.(ID 由(I)知，=_ 3 x d)T=3x-!-,“4 2 2 2,3 1 ,3 1aia-=-2X25,3 1 ,3 1%-%T =-X 浮.%-1 =-2Xr-r，将以上各式相加得：/,、3/1 1、，%。1 -(-D=-/(+西)，3/一 记)1 3 1 3an+W-1-X-=-+(n-l)-(l-r)=+H-2.N，乙 乙 乙 乙23.C ln=-F -2.“2(III)解法一：存在/I=2,使数列声+犯是等差数列.nS=为等差数列.2n解法二：存在4=2,使数列S+AT 是等差数列.n由(I)、(I I)知，a+2b=n-2 Sn+2T=/?(/?+1)-2n“n 2(+l)OT-7s+/I _ 2 2-2/+4/“_3 2_2=+Tnn n 2 n一1(1-，)3 1 3 3又1=仇 +b2+-+b =-(1-)=-+S n-3 +A-2n2 n(-2)2 2Mc I IT 当且仅当4=2 时，数列 是等差数歹U.n