初联难度几何题100道（上）解答.pdf

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1、初中教师转正必做1 0 0题第一题:已知：A 46C 外接于。，ZB AC=60,AEBC,CFAB,AE.C尸相交于点H,点。为弧3 C的中点，连接“）、A D.求证：为等腰三角形简证：易证NBHC=120。，ZBOC=120,:.B、从。、C四点共圆。A _ _ _ _ _ _DB=DO=DC,：.DH=DO=OA,y.AH/OD,：.AHDO J l C、是菱形/v：.AH=HD,ZV1HD 为等腰三角形。/、D第三题:已知：AA3C中，AB=AC,ZBAC=20,ZBDC=30.求证：AD=BC简证：以4。为边作正三角形AOE（如图）易知 ABC丝ZXG4E：.AD=AE=BC.第四题

2、:已知：A 43C 中，。为 A C 边的中点，ZA=3ZC,Z A D B=4 5.求证：A B 1 B C简证：过 D 作 DE_L4C交 BC于 E由已知得 AE=EC,ZEAD=ZC又乙4=3NC,：.ZBAEZBEAB A=B E,由NACB=45 得NEDB=45：.A,0、E、B 四点共圆，/4BE=N/W E=90即 ABIBCo第五题:如图，四边形ABCD的两条对角线AC、BD交于点、E,NR4c=50,ZABD60NCBD=2QP,ZC4E=30,ZADB=40 求NACO。解：设 AD、BC交于点F,过。作 DG 4B交 B F 于点G,4G交 BC于 乩 则ABF是等腰

3、三角形，A、B、G、。四点共圆。ZD AG=ZD BG=20 ,：.ZBAG=6 0N B D G=N BAG=6 0 ,N A G D=N A B D =60：./G H D是等边三角形。/ABH是等边三角形B H=A B=B C,：.Z B H C=8 0 ,：.ZC H G=40。A ZHGC=40,：.H C=G C,G C D；.N H D C=30,A ZAC D=8 0 第六题:已知，ZABC=30,ZADC=6(T,A D=D C.求证：AB2+BC2=BDr简证：以AB为边向外作正三角形力BE则 BC1.BE,BE2+BC2=CE2易证D4B丝CAE,BD=CE于是AB2+B

4、C?=BD?。第七题:如图，P C切。于C,A C为圆的直径，尸石尸为。的割线，A E.A F与直线P 0相交于B、D o求证：四边形A8C为平行四边形证明：过。作CGLP。于G,则由乙4E C=N P G C=90得E、B、G、C四点共圆同理F、D、G、C四点共圆PC是。切线，P C。=P E PF在 R7VXPCO 中，P C2=PG PO：.P E P F =P G PO ,：.E.G、0、F 四点共圆。./O G F=NOEF,/BG E=/O EF,：.ZOGF=/BGE又 CGLPO 得NEGC=ZFGC,ZEGF=ZE0F=2ZEAF,：.ZEGC=ZFGC=ZEAF又NEGC=

5、NEBC,NFGC=NFDC,:.NEBC=NFDC=NEAF：.AF/BC,A E/C D,，四边形4BCD是平行四边形。第八题:已知：在 AABC中，A BA C,ZA=80,NOBC=10,ZOCA=20 a求证：AB=OB筒证：延长CO交A B于D,以OC为边作正三角形OCE（如图）易知 4C=DC,BD=OD,OCADACE注ACAD,AACOAAEO,ZC AO=-ZCAE=102.ZB A O=70,/4 B O=4 0.,.ZBOA=70,.AB=OB.BCE第十一题:如图，MCB与A A O E都是等腰直角三角形，ZAD E=Z A C B =9 0 ,Z C D F=4 5

6、 ,D F交B E于F,求证：N C F D=9伊证明：只要证明CD尸是等腰直角三角形时，E、F、B共线即可。设。=0,5=1,A =z,D =x+yi(x,y G I R),则A D=D-A =x+(y-1)i,_ _ n _.A E =y/2AD e=2x+(y-i)=x+y l +(y-x-l)z:E A.+4 E =i+x+y 1 +(y x l)z =x+y 1 +(y x)i：.D F=D C.f i,2/.F=D +D F=x+yi _yi).(l+i)=；(x+y)+g(y _x)iE +B=x+y+(y-x)i=2F F是E 8中点，.CDF是等腰直角三角形，Z C F D=

