2020年高考数学真题试卷（北京卷）.pdf

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1、阅卷人得分2020年高考数学真题试卷（北京卷）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.选项中，选出符合题目要求的一项.（共10题;1.（4 分）已知集合 A=-1,0,1,2 ,B=x|0 x z=（A.l +2 t B.-2 +i C.l-2 t【答案】B【解析】【解答】由题意得z=1+2i,：.iz=I 2.故答案为：B.【分析】先根据复数几何意义得z,再根据复数乘法法则得结果.3.（4 分）在（y 的展开式中，X2的系数为（）.A.-5 B.5 C.-1 0【答案】C在每小题列出的四个共40分）（）.D.1,2).D.-2-1【解析】【解答】（依一 2）5展开式的通项公式为：T+i

2、=C g（a）5 rD.1()=(-2)7聂 竽，令 号=2可得：r=l,则2的系数为：（一 2）1 点=（-2）X 5故答案为：C.【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定x2的系数即可.4.（4 分）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（).正(主)视 图侧(左)视 图A.6+V3 B.6+28 C.12+/3 D.12+28【答案】D【解析】【解答】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为：S=3x(2x2)+2x(1x2x2x sin60)=12+2 6.故答案为：D.【分析】首先确定几何体的结

3、构特征，然后求解其表面积即可.5.(4分)已 知 半 径 为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为().A.4 B.5 C.6 D.7【答案】A【解析】【解答】设 圆 心C(x,y),则J(x-3)2+(y-4)2=1，化 简 得(x-3)2+(y-4)2=1,所以圆心C的 轨 迹 是 以M(3,4)为圆心，1为半径的圆，所以|0 C|+1 0M=V 32+42=5，所以|0 C|5-1 =4 ,当且仅当C在线段OM上时取得等号，故答案为：A.【分析】求出圆心C的轨迹方程后，根据圆心M到原点0的距离减去半径1 可得答案.6.(4 分)已知函数f(x)=2x-x-l ,则不等式/

4、(x)0的解集是().A.(-1,1)B.(-0 0,-1)u (l,+o o)C.(0,1)D.(-co,0)U(1,4-0 0)【答案】D【解析】【解答】因为/(x)=2x-x-l,所 以f(x)0等价于2、x+l ,在同一直角坐标系中作出y =2,和 y =x +l的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2),不等式2 芯%+1的解为 1 .所以不等式/(%)0的解集为：(一 8,0)U(1,+8).故答案为：D.【分析】作出函数y =2 和 y =%+1的图象，观察图象可得结果.7.（4 分）设抛物线的顶点为0,焦点为F,准线为1.P是抛物线上异于O的一点，过 P作 P Q

5、 1/T Q,则线段F Q的垂直平分线（）.A.经过点O B.经过点PC.平行于直线O P D.垂直于直线0 P【答案】B【解析】【解答】如图所示：因为线段F Q的垂直平分线上的点到F.Q的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知，P Q=P F,所以线段F Q的垂直平分线经过点P.故答案为：B.【分析】依据题意不妨作出焦点在x 轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线 段 FQ的垂直平分线经过点P，即求解.8.（4 分）在等差数列 即中，的=-9 ,=-1 记 T=a g“.%（=12）,则数列（Tn）（）.A.有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项C.无最大项

6、，有最小项 D.无最大项，无最小项【答案】B【解析】【解答】由题意可知，等差数列的公差4 =等 黑=3耳=2 ,3 1 1则其通项公式为：册=Q i +（九l）d =9 +（n 1）x 2 =2 n -1 1 ,注 意 到 V V。3 V 0 =1 1。N 7,i e N）可知数列 不存在最小项，由于=9,a2=7,a3=-5,a4=3,a5=1,a6=1,故数列 中的正项只有有限项：T2=63,T4 =6 3 x 1 5 =9 4 5 .故数列U n 中存在最大项，且最大项为T4.故答案为：B.【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最

