2021-2022学年云南省昆明市高二（下）期末数学试卷（附答案详解）.pdf

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1、2021-2022学年云南省昆明市高二（下）期末数学试卷1.设集合4=-1,0,1,2,3 ,B =x|x|W 1 ,贝I J AD B =()A.-1,0B.0,1c.i,o,i)2.(1+炉=()A.-2-2 iB.-2+2iC.2+2i3.在等比数列中，%+的=2,a3+a5=6,则%=()A.2B.3C.-34.在A A BC中，B=27r,A B =B C =1,3则 超A C =()A.1B.-2C.V3D.0,1,2D.2-2 15.如图，向一个半径为1的半球形容器注水，则水面高度随水面圆半径7变化的函数图像大致为（）A.t an (a-/?)=V3C.t an (a+0)=-V

2、3B.t an (a /?)=-V3D.t an(a+/?)=V37 .治贫先治愚，扶贫先扶智，教育是阻断贫困代际传递的根本之策.为解决某地区教师资源既乏的问题，教育部门安排甲、乙、丙等6名优秀教师分批次参加支教，支教共分3批次进行,每批次支教需要同时安排2名教师，每名教师只参加1次支教，则在甲安排在第一批次的条件下，乙和丙安排在同一批次的概率为（）A.i B.i C.-3 5 108 .设。=与，c =2（1 l n 2）,则（）A.b c a B.c b a C.a b cD.c a 0）的最小正周期为兀，则（）A.函数/(x)图像关于点(或0)中心对称B./(%)在舄,勺上单调递减C.将

3、曲线y =/(x)向右平移g个单位长度，得到函数g(x)=s i n 0 x)的图像D.直线x =-皆是曲线y =/(乃的一条对称轴10.如图，在正方体4B C D-A1B 1G C 1中，E,F,G分别是棱B i Q,Q D i的 中 点,则()A.F G平面4E。B.B C i平面4 E%C.点G在平面AE D i内D.点尸在平面4E D 1内11.已知函数/(%)对Vx e R,都有/(一乃=-/0),/(2-乃=/。)，且/(1)=1,则()A.f(x)的图像关于直线x =2对称 B./(x)的图像关于点(-2,0)中心对称C./(6)=0 D./=-112.已知抛物线C：丫2=M的焦

4、点为凡 过点F的直线/与C相交于A,8两点(点A位于第一象限)，与C的准线交于。点，尸为线段A O的中点，准线与x轴的交点为E,则()A.直线/的斜率为遮 B.荏=2前C.0D.直线A E与B E的倾斜角互补13 .二项式(2x +S E)6展开式中/的系数为.1 4 .已知直线/：-b-1=0与圆(7：。-2)2+y 2=1相交于A,B两点，则AB=.1 5 .已知。是椭圆C：条+=l(a b 0)的上顶点，F是C的一个焦点、直线。F与椭圆C的另一个交点为点E,且 而=2 F E,则C的 离 心 率 为.1 6 .若存在直线与函数/(x)=e*T,g(x)=Inx +a的图像都相切，则实数。

5、的最大值为.1 7 .在 A BC中，角A,B,C的对边分别为小b,c,记 4 BC的面积为S,分别以4，h,c为边长的三个正方形的面积为Si，5 2,S3,且Si+S3 -S2=4 S.求8;(2)若5 2=2,A=求S.1 8 .如图，在三棱锥P A BC中，P C _ L平面 A BC,BC=V3AC,/.BAC=1,M是 P A的中点.(1)证明：P A I B C；(2)若P C=A C,求平面P 8 C与平面B C M所成角的大小.第2 页，共 15页p1 9 .已知正项数列 an,%=1,g=2,W+i W 是公差为2 的等差数列.(1)证明：Qn 是等差数列；(2)记%为数列

6、Qn 的前项和，求 +机+机+白20 .北京时间20 22年 4月 1 6 日，神 舟 1 3 号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，这趟神奇之旅意义非凡，尤其是“天宫课堂”在广大学生心中引起强烈反响，激起了他们对太空知识的浓厚兴趣.某中学为了解学生的性别和对天宫课堂的喜欢是否有关联，采用简单随机抽样的方法抽取1 0 0 名学生进行问卷调查，得到如下列联表:(1)画出列联表的等高堆积条形图，并判断该中学学生性别与喜欢天宫课堂是否有关联；(2)依据小概率值a =0.1 的,2独立性检验，能否据此认为该中学学生性别与喜欢天宫课堂有关联；(3)以上两种方法得出的结论哪一种更可靠，请说明理由.性别天宫