7、9 0。第十二题:已知：AABC中，Z C B A 2 Z C A B,NCBA的角平分线3 0与NC48的角平分线AO相交于点 ),且 6C=A)。求证：NACB=60简证：作N4BD的平分线BE交力C于E,易 得 四 边 形ABDE是等腰梯形AD=BE,B C=BEN C=N C E B=3 N A B EZ C B E=3 Z A B E.二 BCE为等边三角形Z A C B=6 0 。第十三题:已知：在 M BC中，A C=B C,ZC=100,平分 NC43。求证：A D+C D A B简证：作BE使得乙4BE=80交直线AC于E,AD延长线与BE交于点F则BC是NABE的平分线，N

8、C4B=40NAEB=60ZCDF=120,C、D、F、E 四点共圆/DFC=NDEC=NDEF=ZDCFCD=DF,AD+CD=AF=AB.第十四题:已知：A43c中，A B=B C,。是AC的中点，过。作。E_L5C于E,连接A E,取OE中点尸，连接8/。求证：AE1BFDF DE CE CEN D B F=N C A E,。、G、B 四点共圆。/BG4=/B 0 4=90,AE1BF.第十五题:已知：M BC中，NA=24,ZC=3OP,。为AC上一点，A B C D,连接3D。求证：AB BC=BD AC简证：以AB为边作正三角形（如图）由 NC=30 得。C=OBZB0C=2ZBA

9、C=48N/OC=108,ZOCD=36OC=OD,ZCOD=72NBOD=24/XABD/XOBD,ZABD=304BDSA4CB,AB BC=BD AC.如图，在A4BC三边上，向外做三角形A3R、B C P、CAQ,使NC8P=NC4Q=45,Z B C P=Z A C Q =30,Z A B R=Z B A R 1 5 0.求证：R。与 RP垂直且相等。简证：以 B R 为边作正三角形（如图）则 O R A 是等腰直角三角形，O ABsgCB,OBPsABCO R P g Z V I R Q.RQ=RP,RQLRP。第十八题:如图，已知AO是。的直径，。是BC中点，A B.AC交。于点

10、E、F,E M、F M是。的切线，E M、根相 交 于 点 连 接。求证：D M BC简证：如图，过。作OGEsAMDE,/OHFS4MDF,O G O E O F O H：.OG=OHAGDH是平行四边形，。是BC中点：.G.H分别是48、4c的中点J.GH/BC,DMLBC。M第十九题:如图，三角形ABC内接于。0,两条高A。、B E交于点”，连接A。、0 H。若 A H=2,B D=3,C D =1,求三角形A O”面积。解：设H D=x,F是B C中点，OF=d由 RtAACDsRtABHD 得=,解得 X=13 xA D=3,由 O B=O A 得衣 +储=J(3-d +1 2 得

11、d=1；.OHDF为正方形,。，=1三角形4。“面积为，x2 xl =1 02第二十题:如图，ZDAC=2x,ZACB=4x,ZABC3x,A D=B C,求NBA。解：延长BC至E,使CE=BD,则AD=DE,设N E=3 则N EA C=4x-t,由 AO=DE 得 6xt=t,t=3x,：.AB=AE,B O g E C：.AD=AC,ZADC=4x,，2x+4x+4x=180,x=18即/&4。=18。第二十一题:已知：在HfAABC中，ZABC=9 0 ,。为AC上一点，E是3。的中点，N1=N2。求证：Z A D B=2 Z A B D简证：过A作BD平行线，交CE于F,交CB于G

12、,则FA=FG=FB,易得4 D E之Z F B EZADE=/FBE/CBE=/BGF=NGBF/FBA=/ABD：.NADB=2NABD。第二十二题:已知正方形ABC。，尸是C。上的一点，以A 8 为直径的圆。交 P A、PB于E、F,射线D E、CF交于点、M。求证：点M 在。上。证明：设 CE与圆。交于N,DEDM =DA2=DC2:A D N C s/X D C E：.N D C E=N D N CB、C、P、E 四点共圆，A/D C E=/P B E=N FN E：.N D N C=ZFN E:.N、F、C三点共线，即 DE、CF的交点为N,M 与 N 重合。故点M 在。上。第二十

13、三题:已知，点。是A 4 3 C内一定点，且有N D 4 C=N D C B =Z D 3A=30。求证：A 4 6 C是正三角形。证明：显然当 4BC中D A=D B=D C时，4BC是正三角形。当ABC中D4、D B、DC有两个相等时，易证ABC是正三角形。下面证明ABC中D4、D B、DC互不相等是不可能的。D4、D B、DC互不相等，不妨设D 4最小，DB最大。以。为圆心，0 C为半径作圆，则4在圆。内部，B在圆。外部。圆D上 取 点E,使得NCDE=120,BC与圆。交于 点 凡 则A C EF是正三角形。/D4C=NDEC=30，有 D、4、E、C 四点共圆。乙4ED=/4CD N

