高考数学（真题+模拟新题分类汇编）解析几何.pdf

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1、解析几何H l 直线的倾斜角与斜率、直线的方程2 1.B 1 2,H1 2 0 1 3 新课标全国卷H 已知函数f(x)=x?ef.(1)求 f(x)的极小值和极大值；(2)当曲线y =f(x)的切线1 的斜率为负数时，求 1 在 x 轴上截距的取值范围.2 1.解:(l)f(x)的定义域为(-8,4-0 0).f(x)=-e I(x 2).当 x d(-8,0)或 XG(2,+8)时，f(x)0.所 以 f(x)在(-8,0),(2,+8)单调递减，在(0,2)单调递增.故当x =0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)=0；当 x=2 时，f(x)取得极大值，极大值为 f(2)=4 e-

2、2.(2)设切点为(t,f(t),则 1 的方程为y=f(t)(x t)+f (t).所 以 1 在 x 轴上的截距为m(t)(t)=t+t_2=t-+t_2+3.由已知和得tw(8,0)U(2,+8).令 h(x)=x+|(x W O),则当 x G (0,+8)时，h(x)的取值范围为 2 y/2,+此时，圆 P的半径r=#.故圆 P 的方程为 x2+(y-l)2=3 或 x2+(y+l)2=3.4.H2、H3 和 H4 2 0 1 3 重庆卷设 P是圆(x 3)?+(y+l)?=4 上的动点，Q 是直线x =一3 上的动点，则|P Q|的最小值为()A.6 B.4 C.3 D.24.B

3、解析 P Q 的最小值为圆心到直线距离减去半径.因为圆的圆心为(3,-1),半径为2,所以|P Q|的最小值d=3(3)2=4.H 3圆的方程1 4.H3 1 2 0 1 3 江西卷若 圆 C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y =l 相切，则 圆 C的方程是.1 4.(x-2)?+(y+=Y 解析 r2=4+(rI)2,得 r=|,圆心为(2,一1).故圆 C的方程是(x 2)2+(y+=华.2 1.F 2,F 3、H3、H 5 和 H8 2 0 1 3 重庆卷如 图 1 5所示，椭圆的中心为原点0,长轴在 x 轴上，离心率e=乎，过左焦点以作x 轴的垂线交椭圆于A,A，两点，|A A，1

4、=4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,P,过 P,P 作圆心为Q 的圆，使椭网上的其余点均在圆Q 外.求A P P Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程.图 1 一5(c)2 22 42 1.解：由题意知点A(c,2)在椭圆上，则一 1 +记=1，从而e?+记=1.、历 4 b2由 e=Q 得 b=j 2-8,从而 a =*:2=1 6.2 1 e 1 e2 2故该椭圆的标准方程为2+=1.1 6 8(2)由椭圆的对称性，可设Q(x。，0),又设M(x,y)是椭圆上任意一点，则|QM 1 2=(x x o)2+y2=x22 x ox+

5、x o+8(1 =(x 2 x()2x o+8(x G 4,4 ).设 P(x”y i),由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点，因此，上式当x =x i时取最小值,又因为x 1 (4,4),所以上式当x=2 x o时取最小值,所以x i=2 x o,K QP 8 x o.由对称性知P (x i,-yO,故|P P，|=|2 y ,所以S=1|2 y i|x1-x 1|=1 x 2 =(4-x o)(x o-2)z+4.当 x 0=也 时，A P P Q 的面积S 取到最大值2此时对应的圆Q 的圆心坐标为Q(土0),半径此P|=d8 一晟 因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x+炬 F+

6、y 2=6,(x 也 产+=6.4.H2、H3和 H4 20 1 3 重庆卷设 P是圆(x-3)2+(y+D?=4 上的动点，Q是直线x=一3 上的动点，则|P Q|的最小值为()A.6 B.4 C.3 D.24.B 解析 P Q|的最小值为圆心到直线距离减去半径.因为圆的圆心为(3,-1),半径为2,所以|P Q|的最小值d=3-(-3)-2=4.H 4直线与圆、圆与圆的位置关系6.H4 E 20 1 3 安 徽 卷 直 线 x+2 y-5+V 5 =0被 圆 x+y2-2x-4 y =0截得的弦长为A.1 B.2 C.4 D.4 季6.C 解析圆的标准方程是(x l)?+(y 2尸=5,圆

