高中数学圆的方程高考复习考点解析及例题辅导.pdf

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1、圆的方程高考要求;1,掌握圆的标准方程和一般方程.2.了解参数方程的概念.理解圆的参数方程.3。掌握圆的方程的两种形式并会根据具体情况选择其中的一种解题;4掌握圆系方程并会运用它解决有关问题；又灵活运用圆的几何性质解决问题。知识点归纳,1.圆的定义平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆.Z圆的标准方程圆 心 为（a,b）,半径为r的圆的标准方程为（x a）2+（y =户方程中有三个参量、b、r,因此三个独立条件可以确定一个圆,3。圆的一般方程二次方程/+），2+以+硝+2=&（*）配方得(x+)2+(y+)2 22 D2+E2-4 F4把 方 程+y2+D x +Ey+F=0(2+E2

2、-4 F 0)J n2+E2-4 F （D E、其中，半径是r =-,圆 心 坐 标 是-上,-巴 叫做圆的一般方程，2 2 2）（1）圆 的 一 般方程体现了圆方程的代数特点：f、y项系数相等且不为零,没有X），项,（2）当一4尸=0时，方 程（*）表 示 点（一 上，-）；2 2当。2+后2 4尸 0时表示圆。故Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+FO表示圆的充要条件是：A=C 0,B=0,。2+E2-4AF0&线段A B为直径的圆的方程：若4(司，必)，B(x2,y2),则以线段A B为直径的圆的方程是(x _ X )(x-)+(y 必)(y -%)=0。7.经过两个圆交点的圆系方程：经

3、过/+y 2 +Qx +4 y +片=0,x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程是：x+y+Dx+E _y +F +A(x-+y+D-,x+E2y+F2)=0。在过两圆公共点的图象方程中，若八二一1,可得两圆公共弦所在的直线方程。8。经 过 直 线 与 圆 交 点 的 圆 系 方 程：经 过 直 线/：4 x+B y +C =0与圆/+/+6)，+尸=0的交点的圆系方程是：x2+y2+Dx+Ey+F+A(Ax+By+C)=09。确定圆需三个独立的条件(1)标准方 程:(%6!)+(_y _ Z?)=r-(a,b)圆 心，r 半径.(2)一般方程：x2+y2+D x +Ey+F=Q

4、,(D2+E2-4 F 0)(弓铮一圆心 D2+E2-4 Fr-2题型讲解。例1求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2 x y 3=0上的圆的方程;求以0 O 0),A(2,0),B(0,4)为顶点的一:角形O A B外接圆的方程。解:设圆心P(x(),y o),则有(2)采用一般式,设圆的方程为x2+y 2+D x+E y+F=O,将三个已知点的坐标代入列方程组解得:D=-2,E=4,F=0。点评：第(1),(2)两小题根据情况选择了不同形式.例2设4 (-c,0)、B(c,0)(c 0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a (a 0),求P点的轨迹.分析：给曲线

5、建立方程是解析几何的两个主要问题之一，其基本方法就是把几何条件代数化；主要问题之二是根据方程研究曲线的形状、性质，即用代数的方法研究几何问题,解：设动点尸的坐标为(x,y),由(a 0)得PBJ(x +c)2 +/x-c)2+y 2=a，化简，得(1-a2)X2+2C(1+a2)x+c2(l a2)+(1-a2)y2=0.当a=l时，方程化为x=0 当。#1时，方程化为(x 二 二。了 +丁=(学_)2a-1 a-1所 以 当 时 ，点P的轨迹为y轴;当时，点尸的轨迹是以点（4c，0）为圆心，为半径的圆.a2-1 a2-1点评：本题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法

6、解决问题的能力，对代数式的运算化简能力有较高要求，同时也考查了分类讨论这数学思想。例3-圆与y轴相切，圆心在直线x3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2 A,求此圆的方程。分析：利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形，解：因圆与y轴相切，且圆心在直线工一3尸0上，故设圆方程为（x-3b了 +（y-b）2=9b又因为直线y=x截圆得弦长为2 V7,则有（弛 券 产+（7 7）2=9比解 得6=土 1.故所求圆方程为(x 3)2+(y_l)2=9 或(x+3)2+(y+l)2=9,点评：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）

