2021-2022学年北京市顺义区高二下学期期末考试数学试卷（含详解）.pdf

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1、北京市顺义区2021-2022学年高二下学期期末数学试题一、选择题共10小题，每小题4 分，共 40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.A；的 值 为（）3.己知离散型随机变量X的分布列如下表，则X的数学期望E（X）等 于（）A.2 0B.1 0C.5D.22.（1一%）4的展开式中，无2的系数为（）A.1 2B.-12C.6D.-6A.0.3 B.0.8 C.1.24,设函数/*）=一，则（=（）x+lA.0 B.-C.14D.1.31D.-45 .已知函数y=f（x）的部分图象如图所示，其中A（玉,/（玉）,8（/,/（），。（七，/（七）为图上三个不同的点，则下列结

2、论正确的是（）A./（石）,广（工2）/（玉）c./（X 3）r（x jr（w）B.D.r a）r（F）r（w）6 .已知某居民小区附近设有4,B,C,D4个核酸检测点，居民可以选择任意一个点位去做核酸检测，现该小区的3 位居民要去做核酸检测，则检测点的选择共有（）A.6 4 种 B.8 1 种 C.7 种 D.1 2 种7.中国古代数学名著 九章算术中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马、马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛，马，羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5 斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人

3、说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？试问：该问题中牛主人应偿还（）斗粟5 2 0 5 1 0A.-B.C.-D.7 7 2 78 .降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物 密 度（c）随开窗通风换气时间（/）的关系如下图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（）C.5,2 0 D.5,3 5 9.已知数列 “为各项均为整数的等差数列，公差为d,若 q=l,4=2 5,则+d的最小值为（）A.9 B.10 C.11 D.1210.已知毛（毛。）是函数/（为=/+办 2+陵+，的极大值点，

4、则下列结论不正题的是（）A.a x G R,/（x）/（x0）B./a）一定存在极小值点C.若。=0,则一/是函数/（X）的极小值点 D.若6 =0,则。0二、填空题共5小题，每小题5分，共2 5分.11.已知等差数列 ，4 =3,%=7 ,则%=.12.某学校拟邀请5 位学生家长中的3 位参加一个座谈会，其中甲同学家长必须参加，则不同的邀请方法有 种.13 .已知某品牌只卖A,B两种型号的产品，两种产品的比例为8:2,其中A型号产品优秀率为7 5%,B型号产品优秀率为9 0%,则 购 买 一 件 该 品 牌 产 品 为 优 秀 品 的 概 率 为.14 .函 数/（幻=6.x的最小值为.15

5、 .已知数列 4,满 足 不 等 式 a3-a2；数 列 “一定是递增数列；数 列 凡 通项公式可以是为=2；数 列 凡 的通项公式可以是勺=2-6.所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程.16 .已（知 x +3 士、展开式中第2 项与第5 项的二项式系数相等.I x）（1）求”的值；（2）求展开式中各项系数的和；（3）判断展开式中是否存在常数项，并说明理由.17 .已知函数/（x）=V 一f.（1）求f（x）单调区间；（2）求“X）在区间 0,2 上的最值.18 .下表为高二年级某班学生体质健康测试成绩（百分制）的

6、频率分布表，已知在 6 5,7 5）分数段内的学生数为14 人.分数段 6 5,7 0)7 0,7 5)7 5,8 0)8 0,8 5)8 5,90)90,95)95,1001频率0.120.160.20.180.140.1a（1）求测试成绩在 95,100 分数段内的人数；3（2）现从 95,100 分数段内的学生中抽出2 人代表该班参加校级比赛，若这2 人都是男生的概率为彳,求 95,100 分数段内男生的人数;（3）若在 65,70）分数段内的女生有4人，现从 65,70）分数段内的学生中随机抽出3人参加体质提升锻炼小组，记X为从该组轴出的男生人数，求X的分布列和数学期望E（X）.19.

7、已知数列 4 为等差数列，前项和为S“，数列 是以式q 0,4 H l）为公比的等比数列，且a=b=1,53=9,55=仇+4 +5.（1）求数列 q ,年 通项公式；（2）求数列出 的前项和7；（3）数列 c,满足c“=loga一4,记数列%的 前 项 和 为 求”的最小值.20.已知函数/（x）=xlnx.（1）求曲线y=（x）在点（1,/）处的切线方程；（2）若函数g（x）=/（x）+/在区间（。，田）上单调递减，求实数。的取值范围.（3）证明：/（无）+/+20.21.若存在某常数M（或胆），对于一切“GN*，都有4 4M （或则称数列%上（或下）界，若数列 4 既有上界也有下界，则称

