2020年数学高考真题卷--新高考Ⅰ卷（山东卷）文数（含答案解析）.pdf

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1、2020年普通高等学校招生全国统一考试 新高考I卷(山东考卷)数 学一、选择题:本题共8 小题,每小题5 分，共 4 0 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .设集合在 x|l W K 3,此 川2 2 4,则AUB=A.X|2 A3 B.X 2 X3C.X|1 WX4 D.X 1 A n,则。是椭圆,其焦点在y 轴上B.若m=n X),则 C 是圆，其半径为诉C.若 侬。则 C 是双曲线,其渐近线方程为尸土D.若灰0,n X),则 C 是两条直线1 0 .如图是函数尸si n(a x+。)的部分图象,则si n(x+)-A.si n(x+g)B.si n(y-2x)C

2、.c os(2x+2)6D.c os(2-2x)1 1.已知 a 0,6 加,且 a+6=l,贝 l jA.a+l)-B.2 32 2c.log 2K log zA N-2 D.1 2.信息燃是信息论中的一个重要概念.设随机变量才所有可能的取值为1,2,且P(X=i)=pi X)i=,2,r i),pt=1,定义1的信息端(=-2 log 办A.若 n=l,则(a-0B.若n t,则(出随着P的增大而增大C.若p,g,2,n),则随着n的增大而增大nD.若n=2m,随机变量F 所有可能的取值为1,2,m,且P(Y=J)=p j+m S,2,血,则/(於三、填空题：本题共4小题,每小题5 分，共

3、 20 分.1 3 .斜率为e 的 直 线 过 抛 物 线 的 焦 点,且 与 C 交于A,8两点,则|第二.1 4 .将数列 2-1 与 3/7-2)的公共项从小到大排列得到数列 a ,则 4 的前n项和为1 5.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件,零件的截面如图所示.0 为圆孔及轮廓圆弧 所在圆的圆心，A是圆弧4 6 与直线4 G 的切点,6是圆弧4 6 与直线勿的切点，四边形DEFG为矩形,BCVDG,垂足 为 6ta n/0 DC=|,BH/DG,EF=2 c m,DEt c m,A到直线比和环的距离均为7 c m,圆孔半径为1 c m：则图中阴影部分的面积为 c m?.1 6.已知

4、直四棱柱ABCD-ABCD的棱长均为2,ZW-60 .以为球心,有 为半径的球面与侧面8 C G吕的交线长为.四、解答题:本题共6小题，共7 0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.（1 0 分）在a c/4 c s i n上3,方这三个条件中任选一个,补充在下面问题中，若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.问题:是否存在 4 6 C它的内角A,用C的对边分别为a,b,c,且s i n 4/sin B,C=j _ _ _ _ _ _ _ _ _ _?6注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.18.（12 分）已知公比大于1的等比数列 a满足a=

5、8.（1）求 a 的通项公式；（2）记 为 a在区间（0,血（加G N）中的项的个数,求数列 为 的 前10 0项和S。.19.（12 分）为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了 10 0天空气中的P M 2.5和S 02浓度（单位:u g/m3），得下表:P M 2.5S O2 0,5 0 (5 0,15 0 (15 0,4 7 5 0,3 5 3 2184(3 5,7 5 6812(7 5,115(1)估计事件“该市一天空气中P M 2.5浓度不超过7 5,且S O?浓度不超过15 0”的概率;(2)根据所给数据,完成下面的2 X2列联表：P M 2.