7、小项.9.(4 分)已知 a,0 W R,贝 ij“存在 kZ 使得 a=k7r+(-l)k/S”是 s i n a =s i n g ”的().A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【解答】当存在k e z使 得a=kn+(一1)年 时，若 k 为偶数，则 s i n a =s i n(/o r +夕)=s i n ；若 k 为奇数，则 s i n a =s i n(k?r -/?)=s i n (k -1)兀 +兀/?=s i n(7T -0)=s i n/?；(2)当 s i n a =s i n/?时，a=P +2mn 或

8、 a +/?=T T+2mn,m E Z,BP a=kn+(l)k/?(/c =2 m)或 a =/:兀 +(-1)a=2爪+1),亦即存在k e Z使 得a=kn+.所以，“存 在k&Z使 得a =k 7r +(l)?”是 s i n a =s i n ”的充要条件.故答案为：C.【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.1 0.(4分)20 20年3月1 4日是全球首个国际圆周率日(n D a y).历史上，求圆周率兀的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似.数学家阿尔 卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6 n边形的周长和外切正6 n边形(

9、各边均与圆相切的正6 n边形)的周长，将它们的算术平均数作为27r的近似值.按照阿尔卡西的方法，n的近似值的表达式是().A o,.30 3 0、B a /30 3 0、八，3nk(s m-n-F t a n n 7)D-6 n(s i n-1-t a n )k n n 7CO/6 0 6 0、n /-/-6 0 6 0 A3n(vs i n-n-1-t a n n )7u-6 n(s m-F t a n )k n n 7【答案】A【解析】【解答】单位圆内接正6 n边形的每条边所对应的圆周角为黑=噂，每条边长为2s i n 空，n所以，单位圆的内接正6 n边形的周长为1 2 n s i n ,

10、单位圆的外切正6 n边形的每条边长为2 t a n ,其周长为1 2.a n手.1 2n s i n萼+1 2n t a n衅 .30 ,30、:.2n-L-2-=6 n(s i n +t a n 9 *11 12 13二、填空题共5题，每小题5分，共2 5分(共5题；共2 5分)得分1 1.(5分)函 数/(x)=+I n x的定义域是八/%4-1 -【答案】(0,+8)【解析】【解答】由题意得，X 0故答案为：(0,+8)【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.1 2.(5分)若函数f (%)=s i n(x +s)+c o s x的最大值为2,则常数cp的一个取值为.【答

11、案】(2kn+,k&Z均可)【解析】【解答】因为/(%)=c o s s i n x +(s i n(p +l)c o s x =y/cos2(p+(s i n(p +l)2s i n(x +0),所以 Jc o s 2(p +(s i n g +I)?=2,解得 s i n =1 ,故可取(P =q.故答案为：(2/+5#WZ均可).【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得f(x)=Jcos2(p+(s i r u p +l/s i n(无+。),可得 Jc o s2 +(s i n(p +l)2=2,即可解出.1 3.(5分)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污

12、水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W与时间t的关系为W=/(t),用 八”一/的大小评价b-a在 见切这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.则加1 TC=3Q 几r(s-i n-3-0-。工F t4 a n 3 0。)、1 n n J故答案为：A.【分析】计算出单位圆内接正6 n边形和外切正6 n边形的周长，利用它们的算术平均数作为2兀的近似值可得出结果.阅卷入给出下列四个结论：在 也,。这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标

13、；甲企业在 0,制,心也，1 2也 这三段时间中,在 0/1 的污水治理能力最强.其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.【答案】【解析】【解答】一 岂 表示区间端点连线斜率的负数，b a在 打5 2 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；正确；甲企业在 0,t1,t1,t2,t2,t3这三段时间中，甲 企 业 在 这 段 时 间 内，甲的斜率最小，其相反数最大，即 在 t n 的污水治理能力最强.错误；在t2时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；正确；在t3时刻，甲、乙两

14、企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；正确；故答案为：【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果1 4.（5分）已知双曲线c：烂 号=1，则C的右焦点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _；C的焦点到其渐近线的6 3距离是.【答案】（3,0）；V 3【解析】【解答】在双曲线C中，a=V 6 ,b=V 3 ，贝ij c =y/a2+b2=3 ，则双曲线C的右焦点坐标为（3,0）,双曲线C的渐近线方程为y =士?X,即X 应丫=0 ,所以，双曲线c的焦点到其渐近线的距离为T4=6 .4，+2故答案为：(3,0);V 3 .【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C的右焦点坐标，并求得双

