高考试题汇编概率统计(二).pdf

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1、概率统计3 0.（安徽理）（本大题满分1 2分）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。用。表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和。（I ）写出J的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程）（I I）求 的 数 学 期 望（要求写出计算过程或说明道理）解：（I）4123456789P1122322111 51 51 51 51 51 51 51 51 5(I I)1 1 2

2、2 3 2 2 2 1E =l x +2 x-+3x+4x+5 x i-6 x +7 x i-8 x +9 x =51 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 53 1 .（安徽文）（本大题满分1 2分）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。（I ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率；（I I ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3

3、的概率；解：设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的事件为A,“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3”的事件为B2（I ）芳香度之和等于4的取法有2种:（0,4）、（1,3）,故尸（A）=不。（I I）芳香度之和等于1的取法有1种：（0,1）；芳香度之和等于2的取法有1种：（0,2）,3 2 .（北京理）（本 小 题 共1 3分）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a,b,c,旦三门课程考试是否及格相互之间没有

4、影响.求：（1）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；（I I）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小说明理由）3 2.解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A,B,C,则 P（A）=a,P（S）=b,P（C）=c（I）应聘者用方案一考试通过的概率P=P(A B C)+P(A5 C)+P(A5 C)+P(A5 C)=ab(-c)+hc(l 一 a)+ac(l b)+abc=ab+b c-c a-2abc;应聘者用方案二考试通过的概率P2=；p(4 8)+gp(BC)+gp(AC)=g(aZ?+Oc+ca).(I I)因为 a,6,ce 0,1,所以2Pi p2-

5、(ab+he+ca)-2 a b c=-|a/?(l-c)+&c(l-a)+ca(l-&)0,故 Pi N P2，即采用第一种方案，该应聘者考试通过的概率较大.3 3.(北京文)(本小题共13分)某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是0.5,0.6,0.9,且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.求：(I)该应聘者用方案一考试通过的概率；(II)该应聘者用方案二考试通过的概率.33.解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为

6、4,B,C,则产=0.5,P(B)=0.6,P(C)=0.9.(I)应聘者用方案一考试通过的概率pi=P(A B C)+P(A B C)+P(4 B Q+P(A B C)=0.5 X 0,6X0.1 +0.5 X0,6X 0.9+0.5 X 0,4 X 0.9+0.5 X 0.6 X0.9=0.03+0.27+0.18+0.27=0.75.(I I)应聘者用方案二考试通过的概率1 1 1p2=-P(A Q+P(A O3 3 31 X(0.5 X 0.6+0.6X 0.9+0.5 X 0.9)=-X1.293=0.433 4.(福建文)(本小题满分1 2分)每次抛掷一枚骰子(六个面上分别标以数字

7、1,2,3,4,5,6).(D连续抛掷2次，求向上的数不同的概率；(I I)连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率；(I I I)连续抛掷5次，求向上的数为奇数恰好出现3次的概率。3 4.解(I)设A表示事件“抛掷2次，向上的数不同”，则答：抛掷2次，向上的数不同的概率为3.6(I I)设B表示事件“抛掷2次，向上的数之和为6”。.向上的数之和为6的结果有(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)5种,答：抛掷2次，向上的数之和为6的概率为(H I)设C表示事件“抛 掷5次，向上的数为奇数恰好出现3次、即在5次独立重复试验中，事件”向上的数为奇数”恰好出现3次，答：抛掷5次，向

8、上的数为奇数恰好出现3次的概率为3 5.(广东)某运动员射击一次所得环数X的分布如下:XP0 6070.280.390.31 00.2现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为。.求该运动员两次都命中7环的概率(I I)求E的分布列(I I I)求的数学期望3 5.解：(I )求该运动员两次都命中7环的概率为尸(7)=0.2 x 0.2 =0.0 4 ：(I I)J的可能取值为7、8、9、1 0=7)=0.0 4 产8)=2 x0.2 x0.3 +0.3 2 =0.2 1=9)=2 x 0.2 x 0.3+2 x 0.3 x 0.3 +0.32=0.3 9P(4 =1 0)

9、=2 x 0.2 x0.2 +2 x 0.3 x0.2 +2 x 0.3 x 0.2 +0.22=0.3 64分布列为478910P0.04().210.390.36(Ill)目的数学希望为=7 x 0.04+8 x 0.21+9 x 0.39+10 x 0.36=9.07.36.(湖北理)(本小题满分10分)在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布(70,100)。已知成绩在90分 以 上(含 90分)的 学 生 有 12名。(I)、试问此次参赛学生总数约为多少人？(II)、若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可共查 阅 的(部分)标准