6、5S 02 0,7 5(7 5,115 0,15 0(15 0,4 7 5(3)根据(2)中的列联表,判断是否有9 9黜把握认为该市一天空气中P M 2.5浓度与S O?浓度有关?n(ad-bcy(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)以 冷0.0 5 0 0.0 10 0.0 0 1k)k 3.8 4 1 6.6 3 5 10.8 2820.(12 分)如图，四棱锥尸-/归口的底面为正方形,如，底面ABCD.设平面必。与平面P8C的交线为1.证 明：/，平面 已 知PD=AD=,0为1上的点,求必与平面初所成角的正弦值的最大值.；21.(12 分)已知函数/(x)=a e、T-ln x+ln

7、 a.(1)当 a 三 时,求曲线片/()在点(1,/)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若/求a的取值范围.22.(12 分)已知椭圆(a 0)的离心率为手,且过点/(2,1).(1)求。的方程；点 M N在。上,且AMA.AN,ADL MN,为垂足.证明:存在定点。使得|D Q为定值.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16C D C B C B A D ACD BC ABD AC 3n 2n 空+4”l .C【考查目标】本题主要考查集合的并运算，考查的核心素养是数学运算.【解题思路】直接依据集合并集的定义即可求解.本题也可采用排除法得出正确选

8、项.【解析】4=x/lW xW 3,8=x/2a4,则 8=*/1 Wx4,选 C.【解题妙招】采用排除法，由于1G4=X/1WX 3 ,所 以 1G 4U 6.而选项A,选项B和选项D中的集合均没有元素1,故选C.2.D【考查目标】本题主要考查复数的四则运算，考查的核心素养是数学运算.【解题思路】解法一 利用复数的运算法则进行求解.解法二 利 用 i2=-l进行替换，化筒即可解得.解法二 利 用 i-1 进行替换,则磊喂蓍嗡=：鬻 j 选 D.3.C【考查目标】本题主要考查计数原理的相关知识，考查的核心素养是数学运算.【解题思路】利用分步乘法计数原理即可求解.【解析】黑髭析=60.【题型风向

9、】计数原理问题简单化是新高考命题的趋势.【举一反三】如果将该题的问题改成:前提条件不变,往甲、乙、丙三个场馆中的一个场馆安排1 名，一个场馆安排2 名，一个场馆安排3 名，那么不同的安排方法有CK式弘g=360（种）.4.B【考查目标】本题主要考查数学文化以及空间几何的相关知识，考查的核心素养是直观想象、数学运算.解题思路】依据题目的信息画出剖面图即可解决.【解析】过球心。、点A以及唇针的轴截面如图所示,其中为唇面,C尸为唇针所在直线,尸为点A处的水平面，GF1 CD,CD/OB,/力 吩 40 ,Z OAE=Z OAFO ,所以NG用二NG4O=N”户40 .故选 B.0【题型风向】以古代数

10、学文化为背景,考查考生的阅读理解能力、抽象概括能力是高考的命题趋势.5.C【考查目标】本题考查生活中的实际问题，考查的核心素养是逻辑推理和数学运算.【解析】不妨设该校学生总人数为1 0 0,既喜欢足球又喜欢游泳的学生人数为x,则 1 0 0 X 9 6%=1 0 0 X 6 0 劣-1 0 0 X 8 2%,所以*N 6,所以既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为4 6%选 C.6.B【考查目标】本题主要考查数学知识在实际问题中的应用，考查的核心素养是数学建模、数学运算.【思维导图】-*/(t1)=e0 3 8 t ln-R o 28T=6 cc _,指、对 运 算.一用RC+r

11、l-*r=0.3 8 /(t2)=e0 3 8 t 2-结 果f/&)=2/力【解析】吊=1 打7；/3.2 8=1 4r,.：尸0.3 8.若 /(t2)=e-3 8%则e 3 8(tz&)2 0.3 8(友 F)-I n 2 0.6 9,8,选 B.7 .A【考查目标】本题主要考查平面向量数量积的几何意义，考查的核心素养是直观想象、数学运算.【解析】AP 荏=/方/话/c o s/用8=2/而/c o sN为5,又 罚/c o sN必8表示存在荏方向上的投影,所以结合图形可知，当。与 C 重合时投影最大，当。与尸重合时投影最小.乂正 B-2 V 3 X 2 X c o s 3 0 4 族

