黄岗中学高考数学二轮复习考点解析7：数列的综合考查.pdf

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1、湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析7：数列的综合考查数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面,等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面；（1）数列本身的有关知识,其中有等差数列与等比数

2、列的概念、性质、通项公式及求和公式。（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与儿何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。（文科考查以基础为主，有可能是压轴题）一、知识整合1 .在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前 n 项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；2 .在解决综合题和

3、探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力.3 .培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法.二、方法技巧1.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：（1）定义法：对于n22的任意自然数，验证4为同一常数。(2)通项公式法：若外=%+(n-i)d=%+(n-k)d ,则 4,为等差数列;若即，则 4 为

4、等比数列。(3)中项公式法：验证中项公式成立。2 .在等差数列%中，有关S,的最值问题常用邻项变号法求解：(1)当4 0,d 0八的项数m使得S”取最大值.&+i O0 寸，满足八的项数m使得外取最小值。区+出 0在解含绝对值的数列最值问题时，注意转化思想的应用。3 .数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。三、注意事项1 .证 明 数 列%是等差或等比数列常用定义，即 通 过 证 明%+|-%=%-*_ 或如=色 而 得。2 .在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求

5、解。(S W 0 =13 .注 意 s“与a 之 间 关 系 的 转 化。如：1 八 ，1 S,-S“_；0 n 2%=%+Z(4 -*-!)k=24 .数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路.5 .解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质,揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略.四.典型考例【问题1】等差、等比数列的项与和特征问题P 4 9 例 1 3 P5o 例 2 P5 6例 1 P5 9T6.注 1文中所列例题如末给题目原文

6、均为广州市二轮复习资料上例题例（四川卷）数列 叫的前项和记为5,，4=1必 用=25“+1（21）（【）求 叫 的 通项 公 式；（H）等 差 数 列 抄,的 各 项 为 正，其 前 项 和 为7；,且7；=15,又%+4,+%，%+/成等比数列，求Z,本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力。满 分12分。解：（I）由 a,1+l=2S+1 可 得=25_,+1（/?2）,两 式 相 减 得%,+1一%=24,4,+|=3。“（2）又。2=2S1+1=3二%=3%故 怎 是首项为1,公比为3得等比数列 二4=3T（II）设 也 的公比为d 由1=1 5得，可得优+%

7、+4=1 5,可得a=5故可设4=5 d,=5+d 又 q=1,4=3,%=9由题意可得（5 1+1乂5+1+9）=（5+3）2 解得 4 =2,4 =10 等差数列也 的 各 项 为 正，：.。A d=2：.n（n-l,T=3 H-乙 x 2=-+2 21.设等差数列”“的首项G及公差”都为整数，前“项和为S”.（I）若a“=054=98,求 数 列 斯的通项公式;（II）若例6,aH0,S”W 77,求所有可能的数列an的通项公式2.（上海卷）设数列 q 的前n项和为S“，且对任意正整数n,an+S“=4096。（1）求数列 a,J的通项公式？（2）设数列 log2%的前项和为7；,对数列

8、 4 ,从第几项起Tn 23+衣而，而 n 是正整数,于是,n24 6.，从 第 4 6 项起2Tn0,所以 2i/=1,解得q=；,因而 a“=%q T =(I I)因为%是首项为=，、公比q=1的等比数列，故-(1-)S“=1=”,1 2 2 1-2则数列 的前 n 项和 Tn=(1 4-2 4-4-M)(+=匕1 +2+.-+)-+4 +.-+2 2 22 23n-十2”2+.前两式相减，得=(1 +2 H-1-H)(+_ -2n -2+11%)(+1)2 2+4n 即 Tn2”+1 nn(n+1)1 n _d-H-2.2 i 241-12【问题2】等差、等比数列的判定问题.巴3 T7

9、例P54 T9 例P54 1 9（上海卷）已知有穷数列。“共有2女项（整数女）2）,颤a,=2.设该数列的前项和为 S ，且。+=(。-1)S“+2 (=1,2,2 k 1),其中常数。1.2(1 )求 证：数 列 an 是 等 比 数 列；(2)若 a=2 对，数 列 bn 满 足 a=)(=1,2,2 k),求数列”,的通项公式；n3 3 3 3(3)若(2)中的数列 2 满足不等式I 4 一 学+。一 学+也 I 一 字+也.一了W 4,求女的值.证 明 当 n=l吐 a2=2a,则&a；i2n2k1 时，an+i=(a1)Sn+2,an=(a1)Sn-i+2,an+lan=(a1)an