7、心(1,2)到直线x+2y 5+乖=0 的距离d=l,所以直线x+2y 5+m=0被圆xJ+y 2x 4 y=0 所截得的弦长1=2#-d。=4.7.H4 E 20 1 3 广东卷垂直于直线y=x+l 且与圆x2+y2=l 相切于第I象限的直线方程是()A.x+y 4=0 B.x+y+l=0C.x+y-l=0 D.x +y+*=07.A 解析设直线方程为y=x+m,且原点到此直线的距离是1,即 1=比，解得用=*.当 m=-/时，直线和圆切于第III象限，故舍去，选 A.1 4.H4 1 20 1 3 湖北卷已知圆 0：x2+y2=5,直线 1：x c o s 6 +y sin 9 =l(0

8、V 9 d,所以圆0上共有4个点到直线的距离为1,k=4.1 0.H4 E 20 1 3 江西卷如 图 1 3所示，已 知 1,12,圆心在L上、半 径为1 m的 圆 0在 t=0 时 与 h 相切于点A,圆。沿 L以 1 m/s的速度匀速向上移动，圆被直线L所截上方圆弧长记为X,令 y =c o s X,则 y与时间t(0 W t W l,单位：s)的函数y=f (t)的图像大致为()B 解析 如图，设N M 0 A=。，c o s a =1 t,c o s 2 a =2c o s2 a l=2t24 t +l,x =2a 1 =2 a ,y =c o s x =c o s 2 a =2t2

9、4 t +l,故选 B.20.H2,H4 20 1 3 新课标全国卷H 在平面直角坐标系x O y 中，已知圆P 在 x 轴上截得线段长为2 4，在 y 轴上截得线段长为2小.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若 P点到直线y=x的距离为 半，求圆P的方程.2 0.解：(1)设 P(x,y),圆 P的半径为r.由题设 y2+2 =r2,x2+3=r2.从而 y2+2 =x2+3.故 P点的轨迹方程为y2-x2=l.设 P (x o y o),由已知得|x o y o|啦_ I x o-y()I =1,又 P点在双曲线y 2 x 2=l上，从 而 得 2 2 .由x o-y o=L ,y o X

10、o=l 得X o =O,y o=1 1.此时，圆 P的半径r=#.山x o-y o=LyK=l 得X o =O,y o=h此时，圆 P的半径故圆P的方程为x2+(y 1 尸=3 或 x2+(y+l)2=3.1 3.H4 20 1 3 山东卷过点(3,1)作圆(x 2 +(y 2尸=4的弦，其中最短弦的长为1 3.2/解析设弦与圆的交点为A、B,最短弦长以(3,1)为中点，由垂径定理得(号j+(32)24(21 尸=4,解之得|A B|=2*.8.H4 1 20 1 3 陕西卷已知点M(a,b)在圆0：x2+y2=1 则直线a x+b y=l 与圆0的位置关系是()A.相 切 B.相 交 C.相

11、 离 D.不确定8.B 解析由题意点M(a,b)在圆x?+y 2=l外，则满足选+1?1,圆心到直线的距离d=V?+P+=5 相切,旦与直线a x-y+l=0 垂直，则 a=()1A.-B.11C.2 D.-5.C 解析设过点P(2,2)的圆的切线方程为y-2=k(x-2),由题意得乖,解之得k=-1.又 切线与直线a x-y+l=0 垂直，a=2.20.H4,E 8,B l 20 1 3 四川卷已知圆C的方程为/+(y 4 =4,点 0是坐标原点.直线 1：y =k x 与圆C交于M,N两点.(1)求 k的取值范围；9 11(2)设 Q(m,n)是线段MN匕的点，且市 1=不+=.请将n表示

12、为m的函数.2 0.解：(1)将 y=k x 代入 x?+(y 4/=4,得(l+k2)x2-8 k x +1 2=0.(*)由 A =(-8 k)2-4(l+k2)X 1 2 0,得 k?3.所以，k的取值范围是(-8,一4)u(#+8).因 为 M,N在直线1 上，可设点M,N的坐标分别为(x i,k x,),(x2,k x2),则|0 M|2=(l+k2)x h 0 N|2=(l+k2)x LX|0 Q|2=m2+n2=(l+k2)m2,二 _ _ _ _ _ _ 1,1田 0 Q|L 0 M|2十|0 N 得_2_=_ I_+_I _(1+k2)m2-(1+k2)x,(1+k2)x 7

