2020年数学高考真题卷--全国Ⅲ卷理数（含答案解析）.pdf

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1、2020年普通高等学校招生全国统一考试-全国in卷理科数学一、选择题：本题共12 小题,每小题5分，共 6 0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=（.X,y）|x,y G N*,y x ,8=（x,y）I 户片8,则 4 C8 中元素的个数为A.2 B.3 C.4 D.62 .复数士 的 虚部是3 .在一组样本数据中，1,2,3,4 出现的频率分别为出,R,p3,A,且Z P,=1,则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是A.pi=p=Q.1,pz=pi=Q.4B.pi-piO,4,pz=pi=Q.1C.访 二 p.4.2,pz=.3D.p-7 9 1

2、 0.3,p j 0.24.L o gi s t i c模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累 计 确 诊 病 例 数（力的单位:天）的 L o gi s t i c模型：/1）工+-。-53），其中 为最大确诊病例数.当/（力 R.95 逆时，标志着已初步遏制疫情，则，约为（I n 19-3）A.6 0 B.6 3 C.6 6 D.6 95.设 0 为坐标原点，直线x t与抛物线（0）交于 两点,若 0D L0E,则 C 的焦点坐标为A.（；,0）B.（；,0）42C.（1,0）D.（2,0）6 .已知向量a 满足|a 巧，16|W,a 。二

3、则 co s=7 .在/回中，co s 心|,/C M,贝 I co s B=B.-C.-8.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A.6+4或B.4+4近C.6+2百D.4+2百9.已知 2tan，一tan(+)=7,则 tan 夕-4A.-2 B.-l C.1 D.21 0 .若直线/与曲线片妙和圆岁+三都相切,则y的方程为A.片2户1 B.C.yA+1 D.y g产：1 1.设 双 曲 线 嗜-(於0,力0)的左、右焦点分别为R,凡离心率为遍.乃是。上一点,且FPLRP.若4如石的面积为4,则4=A.1 B.2 C.4 D.81 2.已知 5 81,1 31 8.设 a-logsS

4、,Z?-logs5,c-logi38,贝！JA.abc B.从水。C.Kca D.ca 0,1 3.若x,y满足约束条件2x-y 0,则z=3户2 y的最大值为_.(x 1,1 4.(?+与6的展开式中常数项是(用数字作答).X-1 5.已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则 该 圆 锥 内 半 径 最 大 的 球 的 体 积 为.1 6.关于函数F(x)=sin 有如下四个命题：sinxf(x)的图象关于y轴对称.f(x)的图象关于原点对称.f(x)的图象关于直线x=:对称.f(x)的最小值为2.其 中 所 有 真 命 题 的 序 号 是.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或

5、演算步骤.第1 7 2 1题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.（一）必考题:共60分.17.（12 分）设数列 a 满足团=3,计 算 血 猜 想 a 的通项公式并加以证明;求数列 27.的前项和S.18.（12 分）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表（单位:天）：空气质量等级锻炼人次0,200(200,40(400,600 01（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）720（D 分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4 的概率；（2）求一天中到该公园锻炼

6、的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1 或 2,则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3 或 4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据,完成下面的2 X 2 列联表,并根据列联表,判断是否有95绑J把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次W400 人次 400空气质量好空气质量不好附,R -n(ad-bc)2P (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)k)0.0 0.0 0.0 05 0 1 0 1k3.8 6.6 1 0.84 1 3 5 2 81 9.(1 2 分)如图，在长方体ABC D-A BC 中，

7、点E,尸分别在棱D D”期 上,且2D E=EIX,BF丸F氏.证 明：点 G在平面4 跖 内；若A B 2 AD=1,AA,求二面角力-环力的正弦值.2 0.(1 2 分)己知椭圆C:当 马=1 (0 3 5)的离心率为组A,8分别为C 的左、右顶点.2 5 m2 4(1)求，的方程；若点一在，上，点 0 在直线尸6上,.BP =BQ,BPLBQ,求 内 的面积.2 1 .(1 2 分)设函数f(x)=x+b xc,曲线y=f(x)在点(1,/(,)处的切线与y 轴垂直.求 6；(2)若 f(x)有一个绝对值不大于1 的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1.(二)选考题:共1 0

