12高等数学课件(完整版)详细.ppt

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1、12高等数学课件(完整版)详细常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件*四、柯西审敛原理四、柯西审敛原理 第一节当级数收敛时当级数收敛时,称差值称差值为级数的为级数的余项余项余项余项.则称无穷级数则称无穷级数发散发散发散发散 .显然显然例例例例1.1.讨论等比级数讨论等比级数(又称几何级数又称几何级数)(q q 称为公比称为公比 )的敛散性的敛散性.解解解解:1)1)若若从而从而因此级数收敛因此级数收敛 ,从而从而则部分和则部分和因此级数发散因此级数发散 .其和为其和为2).2)

2、.若若因此级数发散因此级数发散 ;因此因此n n 为奇数为奇数n n 为偶数为偶数从而从而综合综合 1)1)、2)2)可知可知,时时,等比级数收敛等比级数收敛 ;时时,等比级数发散等比级数发散 .则则级数成为级数成为不存在不存在 ,因此级数发散因此级数发散.例例例例2.2.判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性:解解解解:(1)(1)所以级数所以级数 (1)(1)发散发散 ;技巧技巧技巧技巧:利用利用“拆项相消拆项相消拆项相消拆项相消”求求和和(2)(2)所以级数所以级数 (2)(2)收敛收敛,其和为其和为 1.1.技巧技巧技巧技巧:利用利用“拆项相消拆项相消拆项相消拆项相消”求和求和 例例

3、例例3.3.判别级数判别级数的敛散性的敛散性 .解解解解:故原级数收敛故原级数收敛 ,其和为其和为二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质 性质性质性质性质1.1.若级数若级数收敛于收敛于 S S,则各项则各项乘以常数乘以常数 c c 所得级数所得级数也收敛也收敛 ,证证证证:令令则则这说明这说明收敛收敛 ,其和为其和为 c S.c S.说明说明说明说明:级数各项乘以级数各项乘以非零常数非零常数后其敛散性不变后其敛散性不变 .即即其和为其和为 c S.c S.性质性质性质性质2.2.设有两个收敛级数设有两个收敛级数则级数则级数也收敛也收敛,其和为其和为证证证证:令令则则这说明级数这说明级数

4、也收敛也收敛,其和为其和为说明说明说明说明:(2)(2)若两级数中一个收敛一个发散若两级数中一个收敛一个发散 ,则则必发散必发散 .但若二级数都发散但若二级数都发散 ,不一定发散不一定发散.例如例如例如例如,(1)(1)性质性质2 2 表明收敛级数可逐项相加或减表明收敛级数可逐项相加或减 .(用反证法可证用反证法可证)性质性质性质性质3.3.在级数前面加上或去掉在级数前面加上或去掉有限项有限项有限项有限项,不会影响级数不会影响级数的敛散性的敛散性.证证证证:将级数将级数的前的前 k k 项去掉项去掉,的部分和为的部分和为数敛散性相同数敛散性相同.当级数收敛时当级数收敛时,其和的关系为其和的关系

5、为类似可证前面加上有限项的情况类似可证前面加上有限项的情况 .极限状况相同极限状况相同,故新旧两级故新旧两级所得新级数所得新级数性质性质性质性质4.4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和的和.证证证证:设收敛级数设收敛级数若按某一规律加括弧若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列则新级数的部分和序列 为原级数部分和为原级数部分和序列序列 的一个子序列的一个子序列,推论推论推论推论:若加括弧后的级数发散若加括弧后的级数发散,则原级数必发散则原级数必发散.注意注意注意注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但

6、但发散发散.因此必有因此必有例如例如，用反证法可证用反证法可证用反证法可证用反证法可证例如例如例例例例4.4.判断级数的敛散性判断级数的敛散性:解解解解:考虑加括号后的级数考虑加括号后的级数发散发散 ,从而原级数发散从而原级数发散 .三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件 设收敛级数设收敛级数则必有则必有证证证证:可见可见:若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于0,0,则级数必发散则级数必发散则级数必发散则级数必发散 .例如例如例如例如,其一般项为其一般项为不趋于不趋于0,0,因此这个级数发散因此这个级数发散.注意注意注意注意:并非级数收敛的充分

7、条件并非级数收敛的充分条件.例如例如例如例如,调和级数调和级数虽然虽然但此级数发散但此级数发散 .事实上事实上事实上事实上 ,假设调和级数收敛于假设调和级数收敛于 S S,则则但但矛盾矛盾!所以假设不真所以假设不真 .二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛 第二节第二节一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法若若定理定理定理定理 1.1.正项级数正项级数收敛收敛部分和序列部分和序列有界有界 .若若收敛收敛 ,部分和数列部分和数列有界有界,故故从而从而又已知又