13、2 11(x i+x 2)J2X IX2即常=/+孩=菽 -,8 k 1 2由(*)式可知，X+x 2 =+k X1X2=+k?所 以 作=春 因为点Q在直线y=k x 上，所以k 4 代 入.=就 百 中 并 化 简,得 5 nf.由.=病 二 及 k?3，可知（K m%?，即 m G（镉，0）U （0,小）.根据题意，点 Q 在圆C 内，则 n 0,所以n=2 、15n)2+18 05于是，n与 m 的函数关系为n=15m：+国（mG （一木,0）U （0,4）.13.H 4 2 0 13 浙江卷直 线 y =2 x +3 被 圆 x2+y2-6 x-8 y =0所截得的弦长等于13.4

14、4 解析圆的标准方程为（x 3）?+（y-4）2 =2 5,圆心到直线的距离为d =|2 X 3-4+3|=季，所以弦长为2 正一（小）&弧=4 4.4.H 2、H 3 和 H 412 0 13 重庆卷设 P 是圆（x 3）?+（y+l）?=4 上的动点,Q 是直线x=-3 上的动点，则|PQ|的最小值为（）A.6 B.4 C.3 D.24.B 解析 PQ|的最小值为圆心到直线距离减去半 径.因为圆的圆心为（3,-1）,半径为2,所以|PQ|的最小值d=3（3）2=4.H5 椭圆及其几何性质2 22 1.H 5,H 10 2 0 13 安徽卷 已知椭圆C：点十g=1 (a b 0)的焦距为4,

15、且过点P(低(1)求椭圆C 的方程；(2)设 Q(x o,y。)(x o y o W O)为椭圆C 上一点，过点Q 作 x 轴的垂线，垂足为E,取点A(0,2 联结A E,过点A作 A E 的垂线交x轴于点D,点 G是 点 D 关 于 y轴的对称点，作直线Q G,问这样作出的直线QG 是否与椭圆C-定有唯一的公共点？并说明理由.2 1.解：因为焦距为4,所以a b.又因为椭圆C 过点P(、但，乖),所以5+台1,故 a?=8,b?=4,X 2 V2从而椭圆c的方程为d+：=Lo 4由题意，E 点坐标为(x。,0),设 D(x ,0),则靠=(x 0,一2m),A D=(x ,-2 7 2).r

16、 r8再由 A D_ L A E 知，A E A D=O,即 X()XD+8 =0.由于 x o y o#O,故 x )=-.X o因为点G是点D 关于y 轴的对称点，所以G&,0,X o故直线QG 的斜率k o c=:-x o X o又因Q(x 0,y o)在椭圆C 上，所以煮+2 4=8.从而履=一守.2 y o故直线QG 的方程为y=-x-.z y o x o将代入椭圆C 方程，得(x j+2 y j)x -16x o x+64-16y o=O.再将代入，化简得X -2 x o x +x：=O,解得x =x。，y=y。，即直线QG 与椭圆C 一定有唯一的公共点.219.M2,H 5,H

17、10 2 0 13 北京 卷 直 线 y=k x+m(mW 0)与椭圆W：+/=1 相交于A,C两点，0是坐标原点.(1)当点B的坐标为(0,1),且四边形O A B C为菱形时，求 A C的长；(2)当点B在 W上且不是W的顶点时，证明：四边形O A B C不可能为菱形.19.解：(1)因为四边形O A B C为菱形，所以A C与 0 B 相互垂直平分.所以可设A(t,9,代入椭圆方程得9+3=i,即 t=，5.所以|A C|=2小.(2)证明：假设四边形O A B C为菱形.因为点B不是W的顶点，且 A CJ _ O B,所以k W O.x2+4y2=4,y=k x+m消 y 并整理得(l

18、+4k2)x +8 k mx+4m 4=0.设 A(xi,y i),C(X2,y z),则Xl+X224k m y i+y 2 x i+x2 1 mT+4?W=k -十 户 中 谈所以A C 的中点为M(-1+妹,因为M 为 A C和 O B 的交点，且 mW O,k W O,所以直线0 B 的斜率为一占.因为k (一器)？一1，所以A C 与 0 B 不垂直.所以O A B C不是菱形，与假设矛盾.所以当点B不是W的顶点时，四边形O A B C不可能是菱形.x NO,15.H 5 2 0 13 全 国 卷 若 x,y满足约束条件,x +3 y N 4,则 z=x +y 的最小值为、3 x +

19、yW 4,1 5.0 解析已知不等式组表示区域如图中的三角形A B C 及其内部，目标函数的儿何意义是直线y=x+z 在 y 轴上的截距，显然在点A取得最小值，点 A(l,1),故如山=一1 +1=0.8.H5 2 0 1 3 全国卷已知日(一1,0),F2(l,0)是椭圆C的两个焦点，过 F?且垂直于x轴的直线交C于 A,B两点，且|A B =3,则 C的 方 程 为()2 2 2A.y+y2=l B,d=l2 2 2 2C-4+f=1 D-5 +4 =12 21 28.C 解析设椭圆C的方程为与+卷=1 (a b 0),与直线x =l 联立得y=(c=l),a b a所以 2 b2=3 a