10、正态分布表(%)=2 0 入 0)X。01234567891.20.88490.88690.8880.89070.89250.89440.89620.89800.89970.90151.30.90320.90490.90660.90820.90990.91150.91310.91470.91620.91771.40.91920.92070.92220.92360.92510.92650.92780.92920.93060.93191.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97560.97620.97672.00.97720.97780.978

11、30.97880.97930.97980.98030.98080.98120.98172.10.98210.98260.98300.98340.98380.98420.98460.98500.98540.9857点评：本小题主要考查正态分布，对独立事件的概念和标准正态分布的查阅，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力。36.解：(I)设参赛学生的分数为4，因为J N(70,1 0 0),由条件知，P(J 2 9 0)=l-P (J 90)=l-F(9 0)=l-O()=1 一(2)=1 0.9772=0.228.这说明成绩在90分 以 上(含 90分)的学生人数约占全体参赛人数的2.2 8%,

12、因此，12参赛总人数约为-3 5 26人)。0.0228(I I)假定设奖的分数线为x 分，则x _70 50P(J x)=l P(g)=l-F(9 0)=l-(-)=0.0951,10 526V-7 0 r-7 0即 ()=0.9 0 4 9,查表得 1.3 1,解得x=83.1.10 10故设奖得分数线约为83.1分。3 7.(湖北文)(本小题满分1 2 分)某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组。在参加活动的职工中，青年人占4 2.5%,中年人占4 7.5%,老年 人 占 1 0%。登山组的职工占参加活动总人数的且该组中，青年人占5 0%,中年

13、人占4 0%,老年人占1 0%。4为了 了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度,现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为2 0 0 的样本。试确定(I)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；(I I)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数。3 7.解：(I )设登山组人数为X,游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a、b、x 4 0%+3 x/?x 1 0%+3 xc ,c,则有-=4 7.5%,-=1 0%,解得 b=5 0%,c=1 0%.4.x 4 x故 a=1 0 0%5 0%1 0%=4 0%,即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占

14、比例分别为4 0%、5 0%、1 0%。3(I I)游泳组中，抽取的青年人数为2 0 0 x-x 4 0%=6 0 (人)；抽取的中年人数为433200X-X50%=75(人)；抽取的老年人数为200X-X10%=1 5 人)。443 8.(湖 南 理)(本小题满分1 2 分)某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检)，若安检不合格，则必须整改.若整改后经复查仍不合格，则强制关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前合格的概率是0.5,整改后安检合格的概率是0.8,计算(结果精确到0.0 1);(I)恰好有两家煤矿必须整改的概率；(I I)平均有多少家煤矿必须整改

15、；(I I I)至少关闭一家煤矿的概率.3 8.解：(I).每家煤矿必须整改的概率是1 0.5,且每家煤矿是否整改是相互独立的.所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是尸 =C j X(1-0,5)2X0.53=p =0.3 1.(I I).由题设，必须整改的煤矿数4服从二项分布B (5,0.5).从而J的数学期望是E 4=5 x0.5 =2.5 ,即平均有2.5 0 家煤矿必须整改.(I I I).某煤矿被关闭，即该煤矿第次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是 2 =d-0.5)x(l-0.8)=0.1 ,从而该煤矿不被关闭的概率是0.9.由题意，每家煤矿是否被关闭是相互独立

16、的，所以至少关闭一家煤矿的概率是P3=1-0.95=0.4 13 9.（重庆文）（本小题满分1 3 分）甲、乙、丙三人在同一办公室工作。办公室只有一部电话机，设经过该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为4、-若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相互独6 3 2立。求：（I）这三个电话是打给同一个人的概率；（I I）这三个电话中恰有两个是打给甲的概率；3 9 .解：（I ）由互斥事件有一个发生的概率公式和独立事件同时发生的概率公式，所求概率为：p =（,）3+（g）3+（；）3=.（H）这是n=3,p=，的独立重复试验，故所求概率为：66（2 石.6 6 7 24 0 .（重庆理）（本小题