8、已知故有界故有界.则称则称为为正项级数正项级数 .单调递增单调递增,收敛收敛 ,也收敛也收敛.证证证证:“”“”“”“”定理定理定理定理2 2(比较审敛法比较审敛法比较审敛法比较审敛法)设设且且(1)(1)若级数若级数则级数则级数(2)(2)若级数若级数则级数则级数则有则有收敛收敛 ,也收敛也收敛 ;发散发散 ,也发散也发散 .是两个是两个正项级数正项级数,(n=1,2,3)(n=1,2,3)例例例例1.1.讨论讨论 P P 级数级数(常数常数 p p 0)0)的敛散性的敛散性.调和级数与调和级数与 P P 级数是两个常用的比较级数级数是两个常用的比较级数.若存在若存在对一切对一切证明级数证明

9、级数发散发散 .证证证证:因为因为而级数而级数发散发散根据比较审敛法可知根据比较审敛法可知,所给级数发散所给级数发散 .例例例例2.2.2.2.定理定理定理定理3.3.(比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式)则有则有两个级数同时收敛或发散两个级数同时收敛或发散 ;(2)(2)当当 l l=0 0 (3)(3)当当 l l=设两正项级数设两正项级数满足满足(1)(1)当当 0 0 l l N 时,对区间 I 上的一切 x 都有则称该级数在区间 I 上一致收敛于和函数S(x).在区间 I 上的和函数,任意给定的 0,显然,在区间 I 上 一致收敛于和函数S(x)部分和序列一致收敛于S(x)余项

10、 一致收敛于 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 几何解释几何解释:(如图)当n N 时,曲线 总位于曲线之间.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例1.1.研究级数 在区间 0,+)上的收敛性.解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 余项的绝对值:因此,任给 0,取自然数 则当n N 时有这说明级数在 0,+)上一致收敛于 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例2.2.证明级数 在 0,1 上不一致收敛.证证:取正数 对无论多么大的正数 N,因此级数在 0,1 上不一致收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明说明说明:对任意正数 r 0,欲使只要因此取只要即级数在

11、 0,r 上一致收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 维尔斯特拉斯维尔斯特拉斯维尔斯特拉斯维尔斯特拉斯(WEIERSTRASS)(WEIERSTRASS)判别法判别法判别法判别法 用一致收敛定义判别级数的一致收敛性时,需求出 这往往比较困难.下面介绍一个较方便的判别法.若函数项级数在区间 I 上满足:则函数项级数 在区间 I 上一致收敛.简介 目录 上页 下页 返回 结束 证证:由条件2),根据柯西审敛原理,当 n N 时,对任意正整数 p,都有 由条件1),对 x I,有故函数项级数 在区间 I 上一致收敛.证毕机动 目录 上页 下页 返回 结束 推论推论.若幂级数的收敛半径 R 0,则

12、此级 数在(R,R)内任一闭区间 a,b 上一致收敛.证证:则对 a,b 上的一切 x,都有 由阿贝尔定理(第三节定理1)级数 绝对收敛,由维尔斯特拉斯判别法即知推论成立.说明说明:若幂级数在收敛区间的端点收敛,则一致收敛 区间可包含此端点.证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.证明级数在(,+)上 一致收敛.证证:而级数收敛,由维尔斯特拉斯判别法知所给级数在(,+)上 一致收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:维尔斯特拉斯判别法不仅能判别级数的一致收 敛性,而且能判别其绝对收敛性.当不易观察到不等式可利用导数求例如例如,级数用求导法可得已知收敛,因此原级数在0,+)

13、上一致收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、一致收敛级数的基本性质二、一致收敛级数的基本性质定理定理1.若级数 证证:只需证明由于机动 目录 上页 下页 返回 结束 因为级数一致收敛于S(x),使当 n N 时,有对这样选定的 n,从而必存在 0,从而得证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:(1)定理1 表明,对一致收敛的级数,极限运算与无限 求和运算可交换,即有(2)若函数项级数不一致收敛时,定理结论不一定成立.例如例如,级数 在区间 0,1 上处处收敛,而其和函数在 x=1 处不连续.机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理定理定理2.2.若级数 则该级数在 a,