8、分.请考生在第2 2、2 3 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.2 2 .选修4 M:坐标系与参数方程(1 0 分)在直角坐标系如中，曲线C 的参数方程为俨=(t为参数且-1),C 与坐标轴交于A,6两点.求 1/创；(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线的极坐标方程.2 3 .选修4 T:不等式选讲(1 0 分)设 ay by R,c j+Z?+c 4),a b c=1.(1)证明：a b-b c+c a 0;(2)用 m a x a,b,c)表示 a,b,c 的最大值,证明：m a x a,b,c，游.1234567891 01 11 21 31 4

9、1 51 6CDBCBDACDDAA72 4 0一乐n3l.C【考查目标】本题主要考查集合的表示,集合的交运算，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解题思路】根据集合4 6所表示的含义写出4 n 户 (1,7),(2,6),(3,5),(4,4),进而得解.【解析】由题意得,4 C 户 (1,7),(2,6),(3,5),(4,4),所以4C6中元素的个数为4,选 C2.D【考查目标】本题主要考查复数的运算与虚部的概念，考查的核心素养是数学运算.【解题思路】先运用复数的运算化简,然后结合虚部的概念求解即可.【解析】士焉急苦？磊*所 以 虚 部 明3.B【考查目标】本题主要考查标准差，考查的核

10、心素养是数据分析、数学运算.【解题思路】根据选项中概率分别列出其分布列与数学期望,进而计算标准差,最后比较即可.【解析】对于A,当 6和=0.1,pz=pQ.4时,随机变量用的分布列为“1 2 3 4P 0.1 0.4 0.4 0.1(%)=1 XO.1 +2 X0.4+3 X 0.4+4 X 0.1=2.5,(才)=(1-2.5)2 X0.1 +(2-2.5)2 X 0.4 ,(3-2.5)2 X 0.4 +(4-2.5)2X0.l=1.52X 0.1 4).5 2 乂0.4 4).5 2 乂0.4+1.5 2 乂0.1=0.6 5,所以诙.对于B,当p、=p H.4,pp,=Q.1 时,随

11、机变量龙的分布列为%1 2 3 4P 0.4 0.1 0.1 0.4(%)=1 X 0.4 +2 X 0.1+3 X 0.1+4 X 0.4=2.5,D(X3=(1-2.5)2 X0.4 +(2-2.5)2 X0.1 +(3-2.5)2 X0.1 +(4-2.5)2X 0.4=1.52X 0.4 0.52X 0.1 0.52X 0,H l.52X 0.4 .8 5,所以J 5 两 二 VT 丽.对于C,当PI=PA=O.2,p2=Pi=0.3时,随机变量用的分布列为%1 2 3 4P 0.2 0.3 0.3 0.26(%)=1 XO.2+2 X O.3+3 X 0.3+1 X O.2=2.5,

12、(后=(1 2 5)2X O.2 +(2-2.5)2X O.3 +(3-2.5)2X O.3 +(4-2.5)2X O.2=1.5,X O.2 对.5 2 X O.3。5 2 X O.3 +1.5 2 X O.2=1.0 5,所以 斤 两 加 砺.对于D,当R=p.Q.3,pz=p.H.2时,随机变量”的分布列为X 1 2 3 4P 0.3 0.2 0.2 0.3(%)=1 X 0.3 +2 X0.2+3 X 0.2*1 X 0.3=2.5,次/)=(1-2.5)2X0.3 +(2-2.5)2X 0.2 +(3-2.5)2X 0.2 +(4-2.5)2X0.3=1.52X O.3 m.5 2

13、X O.2 X).52X O.2+1.5?XO.3=1.4 5,所以,。陷)4 1.4 5.所以 B 中的标准差最大.4 .C【考查目标】本题主要考查指数与对数的运算，考查的核心素养是数学建模、数学运算.【解题思路】由题意列方程,利用对数与指数的运算求解即可.【解析】由题意可知，当/(力9 5 4时,一 焉=力.9 5 4 即l+e，023(t-53)康=1 佗2 3(t、S3),e 2 3(t F 3)磊 e 0.2 3(，-5 3)=i 9,.：o.2 3 (t*-5 3)=l n 1 9 3,:.户 6 6.故选 C.5 .B【考查目标】本题主要考查抛物线的方程与性质，直线与抛物线的位置