17、满分1 3 分）某大夏的一部电梯从底层出发后只能在第1 8、1 9、2 0 层可以停靠。若该电梯在底层载有5 位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为1,用 J表示这5位乘客在第 2 0 层下电梯的人数，求：（I）随机变量J的分布列；（I I）随机变量J的期望；4 0.解（1）g的所有可能值为0,1,2,3,4,由等可能性事件的概率公式得5 oP(J =D =尸(=3)=Cl-24 8 0尸（。=0）=PG =2）=P（J =4）=从而，J的分布列为25 3 22 4 3,C；-23 _ 8 035-2 4 3，C/-2 _ 1 035 2 4 335Cl-22351至=52 4 3

18、,_ 4 0一 2 4 314 3PC 二=5)=0123453 28 08 04 01 01r2 4 32 4 32 4 32 4 32 4 32 4 3（I I）由（I）得J的期望为E i金+l x 也+2 x 也+3 x%+4 x -52 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 34 0 5 _ 52 4 3-34 1.(浙江文理)甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n 个白球.两甲，乙两袋中各任取2 个球.(I )若n=3,求取到的4个球全是红球的概率；3(H)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为一，求 n.44

19、1.解(D记“取到的4个球全是红球”为事件A.4一2 C；_ 1 1 _ 1P(A)=-；-=.C：C；6 1 0 6 0(I I)记“取到的4个球至多有1 个红球”为事件8 取到的4 个球只有1 个红球”为事件，“取到的4个球全是白球”为事件由题意，得3 1P(5)=l =74 4P(幻璃1 2 厂2 厂1 厂IcTc c1cr2/3(+2)(+1)尸 包)哈 导n(n-l)6(+2)(n+1)所以P(B)=P(BJ+P电)2n2 H(M-1)=-1-3(+2)(+1)6(+2)(+1)1，4化简，得7 n2-l l/7-6 =0,3解得=2,或=己（舍去），7故 n =2.4 2.（天津理

20、）（本题满分1 2分）3某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为一，且各次射击的结果互不影响。5（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；1 2 5（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了 4次的概率（用数字作答）：6 2 5（3）设随机变量4表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求J的分布列.4 2.（天津文）（本小题满分1 2分）434kP2 71 2 51 6 26 2 5 C|产 守 甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床产品的正品率是0.9,乙机床产品的正品率是0.9 5.（I）从甲机床生产的产品中任取3件，求其中恰有2件正品的概率（用数

21、字作答）；（I I）从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1件，求其中至少有1件正品的概率（用数字作答）。4 2 .解：（1）任取甲机床的3件产品恰有2件正品的概率为6（2）=C；x 0.9 2义0.1 =0.2 4 3.（I I）解法一：记“任取甲机床的1件产品是正品”为事件A,任 取乙机床的1件产品是正品”为事件B。则任取甲、乙两台机床的产品各1件，其中至少有1件正品的概率为P（A.B）+尸（A.历+P（A.B）=0.9 x 0.9 5 +0.9 x 0.0 5 +0.1 x 0.9 5=0.9 9 5.解法二：运用对立事件的概率公式，所求的概率为1-P（A B）=1-0.1 x 0.0 5

22、=0.9 9 5.4 3 .（四川理）（本小题满分1 2分）某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”则该课程考核“合格”。甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9。所有考核是否合格相互之间没有影响。（I ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（I I）求这三人该课程考核都合格的概率（结果保留三位小数）。4 3.解：记“甲理论考核合格”为事件4；“乙理论考核合格”为事件为；“丙理论考核合格”为事件4:记 A 为4的对立事件，i=1,2,3 ；记“甲实验考

23、核合格”为事件B,；乙实验考核合格”为事件鸟；“丙实验考核合格”为事件员；(I)记“理论考核中至少有两人合格”为事件C,记不为C的对立事件解法 1：P(C)=P(AtA +AtX A,+A,+A,A2A,)=P(AH4)+P(RA)+P(*A)+P(A 4 A 3)=0.9 x 0.8x 0.3 4-0.9 x 0.2 x 0.7+0.1 x 0.8x 0.7+0.9 x 0.8x 0.7=0.9 0 2解法2：p(c)=i _ p=i _ p伍 工 4+屯A)=1 至 Q+P(AW A)+P(不&无)+尸 伍 至4)=1-(0.1 x 0.2 x 0.3 +0.9 x 0.2 x 0.3 4