7、课堂不喜欢喜欢合计女20406 0男103040合计307 01002 _ n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)a0.10.050.010.0050.001Xa2.7 063.8416.6 357.87 910.8282 1.已知直线y=2与双曲线C：冬一=l(a 0,b 0)交于A,B 两 点,F是 C的左焦点，R A F 1 AB,BF =2AF.(1)求双曲线C的方程；(2)若 P,。是双曲线C上的两点，M是 C的右顶点，且 直 线 与 M。的斜率之积 为-1,证明直线尸。恒过定点，并求出该定点的坐标.2 2.已知函数f(x)=ex(nx+a).(1)若f (%)是

8、增函数，求实数。的取值范围；(2)若f (%)有两个极值点%1，%2，证 明:%1+%2 2.第4页，共15页答案和解析1.【答案】C【解析】解:集合4=-1,0,1,2,3),B=x|x|1 =x|-1 x 0,b=-=0,返由3 =+=21,得a 1,则(x)=工-7A=0,k 7 x+1、)X(x+1)2 x(x+l)2则h(%)=l n%笺 詈，%1为增函数，第6页，共15页v 九(1)0,九(%)0恒成立，故%1时，In%之 相：)恒成立,则山2 当/=|,则 c=2(1-ln 2)0,则7n(x)=ex-1 0恒成立，则7n(%)=ex x 1,x 0为增函数，又血(0)=e 0

9、1=0,7n(x)0恒成立，即x 0 时，e*x +l 恒成立，则 正=62 i 4-1=则a=2 2 2 4则Q=苧 3 则Q=-y|2(1 ln2)=c,综上，c a b.故选：D.利用比商法比较，方的大小，构造新函数，并利用放缩法比较，c 的大小，进而得到c a 0)的最小正周期为生=TT,A 3=2,/(%)=3(i)sin(2x+1).令x=5求 得/(乃=0,可得函数/(x)图象关于点G，0)中心对称，故 A 正确；在 琮 噂)上，2%+e (p y),函数/(x)单调递减，故 B 正确；将曲线y=f(%)向右平移g个单位长度,得到函数g(x)=sin(2x-力的图象，故 C 错误

10、；令 =一奈 求 得 小)=-1,为最小值，可得函数f(x)图象关于直线x=*(寸称，故D正确,故选：ABD.由题意，利用正弦函数的图象和性质，函数y=4sin(3x+0)的图象变换规律，先求出函数的解析式，从而得出结论.本题主要考查正弦函数的图象和性质，函数y=4sin(3x+s)的图象变换规律，属于中档题.10.【答案】8。【解析】解：如图,连接Bi。1，F,G 分别是棱B iG，GDi的中点，.GF&Di，若尸G平面ZED,则当 劣 u 平面4EQ,或当名平面AEDi，这与当小。平面AEQ=Dr矛盾，故 A 错误；连接E F,由题意可知EFB G，而EF u 平面4E。,0,可得小 0,

11、因为点A 在抛物线C上，则3 x 4 =1 2,可得巾=m23所以直线/的斜率为次，故 A 正确；联 立 =9 +1,解得广 二 黑 或 一3 2即点4(3.2 B6-争，y2=4x U l Z VJ I y2=易知点D(1,-2 百)，所 以 希=(一g,苧)，前=(一土 竽)，则 有 荏=2前，故 2正确；易知点E(-l,0),AE=(-4,-2 7 3),丽=(一 竽)，故 荏 丽=-?+4=一土 故C错误；1 =，=与,曦 姿=一 日，贝 1%后=一 嚷，所以直线A E 与 B E 的倾斜角互补，故D正确.故选：ABD.分析可知直线/的斜率存在且不为零，设直线/的方程为久=my+l(m

12、,0),求出点O的坐标，可得点A 的坐标，分析可得m0,将点A 的坐标代入抛物线C的方程，求出?的值，可判断A,再将直线/的方程与抛物线的方程联立，求出点A,B的坐标，利用平面向量与解析几何的相关知识可判断B C D的正误.本题考查抛物线的几何性质，考查方程的思想方程，属中档题.1 3.【答案】6 0【解析】解：二项式(2%+a)6 展开式的通项公式为：T k+i =J 2 6 f x 6 苫，令 6-：=4,则k=4,展开式中一的系数为或2 2 =6 0(故答案为：6 0.先求出二项展开式的通项公式，再令6=4,求出k=4即可.本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题.14.【答案】V3【解