12、南 2 X 2 X c o s 1 2 0 =-2,故当点尸在正六边形/式婀内部运动时,Q 而 G(-2,6),故选A.8 .D【考查目标】本题主要考查函数的性质，考查的核心素养是数学运算、直观想象.【解析】通解 由题意知f(x)在(-R O),(0,+2 单调递减，且/(-2)=f(2)=f(0)4 当 x A)时，令/(1)2 0,得 0 WxT近2,.：1 WXW 3 ;当 x 0 时，令 F(x T)W 0,得-2 W*T 0,.：T 又 x 0,.：T W x 0;当 x=Q 时,显然符合题意.综上,原不等式的解集为 T,0 U 1,3 ,选 D.优解 当产3时,A 3-1)符合题意

13、,排除B;当 xN 时,A 4-1)53)。此忖不符合题意,排除选项A,C.故选 D.9 .ACD【考查目标】本题主要考查曲线与方程的有关知识，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】对于选项A,.：0 q 号 方 程m-+n y=l可变形为竽殍=1,.：该方程表示焦点在y轴上的m n椭圆，正确;对于选项B,：例,.：方程mf+n=l可变形为丁+/鼻,该方程表示半径为 的圆，错误;对于选项C,：,加 刀 )O,.：2 X+4=2k +K,k 6Z,即 =2k/上,A G Z,故 y=s i n(2x j Z).由于6 6 6 3 3尸s i n(2x 4 号)-s i n 冗 -(2x 彳

14、)E i n(.2x),故选项 B 正确;片s i n G|-2X)三o s 马2x)=c o s(2x q)，选n 2项 C正确;对于选项A,当时,s i n(Z J)=1W O,错误;对于选项D,当 产 占 卫 时,Co s(-2X )=1W-66 3 2 12 6 121,错误.当3 二-2 时,片s i n(-2x+。)，将(,0)代入,得s i n(-2X g+O)4),结合函数图象，知-2 X2+0 5+2k6 6 6J i,A G Z,得6 与+2k w,A W Z,.：片s i n(-2x，?,但当产0 时,片s i n(-2x 专 )-y =1,.：/行 今正确;对于选项B,

15、易知O Q 1,06 1,.：T Q-b 2T 焉正确;对于选项C,令 g,后,则 l o g 怖+l o g 2：=-2+l o g 永-2,错误;对于选项 D,:丘=2(a +b),.y/2(a +b)2-(V a +b)-a +b-2f a b=(y/a-V b)20,.：VHA/FWV,正确.故选A B D.【拓展结论】气W V S F W 法 W产 手(a 刀,0,当且仅当a 当 时取等号).12.A C【考查目标】本题以信息嫡为背景考查概率与统计知识，属于新定义型题目，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解题思路】对于选项A,直接求解即可.对于选项B,可考虑取特殊值来处理.对于选

16、项C,由pa 得nH(#=log2,从而可判断单调性.对于选项D,由P Y=J)般”2 (齐，2,而得P(J M)=p、+p加;P Y=pz+；P(Y聆二出+p”2；P(Y=而 二 p”打.从而 H(X)=-(j911og2/?l 9J_Og2Rj f (lo g 2 R 9旷llog20mT)+(pJ_Og2热9+1 log2n+l)jM=WB+PQ 1 0 g2(Pl+pQ+(pz+pQ 1 0 g2(P#3B i +M+p Q lo g2(Pw+pQ】,由(力-(心及对数运算和对数函数的性质可得(D 7/00.【解析】对于选项A,若 则 口=1,logzlR,=dog2 Pl=T o g

17、 z l或A正确.对于选项B,当口=4nn时,(a=-E P i l o P i =-(P i，o g 2P l +P 2,o g 2P 2)=-(?0。2；+沙。2 J当P l =1时,H(X)=-E p J o g 2R=-i=li=l(P i l o g 20621o g 2R)=-(|l o g t*l o g 23,由此可得，当口三与0rl时，信息端相等，:B不正确.对于选项C,若nPi 则(於二0l o g 2R二 一(三l o g 2工 六,d l o g 2与则丝二l o g 2，随着n的增大而增大,C正确.对于选n .t t=ln n n n n项D,若n名叫随机变量V的可能