14、关系，考查的核心素养是直观想象、数学运算.【解题思路】联立直线与抛物线方程可得片于2 诉,得到点D,的坐标,结合勿，庞1 可得p,从而得解.【解析】将直线方程与抛物线方程联立,可得y=2拈不妨设。(2,2而,以2,-2 而)，由OD LOE,可得0D -OE=4Ap=0,解得p=l,所以抛物线。的方程为/之其焦点坐标为 0).6 .D【考查目标】本题主要考查平面向量的夹角，向量的数量积，向量的模等，考查的核心素养是数学运算.【解题思路】利用向量的数量积及向量的模分别求出a-(a+6)和/a 丹/，然后利用向量的夹角公式求解即可.【解析】由题意，得 a (a+拉=+a 6=2 5-6=1 9,/

15、a+b/=ia2+2a b +b2-V2 5 -1 2 +3 6-7,所以c o s 3 a+6,*二19-I*故选 D.|a|a+b|5X7 357 .A【考查目标】本题主要考查余弦定理在解三角形中的运用，考查的核心素养是直观想象、数学运算.【解题思路】先根据余弦定理求解出的长，进而求解c o s 8.【解析】由余弦定理得病力d+a2-2 4 c x6 c xe o s C=1 6 为-2 X 4 X 3 X 2=9,4 8=3,所以c o s 6 史上竺二故32x9 9选 A.8 .C【考查目标】本题主要考查三视图及几何体表面积的求解，考查的核心素养是宜观想象、数学运算.【解题思路】由三视

16、图得出该几何体为三棱锥,根据三棱锥的特征求解其表面积即可.【解析】由三视图知该几何体为如图所示的三棱锥P-ABC,其中必，平面ABC,AB LAC,AB=AC=AP.,故其表面积 S=X 2 X 2）X3 X（2 V 2）2X si n 6 0 【解题关键】求解本题的关键是根据三视图还原直观图，并准确得出每条棱的长度.9 .D【考查目标】本题主要考查两角和的正切公式的应用，考查的核心素养是数学运算.【解题思路】利用两角和的正切公式化简得方程,解方程求解.【解析】由已知得2 ta n 上 吟 W,得 ta n 8 2l-tan01 0 .D【考查目标】本题主要考查直线与圆、直线与曲线的切线方程的

17、求解，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解题思路】利用直线与圆、曲线均相切建立方程，再解方程即可.【解析】易知直线/的斜率存在，设 直 线/的 方 程 为 则 心 卷 ，设直线，与 曲 线 的 切vfcz+l 5点坐标为（刘,J 焉）（加刀），则y I x=X o W x0 2 =k y x=kxo+b,由可得吟J 焉,将吟叵修沏方代入。导司=1 或（舍去），所以k=*故直线1的方程为看了41 1 .A【考查目标】本题主要考查双曲线的方程和几何性质、焦点三角形问题，考查的核心素养是直观想象、数学运算.【解题思路】设/必/可，/图根据三角形的面积及双曲线的定义、离心率列方程即可求得a的值，也

18、可根据双曲线中焦点三角形面积公式以及离心率列出方程求解.【解析】通解 设 PR I=抵,%/=,P 为双曲线右支上一点，则54&尸 2 和“m-n=2a,m+n=c,又e 二4号,所 以 a=l,选 A.a优解 由题意得,S.PF F 得。2 工 又 W石，c W +a：所以a=Ld P F F i tan45 a2【二级结论】双曲线焦点三角形面积公式双曲线盘q 二 1 （a k，6 刈 的 左、右焦点分别为凡凡 夕为双曲线上一点.若NFPB=9,则S.pFiFz嚓.0 21 2.A【考查目标】本题主要考查对数大小的比较，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【思维导图】3 乍为中间变量f b

19、3 乍为中间变量-a :c b a.4 4_4 A 4 A【解析】因为g=l og s8 W,6=l og s5,（屈）“3 5 ,所以8 D 5,-1 og 8 s 1 og85 =b,即 b.因为9 1 0 g l 3之 c=l og 8,（逮）5=1 3 W,所以 1 3s8,所以9 1 og i 31 3 l og i 38=c,即 c 又 2 1 8 7 -37 5 M 1 2 5,所以l g 37l g 5：所以7 1 g 35 1 g 5,所以昙。所以a 七 4 g,而 8 飞 1所以5 1 g 8 b a.1 3.7【考查目标】本题主要考查线性规划问题，考查的核心素养是直观想象