20、,即 2(a 2-l)=3 a,2 a-3 a-2=0,a 0,解得 a=2(负值舍去)，所以 b?=3,2 2故所求椭圆方程为%*1.2 2X V1 5.H5,H8 2 0 1 3 福建卷椭 圆：F+=1 (a b 0)的左、右焦点分别为F,民，焦a b距 为 2 c.若直线y=#(x+c)与 椭 圆 r的一个交点M满足NM F F 2=2 NM F F”则该椭圆的离心率等于.1 5.3-1 解析如图，M F R 中，/M F F z=6 0 ,所以/M F B=3 0 ,/件 帆=9 0 .又|F E|=2 c,所以 N F=C,M F 2|=A/C.根据椭圆定义得 2 a=|M F/+|

21、M F 2|=C+5C,得 e=后f T9.H5 2 0 1 3 广东卷已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(l,0),离心率等于右 则C的 方 程 是()2 2 2 2x,y 八 x ,yAT+T=I B.丁+亍=13 4 4小2 2 2 2c-4+i=1 吟+*iX2 y2 C 19.D 解析设椭圆C的标准方程为F+S=l(a b 0),由题知c =l,一=5,解得a=2,a b a 2b2=a2c2=4 1=3,选 D.X 2 V21 2.H5 2 0 1 3 江苏卷在平面直角坐标系x Oy中，椭圆C的标准方程为F+=1 (a 0,a bb 0),右焦点为F,右准线为1,短轴的一个端点为B

22、.设原点到直线B F 的距离为d F到 1的距离为d2.若 d 2=/d”则椭圆C的离心率为.1 2.Y 解析由题意知F(c,0),1：x=三，不妨设B(0,b),则直线B F：-+J=1,3 c c b即 bx+c ybc =O.be|be-Jb2+c2 a于是d i =由 d 2=/d i,得化简得 6 c4+a2c2a4=0,即 6 e =0,解得 e2=1 c =一 (舍去),故 =噂，故椭圆c的离心率为Jo2 2/72 0.H5,H8 2 0 1 3 江西卷椭圆C：之+抬=1 (a b 0)的离心率e=，a+b=3.a b 2(1)求椭圆C的方程；(2)如 图 1 8 所示，A,B,

23、D是椭圆C的顶点，P 是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线D P交 x 轴于点N,直线A D 交 B P于点M,设 B P 的斜率为k,M N 的斜率为m.证 明:2 m-k 为定值.2 0.解:(1)因为 e=、C=,L a2 所以 a=诋 c,b=诟 c,代入 a+b=3 得c=a=2,b=l,2故椭圆C的方程为+y2=l.方 法 一：因 为 B(2,0),P 不 为 椭 圆 顶 点，则 直 线 BP 的 方 程 为 y=k(x -2)(kW 0,k W -J,代 入%/=1,解得 P倦W,一吊 片，直线A D 的方程为y=5+l.,4 k+2 4 k、与联立解得M五二7,而二7 .、乙 K

24、 1 /K 1J由D(,0,1)、,Pf层8 k不j-2p -亦4Hk、，N(x,0)三点共线知4 k-4 k2+l-1 0-18 k 2Z i?+T-x-0/4 k2 、，解得 Mik?;4 k所以M N的斜率为m=五 =2 k竿,2 k-1 2 k+l则 2 m-k=2 k；-k=g(定值).方法二：设 P(x o,yo)(x o W O,2),则 k=_直线A D 的方程为：y=g(x+2),直线B P的方程为：y=-%(x 2),直线D P的方程为：y-l=-x,令 y=0,由于yr l可得 1 二 号，0)X o yo _ 1 /y=g(x+2),联立：y=J(x-2),“S ./4

25、 yo+2 x o-4 4 yo )解得 M(2 yo _ x o+2 2 yo-x o+2,因此M N的斜率为4 yo2 yX o+2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _4 yo (yo-1)4 yo+2 x o 4 x o2 yo-x o+2 y。14yo-8 yo+4x oyo-x o+4_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 4yo(y0-1)_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ y0-14yo8 yo+4x oyo(44yo)+4 2yo+x o2.所以2m k =2(y0 1)2yo+x o2y。Xo22(y()1)(XQ2)yo(2yo+x()-2)(2yo