10、,&*=a,.,.数列 a/是等比数列.%w(n-l)/(/:-!)解：由 得 an=2aT；.aia2=2。1+2+,+(T)=2 a F _=2 Hb1 r (九 一 l)r n-1 1n=一 +-=-+l(n=l,2,.,2k).n 2k-1 2k-13 1 3(3)设b ,解得nq+,又 n 是正整数,于是当nk时,bnk+l 时,%一.23 3 3 3 3原式二(二bi)+(b2)+.+(bk)+(bk+i .+(b2k)2 2 2 2 2二(bk+i+b2k)(bi+b。(k+2k V)k-(0+左一l)k.2=2-+k -2-+k =2 k-i 21 2 k-1E L L当-斗

11、得 k2-8k+40,4-2 J3 k2,2k当 k=2,3,4,5,6,7时，原不等式成立.4.例,已知数列%中，S”是其前项和，并且5川=4 4+2(=1,2,),卬=1,(1)设 数 列 b“=%+1 -2%(=1,2,),求 证：数 列 也 是 等 比 数 列；设 数 列c“=会,(=1,2,)，求证：数列 c,J 是等差数列；求数列%的通项公式及前项和。分 析:由 于 b“和 c“中的项都和伯 中的项有关，6 中 又 有 5 向=m +2,可由s+2-S+1作切入点探索解题的途径 注 2本题立意与2007年高考题文科20题结构相似.解：由 Sn+1=4 a,+2,Sn+2=4a+1+

12、2,两 式 相 减,得 S n+2-S+,=4(a n+I-a ),即2,+2=42向 4 2 (根据上的构造，如何把该式表示成b“+1与 b”的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)a,1+2 a n+1=2(a n+,-2a“)，又 b“=a，用-2a“，所以 b,1+1=2b n 已知 Sz=4a+2,a j=1,a j+a2=4a j+2,解得 a2=5,b j=a2-2a j=3 由和得，数列 b 是首项为3,公比为2 的等比数列，故 b=3 2 T.因 为 =*(n N),所以-%=蒙-祟=%产=黑乙 乙 乙 乙 乙3 32n+1=4 a1 1 2又 分=号=5,故 数 列

13、 0 是 首 项 为 5,公 差 是 a 的 等 差 数 列，3 1(3)因 为,=费，X cn=|n-1,所 以 晟=-；，an=(3 n-l)2nq.当 n22 时，S,=4a“_1+2=2T(3n-4)+2；当 n=l 时，S|=a1=l 也适合上式.综上可知，所求的求和公式为S=2n-(3n-4)+2.说明：1.本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前项和。解决本题的关键在于由条件S,用=4%+2 得出递推公式。2.解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用.【问题3】函数与数列的综合题P5I例

14、3数列是一特殊的函数，其定义域为正整数集，且是自变量从小到大变化时函数值的序列。注意深刻理解函数性质对数列的影响，分析题目特征，探寻解题切入点.P51例 3(2 0 0 6 湖 北 卷)已知二次函数y=/(幻 的图像经过坐标原点，其导函数为/(x)=6x-2,数列 4 的 前n项和为S“，点(,S,)(I N*)均在函数)，=/(x)的图像上。(I)、求数列 ,的通项公式；(H)、设 么=一，7；是数列 4 的前n项和,a求使得7；为对所有 1 N都成立的最小正整数m；点评：本题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。解(I)设 这 二

15、 次 函 数 外(aWOJ,则由于广=6x 2,得a-3,b-2,所以 f(x)=3x 2 x.又因为点5,S)(G N*)均在函数)，=/(%)的图像上，所以5“=3 2 2几当 n22 时，an=SnSn-i=(3ni 22n)(3(n-1)2-2(n-1)=6n5.i I fl?1因此，要 使 一(1-；成立的”必须且仅须满足上忘仪，即2 6n+1 20 2 20加2 1 0,所以满足要求的最小正整数机为10.5-设力(x)=3,定 义 九。)=力 ,(刈,*=其中nGN*-(1)求 数 列 ,1的通项公式；(2)若72 =4+2 0+3/+2 的 ，当 n=l 时，ai=Si=3xl2