14、FED=30 这是矛盾的。故ABC是正三角形。第二十四题:如图，过正方形的顶点A的直线交BC、CD于M、N,DM与BN交于点、L,B P 1B N,交 DM 于点 P。求证：(1)CL 工 MN；(2)/MON=4BPM证 明：(1)设 C=0,D=l,B=i,A=l+i,M=ai,N=b Ca,foeR)4、M、N 共线，有二N-Mnrl 1 +z ai _.a即-G R 得b=-b-ai 1 -aDM=1+ai,BN=-i,求得1-6ZL=2-a+a a a-o 2 =7 a 4 1 a a+1 u,a+1,A N=-+l-i=-1-a 1-a1ANCL1 -a-z-(1 Cl+1ci-a

15、+121 2 ia a+1.ci u+12a-ae R：.CLLMN.a 1 1 -(2)BN i=l+i,0=+-i,ON1 a 2 21 1.1(1+a-a 2 2 211 aOM=ai丽丽/+上 =1+_22+中I 1-a)2(1-)2-,、1 (+a _%一+(3cz l)zDM OM=(1+/)-+a i=-i-L2 V 2 j j 2.BN_-_ i-ON =-1 -,BN,_i =-1-O-M-a-1-DM OM(1-a)2 DM(1-a)2 ON(1 一 y由 BP A.MN 得 NMON=arg -L ,ZBPM=arg:/MON=NBPM0第二十五题:已知：在正方形A B

16、C D中边长为1,E是C D上一点，A E交B D于点G,交B C的延长线于点尸，连接。/，交C O于点“，连接G。CF-C H求证：（1）当且仅当为 中 点 时，O G+G H =A Oi（2）SM C F二 J。证明：（1）E为CD中点O O E BC,AD=CFE H O E 1-=-=C H F C 2D H _ 2 A D _ D G0 国 厂 密 而。GH/OCQGH=GDOG+GH=OD=AO(2)取BC中点K,则由RtAFCHsR tF K O1 C F-C H所以 s HCF=C F C H =-。1 2 4第二十六题:已知：A B C D 与 A E b G 均为正方形，连

17、接C F,取 b的中点“，连接。M、M E.求证：&0。石为等腰直角三角形证明：设。1、02分别是正方形ABCD.的中心，则OAM/AF9 O2M/ACOIM=AO2=O2E,02M=力。1 =01。，NDOiM=90 ZAO1M=90 一ZAO2M=ZMO2Ef：./D0iM/M 02Ef MD=EM又 0IM_L02E,02M 10ID,：.MDEM故 为 等 腰 三 角 形。第二十七题:四边形A B C D中，对角线A C、B D交于点、0,且A 3=A Z)A 6+6 O与6 C+O。的数量关系，并证明你的结论。解：过A作力E_LBD于E,过C作CF_LBD于F,由4。=0。得AEC尸

18、 是平行四边形又得E是BD中点设 BE=x,AE=d,OE=tA B =x2+d2,B C=J(X+)2+Q2/BO=x+t,O D=x-t(x t)当 BO OD 时，t 0,AB+BO BC+0 c o Vx2+d2+x +t J(x+2)2 +/+x-t y/x2+d2+2/j(J(X+2/)2+/)O41yjx2+d2 4txd2 0当 BO=OD 时 t=0,AB+BO=BC+OD由对称性，当BOOD时AB+BO。时，AB+BOBC+OD,当 B 0=。时，AB+BO=BC+OD-,当 BOOD 时，AB+BO60。）,fI-：.ZBDA=30。、丸第二十九题:在 AA3C中，。是

19、A 3 的中点，Z D A C=2 Z D C A,Z D C B =30,求 N 8 的度数。解：作 CD的垂直平分线交4 c 于 E作BCD的外心。，则Z D E A 2 Z D C E Z D A E,：.A D=D E,又。是力B 中点J.BE 1AE,又N D C B=30BD。是等边三角形，于是DO=BD/BQ4=90,：.A,B、0、E 四点共圆若。与 E 重 合（如上图），则NABC=105；若。与 E 不 重 合（如下图），则四边形D0CE是菱形，J.D 0/AC,且NDO4=30ND4E=60,4DE是等边三角形.E是 4C中点，.4BC是等边三角形,Z A B C=6 0