7、根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得a、6、r或。、E、F：（3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数.例4已知。的半径为3,直 线/与。相切，-动圆与/相切，并与（D。相交的公共弦恰为。的直径，求动圆圆心的轨迹方程，分析：问题中的几何性质十分突出，切线、直 径、垂 直、圆心，如何利用这些几何性质呢？解：取 过。点且与/平行的直线为x轴，过。点且垂直于/的直线为y轴，建立直角坐标系.设动圆圆心为M（x,y）,O。与。用的公共弦为A8,与/切 于 点C,MA=MCV为。的直径，.M。垂直平分AB于0。由勾股定理得 IK4F=|MOF+L4OF=x2+y2+9,而 IMCI=

8、ly+3l,则*.Qx?+/+9=ly+3L化简得x2=6 y,这就是动圆圆心的轨迹方程，点评：求轨迹的步骤是“建系，设点，找关系式，除瑕点”.例5已知y轴右侧一动圆G与一定圆。2：。2尸+/=4外切，也与y轴相切,(1)求动圆G圆心M的轨迹c；(2)过点T(-2,0)作直线/与轨迹C交于A、B两点，求一点E(Xo,O)，使得A 4 E B是以点E为直角顶点的等腰直角三角形。解(1)由题意知动点M到 定 点(2,0)与到定直线X=-2的距离相等，则动点M的轨迹是以定点(2,0)为焦点，定直线x =-2为准线的抛物线,所以点M的轨迹方程为y2=8 x.又点M在原点时，圆并不存在，所以，动 点M的

9、轨迹C是 以(0,0)为顶点，以(2,0)为焦点的抛物线，除去原点.(2)设直线/:x =-2,代 入 符=8 x,y 2-8?y +1 6 =0 A =6 4/*-6 4 0,解之得加 1 或m 0.彳 导 z e(-L,l),7此时圆心的轨迹方程为工二优+3 6,消去 m,得 y =4(1一3)-1,y=l-4m由加（-3）得 x=m+3 e（T，4 所求的轨迹方程是y=4（x 3了一1,刀（9,4）点评：方程表示圆的充要条件，求轨迹方程时，一定要讨论变量的取值范围，如题中x e 字4 .例10已知圆x?+y 2=1 6,A （2,0）,若P,Q是圆上的动点，且AP J,A。，求PQ中点的

10、轨迹方程。解：设PQ中点M的坐标为（x,y）,由已知圆的参数方程，可设 P（4cosq,4sin6j,Q（4 c o s,4 s i n）,x=2cos6+2cosay-2sin,+2sin2r.x2+y2-4+4+8(cos。cos%+sin 0,sin 02)-(1)又 APLA。，A KPAKA Q=-,4 sin 61 4 sin 44cos4-2 4cos名-2化简得4(sin61 sin。？+cos3X cos)=2(cos,+c o s)-1=x-代 入（1）式，得 Y+y =8+2（x 1）,所以所求轨迹方程为x2+y2-2 x-6 =0.小结：1,不论圆的标准方程还是一般方程

11、，都有三个字母（。、6、/或。、E、F）的值需要确定，因此需要三个独立的条件用J用待定系数法得到关于。、8、，（或。、E、F）的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值。2,求圆的方程的一般步骤：（1）选用圆的方程两种形式中的一种（若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程）；（2）根据所给条件，列出关于。、E、尸或如 氏/的方程组；（3）解方程组，求出。、E、尸或、从/的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程，3,解析几何中叮圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题.练习&1。方程(z+3)x+2(l-4t2)y+1

12、 6 f4+9=0 (/S R)表示圆方程，贝 h 的取值范围是A lw Bo 1 G v f0,得 7 6/1 0,即一,71.7答案：C2 点/(5 a+l,1 2 a)在 圆(x-l)2+/T 的 内 部,则 的取值范围是A d a I 1 B C.I a I -D,I a I 1 3 5 1 3解：点 P 在 圆(x-D /=1 内部 o (5 a+l-l)2+(1 2 a)2 1 I a I 0),下列结论错误的是4当/+/=/时，圆必过原点B.当a=rB寸，圆与y轴相切C当 =厂 时 一，圆与x轴相切 D当,邛寸，圆与x轴相交解：已知圆的圆心坐标为(a,b),半径为r,当A r时，