14、b 上可逐项积分,且上式右端级数在 a,b 上也一致收敛.证证:因为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 所以只需证明对任意 一致有 根据级数的一致收敛性,使当 n N 时,有于是,当 n N 时,对一切 有因此定理结论正确.证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明说明说明:若级数不一致收敛时,定理结论不一定成立.例如例如,级数 它的部分和 因此级数在 0,1 上收敛于 S(x)=0,所以但是为什么对级数定理结论不成立?分析它是否满足 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理2 条件.级数的余项 可见级数在 0,1 上不一致收敛,此即定理2 结论 对级数不成立的原因.机动 目录 上页

15、 下页 返回 结束 定理定理定理定理3.3.若级数 且可逐项求导,即 证证:先证可逐项求导.根据定理2,机动 目录 上页 下页 返回 结束 上式两边对 x 求导,得 再证根据定理 2,而机动 目录 上页 下页 返回 结束 所以级数一致收敛并不保证可以逐项求导.例如,例3中的级数说明说明说明说明:在任意区间上都一致收敛,但求导后的级数 其一般项不趋于 0,所以对任意 x 都发散.证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例4.4.证明函数 对任意 x 有连续导数.解解:显然所给级数对任意 x 都收敛,且每项都有连续导数,而逐项求导后的级数 故级数在(,+)上一致收敛,故由定理3可知 再由定

16、理1可知 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理定理定理4 4 .若幂级数若幂级数的收敛半径则其和函在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径相同,即证证:关于和函数的连续性及逐项可积的结论由维尔斯 特拉斯判别法的推论及定理 1,2 立即可得.下面证明逐项可导的结论:机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证证证:则由比值审敛法知级数 故故存在 M 0,使得 由比较审敛法可知机动 目录 上页 下页 返回 结束 上一致收敛,故原级数内任一闭区间上满足定理3条件,从而可逐项求导,即知 再证级数 的收敛半径 由前面的证明可知 若将幂级数 机动 目录 上页 下页 返回

17、结束 级数的收敛半径不会缩小,因逐项积分所得 幂级数 (R,R)内有任意阶导数,且有 其收敛半径都为 R.推论推论推论推论.的和函数 S(x)在收敛区间 证毕作业作业P237 1;3(2);4(2),(4),(5)第七节 目录 上页 下页 返回 结束 维尔斯特拉斯维尔斯特拉斯(1815 (1815 1897)1897)德国数学家.他的主要贡献是在函数论及分析学方面.1854年,他解决了椭圆 以后还建立了椭圆函数的新结构.他在分析学中建立了实数理论,引进了极限的 定义,定义及性质,还构造了一个处处不可微的连续函数:积分的逆转问题,给出了连续函数的严格为分析学的算术化作出了重要贡献.第七节第七节一

18、、三角级数及三角函数系的正交性一、三角级数及三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数傅里叶级数傅里叶级数 一、三角级数及三角函数系的正交性一、三角级数及三角函数系的正交性简单的周期运动:(谐波函数)(A为振幅,复杂的周期运动:令得函数项级数为角频率,为初相)(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数.定理定理定理定理 1.1.组成三角级数的函数系组成三角级数的函数系正交,上的积分等于 0.即其中任意两个不同的函数之积在上的积分不等于 0.且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 二、二、函数展开成傅里叶级数函数展开成傅里

19、叶级数定理定理 2.设 f(x)是周期为 2 的周期函数,且右端级数可逐项积分,则有叶系数为系数的三角级数 称为的傅傅里里叶系数叶系数;由公式 确定的以的傅里里的傅傅里里叶级数叶级数.称为函数 定理定理定理定理3 3(收敛定理收敛定理收敛定理收敛定理,展开定理展开定理展开定理展开定理)设 f(x)是周期为2的周期函数,并满足狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)条件条件:1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2)在一个周期内只有有限个极值点,则 f(x)的傅里里叶级数收敛,且有 x 为间断点其中为 f(x)的傅里里叶系数.x 为连续点注意注意:函数展成傅里里叶级数的条件比展成幂级数的条

20、件低得多.例例例例1.1.设 f(x)是周期为 2 的周期函数,它在 上的表达式为解解:先求傅里里叶系数将 f(x)展成傅里里叶级数.1)根据收敛定理可知,时,级数收敛于2)傅氏级数的部分和逼近说明说明说明说明:f(x)的情况见右图.例例例例2.2.上的表达式为将 f(x)展成傅里里叶级数.解解:设 f(x)是周期为 2 的周期函数,它在 说明说明:当时,级数收敛于周期延拓傅里里叶展开上的傅里里叶级数定义在定义在定义在定义在 ,上的函数上的函数上的函数上的函数 F F(X X)的傅氏级数展开法的傅氏级数展开法的傅氏级数展开法的傅氏级数展开法其它例例例例3.3.将函数将函数级数.则解解:将 f(