20、故所求N B=105或 60,E第三十题:在四边形ABC。中，AD=CD,ACBD,A B A C,求N B EC的度数。解：取4 c中点F,则由4C=CD得DFLAC,又 4B_LAC 得RtAABEsRtLFDE,BE DE.AE FE AE+FE _ A尸 _ 1BEBE+DE-而 一 5：.ZAEB=60a,ZBEC=1 2 0。D第三十一题:在 中，ZACB=90,ZCAB=60,CDAB,M N 为直线 A3 上的两点，且 NMC4=NNC6=8 ,求 NEMO的度数。E?第三十二题:如图，AABC中，3。_LAC于。，E为5 0上一点，且NA3O=38,NCBO=68,NBCE=

21、14。，求 ND4E的度数。BAD ADtan 22=,tan8=CDtan Z.EA D=CDtan 80tan52.o-=tan 24tan 22：.ZD EA24.已知BD是AABD边AC上高，ZABD=38,ZCBD=68O,ZBCE=14,ZDCE=8O,求 NCAE证 明(文武光华数学工作室潘成华)设NDAE=x,BE ABsin(52-x)BCsin14因 为=-=-,得 到力 DE ADsinx DCsin8 Jsln(52x)sln14sin38sinx-sin68sin8，可知 sin68sin8sin(52-x)=sin380sinxsin14,进而sin24sin(52

22、-x)=4sin52sin38slnxsln14=sin28slnx,于是sln24sln52ta n X=sin24cos52sin280=tan24,所以 NDAE=x=24第三十三题:CD为。的直径，A、3为半圆上两点，为过点。的切线，4 8交。E于E,连接0 E,交CB于M,交AC于N。求证：ON=OM证明：设 0=0,D l,C 1,A e,a,B=e*E l+a i,由 4、B、E 共线得与二a G 股，即 cos万+isin万一cos+-isin a uRE-A 1 +ai-cos a-i sin a解得 a=sina-sin/?sin(a-yg)=2cos tz-cos 了B

23、c-ot,0,F cot B2 2令 M=4E,N=&E由4、C、M共线 得 上G e股，即M-CC0SQf+1+/s in/?e R,解得4+1 +4出力 屋 不 修cogB acot +cot 同理人=-.,故M+N=0,-p acot-cot 2 2I M I=I/V I,即 0N=0M0第三十四题:如图，四边形ABC。中，BC=CD,N5C4=21,N8AC的度数。解：作 A B D的外心0,则由BC=CD,OB=OD知 C B O A C D O,易知/B C D=8 4 得N C C B=4 8 ,ZBCO=42,ZBDA=30ZBOA=60,B O A是等边三角形，ZACO ZB

24、CO-Z B G 4 =2 1 ,A C 平分N B C。，又 A B=A O/.ABC/AOC（否则/孙。6 0 ）,：.ZBDA=30a oZCAD=39,NCDA=7 8,求第三十五题:如图，四边形A 3 C D中，A D C D,ZB A C=10,N/LBO=50,ZAC)=2 0 ,求N C 8 D的度数。解：作48。的外心0,由NBD4=30 得/8。=60,BOD 是等边三角形，ZOBA=10,又NR4C=10J.OB/AC,5LAD=DC,。0=。8知4DAO 丝 ADBC,AOBC是等腰梯形，ZBCA=ZOAC=20,ZC5D=160-60=100D第三十六题:如图，BD=

25、CE,G、H 为 BC、DE中 点ABAC,FD=FE,ZBACZDFE.求证：AF/GHA证明：将 力BC平移至7是M N中点，P、Q、R、S分别是CD、BE、EM、D N中点，则四边形4BMF、ACNF、AGTF、BCNM都是平行四边形。易得FMD丝FNE,MD=NEPH 111CE“GQ,PG”8 0 1HQ又BD=CE得四边形P”QG是菱形，PQ1.GH同理 SR_LTH,PS,S.PQ/SR,.丁在初上.又仃；1：.AF/GH.第三十七题:如图，在正方形A B C D中，有任意四点、F、G、H,且石尸=4、G H=3,四边形EGEH的面积为5,求正方形A 8C。的面积。解：如图，作B

26、MEF交4。于M,ANGH交CD 于 N,则 BM=EF,AN=GH易 知 四 边 形E G F H的 面 积 等 于 四 边 形A M N B的面积设4M=a,D N=b,正方形边长为x,则21 1 ,x b(x-a)x(x-b)=52 2-7 x2+a2=4Jx2+b2=3,44 44解 得/=一。即正方形ABCD的面积是一 5 5第三十八题:解：乙4=3 0 。/B=6 0 ,Z C=9 0 显然符合已知条件。由2 B C=A B,则C点在B为圆心，-A B为半径的圆上2Z C=9 0 有。在以AB为直径的圆。上取圆8 上异于C 的点，若点在圆。内 部（如点。），则NC90,ZABD 3