18、取值为1,2,，m,由P Y=J)=p+S,2,，而知，P(K-l)=pi 2)=Pz+Pn；P(Y=)=；P(y=m)=pz+pw.(心二 一(pilog2 pl/(R log2”也g l o g 2。叱i)+(pAo g2p-f-p x 1 o g2p i),(丹 二 一(/?!+pQ l o g 2(P 1+P1 4 1)l o g 2 1)i +5m+pC l o g 2 (伉加，l),(Y)-/M(P 1 l o g 2(P 1+pQ i +M+p Q l o g 2 (而也”)峭 l o g 2。也，0 g 2。产，+p1 0 g2Pm+pC0 g2P*Pl*10 g2 十3 l

19、o g2 0 2 m.易 矢 口 Q _。,，()。2 m 1,.：P i+P 2 m P i+P 2 m P i+P z m P i+P 2 ml o g?2。，log/J-e,(2 A+1)-2=6/+l,4 G N,得 a=Gn-5,z?G N*.故 Xn=Q n-2n.易错警示】本题易犯令4=以求n的错误,错误在于这样求解的前提是两个等差数列公共项的位置相同,且项数也相同，与题意不符.15.4【考查目标】本题主要考查扇形、圆、三角形面积的计算等，考查考生分析和解决实际问题的能力,考查的核心素养是数学建模、数学运算.【解题思路】作出辅助线,将阴影部分的面积转化为一个直角三角形与一个扇形的

20、面积和再减去一个小半圆的面积即可求解.【解析】如 图,连 接 明 作AQVDE,交 9 的延长线于Q,用人斯于M,交DG千 E 交BH干尸，记 过。且垂直 于%的 直 线 与 加 的 交 点 为P,设OPm,则DP?m,不难得出第=7,4 M=7,于是AE=5,EG,.；N AGE=/AHF 为等腰直角三角形，又 AF=5/n,OF3 T m,AF=0 F,.：5-3 3=7-5 勿,得 m=,43m2 OF3 f m 2 ；.0 A 2 ,则阴影部分的面积S 嚷X X（2 2 y x 2 或 乂2 企 4=（？（c m?）.16【考查目标】本题主要考查直四棱柱的结构特征、球面与平面的交线问题

21、，考查的核心素养是直观想象、数学运算.【解析】如图,连接B D,易 知 为 正 三 角 形,所 以 分 别 取BC,BB“C G的中点也G,连接RM,仄 H,则易得G=OHZ 22+1 2下,且 仇 由 题 意 知G,分别是微，C G与球面的交点.在侧面6%由内任取一点。，使物01,连接I XP,则BP=j Di M2+MP2=J（e）2+（7 2）2-7 5,连接MG,MH,易得MG=MH=&,故可知以为圆心,四 为 半 径 的 圆 弧 为 球 面 与 侧 面BCCB的交线.由N B、MG=N G 阳=45 知/G 姓众）,所 以 四 的长为二 2 n xe上红.421 7.【考查目标】本题

22、主要考查正弦定理、余弦定理的应用，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解题思路】结合已知条件,根据正弦定理及余弦定理可得a M b,b=c,选择a c f后,可由a=b,b=c,求得a,b,c的值,得到结论;选择c s in 上3,可 由 6二得到4 B,进而求得a,b,c的值,得到结论;选择c 二 Wb、与 6二 c 矛盾，得到结论.解:方案一:选条件由 力 和 余 弦 定 理 得 尤 察 磬.6 2ab 2由 sin/=、后sin 8 及正弦定理得a个G。于 是 皇 券 孝,由此可得b=c.由 a c/3,解得 aW3,b-c=.因此,选条件。时问题中的三角形存在,此时。=1.方案二:选