20、.【解题思路】作出可行域，根 据 z的几何意义即可求解.【解析】根据约束条件作出可行域,如图中阴影部分所示.结合图形可知，当直线过点A（l,2）时,z取得最大值，且 久 x-3 X I+2 X 2 7.1 4.240【考查目标】本题主要考查二项式定理的应用，考查的核心素养是数学运算.【解题思路】先借助二项展开式的通项建立方程,再求解常数项即可.【解析】（/夕 展 开 式 的 通 项 加 气（V 严（工2 产 ，令 1 2-3 尸0,解得r=4,所以常数项为C%2 4 0.1 5 亭【考查目标】本题主要考查圆锥的内切球，考查的核心素养是直观想象、数学运算.【解题思路】先根据题意得到半径最大的球为

21、该圆锥的内切球,再根据垂直关系列方程,求出内切球的半径,最后求体积即可.【解析】易知半径最大的球即为该圆锥的内切球.圆锥加及其内切球。如图所示,设内切球的半径为R,则 si n/6/方 嗫 嗡 三,所以0P$R,所以P E 4 R N PB2-BE2 7 3 2 c 2 T m,所 以 栏,所 以 内 切 球 的 体 积 烤”日等九即该圆锥内半径最大的球的体积为当儿1 6.【考查目标】本题主要考查函数的奇偶性、函数图象的对称性以及函数的最值问题，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【思维导图】代)的 定 义 域 (3)为真命题-由已知条件一 一 当si n x 0时,/(x)0为假命题-真的是

22、有题号所命序【解析】由题意知f(x)的定义域为x/x WA”,4 6 Z),且关于原点对称.又A-%)F i n(-x)、=-(si nsin(-x)xj)=-(*),所以函数f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,所以为假命题，为真命题.因为/(V-sm x2x)si n(-x)+-气o s x J-,f(=+x)=si n(J+x)+-mo s 所以 f-+x)=f(-x),所以函数2 sin(y.x)cosx 2 2 s i n(+x)COST 2 2A x)的图象关于直线xg对称,为真命题.当si n x0时,f(x-)e,所以为假命题.1 7.【考查目标】本题主要考查等差数列的证明与错

23、位相减法，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解题思路】(1)计算&,血通过句,的为猜测通项公式,并结合已知等式证明；(2)根据错位相减法求数列的和.解：a2=5,a s=7.猜想a之行1.由已知可得a.|-(2+3)书 a 0-(2+l),a“-(2+l)=3 a-i-(2 n-l),S 2-5=3(a i-3).因 为 所 以a“=2n+.(2)由(1)得 2&=(2*1)2 ,所以ST X2 5 X22+7X-h-+(2 H)X2 .从而 2 s4X2,当 X2 3+7 X2 -(2 +1)X 2,+1.-X2+2 X2,2 X23+2 X2 -(2+l)X2 .所以 =(2 T)2

24、+2.【题型风向】根据递推公式猜想通项公式,再证明猜想,是数列求通项公式的一种常见手段，但近年来考试较少,是一个新的动态与风向.1 8.【考查目标】本题主要考查古典概型以及独立性检验，考查的核心素养是数学运算、数据分析.【解题思路】(1)根据所给数据分别求解概率；(2)根据所给数据求解平均数；(3)根据所给数据填写列联表，计算出片，进行判断.解：(1)由所给数据,该市一天的空气质量等级为1,2,3,4 的概率的估计值如表：空 气 质 量 等 级 1 2 3 4概率的估计值0.4 3 0.2 70.2 1 0.0 9(2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为击(1 0 0 X 2 0 +3 0

25、 0 X 3 5 巧0 0 X 4 5)=3 5 0.(3)根据所给数据,可得2 X 2 列联表：人次W 4 0 0 人次,4 0 0空气质量3 3 3 7好空气质量2 2 8不好根据列联表得1 1OOX(33X8-22X 37)2%5 055x45x70 x30由于5.82 0,3.84 1,故有9 5 懈把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【命题分析】题目以空气质量问题为背景，借助表格表达出了频率分布直方图的效果，让人耳目一新.1 9.【考查目标】本题主要考查四点共面以及二面角的正弦值的求解，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.【解题思路】（1）通过证明4

26、G四点共面即可得证；（2）以 G为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求平面AEF、平面4所的法向量进行计算,即可得解.解:设/4=c,如图，以 G为坐标原点,石瓦的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系G -xyz.(1)连接 C F,贝 I G(0,0,0)(a,d c),E(a,0,|c),A O,b,：c),而=(0,6,c),于=(0,6,：c),得 丽 哥,因 此 必 即 4,；G四点共面，所以点G在平面力外内.(2)由已知得 4(2,1,3),(2,0,2),6(0,1,1),4(2,1,0),荏=(0,T,T),而=(-2,0,-2),砧=(0,-1,2),/=(-2,0,1).设