15、曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.1 5.(5分)已知正方形A BCD的边长为2,点P满 足AP =(AB +A C),则|前|=;P B -P D=.【答案】V 5;-1【解析】【解答】以点A为坐标原点，A B、A D所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点很(0,0)、5(2,0)、C(2,2)、(0,2),A P=1(2,0)+1(2,2)=(2,1),则点 P(2,l),P D=(-2,1),V B =(0,-1),因此，|丽|=J (-2)2 +1 2 =V 5 ,P B P D=0 x(-2)4-1 x (-1)=-1 ,故

16、答案为：V 5 ；-1.【分析】以点A为坐标原点，A B、A D所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，求得点P的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得P D以 及 丽.丽 的值.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.(共6题；共85分)阅卷人得分1 6.(1 3分)如图，在正方体AB C D-中，E为B名 的中点.(I )求证：B CJ/平面 ADrE；(H)求直线A 与平面ADrE 所成角的正弦值.【答案】解：(I )如下图所示：在正方体 ABCD ABG D i 中，ABA、B 且 AB=ArBr,&B J/C1 D1 且 A1B1=C1D1,.A B

17、 Ci Di 且 AB=Cj Di ,所以，四边形A B C 为平行四边形，则 BCr/ADr,BC t 平面 ADiE,ADi u 平面 ADXE,:.BCJ/平面 ADXE；(1 1)以点A为坐标原点，AD.AB.4 4 i 所在直线分别为x、y、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A-xyz,设正方体 A B C D-A/i C也的棱长为 2,则 4(0,0,0)、4(0,0,2)、。式2,0,2)、(0,2,1)，珂=(2,0,2),AE=(0,2,1),设平面A D.E的法向量为n =(x,y,z),由 ：,%】二:，得 叁 十 二J令 z=-2 ,则=2 ,y =1 ,贝！J 元=

18、(2,1,-2).c o s =n-AA1同 前I43x2 =因此，直 线AAT与平面ADrE所成角的正弦值为|.【解析】【分析】(I )证明出四边形AB C15为平行四边形，可得出B C J/AD1,然后利用线面平行的判定定理可证得结论；(I I)以点A为坐标原点，AD.AB .A 4所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A-xyz，利用空间向量法可计算出直线4 4与平面A D.E所成角的正弦值.1 7.(1 3分)在XA BC中，a +b =l l ,再从条件、条件这两个条件中选择一个作为己知,求：(Da的值：(II)s i n C 和 X AB C 的面积.条件：C =7,C O

19、S 7 1 =y ；条件：c o s A =g ,c o s B=微.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】解：选择条件(I );c =7,c o s/=a+b=111 a2=b2+c2-2bccosA a2=(1 1 a)2+72 2(1 1 a)-7 (y)a=8(II)v cos?l=,A E(0,TT)A sin/l=A/1 cos2?!=,a c 8 7.v3由正弦定理得：=SiHc 4 =SiHc sin C =T711S=basinC=-(11 8)x 8 x乙 乙V3 T=6 而选 择 条 件 (I)T cos/=W，cosB=4，A,B e(0,TT)1-

20、3/7,.-5/7 sinA=yjl cos2A=一八 一，sinB=，1-cos2B=8 lo由正弦定理得:aba 11 asiE4-sinF 377不丁.16-A a=6(H)sinC=sin(4+B)=sinAcosB+sinBcos/=X +XI =T1 1 V7 15/7S=7T basinC=(11-6)x 6 x -j=-：Z Z 4 4【解析】【分析】选 择 条 件 (I)根据余弦定理直接求解，(I I)先根据三角函数同角关系求得sin 4，再根据正弦定理求sinC，最后根据三角形面积公式求结果；选 择 条 件 (I)先根据三角函数同角关系求得sinA,sinB，再根据正弦定理

21、求结果，(I I)根据两角和正弦公式求sinC,再根据三角形面积公式求结果.18.(14分)某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200 A400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.(I)分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；(I I)从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；(III)将该校学生支持方案的概率估计值记为P0