16、2=6x15,所以，an=6n5(N)3 3 1 1 1(I I)由(1)得知2=-=-F-T=-(-),+i(6n-5)6(n-l)-5 2 6n-5 6n+1C _ 1 八 1、/1、z 1 1 、_ 1 -1 、故 Tn-/b-(1)+(-)+(-)-(1 -)2 1 7 7 13 6-5 6/z+l J 2 6 +1解：(1)力(0)=2,1-4=12-+22=/-n+I（0）=/d A（0）=T 7y ./+|(0)-1 _ 1 +/(0)-1 _ 1-/(0)_ 1 /(0)-1 _ 1-=-=-=-(I加(0)+2-2-4+2/(0)-2 工,(0)+2-21 +上(0)数 列

17、斯上首项为工，公比为一,的等比数列，an4 2 4 2(2)=/+2。2+3。3 -一；72=（一3）%+（_ ）2。2 +（-g）3%+.+（1 1 03 1口一（彳）1 1 1 o 1两式相减得：-T2=4一f +x-（-）2-,T2=-（l-）1+26.（湖北卷）设数列他“的前门项和为5“，点（,5“）（双）均在函数丫=3乂-2的图像上。3（I）求数列 q 的通项公式；（II）设a=一，7；是数列 4 的前n项和，求使得aan+iTn 2对所有eN*都成立的最小正整数m。20本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力。解（I）依题意得

18、，&=3 2,即S“=3 2-2”。当 n22 时，a“=s“s“=(3 2 2)3(2(1)6n 5;当 n=l 时，=S-3X 12-2X1-1-6X1-5所以 Q.=6,15(e N)。(I I)由 3 一 1 1 _Q%”,.(6-5)6 2(6-5 6n+)得 因此，使 得 一 一 二 “(),/+1)代入上式，得。=1,.g 的方程为：y=x2+(2 n+3)x+n2+l.y lv_0=2 n+3,-k-=-=(-)n_xkn?+1)(2+3)2 2n +l 2+3+,=-(-)+(-)+-+(-)ktk2 k2 k k,fk 1 t 2 5 7 7 9 2 +l 2”+3-(-)

19、=-2 5 2+3 1 0 4+6点评：本例为数列与解析几何的综合题，难度较大。（1）、（2）两问运用几何知识算出7.已知抛物线 2=4 y,过原点作斜率1 的直线交抛物线于第一象限内一点耳，又过点6作斜率为;的直线交抛物线于点鸟，再过鸟作斜率为;的直线交抛物线于点尸3，如此继续，般地，过点匕作斜率为1 的直线交抛物线于点匕+1,设点与(x“，y”).(I )令=x2+1-，求证：数列%是等比数列.并求数列 2 的前n项和为S,解：(1)因为 R,(x“，y“)、E+|(x,+1,y.+1)在抛物线上，故x；=4 y“，=4 川,又 因 为 直 线 匕 的 斜 率 为 1-，即一)=L 代入可

20、得2 x+1 X 2t2 2 i iI X n+l-X n 1 14 x-x =F=X fl+l+X n=FIr人 +1人”乙 乙b.=x2 n+i-%2_(=(x2n+l+x2 ll)-x2 n+x2n_ I)=/*=*依 是 吟4 1 3 1为公比的等比数列；Sn=一一(1 一一)=-S +1 =,“3 4 4 4【问题5】数列与算法8.数列 4 的前w项和为S“=n、2n-l,试用程序框图表示数列通项的过程,并写出数列的前5 项和通项公式.9.根据流程图,(1)求 ；若a“=j 5 求n.【问题6】数列创新题1 0 .(安徽卷)数列 可 的前项和为S“，已知q =1,5=n2a-n(ii

21、-l),n=1,2,鬃(1 )写出S“与S“T的递推关系式(”3 2),并求S“关于的表达式;q(H)设/“(x)=、x+,=片(p)(p R)，求数列 4 的前项和驾。n解：由 S“=2a“一 1)(3 2)得：S=n2(S-5.,)-n(n-1),即(n2-1)S-2s“产(一 i),所以七L i s,一 5,.1=1,对“3 2 成立。n n-1.n+1 0 n 0 1 n 0 -1 c .3 c 2 0 ,由-Sn-7 sL i =1 ,-7s 1-2=1 ，S2 7 sl =相加得:n n-1 n-1 n-2 2 1n 4-1 1 7 72S n-25.I =n-11,又1 c =一