23、条件由 片 和 余 弦 定 理 得 粤 M磬.6 2ab 2由 s i n 力 f 后s i n 夕及正弦定理得a=3b.于 是 笑 由 此 可 得b-c,B=C力手2V3b,2 6 3由csin A=3,所以 C=6=2V5,a=6.因此选条件刎问题中的三角形存在，此 时 C-2V3.方案三:选条件.由 片 和 余 弦 定 理 得 名 空 磬.6 2ab 2由 s i n 力 力&s in 夕及正弦定理得aW 5b.于 是 嗡 尹 亭,由 此 可 得b=c.由与6=c矛盾.因此,选条件硼问题中的三角形不存在.【举一反三】在解三角形时通常借助正弦定理或余弦定理进行边角互化,一般来说，已知两边及

24、一对角时可考虑用正弦定理，已知两边及夹角时可考虑用余弦定理.【高考风向】本题以解三角形为背景命制，给定了若干条件（在这些条件下三角形并不能随之确定），在此基础上让学生在另外给出的几个条件中自主选择,在所选条件下,若问题中的三角形存在,求解三角形;若问题中的三角形不存在,说明理由.18.【考查目标】本题主要考查等比数列的通项公式，数列求和，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【思维导图】(1)设 a,的公比为q坐a、，q f a“g 由已知一6=0,且 2W屐2 “时，/w r-S o o解：(1)设&的公比为q.由题设得a、q+a d之。,&/=8.解 得(舍 去)，g W.由题设得a,=2.

25、所以 a 的通项公式为a,W .由 题 设 及 知th=Q,且当2W屐2 时，b.=n.所以 S。%+抬 以)+(4 也+氏物)*，+3+”+尻+(志+蜃户+%。)4)+1 X2+2 X 22 3 X 23M X 21 5 X 25X(1 00-6 3)=4 8 0.【解题关键】求解本题第(2)问的关键在于找准勿的取值和当的联系,可从小到大进行列举,找规律,从而可得结果.19.【考查目标】本题主要考查概率以及独立性检验，考查的核心素养是数学运算、数据分析.【解题思路】(1)根据表中的数据，由古典概型的概率计算公式可得结果；(2)由表中数据得到2 X 2列联表；(3)由(2)中数据及*的计算公式

26、求出下的值,即可作出判断.解：(1)根据抽查数据,该市1 00天空气中的P M 2.5浓度不超过7 5,且 S O z 浓度不超过1 5 0的天数为3 2+1 8 与舟4 4,因此,该市一天空气中P M 2.5 浓度不超过7 5,且 S 02 浓度不超过1 5 0的概率的估计值为-0.6 4.100(2)根据抽查数据,可得2X2列联表：0,1 5 0(1 5 0,4 7P M 2.5 I 门so2 5 0,7 5 6 4 1 6(7 5,1 1 5 1 0 1 0(3)根据(2)的列联表得始00 x(64x10-16x10)2 7,4 8 480X20X74X26由于7.4 8 4 6.6 3

27、 5,故有9 9%的把握认为该市一天空气中P M 2.5 浓度与S 0?浓度有关.2 0.【考查目标】本题主要考查空间中线面位置关系的证明以及直线与平面所成角的正弦值的求解，考查的核心素养是直观想象、逻辑推理和数学运算.【解题思路】(1)先 利 用 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 证 明 平 面PCD,再 证 明 平 面PBC、最后结合1/AD即可证得，平面PDC-(2)以为坐标原点，万?的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标,设出0 点坐标,利用向量法求出平面05的法向量,进而求得直线外与平面。徵所成角的正弦值的表达式,最后利用基本不等式即可得解.解:(1)因为如，底

28、面ABCD,所以PDVAD.又底面ABCD为正方形,所以ADV DC.因此成，平面PDC.因为AD/BC,AW平面PBC,所以/平面PBC.由已知得1/AD.因此平面PDC.(2)以为坐标原点，市的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-x yz,则0(0,0,0),7(0,1,0),5(1,1,0),尸(0,0,1),DC=(O,1,0),-1).由(D 可设 0(a,0,1),则 丽=(a,0,1).设 力是平面皿的法向量,叱；祟：刎女二可取二(T,0,a).所以 cos nt 丽-:,:.-j|n|PB V3 Vl+a2设 力 与 平 面 0所成角为夕，则 sin 0 巫 x