26、+x o2)(Xo2)2(y()1)(x o 2)2y：yo(X L2)(2yo+x o2)(x o2)、1 八2(yo1)(x o2)(4x o)yo(x o2)(2yo+x o2)(x o2)=巳(定值).2 211.H 5 2013 辽宁卷 已知椭圆C：点+l(a b 0)的左焦点为F,C 与过原点的直线4相交于A,B两点，联结A F,B F.若|A B；=1 0 J B F =8,c os NA B F=一 则 C 的离心率为（）53 5A.-B.-5 7八4 6C.-D.5 711.B 解析设椭圆的右焦点为Q,山已知|B F|=8,利用椭圆的对称性可以得到|A Q|5=8,4 F A

27、 Q 为直角三角形，然后利用椭圆的定义可以得到2a=14,2 c=1 0,所 以 e 咛X 2 V25.H 5 2013 新课标全国卷H设椭圆C：F+市=l（a b O）的左、右焦点分别为R,F2,a bP 是 C 上的点，P F 21F.F-2,NP F F 2=30,则 C 的离心率为（）m 1A.丹-B.-6 3D.V331一22a5.D 解析设 P F?=x,则 P R=2 x,由椭圆定义得3x=2a,结合图形知，我=雪 =2c 3 a喙,故选D.b 0),a b a2=b2+c2,故题意知1 2=乎，a 2、2b=2,解得a=蛆，b =l,V2因此椭圆C 的 方 程 为 万+/=1.

28、(2)(i)当 A,B两点关于x 轴对称时，设直线A B 的方程为x=m,由题意一啦m因为P为椭圆C 上一点，t(m t)所以-2=1.4由得t2=4 或 t2=,O又因为t 0,所 以 t=2 或 t=2乎.O(i i)当 A,B两点关于x 轴不对称时，设直线A B 的方程为丫=1+11.将其代入椭圆的方程5+/=1，得(l +2k 2)x 2+4k h x+2h 2-2=0,设 A(x i,yi),B(X2,y2).由判别式 0可 得 l+2k2 h2,4k h 2h2 2此时 Xi +x 2=_ +2k 2 X lX 2=l +2k?,yi+y2=k(x i+x2)+2 h=1:/所以

29、I A B|=/l +k2/(x i+x2)24X IX2=2 筐/不l+2k2-h2l +2k2因为点0 到直线A B 的距离d=7+，所以 SAA0B=1|A B|d=2X2 V /l+k2 1+2?h h1+2 1?亚 轨r-/l +2k2-h2,.=/1+21?h.乖乂 SAAOB=4所 以 小 丑 樗 好 同=乖4-令 n =1 +2?,代入整理得 3n2-16 h2n+16 h4=0,解得 n=4F?或 n=：h；4即 l+2k?=4h 2 或 l+2k2=-h2.又 加=靛=|t(0A+0B)=j t(X1+X2,yi+y2)=l+2ka,2k h t因为P为椭圆C上一点,将代入

30、得t2=4 或 t2=1,又 知 t 0,故 t=2 或 t=2 中,经检验，适合题意.9综合(i)(i i)得土=2 或 1=干.20.H 5,H 8 2013 陕西卷已知动点M(x,y)到直线1：x=4 的距离是它到点N(l,0)的距离的2 倍.(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C 交于A,B两 点.若 A是 P B 的中点，求直线m的斜率.1y 看 4N“,0)2 0.解：设 M 到直线1 的距离为 d,根据题意，d=2|MN|.由此得|4x|=2 yf(x 1)2+y2.2 2化 简 得+卷=1,4 o2 2所以，动点M 的轨迹方程为+=1.4 o(

31、2)方法一：由题意，设直线m的方程为y=k x+3,A(x i,yi),B(x2,y2)./B(X2,.V 2)XV2 V2将丫=10 0.24k由求根公式得，X1+X2=-T3+47kp,2 4X,X2=3+4 i?-又因A是 P B 的中点，故 X2=2XI.将代入，得8 k 2 1 2x=-3+4 酎 X i=3+4 k”得(瑞)=在 正且 k 2|,3 3解得k=_/或 k=2,3 3所以，直线m的斜率为一 或方法二：由题意，设直线m的方程为y=k x+3,A(xi,y i),B(x2,y2).A 是 P B 的中点，A x i=y,3+丫 2 ey-2 ,又 抖 =1，=1,x?=2