22、，所以S=,当=1 时，也成立。Hin 2 n+1q rj(n)由(x)=上用=-xn+,.得=f!,(p)=npn n n+1而，=p+2 P 2 +3p+(-l)pn1+npn,pTn=p?+2p3+3p4+(l)p+p ,(1-P)7；=p+p2+/+.+p i +p-npn+=P(l-P)-np+l1-PH.(福建卷)已知数列 册 满足卬=,+户1+?我们知道当。取不同的值时，得到不同的数列，如当a=l时，得到无穷数列：1,2,3一.;当4=-工时,得到有穷数列：1,-1,0.2 3 2 2(I)求当a为何值时“4=0；(II)设数列 b j满足b I=-1,bn+产J(w N)求证2

23、-1a取数列 bn中的任一个数，都可以得到一个有穷数列 ”；(I)解法一：v a-a,an+l-1 +一,a.,1 ,1 a+1 ,1a,=1 H-=1 +=-,%=1 +=Q i a a a22a+1 i 13a+22a+12.故 当 眸-5“4 =0.1 11 12 2解法二故为时 0,1H-=0,=-1.a3=1+,a,=一.,a,=1 -I,a=-a=-a4=0.a3 a2 2 a 3 3()解法一取谈列中的唐=今鱼手奶酱 f+La btl a=bn.=b,a2=1+=1+=如.a3=1+=1+一2%b./b-i a“=1+!-=1+；=伉=-1.an+l=0.%b2故a取数列 b j

24、中的任一个数，都可以得到一个有穷数列 斯12.(全国卷III)在等差数列%中，公差d W0,如是为与知的等比中项.己知数列q,%,%，心”，气,成等比数列，求数列伙“的通项心.解：由题意得：婚=4%.1分即(q +d/=q(%+3d).3 分又d W 0,/=d4 分又，处,，”,，成等比数列，该数列的公比为4=2=刎 _=3,.6 分4 d所以=。3向.8 分Kn 1又=%+（k“-l）d=kna、.10 分A kn=3n+l所以数列伙“的通项为kn=3n+1.12分课后训练：一、选 择 题（共 10小题，每小题3 分，共 30分）1.如果-1,a,勿c,-9 成等比数列，那么A.ZF3,a

25、c=9 B.Z=-3,ac=9 C.Z=3,ac=-9 D.b=-3,ac=-92.在等差数列 a“中，已知a =2,a 2+。3 =,则“4+05+06等于A.40 B.42 C.43 D.453.（06广东卷）已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为1 5,偶数项之和为3 0,则其公差为A.5 B.4 C.3 D.24.若互不相等的实数a,4 c 成等差数列，c,a/成等比数列，月/+3b+c=1 0,则。=A.4 B.2 C.-2 1）.-45.（06江西卷）已知等差数列（仇的前n 项和为S“，若 丽=a】GA+azoo反，且 A、B、C三点 共 线（该直线不过原点0）,则S 2 0 0

26、=（）A.100 B.101 C.200 D.2016.（文科做）在等比数列 叫 中,q =2,前”项和为S.，若数列 a,+1 也是等比数列，则S,等于A.2+|-2 B.3/1 C.2n D.3-l1.已知数列 怎 满足囚=0,。,m=一（WGN*）,则a2 m=V3a+1()A.0 B.-y3 C.*/3 D.-28.(06全国I D 设 S“是等差数列 “的前”项和，啸=/则*=3-10A1-341一8C1-99.已知等差数列%中,。2+方=8,则该数列前9项和S 9 等于（）A.1 8 B.2 7 C.3 6 D.4510.（06 天津卷）已知数列 怎 、a 都是公差为1 的等差数列

27、，其首项分别为为、仇，且 4 +4=5,at,h eN*.设 c“=4 （eN*）,则麴 U c,J 的前 1 0 项和等于（）A.5 5 B.7 0 C.8 5 D.1 00二、填 空 题（共 6 小题，每小题4 分，共 24分）11.设 S“为等差数列 a,的前 项和，54=1 4,SI O-S7=3 O,则 S g=.12.在 数 列 小中，若。=1,。+尸 2 斯+3 （几 2 1）,则该数列的通项即=.13.已 知a,b9a+b成等差数列，a,b,ab成等比数列,且 0v l og （）l,则m的取值范围是14.等差数列 恁 共有2+1 项，其中奇数项之和为3 1 9,偶数项之和为2