13、圆心到x轴的距离为以，只有当协k r时，才有圆与x轴相交，而6/不能保证仍1，故。是错误的。故选。答案：。4.圆x2 +y 2 4x+2 y =0的圆心和半径分别是()A(2,-1),V5 B(2,-1),5 C(-2,1),加 D(-2,1),5答案:A5.点(1,1)在圆(x-a)2+(y +a)2 =4的内部，则a的取值范围是()A B Q a 1 D a=1答案:A6 .已知直线a x+b y+c=0 (a b c w O)与 圆x2+y2=l相切，则三条边长分别为时,同,目的三角形()A是锐角三角形 B是直角三角形 C是钝角三角形 D不存在答案：B7./与y 2的系数相同，且不等于零

14、，并且没有xy这样的项是二元二次方程表示圆的()A必 要 条 件B充 分 条 件C充 分 且必要条件D既不充分也不必要条件答案：A8.方程x?+y 2 x+y+加=0表示一个圆，则m的取值范围是()A m 2 B m 2 C m D m x2+y2-4 x +6 y-8 =0Gx?+4 x-6y 0 D x+厂 4x+6 y=0答案:D10.圆/+2 +。8+4一3=0的圆心在*轴上，半径r=2,且DE,贝U D=()A 1 B 2 C 1 D 2答案:D11.M(3,0)是圆f +y28x 2y+10=0内一点，过M点最长的弦所在的直线方程是()A x+y-3=0 B x-y-3=0C 2x

15、 y-6 =0 D 2x+y-6 =0答案:B12.过点C(l,1)和D(l,3),圆心在x轴上的圆的方程是 o答 案:(x-2)2+y2=1014方程W-:J l-S-l f表示的曲线是,答案：两个半圆14.已知圆C的圆心在直线4:x y 1 =0上，与直线/2：4x+3y+14=0相切，且截直线，3：3x+4y+10=0所得弦长为6,则圆C的方程：,(答案：(x 2 y+(y l)2=2 5)15.过点A(1,2)和B(1,1 0)且和直线彳一2丫-1 =0相 切 的 圆 方 程 为.答案：(x-3)2+(y-6)2=80 或(x+7)2+(y-6)2=8016.圆(x 3+(y 3)2=

16、9上到直线3x+4y 11=0的距离等于1的点有 个，答案：217.改I BC是圆/+V =2 5的弦，且忸。|=6,则BC的 中 点 的 轨 迹 方 程 是.答案:x2+y2=161&圆/+y?+4 x-1 2 y+3q=0关 于 点(1,1)的 对 称 圆 方 程 是。答案：(x-4)2+(y+4)2=40-3q19。圆x2+y2+p x-qy=0关于y轴 对 称 的 圆 的 方 程 是,答案：x2+y2-p x-qy=Q20招 圆x?+y2=l按向量方平移得到圆(x+1)2+(y-2)2=1,则 行 的 坐 标 为.解：由向量平移公式即得3=(-1,2).答案：(一 1,2)21,已知尸

17、(1,2)为圆x4y内一定点，过P作两条互相垂直的任意弦交圆于点8、C,则BC中点M的轨迹方程为,解：R tO M C中，IM*=，I8CI(直角三角形斜边上的中线是斜边的一半)。2故所求轨迹方程为x2+y2 x-2y2=0答案：x+y x2y2=022.已知直线y=2x+4与x轴和y轴分别交于A,B,求以线段AB为直径的圆的方程.答案：(x+1)2+(y-2)2=523.直线y=k(x-3)+4与曲线y=1 +有一个交点,求实数k的取值范围。解：直线 y=k(x-3)+4 过定点 P(3,4),曲线 y=1 +“-f化为 x?+(y-1)2=4(yNl),因为 A(2,1),B(-2,1)3所以可得=3,kp8=g,又设 lpc：y-4=k（x-3）即 kx-y+4-3k=0,由卜（一廿弘L得 人 15-2国或人15+2回（舍）V F+1 5 5综上所述，所求实数k 的取值范围是：女二15 2回或?0,.二 当 awO时,原方程表示圆.4(-2a+2)小2a-+2(-4a+4)2=2a aa当a=2,%n=6,所以半径最小的圆方程为（x lp+（y+l）2=2