27、 m=(x,%z)为平面/外的法向量,则%由可取-1,1).设2 为平面4）的法向量,则a ,竺=同理可取它与2,1）.（n2 4 尸=0,乙因为c o s S,吟 丁4=咚 所以二面角力-跖-4 的正弦值为尊.I n d|n2|7 7【真题互鉴】共面问题在2 0 1 9 年全国能选择题中已有端倪,2 0 2 0 年以解答题的形式出现,是2 0 1 9 年的延续.2 0 .【考查目标】本题主要考查椭圆的几何性质以及直线与椭圆的位置关系，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.解题思路(1)根据离心率建立方程求得k即可得解;(2)根据/郎/=/幽/及药功 求 出P,Q的坐标，则三角形面积可

28、求.解：(1)由 题 设 可 得 空 士 号,得命鼻所 以。的 方 程 为 号=1.16 设P(xPi%),0(6,%),根据对称性可设分X),由题意知力X).由己知可得6(5,0),直 线 彼 的 方 程 为(x-5),yQ所 以 Pl=yJ l+据，因为/2/=/功/,所以力=1,将力，=1代 入。的方程,解得x 产3 或-3.由直线第的方程得加4 或 8.所以点 P,0 的坐标分别为 A(3,1),。(6,2);丸(-3,1),Q(6,8)./1 /W T o,直线P Q的方程为y f x,点A(-5,0)到直线R Q的距离为邛，故 4 R Q的面积为g*工|x V T U g./a/W

29、 i 3 0,直线2Q 的方程为yx好，点、A到直线RQ 的距离为缪，9 3 26故 APi Qz 的面积为工X，：。x-/1 3 02 26 2综上，初0 的面积为|.【解题关键】解析几何问题解题的关键在于几何条件的转化与应用，本题中相等与垂直关系转化为坐标关系是整个问题的关键环节.2 1 .【考查目标】本题主要考查导数在研究曲线的切线以及函数零点中的应用，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.【解题思路】(1)根据题意知F(x)在 x f 时导函数值为0,即可求出6的值；(2)由(1)知 F(x)及-(X),求出 F(x)的单调区间及极值,根据题设确定c 的取值范围,分类讨论即可得

30、证.解：f x)x+b.依题意得f 9=0,即尹加0.故b=4(2)由(1)知 f(x)=x-x+c,f (x)考、士4 4令f (x)=0,解得x=T或X总f (x)与与力的情况为:X(-8,-1)-if+0(x)120G，+哈+f(x)/4Xic-4/因为f(i)=(T)=g所以当e g时,5)只有大于1的零点.因为A-D=C-,所 以 当 时，/U)只有小于-1的零点.由题设可知q w cw 4 4当c=T时，F(x)只有两个零点3和1.42当 丹 时,f(x)只有两个零点-1和34 2当时，F(x)有三个零点X i,X 2,X 3,且(-1,3),X 2G，心仁(i,1).4 4 2

31、2 2 2综上,若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，则/(X)所有零点的绝对值都不大于1.2 2.【考查目标】本题主要考查考生对参数方程的理解以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解题思路】(1)分别令产2 _ 3”d R,求出曲线C与坐标轴的交点坐标，再求加；(2)根据(1)求出直线4 6的直角坐标方程,再利用公式转化为极坐标方程.解：(1)因为由2-LdR得t=-2,所 以，与y轴的交点为(0,1 2);由2T打/次 得皿所 以。与x轴的交点为(M,0).故JABIN6 0(2)由(1)可知,直线的直角坐标方程为5必=1,将 x=oc os 0,y-P s i n，代入,得直线4 6 的极坐标方程-4 12为 3 0c os -P sin 6+12巾.【题型风向】题目的新颖之处是根据参数方程求解曲线与x,y 轴的交点坐标，体现了对参数方程的深刻理解,角度新颖.2 3.【考查目标】本题主要考查不等式的证明及基本不等式的应用，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.解：(D 由题设可知,a,6,c 均不为零,所以a b+b c+c a曰(a+6+c)-(a，W)法)0.(2)不妨设 ma x a,b,c =a,因为 a b c=,a=-不+c),所以 a X),6 0,c 讽4 4所以 ma x a,b,c 2 游.