22、,假设该校年级有500名男生和300名女生,除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为P,试比较p0与P1的大小.(结论不要求证明)【答案】解：(I)该校男生支持方案一的概率为 薪 乳乌，/UU 十 4UU 5该校女生支持方案一的概率为可熹%；(1 1)3人中恰有2人支持方案一分两种情况，(1)仅有两个男生支持方案一，(2)仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率为：(3(1一3 +或(3(1_3号=1|;(HI)p1 0(t 0 ,得 t 2,由 s(t)0，得 0 t b0),由题意可得:a b4 1 _滔+/=1,解得:a=2ba2=8b2=2故

23、椭圆方程为：q+=i.o 2(II)设,N Q 2 J 2)，直线 M N 的方程为：y=k(x+4),与椭圆方程+4=1联立可得：2 +4 k 2(x +4)2=8,o Z即：(4 k2+l)x2+32k2%+(64 f c2-8)=0 ,-32k264 f c2-8 2，%2=24+l 4+l直线MA 的方程为：y+1=令 =-4 可得：yp=-2 XVl+l勺+2，i+i%l+2(x +2),-1 =-2 xk(%+4)+l 4+2 (2/c+l)(X+4)-1+2 4+2%i+2则：+%2=同理可得：打=二 咒1警+4).Q Q 十/很明显yPyQ yP=-yQ.从而 西PB一 _.y

24、P.I%I -i【解析】【分析】(I)由题意得到关于a,b的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；(II)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA,NA的方程确定点P,Q的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得yP+yQ=o,从而可得两线段长度的比值.21.(15分)已 知 an是无穷数列.给出两个性质：a2 对 于 5 中任意两项见吗。/),在 an中都存在一项而，使公=；uj_n2 对 于 an中任意项an(n 3)，在 an中都存在两项afe,a;(/c0 使 得&=”al(I)若 即=九5=1,2，),判断数列 an是否满足性质，说明理由；(II)若 册

25、=2 九-1(7 1 =1,2，)，判断数列 an是否同时满足性质和性质，说明理由；(HI)若 册是递增数列，且同时满足性质和性质 ，证明：册为等比数列.【答案】解：(I).,a2=2,%=3,=2 C Z.an不具有性质；a2 乙2 2(II)v VC;-=2(2fT,2ijW N*.=a2i_j A an)具有性质；ajaJ2 Vn 6 N*,n 3,B k=n-1,1=n 2,=2n-1=an,-an)具有性质；al(ni)【解法一】首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：显 然an O(ni N*),假设数列中存在负项，设No=max n|an 0,第一种情况：若 No=1,即 劭

26、 0 V 的 与 。3 ，由可知：存 在 租1 ,满 足am.=0，存 在 租2，满 足amo=0，1 Q 2 Q由 No=1 可 知 逋=可，从 而。2=&3,与数列的单调性矛盾，假设不成立.Q Q第二种情况：若 No 2 2,由知存在实数小，满 足 6|=喙 0，由N o的定义可知：m N0,m%aN0 N。这 与No的定义矛盾，假设不成立.同理可证得数列中的项数恒为负数.综上可得，数列中的项数同号.其次，证 明 的=逮：aln2利用性质：取？1=3 ,此 时a3=-fc(fc /),由数列的单调性可知 必 为 0 ,而 a3=ak ak,故 k 3)项成等比数列，不妨设as其 中 的 0

27、 1,(a!0,0 Q%,ak-l2-由得：存 在S 亡，满足：Q k+i =察=4 第 的，at at2由 4 =S Q i q k-1,结合数列的单调性有：f c 2 s-t-l /c-l ,注意到s,t,k均为整数，故k=2 s-t-l ,代 入(*)式，从 而ak+1=a1qk.总上可得，数 列 an的通项公式为：即=Q九 T.即数列 Q为等比数列.【解法二】假设数列中的项数均为正数：n2首先利用性质：取n =3 ,此 时a3=-fc(/c /),由数列的单调性可知ak at 0 ,而 a3=ak ak，故 A 然后利用性质：取i =3 J =2 ,则=可=血=ai q s-i（l s