32、联立，解 得,7 2=0X2=-2,y 2 =0,即点B 的坐标为(2,0)或(一2,0),所以，直线m的斜率为一楙或12 29.H 5 1 2 0 1 3 四川卷从椭圆当+=l(a b 0)上一点P向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点a bF”A是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且 A BO P(O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是()A.1.2平氏D.亚4亚C.2Cb*c,baf-,整理得b =c,从而a=yjb:+c=y/2 c.于是，离心率e=?=申.c a zz z/n1 8.H 5,H 8 2 0 1 3 天津卷设椭圆与+=1 (a b 0)的左焦点为F,离心

33、率为平，过点Fa b 3且与X 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为支型.O(1)求椭圆的方程；(2)设 A,B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若A C-D B+A D -C B=8,求 k 的值.1 8.解：(1)设 F(c,0),由2=乎，知 a=#c.过点F且与x 轴垂直的直线为 x=-c,a 3 丫代入椭圆方程有(一：)+:=1，解得y=华.于 是 五 生=甘，解得又1a b 3 3 3 v_ 2 2-C2=b2,从而a=4,c =l,所以椭圆的方程为9+=1.(2)设点 C(x”y。，D&,y2),由 F(1,0)得直线 CD 的方程为 y=k(x+

34、l).f y =k (x+1),由 方 程 组 2=消去y,整理得(2 +31?)乂 2+6 居+31?6=0.2 Q I 2 _ g由根与系数的关系得X i+x2=了 或记，X iX z=5 不3 d因 为A(一小,0),B(3,0),所以A C D B+A D CB=(xi+镉,y i)(y/3x2 f y 2)+(x2+y 3f y2)(4x”y)=6 2XIX22 y l y 2=6 2XIX22 k2(xi+1)(X 2+1)=6 (2+2 k2)X 1 X 2 2 kJ(xi+X 2)2 kJc,2 k2+1 22 +3k2,n i.2 1 1 n由已知得6+j工3k =8,解得k

35、=*.2 1.H 5、H 9、H 1 0 2 0 1 3 新课标全国卷口 已知圆 M：(x+l)2+y2=l,圆 N：(x-l)2+y =9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(D 求 C 的方程；(2)1 是与圆P,圆 M都相切的一条直线，1 与曲线C 交于A,B 两点，当圆P的半径最长时,求|A B|.2 1.解：山已知得圆M的圆心为M(-l,0),半 径 n =l；圆 N的圆心为N(l,0),半径R=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|P M|十|P N|=(R+n)+(r2-R)=n+n=4.由椭圆的定义可知，曲线

36、C 是以M,N为左、右焦点，长半轴长为2,短半轴长为十的椭X 2 V2圆(左顶点除外)，其方程为T+?=1(X -2).对于曲线C 上任意一点P(x,y),由于|P M|-|P N|=2 R-2 W 2,所以R 2,当且仅当圆 P的圆心为(2,0)时，R=2.所以当圆P的半径最长时，其方程为(x2)?+y 2=4.若 1 的倾斜角为9 0。，则 1 与 y 轴重合，可得|A B|=2小.若 1 的倾斜角不为9 0 ,由 n#R 知 1 不平行于x 轴，设 1 与 x 轴的交点为Q,则 普=2 可求得Q(4,0)，所以可设1：y =k(x+4).由 1 与圆M相切得j当 语=1，解得k=土乎.当

37、 1 0)的左、右焦点分别为 H,F 2,离心率为3,直线y=2 与 C 的两个交点间的距离为乖.求 a,b；设过艮的直线1 与 C 的左、右两支分别交于A,B 两点，且|AF J=|BR ,证明：|AR|,|AB|,|BF z|成等比数列.2 _|_ i22 2.解：(1)由题设知=3,即*亍 一 二9,故(？=8 2.a a所以C 的方程为8x2-y2=8a2.将 y =2 代入上式，并求得x=土y ja+；.由题设知，2 巧解得a?=l.所以 a=1,b=2(2)证明：由(1)知，R (3,0),F2(3,0),C 的方程为 8/一/=8.由题意可设1 的方程为y=k(x 3),|k 1

38、 +8x；-8=1 -3x,I B&I =yj(x；3)、+修=(X 23)2+8x：8=3x 2 1,|AB|=|AF2|BF2|=2-3(X I+X2)=4,I AF 2I BF 2I =3(x i+x 2)9x X 2l =1 6.因而|AF z|BF2|=|AB|2,所以|AF z|,|AB|,I BF 2I 成等比数列.4.H6E 20 1 3 福建卷双曲线x2-y2=l的顶点到其渐近线的距离等于()A.”平C.1 D.市4.B 解析取一顶点(1,0),一条渐近线x y=0,d=j=乎，故选B.2 22.H6 20 1 3 湖北卷已知 则双曲线 G：1 与 C?：4 si n 0 c