28、 9 0,则其中间项为15.设等比数列 a,的公比为q,前 n项和为S ,若 S m S”，S,也成等差数列，则 q的值为.三、解 答 题（共 4 小题，每小题4 分，共 24分）1 6 .已知正项数列 a“,撷 项 和 S “满足I O S,=a j+5 a“+6,且,生,阳成等比数列,求数列%的通项a”.1 7 .（文科做）（06 福建）已知数列 a“满足q =1,%=3,“2=3。“+1-2%（旷）.（I）证明：数列 6 出%是等比数列；（H）求数列 q 的通项公式；（I I）若数列也 满足行评44T =（%+卢（e N*）,证明弧 是等差数1 8 .（山东卷）已知数列 a“由4=，、点

29、（K 2b在直线y=x 上，其中n=l,2,3.（I）令勿=*T-%-3,求证数列例提等比数列；（II）求数列 见的通项;(H I)设S“、T”分 别 为 数 列%、也 的 前n项和,是否存在实数X ,使得数列为等差数列？若存在，试求出/L若不存在,则说明理由。答案与点拨：1 B解：由等比数列的性质可得a c=(-1)X (-9)=9,b X b=9且b与奇数项的符号相同，故b=-3,选B2 B 解：在等差数列 4 中，已知q =2,出+%=1 3,工 d=3,5=1 4,%+%+。6=3。5=42,选B.3 D解:5。+20d=1 55。+25d=3 0=d =3 ,故选 C.4 D解：由互

30、不相等的实数。,儿。成等差数列可设=1 3(1,=6+5由+3/?+c =1 0可得b=2,所以a =2 d,c =2 +d,又c,。,/?成等比数列可得d=6,所以a=-4,选D5 A解：依题意，a i+a2(x)=b故选A6(文)C解：因数列 4 为等比，则=2/i,因数列 4+1 也是等比数列，则(4+1 +1)2 =(4+1)(+2+1)=4+:+2 a,用=aitan+2+an+an+2 n an+an+2=2an+in(1 +q 2 _ 2q)=0=q =即 见=2,所以S=2，故选择答案C。7 .A 提示：由 a i=0,a“+=，-(w N*).得 a 2=-6,%=J i,%

31、=0,.V 3a +1由此可知：数列 a j是周期变化的，且三个一循环，所以可得:a 20=a 2=-7名 故 选A8 A解:由等差数列的求和公式可得区=3%+3=1，可得 =2 d且d H 0S6 6 q+l 5 d 3 r r.,6 a,+1 5 J 27d 3 小所以=一!-=一，故选ASi2 1 2q+6 6 d 90d 1 0点评：本题主要考察等比数列的求和公式，难度一般9 c解：在等差数列&中，改+例=8,二%+偈=8,则该数列前9项和$9=图 上 =36,选 c10 C 解：数列%、2 都是公差为1 的等差数列，其首项分别为、伉，且4+仇=5 ,w N*.设 c“=4,(e N*

32、),则 数 列 匕,的前10项 和 等 于福+%+。狐=%+%+1+%+9，。仇=%+(4一 1)=4，；.4+低+|+%+9=4 +5 +6 +1 3=8 5,选 C.1 1.(文)解：设等差数列%的首项为由，公差为d,由题意得4%+4 4=1 4,1 0 a,+1 0 0 1)d-la.+处0 d =30,联立解得 a i=2,d=1,做 S9=9 x 2 +”工 1 =5 42 2 212.2,+|-3 解：在 数 列%中，若 at=l,a,1+1=2 a +3(n l),二a+1+3=2(a+3)(n l),即+3 是以+3=4为首项，2 为公比的等比数列，a,+3=4 2T=2日,所