13、析】解：圆心(2,0)到直线/：%-V3 y -10的距离d=不；=又由(萼 宁+卜+6d 2=N,.（与）2 +（2 =1 2,解得|A B|=百,故答案为：V3.运用圆的弦长公式直接求解.本题考查了圆弦长的计算，是基础题.1 5.【答案】y【解析】解：F是C的一个焦点，不妨设尸(c,0),2 2 。是椭圆。：京+靠=l(Qb0)的上顶点，。(0/)，设 E(m,n),直线。尸与椭圆C的另一个交点为点E,月.9=2而,.%(c,b)=2(m+c,n),解得m=-y,n=pv E(m,n)在椭圆上,c2=a2 b2,A e =T-故答案为：y.设E(m,n),结合向量的坐标运算，求出?n=-与

14、，n=-p再将点E代入椭圆，结合椭圆的性质，即可求解.本题主要考查椭圆的性质，考查转化能力，属于中档题.1 6.【答案】1【解析】解：曲线/(%)=的图象下凸，曲线g(x)=I nx +a上凸，存在直线与函数f(%)=ex-1,g(%)=I nx +a的图像都相切，即在定义域(0,+8)上，/(%)g(x)恒成立，记九(%)=e*T I n x a,九 (%)=ex-1 1在(0,+8)上单调递增，且在(0,+8)上有唯一零点,即靖。-1一工二0,XO可得九(%)m i n =%(%0)=ex 1 l n x0 a =-+x0 1 a2 1-x0-1 a =l a,当且仅当殉=1时取等号./.

15、1 a 0,即Q g(%)恒成立，记左()=ex-1-I n x -a,利用第10页，共15页导数求其最小值，再由最小值大于等于0 即可求得a的最大值.本题考查利用导数求函数的最值,考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题.17.【答案】解：由 S+S3-52=4S可得：a?+c?一 人 2=4 x acsinB,由余弦定理可得2accosB=4 xacsinB,即tanB=1,因为0 8 兀，所以B=.4（2）在 ABC中，由正弦定理高=亮 得 名=全 解得a=l,2 2由余弦定理匕2=c2+a2-2cacosB得2=c2+1 2c x解得=等或=学（舍），所以S=：x l x =中.

16、22 4【解析】（1）由已知得，a2+c2-b2=4xacsinB,从而得角3 的正切值，利用三角形角度关系，即可得角8；（2）利用正余弦定理解三角形即可求三角形面积.本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题.18.【答案】（1）证明：在 ABC中，由正弦定理得，3=一%,s in j sinz-ABC所以sin-W C=三，2因为4 C/3,0),P(0,0,2),所 以 西=(1,0,1),CB=(0,2V3,0),设平面BCM的一个法向量为元=(x,y,z),则俨.曳 二,即卜8y=0,令x =l,则y =0,z =1,所以记=(1,0,1),因为A C 1 平

17、面P B C,所 以 平 面 的 一 个 法 向 量 为 记=(1,0,0),所以c o s(而，力=器=，故平面P 8 C 与平面3 cM所成角的大小为【解析】(1)在A/I B C 中，先利用正弦定理求得4 A B C,进而知BC1 4C,再由P C 1 平面A B C,可得PC1 BC,然后结合线面垂直的判定定理与性质定理，得证；(2)以 C为坐标原点建立空间直角坐标系，依次求得平面8cM和平面P B C 的一个法向量元与记，再由空间向量数量积的坐标运算，即可得解.本题考查立体几何综合，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，利用空间向量求面与面的夹角是解题的关键，考查空间立体感，推理论证

18、能力和运算能力，属于中档题.19.【答案】证明：(1)由题意，aj-al=3,因为 W+i-a 3 是首项为3,公差为2 的等差数列，所以 W+i -W=2几 +1,W=(W -碌_1)+(W t -嫌_2)+-+(堵-冠)+al=(2n -1)+(2n -3)4-F 5 +3+l =n2,又 因 为 0,所以an=n,故 n+i an=n+l n=l,所以 即 是等差数列；解：(2)由(1)得Sn=吟故9=1 =2-2)，/2 Sn n(n+l)n+ly1.1,1,.1 c/y 1,1 1.1.1 1、1、2n-4-+,4-=2(1-+-+d-)=2(1-)=-.Si S2 s3 Sn k

19、2 2 3 3 n n+1，n+1，n+1【解析】(1)由题意可得W+1-W=2n +1,又W=(W -a i)+(W-1-n-2)H-1-(谖-/)+a：,再结合等差数列的求和公式即可求出厮，最后由等差数列的定义即可证明；(2)由裂项相消法求解即可.本题考查了等差数列的证明和裂项相消求和，属于中档题.2 0.【答案】解：(1)根据上面的2x2列联表，该中学女生不喜欢天宫课堂和喜欢天宫课堂的频率分别为空 0.3 3 3 和竺=0.6 6 7,60 60该中学男生不喜欢天宫课堂和喜欢天宫课堂的频率分别为券=0 2 5 和,=0.7 5.40 40根据以上数据，画出等高堆积条形图，如图所示：第12