8、数列 4 为“有界（1）已知4个数列的通项公式如下：4=2 e；=4 +,；c“=2 +l；d“=（一1）用.请写出n其中“有界数列”的序号；若 出 =察 ,判 断 数 列 4 是否为“有界数列”，说明理由；（3）在（2）的条件下，记数列%的前项和为S“，是否存在正整数鼠使2%,都有S,怎 B kAC kAE kAD /(X0)B.f(x)一定存在极小值点C.若。=0,则一/是函数A x)的极小值点 D.若匕=0,则。0，即。2 3人，设/(x)=0有两不等实根和 演，X。是极大值点，则x 0,而%时，/(x)x,时，/。)0,4是极小值点.B正确；由于X-+8时，f(x)f+o o,因此A正

9、确；若。=0,则 八x)=3 f+8,/7 0 。()，D错.故选：D.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知等差数列 ,%=3,%=7,则4=.【答案】5【解析】【分析】由等差数列的性质计算.【详解】由题意2%=4+%=1，4=5.故答案为：5.12 .某学校拟邀请5位学生家长中的3位参加一个座谈会，其中甲同学家长必须参加，则不同的邀请方法有 种.【答案】6【解析】【分析】从剩下的四位家长中选2位即可得.【详解】甲同学家长必须参加，则还需从剩下的4位家长中选2位，方法数为C；=6.故 答 案：6.13 .已知某品牌只卖A,B两种型号的产品，两种产品的比例为8：2,其中A型号产品

10、优秀率为75%,B型号产品优秀率为9 0%,则 购 买 一 件 该 品 牌 产 品 为 优 秀 品 的 概 率 为.【答案】78%#0 78【解析】【分析】根据全概率公式直接求解.Q 2【详解】根据题意，购买一件该品牌产品为优秀品的的概率为：x 75%+x 90%=78%.10 10故答案为：78%.14 .函数/(x)=eAi x的最小值为.【答案】1【解析】【分析】求出导函数，确定单调性可得最小值.【详解】八 幻=冷 1,由/(x)0得x -l,/(幻 0得乂 a3-a2-数 列 凡 一定是递增数列；数 列 凡 通项公式可以是4=2；数 列 凡 的通项公式可以是勺=/-6 .所 有 正 确

11、 结 论 的 序 号 是.【答案】【解析】【分析】求 得%一。3 与。3 一%的大小关系判断；举反例否定；利用题给条件证明数列%的通项公式可以是q=2 肯 定 ；利用题给条件证明数列”“的通项公式可以是q=2-6 肯定.【详解】数列 a“满足不等式2%Wa“T+a”+1（其中eN*,2 2）,则有。“一。,1 4。用一。“（其中 eN*,N 2）,由2 4 a 4 一%,可得4 一 之田一判断正确；当 4=6 时，满足2an 0可得 2*2 V 2 T +2 向，即不等式2。“成立，则数列,的通项公式可以是4=2 .判断正确；当an=n2-6 n时，2 a +a+1）=2（n2-6 H）-（n

12、-l）2-6（n-l）+（n +l）2-6（7?+l）=-2 0则不等式2%0得：%或x o,32令/（x）0得：0%0,所以/（h=4,4所以A x）在区间 0,2 上的最小值为，最大值为42 71 8.下表为高二年级某班学生体质健康测试成绩（百分制）的频率分布表，已知在 65,75）分数段内的学生数为1 4人.分数段 65,70)70,75)75,8 0)8 0,8 5)8 5,9 0)9 0,9 5)9 5,1 0 0 频率0.120.160.20.180.140.1a（1）求测试成绩在 9 5,1 0 0 分数段内的人数；3（2）现从 9 5,1 0 0 分数段内的学生中抽出2人代表该

13、班参加校级比赛，若这2人都是男生的概率为求 9 5,K X）分数段内男生的人数；（3）若在 65,70）分数段内的女生有4人，现从 65,70）分数段内的学生中随机抽出3人参加体质提升锻炼小组，记X为从该组轴出的男生人数，求X的分布列和数学期望（X）.【答案】（1）5 （2）4（3）分布列见解析，E（X）=1【解析】【分析】（1）利用在 65,75）分数段内的学生数为1 4人求出高二年级某班学生总数，再利用频率和为1求出 两 数 相 乘 可 得 答 案;（2）设男生有x人,C2 3根据抽出2人这2人都是男生的概率为-f=-,C5 3解得X可得答案;（3）求出在 65,70）分数段内的学生人数及

14、男生人数，可得X的取值及对应的概率，可得分布列和期望.【小 问1详解】1 4高二年级某班学生共有 一=5 0人，0.2 8因为0.1 2+0.1 6+0.2+0.1 8+0.1 4+0.1+4 =1,所以a=0.1,所以测试成绩在 9 5,1 0 0 分数段内的人数为5（）x（）.1 =5人.【小问2详解】由（1）知在 9 5,1 0 0 分数段内的学生有5人，设男生有x人，3若抽出2人这2人都是男生的概率为g ,则*=|,解 得x =4,所以在 9 5,1 0 0 分数段内男生有4人.【小问3详解】在 65,70）分数段内的学生有5 0 x 0.1 2 =6人，所以男生有2人,X的取值有0,