33、以该数列的通项a=2n+1-3.1 3.(8,8)提 示 解 出 a、仇解对数不等式即可.答案：(一8,8)1 4 a i i=29 提示s 利用S命/S(号=上旦得解。答案8第 1 1 项 a“=29n1 5.2 提示：由题意可知 q W l,；可得 2(1 -qn)=(1 -qn+1)4-(1 -qn+2),BP q2+q-2=0,解得 q=-2或 q=l(不合题意，舍去),.q=-2.1 6 解：1 3.解a V 1 0 Sn=an2+5 an+6,J 1 0 a 尸a/+5 a+6,解之得由=2 或 a 1=3.又 1 0 S n-尸 a 2+5 a n-i+6(n 22),由一得 1

34、 0 a n=(a，一a n-)+6(a n a n I),即(a/a n i)(a n a n 5)=0V an+an-0 ,A anan-j=5 (n 2).当 a i=3 0 t,a3=1 3,a i 5=73.ah 3声 1 5 不成等比数列.a|W 3;当 a 1=2 时，23=1 2,a 1 5=72,有 a 32=a(a i 5,/.a i=2,.*.an=5 n 3.1 7.(I )证 明-an+2=3an+i-2an,a-a。“+2 一%=2(a“+i -%).%=1,%=3,，=2(e N*).a+l an：.%M 4“是 以%q =2 为首项，2 为公比的等比数列。(I

35、I)解：由 得+1-an=2(e N*),an=(a-4一)+(an_x-a,一 2)+(/一 )+%=2+2-+.+2+1 =2-1(w N*).(I l l)证明：/AZ.*=3“+1 声，；.4出+3+-+4)=2nb,2(bt+b2+.+bn)-n =nbn,2(+b2+.+bn+bn+i)-(n+1)=(n+l)bn+i.一，得 2(%+1)=(+1)+或，即5-1)么+昉“+2=0.明+2-(+1血+1 +2=0.一，得勿+2 -2b.+i+nb=0,即 bn+2-2bn+l+bn=0,b,m(n e N*),/.但 是等差数列。18.(山东卷)已知数列 a“)由4=g、点(R2h

36、“+1-a”在直线y=x上，其中n=l,2,3.(I)令a=%-6-3,求证数列物,提等比数列;(H)求数列 a,掷 通 项；(III)设S“、T”分 别 为 数 列 乐 、也 的 前 n 项和,是否存在实数义，使得数列广:，为等差数列？若存在，试求出/I.若不存在,则说明理由。解 由已知得 a=-,2 an+=an+n,3t3 1 3=一 =-1 -,4 4 2 4又 或=q+1-%一1，,+|=%+2-4+1 1 1，%+i+(+l)a”+.如=-一%-1 =2 2=2=1b.+2 -f ln+i-1 a+i _ a-1%一%-1 23 1 2 是以一 为首项，以/为公比的等比数列.3 1

37、 3 I(ID 由(D 知，b=-x ,4 2 2 2,3 1 ,3 1一 an+an -=一 万*?，1 22,3 1将以上各式相加得：3 1an l=2X2 /八 3/1 1、an-a-(n-l)=-(-+-+-+-),an=q+l=1 2一击）1-T1 3 1 3=-+(1)二(1-)+n-2.2 2 2T 23.4 =旃 +-2.(III)解法一：c 1存在几=2,使数列 是等差数列.ns =al+a2+-+all=3(y+-+-+-)+(1+2+-+H)-2M3x-(1-)2 2IT-2 =3(1一/)+n2-3M 3 n2-3n 3-=+-+3.2 2+(+1)22一 (13 1

38、3 3北=4+打+a=-j-=1-2数列S+忆 是等差数列的充要条件是S+犯=A n+B,（A、B是常数）nn即 S+AT=An2+B n,又 S.+47；=3 n2-3/7 _ 4/3 3.n-3n.2.1、+-+3+2(一一+r)=-+3(1)(1)2 2 2 2,+,2 2 2.当且仅当1 4 =0,即 =2时，数列 5二 为 为等差数歹2n解法二：C I VT存在4=2,使数列 是等差数列.n由 、(II)知，an+2b=n-2.-.Sl l+2T=-2nn(n+1)S+2Tn 2 2 2；n n-3 2-2-工=-4-=-1-2nnn_ 2（i _L）又T.=b.+b,+-+bA U y）3 1 3 3n=口=-（1 ）=_2+二 1 2 .1 2 2 2 2+l1-2V=n-3+2-2（-二）n2 n2 2n+l.当且仅当4=2时，数列 每二4是等差数列.n