高等代数专题研究模拟考试试题.pdf

《高等代数专题研究模拟考试试题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等代数专题研究模拟考试试题.pdf（6页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、高等代数专题研究模拟试题一、单项选择题(本题共2 0 分，每小题4 分)1.下列法则中，哪个不是Z上的二元代数运算？()(A)a h=a-b(B)a b=ah(C)a h=a(D)a b=ah2 .设A是线性空间V的线性变换，a,夕是A的分别属于特征值4 与的特征向量，则().(A)若a与夕线性相关，则(B)若a与夕线性无关，则(C)若a与夕线性相关，则/l =；(D)若a与夕线性无关，则/l =.3 .全体正实数R*对于下面定义的加法和标量乘法:a e b=ab,k a=ak构成R上的线性空间，则它的维数是().(A)0 (B)1(C)2 (D)34.如果线性空间V上的线性变换A在丫的一组基

2、,名下的作用为:A%=2%+3 a2A%=5q 4a2那么A在 基%下 的 矩 阵 为().,、(2 5、,、(2 3 ,、I 3、(-4 5、(A)(B)(C)(D)3 -4J 5 U 2)(3 2)5.设V为欧几里得空间，么夕,/是丫中的任意向量，则下列式子不成立的是().(A)(a,/7)=(/?,a)(B)(a+p，7)=(a,7)+(民y)(C)(a,尸+7)=(a,0+(a，7)(D)(a,a)0二、填空题(本题共2 0 分，每小题4 分)1.正交矩阵的行列式等于2 .设a,。为两个不相等的常数，则多项式/*)被(x-a)(x-。)除所得余式为.3 .同一双线性函数在不同基下的度量

3、矩阵是 的.-2 、4.若矩阵A与 4 相似，则A的行列式1A卜.5.设/(x)=d+2/-3 ,g(x)=j+x2-2 x-2,则(/(x),g(x)=.三 计算题(本题共4 5分，每小题1 5分)1.求多项式/(x)=6d+J?+4 x?+X-2的所有有理根.2 .已知=(1,2,1,-2),a2=(2,3,1,0),生=(1,2,2,-3)；=(1,1,1,1),A=(1，0,1,-1),A=(1,3,0,-4).求(1)的一组基与维数;(2)吗=笈,见，分3)的一组基与维数；(3)叱+叱与叱 叱的一组基与维数.1 2 3、3.设A=2 4 6,求一个正交矩阵7,使得T Z 7是一个对角

4、矩阵.、3 6 9,四、证明题（本题15分）设A是阶正定实对称矩阵，B为阶实反对称矩阵（）=-8）,证明:A-3?是正定实对称矩阵.高等代数专题研究模拟试题答案一、单项选择题(本题共2 0 分，每小题4 分)1.D 2.C 3.B 4.A 5.D二、填空题(本题共2 0 分，每小题4 分)11.+11 Lo.-/-(-a-)-/-(-/?-)x-a-f-(-b-)-b-f-(-a-)-3.布 合相 入 4.4-40 5.Rx +14a-b a-b三、计算题(本题共45分，每小题15分)1.解：%=6，/=-2.根据定理2.9.4,/*)的有理根只可能是：1,2,+-,+-,!.依止匕代入检验可

5、得，/W =o,2 3 3 6i?因此/(的有理根是5，2 .解：(1)线性无关，因此d im 叫=3,%,%，a?即为叱的一组基.(2)月,四,尸3线性无关，因此di m%=3,用，尸2,用即为区的一组基.(3)由0 1(叱+叱)=4,一组基为,%。3,尸2，d im(叱 暝)=2,一组基为 见 必2-1-2 -33 .解:|2 E-A|=-2 2-4-6 =22(2-14)-3 6 几 9因此A的特征值为0,0 ,14.当2 =0 时，解方程组-4 X=0,得一组基础解系为(-2 (-3 1a1=1 ,a2=0、。1单位正交化可得3屈、5707=V5V，%=6斤70057701 7 丁 )

6、当2=14时，解方程组(14E-A)X=0,得一组基础解系为单位正交化可得叵、14叵不3V14以 7，%，不为 列，可 得 正交 矩 阵 丁 =5 7 1、7 0 117 07-V o :5 c 0 05好50且7 00、TTAT=0 为对角阵.1吃四、证明题(本题15分)证明：因为A是正定实对称矩阵，所以8 为阶实反对称矩阵,B1=-B,从而(A-B2)7=Ar-(B2)T=Ar-(Br)2=A-(-B)2=A-B2因此A-尸是实对称矩阵.对于任意维列向量X N O,有XT(A-B2)X XT(A+BrB)X XTAX+XrB B X XTAX+(,BX)TBXO故 是 正 定 实 对 称 矩 阵.