28、 k）,且 am=ai q k 2 怒+i （*）由数列的单调性可知：t ak=axqk-x（*）1），a,即数列中必然存在一项的值为ai q3,下面我们来证明a4=ai q3,否则，由数列的单调性可知a4 a iq3，说-出碱-4攻=444aaanJJHUnJ贝贝贝21=It/V，3,=fcfcfc若若若在性质中，取n =4,则=为 务 耿,从 而k /）,满 足&4=攻，al=%q 3 ,与假设矛盾;=ajQ4 aq3，与假设矛盾;=a1 Q2=a3,与数列的单调性矛盾；即不存在满足题意的正整数k.l,可 见a4 ai q3不成立，从 而a4=ai Q3，同 理 可得:a5=a1q4,a6

29、=a175,-,从 而 数 列 为 等 比 数 列，同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数.从而题中的结论得证，数 列 a“为等比数列.【解析】【分析】（I ）根据定义验证，即可判断；（H）根据定义逐一验证，即可判断；（I H）解法一：首先，证明数列中的项数同号，然后证明。3=逋，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列即可.解法二：首先假设数列中的项数均为正数，然后证得ax,az,a3成等比数列，之后证得ax,a2,a3,a成等比数列，同理即可证得数列为等比数列，从而命题得证.试题分析部分1、试卷总体分布分析总分：1

30、50分分值分布客观题（占比）40.0(26.7%)主观题（占比）110.0(73.3%)题量分布客观题（占比）10(47.6%)主观题（占比）11(52.4%)2、试卷题量分布分析大题题型题目量（占比）分 值（占比）选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.10(47.6%)40.0(26.7%)填空题共5题，每小题5分,共25分5(23.8%)25.0(16.7%)解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.6(28.6%)85.0(56.7%)3、试卷难度结构分析序号难易度占比1普通(71.4%)2容易(23.8%)3困

31、难(4.8%)4、试卷知识点分析序号知识点（认知水平）分 值（占比）对应题号1平面向量数量积坐标表示的应用5.0(3.3%)152平面向量的坐标运算5.0(3.3%)153利用导数求闭区间上函数的最值15.0(10.0%)194古典概型及其概率计算公式14.0(9.3%)185等差数列的通项公式4.0(27%)86直线与圆锥曲线的综合问题15.0(10.0%)207两角和与差的正弦公式18.0(12.0%)12,178相互独立事件的概率乘法公式14.0(9.3%)189反证法15.0(10.0%)2110双曲线的简单性质5.0(3.3%)1411同角三角函数间的基本关系13.0(8.7%)17

32、12诱导公式4.0(2.7%)913直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系5.0(3.3%)1314正弦定理13.0(8.7%)1715利用导数研究曲线上某点切线方程15.0(10.0%)1916复数代数形式的乘除运算4.0(27%)217点到直线的距离公式5.0(3.3%)1418抛物线的定义4.0(27%)719用空间向量求直线与平面的夹角13.0(8.7%)1620棱柱的结构特征4.0(27%)421数列递推式15.0(10.0%)2122余弦定理13.0(8.7%)1723分析法的思考过程、特点及应用15.0(10.0%)2124直线与平面平行的判定13.0(8.7%)1625复数的代数表

33、示法及其几何意义4.0(27%)226其他不等式的解法4.0(27%)627进行简单的合情推理4.0(27%)1028三角函数的积化和差公式5.0(3.3%)1229分类加法计数原理14.0(9.3%)1830必要条件、充分条件与充要条件的判断4.0(27%)931棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积4.0(27%)432利用导数研究函数的单调性15.0(10.0%)1933椭圆的定义15.0(10.0%)2034圆的标准方程4.0(2.7%)535二项式定理4.0(27%)336交集及其运算4.0(2.7%)137斜率的计算公式5.0(3.3%)1338函数的图象4.0(27%)639两点间距离公式的应用4.0(27%)540数列的函数特性4.0(27%)841平面向量数量积的坐标表示、模、夹角5.0(3.3%)1542函数的定义域及其求法5.0(3.3%)11