24、-0.1 x 0.8x 0.3 +0.1 x 0.2 x 0.7)=1-0.0 9 8=0.9 0 2所以，理论考核中至少有两人合格的概率为0.9 0 2(I I)记”三人该课程考核都合格”为事件Dp(D)=p(4.4).(但)(4 也)=尸(4 由)尸(4 出)尸(4 里)=p(A).p(q).p(4).p(约)P(4).P(B 3)=0.9 x 0.8 x 0.8 x 0.8 x 0.7 x 0.9=0.2 5 4 0 1 6-0.2 5 4所以，这三人该课程考核都合格的概率为0.2 5 44 4.(山东文)(本小题满分1 2分)盒中装着标有数字1,2,3,4的卡片各2张，从盒中任意任取3

25、张，每张卡片被抽出的可能性都相等，求：(I )抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率：(H)抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概念；(I I I)抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率.4 4.解(I)“抽出的3张卡片上最大的数字是4”的事件记为A,由题意P(A)c；c；+c；c；91 4(I D 抽出的3张中有2张卡片上的数字是3”的事件记为B,则C2 clP(8)=中C832 8(HD“抽出的3 张卡片上的数字互不相同”的事件记为C,“抽出的3 张卡片上有两个数字相同”的事件记为D,由题意，C 与 D 是对立事件，因为2。)=萼73 4所以 P(C)=1-P(D)=1 =-.7 745.(陕

26、西理)(本小题满分12分)甲、乙、丙 3 人投篮，投进的概率分别是本(I)现 3 人各投篮1次，求 3 人都没有投进的概率；(H)用，表示乙投篮3 次的进球数，求随机变量&的概率分布及数学期望E，.4 5.解:(I)记”甲投篮1 次投进 为事件4 ,乙投篮1 次投进”为事件左,”丙投篮1 次投进”为事件A3，”3 人都没有投进”为事件4.则 P(4)=东P(A2)=尸(小)=；，尸(4)=再瓦反)=尸(再尸(瓦)叭耳)1 2 1 1=口一尸(A1)1-P (A2)1-P (A3)=(1-)(I-5 X I-2)=3人都没有投进的概率为；.-2(II)解法一：随机变量&的可能值有0,1,2,3)

27、,&5(3,P，2 3 2 6P(夕k)=C3q)3T(k=o,1,2,3),比=3*=.解法二:&的概率分布为：g0123p2712554T2536T258725=0 x125+1X125+2 xl25+3X125=5 146.(陕西文)(本小题满分12分)甲、乙、丙 3 人投篮，投进的概率分别是,，/现3 人各投篮1 次，求:(I)3 人都投进的概率；(11)3人中恰有2 人投进的概率.46.解:(1)记 甲投进 为事件4 ,乙投进 为事件甲2，“丙投进”为事件A3,2 1 1则尸(4)=P(A2)=P(A3)=亨2 1 3 3；P(Ap42A3)=P(4)尸(42)P(A3)=g X X

28、-=33人都投进的概率为去(H)设“3人中恰有2人投进”为事件8P(8)=P(AA243)+P(4 A2A 3)+P(A42A3)=P(再)P(A2)P(A3)+P(AD P(瓦)P(43)+P(A】)P(A2)P(K)2 1 3 2 1 3 2 1 3 19=(1-5)X2*+5X(1-2)X5+5X2 x(1-5)=5019A 3人中恰有2人投进的概率为考47.(山东理)(本小题满分12分)袋中装着标有数学1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用 表示取出的3个小球上的最大数字,求：(1)取出的3个小球上的数字互不

29、相同的概率；(2)随机变量的概率分布和数学期望；(3)计分介于2 0分到4 0分之间的概率.47.解(D解法：”一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为4,则 尸(A)=r3.r c-C 1JC；。3解法二：”一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A”，“一次取出的3个小球上有 两 个 数 字 相 同”的 事 件 记 为6 ,则 事 件A和 事 件6是 互 斥 事 件，因为P(B)=d e；131 7所以 P(A)=IP(B)=I_=5.(H)由题意有可能的取值为：2,3,4,5.但=2)=13 0尸6=3)=0：匕 嗝,：=do21 5do3T oP化=5)=c】c；+c；.28.1 5 所以随机变量的概率分布为因此的数学期望为2345p13 021 531 081 5L c 1 c 2 ,3 u 8 1 3f =2 x +3 x i-4 x +5 x =3 0 1 5 1 0 1 5 3(III)“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C,则2 3 13P(C)=PCs=3 或，=4 )=PCs=3 )+p(=4 )=+=1 5 1 0 3 0