21、x)延拓成以 展成傅里里叶2为周期的函数 F(x),利用此展式可求出几个特殊的级数的和.当 x=0 时,f(0)=0,得说明说明说明说明:三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数1.周期为2 的奇、偶函数的傅里叶级数定理定理4.对周期为 2 的奇函数 f(x),其傅里里叶级数为周期为2的偶函数 f(x),其傅里里叶级数为余弦级数,它的傅里里叶系数为正弦级数,它的傅里里叶系数为例例例例4.4.设设的表达式为 f(x)x,将 f(x)展成傅里里叶级数.是周期为2 的周期函数,它在解解:若不计周期为 2 的奇函数,因此n1根据收敛定理可得 f(x)的正弦级数:级数的部分和 n2n3n4逼近 f(

22、x)的情况见右图.n5例例例例5.5.将周期函数将周期函数展成傅里里叶级数,其中E 为正常数.解解:是周期为2 的周期偶函数,因此2.2.在在0,0,上的函数展成正弦级数与余弦级数上的函数展成正弦级数与余弦级数周期延拓 F(x)f(x)在 0,上展成周期延拓 F(x)余弦级数奇延拓偶延拓正弦级数 f(x)在 0,上展成例例例例6.6.将函数将函数分别展成正弦级数与余弦级数.解解:先求正弦级数.去掉端点,将 f(x)作奇周期延拓,注意注意:在端点 x=0,级数的和为0,与给定函数因此得 f(x)=x+1 的值不同.再求余弦级数再求余弦级数.将则有作偶周期延拓,说明说明:令 x=0 可得即内容小结

23、内容小结1.周期为 2 的函数的傅里里叶级数及收敛定理 其中注意注意:若为间断点,则级数收敛于2.周期为 2 的奇、偶函数的傅里里叶级数 奇函数正弦级数 偶函数余弦级数3.在 0,上函数的傅里里叶展开法 作奇周期延拓,展开为正弦级数 作偶周期延拓,展开为余弦级数1.在 0,上的函数的傅里里叶展开法唯一吗?答答:不唯一,延拓方式不同级数就不同.思考与练习思考与练习处收敛于2.2.则它的傅里里叶级数在在处收敛于 .提示提示:设周期函数在一个周期内的表达式为 ,4.4.写出函数写出函数傅氏级数的和函数.答案:EX:1.1.叶级数展式为则其中系提示提示:的傅里 傅里叶傅里叶(1768 1830)(17

24、68 1830)法国数学家.他的著作热的解析 理论(1822)是数学史上一部经典性 书中系统的运用了三角级数和 三角积分,他的学生将它们命名为傅里叶级数和傅里叶积分.最卓越的工具.以后以傅里叶著作为基础发展起来的 文献,他深信数学是解决实际问题傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展 都产生了深远的影响.狄利克雷狄利克雷(18 05 (18 05 1859)1859)德国数学家.对数论,数学分析和数学物理有突出的贡献,是解析数论 他是最早提倡严格化方法的数学家.函数 f(x)的傅里叶级数收敛的第一个充分条件;了改变绝对收敛级数中项的顺序不影响级数的和,举例说明条件收敛级数不具有这样的性质.

25、他的主要的创始人之一,并论文都收在狄利克雷论文集(1889一1897)中.1829年他得到了给定证明第八节第八节一般周期的函数的傅里叶级数一般周期的函数的傅里叶级数 一、以一、以2 l 为周期的函数的为周期的函数的傅里叶展开傅里叶展开 二、傅里叶级数的复数形式二、傅里叶级数的复数形式一、以一、以2 L 为周期的函数的傅里叶展开为周期的函数的傅里叶展开周期为 2l 函数 f(x)周期为 2 函数 F(z)变量代换将F(z)作傅氏展开 f(x)的傅氏展开式设周期为2l 的周期函数 f(x)满足收敛定理条件,则它的傅里里叶展开式为(在 f(x)的连续点处)其中定理定理定理定理.说明说明说明说明:其中

26、(在 f(x)的连续点处)如果 f(x)为偶函数,则有(在 f(x)的连续点处)其中注注:无论哪种情况,在 f(x)的间断点 x 处,傅里里叶级数收敛于如果 f(x)为奇函数,则有 例例例例1.1.把把展开成(1)正弦级数;(2)余弦级数.解解:(1)将 f(x)作奇周期延拓,则有在 x=2 k 处级数收敛于何值?(2)(2)将将 作偶周期延拓,则有说明说明:此式对也成立,据此有利用欧拉公式欧拉公式二、傅里叶级数的复数形式二、傅里叶级数的复数形式设 f(x)是周期为 2 l 的周期函数,则注意到同理傅里叶级数的复数形式傅里叶级数的复数形式:因此得式的傅里里叶级数.例例例例4.4.把宽为把宽为