39、 o s。A.实 轴 长 相 等 B.虚轴长相等C.离 心 率 相 等 D.焦距相等_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2.D 解析C i=c2=A j s i n2 0 +c os2 0 =1,故焦距相等.X2 V21 4.H 6 2 0 1 3 湖南卷设 R,F z是双曲线C：=一 S=l(a 0,b 0)的两个焦点.若在Ca b上存在一点P,使 P F P F z,且NP F E=3 0 ,则 C的离心率为.1 4.73 +1 解析如图，因 P F P F z,且NP F F 2=3 0 ,故,P R|=扣 艮 I =c,则|P F=V 3 c,又由双曲线定义可得|P F j-|P

40、 F 2|=2 a,即小c-c=2 a,故：=濡1=#+12 23.H 6E2 0 1 3 江苏卷双曲线专一=1的两条渐近线的方程为16 9Q2 2Q3.y=*x 解析令金一1 0，得渐近线方程为y=？1V21 1.H 6,H 7 2 0 1 3 山东卷抛物线3：y=;x2(p 0)的焦点与双曲线C z：豆一/=1的右zp 3焦点的连线交C于第一象限的点M.若C,在点M 处的切线平行于C 2 的一条渐近线，则 P=()A，1 6 氏 8 L 3 吹 31 1.D 解析抛物线G：y=#(p 0)的焦点坐标为(0,9,双曲线与一y的右焦y=q(x-2),点坐标为(2,0),连线的方程为y=/x 2

41、),联立 0,b 0）的一a b个焦点，且双曲线的离心率为2,则 该 双 曲 线 的 方 程 为.1 1.x2-=l 解析由抛物线的准线方程为x=-2,得 a2+b2=4,又.双曲线的离O2心率为2,得=2,得 a=l,b?=3,.,.双曲线的方程为六一=1.a327.A 2,H 6 2 0 1 3 北京卷双曲线/一，=1 的离心率大于镜的充分必要条件是（）A.m-B.m2 1C.m l D.m 27.C 解析双曲线的离心率e=：=，i 右/，解得m l.故选C.V2 v2、乐4.H 6 2 0 1 3 新课标全国卷I 已知双曲线C：77p=l （a 0,b 0）的离心率为当，则 C的渐近线方

42、程为（）yA.cX1+-4一1-3X士+一=-yyB.D.4.C 解析半=1/1+怦，所以白一，故所求的双曲线渐近线方程是y=Jx.Z a 3/a 2 LV29.H 5,H 6 2 0 1 3 浙江卷如 图 1 一4 所示，F”F?是椭圆G：彳+y?=l 与双曲线C 2 的公共焦点，A,B分别是G,C 2 在第二、四象限的公共点.若四边形A B B 为矩形，则 C 2 的离心率是（）图 1 4A.2 B.小3 A/6C.D.9.D 解析设双曲线实半轴长为a,焦半距为c,|A F j=m,|A F 2|=n,由题意知c=m,m+n=4,9 9 m2-+n92=(2 c)2=1 2,2 mn=(m

43、+n)(m-+n)=4,(mn)-=m-+r T-2 mn=8,2 a=mn=2位，a=yi,则双曲线的离心率e=；=/=平 选 择 D.1 0.El、H 6和 H 8E2 0 1 3 重庆卷设双曲线C的中心为点0,若有且只有一对相交于点0,所成的角为60 的直线AB和 AB,使|A B|=|A zB 2 ,其中A”B i 和 A z,B z分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（）Pf-B.管,2）C.簪,+D.管,+0 A 解析设双曲线的焦点在x 轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的斜率/须满H 7抛物线及其几何性质9.H7 2 0 1 3 北京卷若抛物线y?=2 p

44、 x 的焦点坐标为（1,0）,则 p=；准线方程为.9.2 x =-1 解析.抛物线y?=2 p x 的焦点坐标为（1,0）,.或=1,解得p=2,二准线方程为x=-1.2 0.H7,H8E2 0 1 3 福建卷如 图 1-5,抛物线E：y2=4 x 的焦点为F,准 线 1 与 x轴的交点为A.点 C在抛物线E 上，以 C为圆心，|C 0 1 为半径作圆，设圆C与准线1 交于不同的两点 M,N.若 点 C的纵坐标为2,求|MN|；若|A F=|A M|A N|,求圆C的半径.图 1 一52 0.解：(1)抛物线y 2=4 x 的准线1 的方程为x =-l.由点C的纵坐标为2,得点C的坐标为(1