20、页，共15页图中两个深色条的高分别表示该中学女生和男生中不喜欢天宫课堂的频率，从图中可以看出，女生喜欢天宫课堂的频率明显低于男生喜欢天宫课堂的频率，因此我们可认为该中学学生喜欢天宫课堂与性别有关联.(2)零假设为%:该中学学生喜欢天宫课堂与性别无关联，根据列联表中的数据得：72=7 C(墨=I*?。：。*。)?=郎。0.7937 O.b 0)交于A,8 两点，F 是 C 的左焦点,由双曲线的对称性知|4B|=2c=2Vx设双曲线 C 的右焦点为F,则|BF|-|AF|=|BF|-|8F|=2a=2,得a=1,则 b=Vc2 a2=V2,故双曲线c的方程为/一 q =1.(2)证明：由 已 知

21、得 设 直 线 M P与 MQ的斜率分别为七，k2,当直线P。不垂直于X轴时：设直线PQ的斜率为A,P。的方程为y =k x +m,P(X ,%)，Q(x2,y2),由得(1 2)x2+2kmx+m2+2=0,当A =8(2 -1 +2)o时，X 1+x2=xTx2=c c k2(m2+2)2k2 m2,_ 2那么k攵=%_ (k，i+m)(依2+m)_ :2 2 2+:皿%1+%2)+而 _ Q 一笆石切1 2-(X j-l j C X j-l)-&-1)(上-1)-1X2-(X1+X2)+l-一 *+警+i -2 kz-22(k+m)(k；m)=也 四=,得m =2 k,符合题意.(k+m

22、)2 k+m 3所以直线P Q的方程为y =k(x+2),恒过定点(一2,0).当直线P。垂直于x轴时：设P(t,h),因为P是C上的点，所以h 2 =2/一 2,则卜也=恚=霹=誓=-|，解得-2,故直线PQ过点(-2,0).综上，直线尸。恒过定点(一2,0).【解析】(1)利用双曲线的几何性质求出a，b、c,即可求出双曲线C的方程；(2)设直线MP与MQ的斜率分别为抬，k2,分类讨论：当直线尸。不垂直于x轴时,利 用“设而不求法”求出m =2 k,判断出直线尸。过定点(-2,0).当直线尸。垂直于轴时，设P(t,h),解得t=-2,判断出直线PQ过定点(一2,0).本题考查了双曲线的方程以

23、及双曲线中直线过定点的问题，属于中档题.2 2.【答案】解：函数的定义域为(0,+8)/(乃=e，(ln x+：+a),若/(x)是增函数，即/(%)N 0对任意x 0恒成立，故In x+：+a 2 0恒成立，设g(x)=In x+i+a,则g x)=：一2=管，所以当0 Vx 1时，g(x)1时，g(%)0,g(x)单调递增,所以当=1时，g(x)m in=g(l)=Q+1,由a+1 0得a -1,所以。的取值范围是-1,+8).(2)证明：不妨设0V%i 2,只需证 2 2 1，只需证g(%2)-g(2 与)=-5(2-X 1)=In X H-F c i ln(2%力+-F a =1 n

24、xi H-ln(2 打)H-0,设九(%)=In%+ln(2 x)+x G(0,1 ,贝！=i-=人I /X X2 x-2 -2)2 *2 (4-2)2*1)2 vX2(X-2)2 一0,第14页，共15页所以九(%)在(0,1)上单调递减,因为%1 e(0 4),所以九(%)九(1)=0,即g(%2)-g(2 -%i)o,g(%2)g(2 -/)，又%2 1，2 -xt 1,及g(%)在(1,+8)上单调递增,所以2 2 -打成立，即+%2 2 成立.【解析】(1)求出函数的导函数，依题意尸(乃 0 对任意x 0 恒成立，故In x+a 0恒成立，设g(x)=ln x+a,利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可求出参数的取值范围；(2)不妨设0与 不，则X 1，冷是函数g(X)=ln x+：+a的两个零点，即可得到0%1 1 要证明 1+刀 22,只需证 2 2 刈，只需证 g(%2)-g(2 -%1)=g(xj-g(2 -X 1)0,构造函数利用导数证明即可.本题考查利用导数研究函数的极值，考查学生的运算能力，属于难题.