15、1,2,11_534-36C-CX的分布列为X012P2 _5251 3 IE（X）=O x +l x +2 x =1.5 5 51 9.已知数列 a,为等差数列，前 项和为S ，数列 是以以4 0国工1）为公比的等比数列，且4 =4 =1,S3=9,S5=4 +4 +5 .（1）求数列 4,2通项公式；（2）求数列 的前项和小（3）数列%满足=l o g,*,-4,记数列 c“的前项和为M“，求 的 最 小 值.【答案】（1）a,=2n-,b=2 -（2）T“=2-1（3）-1 0【解析】【分析】（1）根据$3=9,求出公差，从而求出通项公式，结合$5=4+a+5求出公比，得到等比数列的通项

16、公式；（2）利用等比数列求和公式求解；（3）先求出c“=-5,结合 5的增减性和正负性求出当=4或5时，取得最小值，求出最小值【小 问1详解】S 3=3 q+3 d=9,因为6=1,所以d=2,故 =1 +2（-=,所以=5 q+1 0 d=5 +2 0 =2 5 ,故4 +4 +5 =2 5 ,又题意得:b5=如4 =夕 也=如?=q1,所以44+,一20=0,解得：,2=4或 一5（舍去），因为乡 0 ,所以夕二2,所以么=2【小问2 详解】数列低 的前项和Tn=2 -11 2【小问3详解】c=l o g q 么-4 =l o g,2n-l-4 =n-5,可以看出匕 为递增数列，且当“1,

17、4 时，c 5时，C 0,所以当=4或 5 时，取得最小值，最小值为T3 2 1=1()20.已知函数/(x)=xl n x.(1)求曲线y =/(%)在点(1,/(1)处的切线方程；(2)若函数g(x)=/(x)+x 2 在区间(0,+8)上单调递减，求实数。的取值范围.(3)证明：/(尤)+炉+20.【答案】(1)y =x-l；(2)a -；(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)求出导函数/(x)，计 算/得切线斜率，计算/(I)，由点斜式得切线方程；(2)由g (x)K0在(0,+。)上恒成立，然后分离参数转化为求新函数的最值；(3)由导数求得/(x)的最小值后，由不等式性质得证.【小

18、 问 1 详解】尸(x)=l n x+l,尸(1)=1,又/(1)=0,所以切线方程为y=x-i；【小问2 详解】g(x)=xl n x+Y,由题意8 (%)=111%+1 +6 0 在(0,+00)上恒成立，l n x+1Q -9X、，/、l n x+1、1(l n x+1)In x设(x)=-，则l(x)=J-=X X X0 c x 1 时，h(x)l 时，hx)0,(x)递增,所以入W m i n =版D=T，所以a W-l【小问3详解】由（1）/（x）=l n x+l,0 x !时，fx）1 时，fx）0,f（x）递增，e e所以=/（1）=1，e e所以/（x）+x?+2-F+2 0

19、.e21.若存在某常数M （或M,对于一切 e N*，都有44M（或小），则称数列 q,的 上（或下）界，若数列%既有上界也有下界，则称数列 q为“有界（1）已知4个数列的通项公式如下：a“=2+勿=4+,；c,=2+l；d“=（一 1）用.请写出n其中“有界数列”的序号；（2）若4,=黑，判断数列%是否为 有界数列”，说明理由；（3）在（2）的条件下，记数列 为 的前项和为S“，是否存在正整数也使2攵，都有成立？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）数列 2 为“有界数列”，理由见解析（3）k4【解析】【分析】（1）根 据“有界”的定义，结合函数的性质逐个判断即可；3（

20、2）可 得%=1-，再分析。”的单调性与最值即可；3 +43 3 3 3 3 3（3）根据题意，将-1转化为一+7+.+-1,再逐项计算分析当一+.+-17 10 3 +4 7 10 3 +4时，取值范围即可【小 问1详解】中a“=2向随着的增大而增大，无“上界；中=4+4随着的增大而减小，且当=1时有最大n值5,且4 4恒成立，故a=4 +,为 有界数列”；中=2+1随着的增大而增大，无“上界”；n中d,=1或4=-1,为“有界数列”；故“有界数列”的序号为【小问2详解】3 n +l =1一 3（随着的增大而增大，且4 2 q数1使得a“1,故数列 4为“有界数列”【小问3详解】4-7-4 4%1,故存在常数一使得之一，常3几+4故S.3 3=1 +1 +.+1-7 1033+43若要则34-F.+10 1 ,因为二+3+=U。0.9 5 9 0.9 5,0.9 5+1,故当2 4时，都有5“一1 成7 10 13 9 10 7 10 13 16 16立，故若存在正整数k,使上,都有成立，则上4