45、,2),所以点C到准线 1 的距离d=2,又 C O=&所以|MN|=2 /|C 0|2-d2=2 存7=2.设 C 仔，y o),则圆 C 的方程为(x 一窑 +(y y o)2=y 1+y o,即 当(+/2 y 0 y=0.由 x =-1,得 y1 12 y o y+l+5=0.设 M(1,y i),N(1,y2),则A =4 y f40+3=2/4 0,0.所以圆心c 的坐标为$时 或 与 一 响，从而|co =*|co|=华，即圆C的半径为率.2 0.H7,H8,H1 0 2 0 1 3 广东卷已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0,c)(c 0)到直 线 1：x-y-2=0 的 距

46、 离 为 平，设 P 为直线1 上的点，过点P 作抛物线C的两条切线PA,P B,其中A,B为切点.(1)求抛物线C的方程；(2)当点P(x。，y。)为直线1 上的定点时，求直线A B 的方程；(3)当点P 在直线1 上移动时,求|A F|B F|的最小值.2 0.解：2 1.B 1 2 2 0 1 3 广东卷设函数 f(x)=x 3-k x 2+x(k e R).(1)当 k=l时，求函数f(x)的单调区间；当 k 0时，求函数f(x)在 k,-k 上的最小值m 和最大值M.2 1.解：9.H7 2 0 1 3 江西卷已知点A(2,0),抛物线C：(=4y的焦点为F,射线FA 与抛物线C相交

47、于点M,与其准线相交于点N,则|FM：|MN|=()A.2：木 B.1 ：2C.1 ：5 D.1 ：39.C 解析 FA：y =-g x +1,与 x?=4 y 联立，得 刈=乖 一 1,FA：y=x+l,与 y=一 1 联立，得 N(4,-1),由三角 形 相 似 知 情=总=/，故选C.1 0.H7 2 0 1 3 新课标全国卷H 设抛物线C：/=4x的焦点为F,直 线 1 过 F 且与C交于 A,B两 点.若|A F|=3|B F,则 1的 方 程 为()A.y =x 1 或 y=x+lB.鱼鱼 1、y=-(x -1)或 y=-T-(x 1)o JC.y=/(x 1)或 y=/(x1)D

48、.y=(x-1)或 y=-乎(x-1)1 0.C 解析抛物线的焦点为F(L 0),若 A在第一象限，如 图 1-5,设 A F=3 m,B F=m.过 B 作 A D 的垂线交 A D 于 G,贝 ij A G=2 m,由于 A B=4 m,故 B G=2，5 nb t a n N G A B=4.二直线A B 的 斜 率 为 同 理，若 A在第四象限，直线A B 的斜率为一故答案为C.-IZX1 1.H6,H7 2 0 1 3 山东卷抛物线G：丫=直(80)的焦点与双曲线C?：彳 一/=1 的右z p 0焦点的连线交G 于第一象限的点M.若 C在点M 处的切线平行于C2的一条渐近线，则 p=

49、()3 3 2 j 3 4 31 6 8 3 31 1.D 解析抛物线3：y=#(p 。)的焦点坐标为1 0,灯，双 曲 线 卷 守=1的右焦Py=-7y(x 2)，点坐标为(2,0),连线的方程为y=-(x 2),联立得 Z x p 2 p =_ 1 20.设点M 的横坐标为a ,则在点M 处切线的斜率为a)=二 又 ,双x=a p曲线R y 的 渐 近 线 方 程 为 东 土 尸 其 与 切 线 平 行，:号即2=冬，代 入 2 x 2+p l 2 P2=0 得，p=2 更或 p=0(舍去).o2 21 1.H6,H7 2 0 1 3 天津卷已知抛物线y 2=8x 的准线过双曲线也十=1(

50、心。,b 。)的一个 住 占,11.且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为 解析由抛物线的准线方程为x=-2,得 a2+b2=4,又.双曲线的离心率为2,得=2,得 a=l,b?=3,.双曲线的方程为9=1.a35.H 7,H 8 E2013-四川卷抛物线y?=8 x 的焦点到直线x-小 y=0的 距 离 是()A.2 小 B.2 C.小 D.15.D 解析抛 物 线 y?=8 x 的焦点为F(2,0),该点到直线x#y=0的距离为d=|2|小 旺(f)28.H 7E2013 新课标全国卷I 0 为坐标原点，F 为抛物线C：y?=4 蛆 x的焦点，P 为 C上一点，若|PF|=4 则A P