27、N 4BD 不合题意;若点在圆。外 部（如点E）,则/E 60,2N E /E D O=NEGO=NECOO C、E、0、。四点共圆 ZDCB=；N D 0B=1 (Z B 0 E-A DOE)=；(2 4 0 E-N DOE)=(Z A 0 D-2 Z DOE-1(2 Z/4CD-2 Z DOE)=Z A C D-NDCE=ZACEBZACD=ZBCEsin/DCBsin ZA CDsin Z A C Esin/BCE（易证）RD R r。=-BD AC=AD BCAD AC同理5O AC=AO-3C O/A F D=N B F D。第四十四题:已知：A B=A C,ZAZ)B=60,ZBC

28、=30。求证：B A=B E证明：作点E关于B C 对称点凡则 E C F 是等边三角形，又6 0 ；.E、D、C、尸四点共圆,ZE C D=Z E F D,Z F D B=6 0/B 4 C=1 8 0 -2 Z A C B=1 8 0 -2 (Z E C D+3 O0)=1 8 0 -(/E F D+N E C D+6 0 )=1 8 0 -Z E F D-Z D C F=18 0 ZE F D Z B E F=1 8 0 ME-B、，七八 ab 厂 a c D/CD b EI BE ca+c a+h BI CB a 4-c Cl BC a+bS DIC+S A DB/ICE+S tJDJ

29、 lICE.=(I.1 +,+,I|sa+c 。+。a+c Q+OJZ?2+c2+ah+ac-bc er+ab+ac+bc-7-7-3=-:-3=3(Q+C)(Q+Z?)a+ah+ac+hc四 边 形BCDE的 面 积 为 2So第四十六题:AB=AC=CD=D E,且 B E=B D,求 NEBO 的度数。解：设N D=x,则/ACB=2x,作平行四边形DEFC,则DEFC是菱形由 DC=4B,BD=BE,得 BC=4E又 NABC=ZAEF,得 力BC四FEAJ.FAAC,ZVIBC是等边三角形ZACF=60.x+x+60=180,x=40,.ZEBD=1SO-2 x=1 0 0。第四十七

30、题:如图，W B g k C D E,N D=N A B C=9 0,点 3在 CD上，AB、CE 交于 F,过 8作6 G L A C于G,交CE于H,连接A H并延长，交CD于I,设A 8=x,B C y.(x y)求：(1)A H的长(用x,y表示)；(2)竿的值。(2)作FN8C,交4于点N,易得“是FC中点，=,BF=匚DE DC xA AFN AF FN 丝C/H,=BI ABIC AFBC-IC AB:BC=-A-B-+-A-F-=-A-B-k 1,=-x-k 1t =-2-x-2-y-2IC AF A B-B F y2 x2-y2x-X第四十八题:在 AA3C中，A D B C

31、,P 是AABC外接圆。上一点，点 P 关于A 3、4 c 的对称点为点E、F,连 接 与 A O 交于点H,求证：”是AA6C的垂心。证明：作 PG_LBC于 G,4B 交 PE于 M,47 交 PF于 N,PF交 BC于 Q,则M、B、G、P 四点共圆，N、C、G、P 四点共圆，NMBP=NACP,NMGB=NMPB=NNPC=NNGC,：.M,G、N 三点共线。MN/EF,4、D、Q、N 四点共圆，/Q4C=NNQC=NNPC+NPCQ=NNFC+NPNG=NNFC+NHFP=NHFC：.H,4、F、C 四点共圆，NDHC=NAFC=NAPC=NABC：.NABC+NBCH=NDHC+N

32、BCH=90：.CHAB,H 是ABC 的垂心。第四十九题:如图，点。、E分别在A C、A B k,BD与CE交于点、O,A D=AE,OC=OB.求证：A C=A B.（寻求直接证法）证明：作BC的中垂线交OE于F,交aB Er的外接 A圆于G,则ANADE=NAED=NBGF=NCGF/，C、D、F、G四点共圆又BFG丝CFG,.两圆为等圆：.NFEG=NFDG,：.GE=GD：.NEBG=ZDCG,而 NCBG=A BCG,二 NEBC=NDCB,：.AC=AB.第五十题:以任意四边形四条边为基础向外做正方形，连接相对两正方形的中心。求证：这两条线段垂直且相等。证明：如图。取力C中点Q,易得BHC绕点8逆时针旋转9 0 即得 B4因此g 4/,J i HCVAI所以。Q=Q P,且。Q_LQP,同理 N Q=Q M,且 NQ_LQM,:AOQM 94 PQN,且 OMUNO M-PN,得证。