27、,高为高为 H H,周期为周期为 T T 的矩形波展成复数的矩形波展成复数形形解解:在一个周期它的复数形式的傅里里叶系数为内矩形波的函数表达式为为正弦 级数.内容小结内容小结1.周期为2l 的函数的傅里里叶级数展开公式(x 间断点)其中当f(x)为奇 函数时,(偶)(余弦)思考与练习思考与练习1.将函数展开为傅里里叶级数时为什么最好先画出其图形?答答:易看出奇偶性及间断点,从而便于计算系数和写出收敛域.习题课习题课级数的收敛、求和与展开级数的收敛、求和与展开 三、幂级数和函数的求法三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和付式级数四、函数的幂级数和付式级数 展开法展开法一、数项级数的审敛法一、

28、数项级数的审敛法二、求幂级数收敛域的方法二、求幂级数收敛域的方法 求和展开(在收敛域内进行)基本问题基本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开.为傅立叶级数.为傅氏系数)时,时为数项级数;时为幂级数;一、数项级数的审敛法一、数项级数的审敛法1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.正项级数审敛法必要条件不满足发 散满足比值审敛法根值审敛法收 敛发 散不定 比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限3.3.任意项级数审敛法任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法判别法:若且则交错级数收敛,概念概念:且余项若收敛,称绝对收敛若发散,称条件收敛例例例例1.1.若级数若级数均收敛,且证明级

29、数收敛.证证:则由题设收敛收敛收敛练习题练习题:P322 1;2;3;4;5解答提示解答提示解答提示解答提示:P322 题2.判别下列级数的敛散性:提示提示:(1)据比较判别法,原级数发散.因调和级数发散,利用比值判别法利用比值判别法,可知原级数发散可知原级数发散.用比值法,可判断级数因 n 充分大时原级数发散.用比值判别法可知:时收敛;时,与 p 级数比较可知时收敛;时发散.再由比较法可知原级数收敛.时发散.发散,收敛,P323 P323 题题3.3.设正项级数设正项级数和也收敛.提示提示:因存在 N 0,又因利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.都收敛,证明级数当n N 时P323

30、P323 题题4.4.设级数设级数收敛,且是否也收敛？说明理由.但对任意项级数却不一定收敛.问级数提示提示:对正项级数,由比较判别法可知级数收敛,收敛,级数发散.例如,取P323 P323 题题5.5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:提示提示:(1)P 1 时,绝对收敛;0 p 1 时,条件收敛;p0 时,发散.(2)因各项取绝对值后所得强级数 原级数绝对收敛.故 因单调递减,且但所以原级数仅条件收敛.由Leibniz判别法知级数收敛;因所以原级数绝对收敛.二、求幂级数收敛域的方法二、求幂级数收敛域的方法 标准形式幂级数:先求收敛半径 R,再讨论 非标

31、准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性.P323 题7.求下列级数的敛散区间:练习练习:解解:当因此级数在端点发散,时,时原级数收敛.故收敛区间为解解:因故收敛区间为级数收敛;一般项不趋于0,级数发散;求部分和式极限三、幂级数和函数的求法三、幂级数和函数的求法 求和逐项求导或求积分对和式积分或求导难直接求和:直接变换,间接求和:转化成幂级数求和,再代值求部分和等 数项级数 求和练习练习练习练习:解解:(1)显然 x=0 时上式也正确,故和函数为而在x0P323 题8.求下列幂级数的和函数：级数发散,四、函数的幂级数和付式级数展开法四、函数的幂级数和付式级数展开法 直接展开法 间接展开法练习练习:1.将函数展开成 x 的幂级数.利用已知展式的函数及幂级数性质 利用泰勒公式解解:1.函数的幂级数展开法2.2.设设,将 f(x)展开成x 的幂级数,解解:于是2.函数的付式级数展开法系数公式及计算技巧;收敛定理;延拓方法练习练习:上的表达式为将其展为傅氏级数.P323 题11.设 f(x)是周期为2的函数,它在解答提示解答提示思考思考:如何利用本题结果求级数根据付式级数收敛定理,当 x=0 时,有提示提示:此此课件下件下载可自行可自行编辑修改，修改，仅供参考！供参考！感感谢您的支持，我您的支持，我们努力做得更好！努力做得更好！谢谢!