29、卑 巫(13 Vl+a2 3 y a2+l因为当J 1+篇w ,当且仅当a=l时等号成立，所以如与平面0口所成角的正弦值的最大值为9.21.【考查目标】本题主要考查导数的几何意义，切线方程的求法，利用导数研究函数的单调性、最值等,考查的核心素养是数学运算、逻辑推理.【解题思路】(1)运用导数的几何意义求切线方程,再结合三角形面积公式求解即可；(2)分0 a l 三种情况分析求解.解：A x)的定义域为(0,+8)/J)=a e*TX 当a=e时,f(=e*T n 1,f 气 T,曲线 片f(x)在点(1,广)处的切线方程为广(e+1)=(e T)(x T),即 y-(e-l)XT2.直线片(e

30、-l)x+2 在 x机 y 轴上的截距分别为三,2.因此所求三角形的面积为二.e-1当 0Q Q 时，A 1)累+l n a l.当 a=时，f(x)=e T n x、f (x)气厂.当(0,1)时，f (x)l 时，/(x)=a e*T n x+l n a e 3 T T n x-l.综上,a的取值范围是 1,+8).【二级结论】e*x+l,x T l n x,eex.2 2.【考查目标】本题主要考查椭圆的方程,直线与椭圆的位置关系以及圆锥曲线中的定点、定值问题，考查的核心素养是数学运算、逻辑推理等.【解题思路】(1)由题意求得a,I,即可确定椭圆方程.(2)首先分直线朗V 的斜率存在和斜率

31、不存在两种情况讨论,当斜率存在时,设直线也V 的方程为y=k x+m,联立直线与椭圆的方程,结合前-AN=0及根与系数的关系,求得直线*的方程为y=k x)?(g 1),当斜率不存在时,可求得直线网，的方程为，所以由以上两种情况可知直线,即恒过定点。(|,3).设。为 的 中 点，当。与。不重合时，由 加 为 直 角 三 角 形，易得/。/；当与。重合时，易得/加号/加7,综上即可得结果.解：由题设得上哈二 1,a2-b2 1解得才毛,4=3.所 以。的方程为1号=1.6 3设 M(x i,y i),N(x z,.若直线域V 与 x 轴不垂直,设直线腑的方程为片女尸倔代入土匕二1 得(1地片)

32、x Ak mx-m-6 4).6 3工日,4/cm 27n2-6 q于正X L，由,X山 恐 记 由4 V _ L 4 V 知而？前=0,故（小-2）（心-2）+（y】T）（%T）4）,可得（如+1）王/+仪初一九以）（汨+冬）+（/T”幽R.将 弋入上式可得+1）条-（觊乂-2）爆+5-1）2 弘4）.l+2k2 l+2k2整理得（2 公3 1）（2 加-1）-0.因为4（2,1）不在直线MN 上、所以2 4 加T W O,故 2 4+3/1 4）,k#l.于是极V 的方程为.所以直线删过点尸（I，T）.若直线.肱V 与 x 轴垂直，可得2（吊，-%）.由 奇,A/V=O 得（不-2）（小-2）+5T）（-T）=0.又学封=1,可得3 好-8 汨留也解得为之（舍去），x g.o 3 3此时直线.物v 过 点 呜）.令 0 为/尸的中点，即 o g,?.若。与。不重合,则由题设知AP是Rt Z VI。的斜边，故/加号/47 考.若。与尸重合,则/DQllAPl.综上,存在点0 g,i），使得Q/为定值.易错警示】本题容易忽略直线也V的斜率不存在的情况,导致解题过程不完整,从而失分.在解题的过程中，要注意在直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半这一性质.