2020年高考理数真题试卷（新课标Ⅰ).pdf

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1、2020年高考理数真题试卷（新课标I）阅卷入_ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出得分 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共12题；共60分）1.（5 分）若 z=l+i,则|z?-2z|=（）A.0 B.1 C.V2 D.2【答案】D【解析】【解答】由题意可得：z2=（1+i）2=2 i，则z2-2z=2i-2（1+i）=-2 ,故 z2-2z=|-2|=2.故答案为：D.【分析】由题意首先求得Z2-2Z的值，然后计算其模即可.2.（5 分）设集合 A=x|x2-4g0,B=x|2x+a0,且 AnB=x|-2gxWl,则 a=（）A.-4 B.-2 C.

2、2 D.4【答案】B【解析】【解答】求解二次不等式X2-4 0 可得：X=%|-2%2 ,求解一次不等式2x+a W 0 可得：B-xx .由于 A B=x 2 x 0）上一点，点 A 到 C 的焦点的距离为1 2,到 y 轴的距离为9,则 p=（）A.2 B.3 C.6 D.9【答案】C【解析】【解答】设抛物线的焦点为F,由抛物线的定义知AF=XA+1=12，即 12=9+刍，解 得 p=6.故答案为：C.【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.5.（5 分）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x（单位：）的关系，在 20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据

3、=,20）得到下面的散点图：由此散点图，在 1(T C 至4()(之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x的回归方程类型的是()A.y=a +b x B.y=a +b x2 C.y=a +b ex D.y=a +b nx【答案】D【解析】【解答】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率y 和温度x的回归方程类型的是y=a +b l n x .故答案为：D.【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.6.(5 分)函 数/(%)=x4-2x3的图像在点(L /(I)处的切线方程为()A.y=2%1 B.y=2x+1 C.y=2x-3 D.y=

4、2x+1【答案】B【解析】【解答】,/(%)=x4-2x3,f(x)=4 x3-6 x2,/(I)=-1 ，/(l)=-2 ，因此，所求切线的方程为y+1 =-2(%-1),即 y=-2x+1 .故答案为：B.【分析】求得函数y=/(x)的导数/(%),计算出/(I)和/(1)的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.7.(5 分)设函数f(x)=C 0 S(3 X+专)在-71,71 的图像大致如下图，则 f(x)的最小正周期为()【答案】C【解析】【解答】由图可得：函数图象过点（等,0），将它代入函数/（X）可得：c o s（粤 3 +看）=0又（-等,0）是函数/（%）图象与%轴负半轴

5、的第一个交点，所 以 一等9+髀 一 卜 解得：3=12 7 r 2T T 4 7 r所以函数/（x）的最小正周期为7 =方=丁 =丁2故答案为：C【分析】由图可得：函数图象过点（等,0），即可得到c o s（-粤-3 +*=0，结 合（等,0）是函数/（%）图象与X轴负半轴的第一个交点即可得到一等9+为 一 刍，即可求得3 =|,再利用三角函数周期公式即可得解.28.（5分）（x +）（x +y）5的展开式中x 3 y3的系数为（）A.5 B.1 0 C.1 5 D.2 0【答案】C【解析】【解答】（x+y）5展开式的通项公式为Tr+1=Cx5-ryr（r e N且r W 5 ）所 以（x

6、+）与（x +y）5展开式的乘积可表示为：xTr+1=xCx5-ryr=Cx6ryr 或-Tr+1=-CsX5ryr=Csx4ryr+2在 xTr+1=Cx6ryr 中，令 r =3 ,可得：xT4=C1 x3y3,该项中 x3y3 的系数为 1 0,在 7 r+i =C0 4ry+2中，令r=l,可得：=。聂3y 3,该项中%3y3的系数为5所 以x3y3的系数为10+5=15故答案为：C【分析】求 得(x +y)5展开式的通项公式为Tr+i =C%5Ty r (rc/V且rW5 ),即可求得 与(x +y)5展开式的乘积为C 06-r y r或C-ryr+2形式，对r分别赋值为3,1即可求

7、得x3y3的系数，问题得解.9.(5 分)已知 a 6 (0,7r),且 3c o s 2a 8 c o s a =5,则 sina =()A V 5 p 2 Q 1 D 店【答案】A【解析】【解答】3c o s 2a 8 c o s a =5,得 6 c o s2a -8 c o s a -8 =0,即 3c o s 2。-4 c o s a -4 =0,解得 c o s a =|或 c o s a =2(舍去)，又 v a 6 (0,Ti),.s i n a =V 1 c o s2a =学 故答案为：A.【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于c o s a的一元二次方程，求解得出

8、c o s a ,再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.10.(5分)已 知A,B,C为球O的球面上的三个点，。0 1为XA B C的外接圆，若。1的面积为4兀，AB-BC-AC-。1,则球0的表面积为()A.6 4兀 B.4 8兀 C.36兀 D.32兀【答案】A【解析】【解答】设 圆。1半径为r,球的半径为R,依题意，由正弦定理可得AB=2r s i n 6 0=28，0 01=A B =2V 3,根据圆截面性质O R 1平 面ABC,001 1 0 xA,R=0A =。1 I 2+OtA2=J。12+r2=4，I 2 2=V 5 2,所以直线1与圆相离.依圆的知识可知，四点A,P,B,

9、M四点共圆，且4 B _ L M P ,所 以PM AB=2S P A M=2 x|xPA x AM=4PA,而 PA=y/MP2-4 ,当直线 M P 1 l 时，|M P|m i n=，|P*m i n =l，此时 PM AB 最小.11=(1)即 y =+由，2x+2 解得，22 2(2x +y+2=0所以以M P为直径的圆的方程为(x l)(x +l)+y(y l)=0,即x2+y2-y-1=0,两圆的方程相减可得：2x +y+l=0,即为直线A B的方程.故答案为：D.【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点A,P,B,M共圆，且,根 据PM AB=2SAPAM=2P

10、A可知，当直线M P 1 I时，PM AB最小，求出以M P为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线A B的方程.12.(5 分)若 2。+l o g 2a =心+21o g 4 b，则()A.a 2b B.a b2 D.a b2【答案】B【解析】【解答】设/(x)=2X+l o g2x ,则/(x)为增函数，因 为2。+l o g 2a =心+210g a=球 0 的表面积 S =4nR2=6 4 7r .故答案为：A【分析】由已知可得等边A4BC的外接圆半径，进而求出其边长，得 出0。1的值，根据球截面性质，求出球的半径，即可得出结论.11.(5 分)已知。M：x+y-2x -2y -

11、2=0,直线 I：2x+y+2=0 ,P 为 I 上的动点，过点P作。M的切线PA.PB,切点为A,B,当PM AB最小时，直 线A B的方程为22()A.2%-y 1=0 B.2x +y -1=0 C.2x y+1 =0 D.2%+y +1=0【答案】D【解析】【解答】圆的方程可化为(x -I)2+(y -1)2=4 ,点M到直线1的距离为d =|2x l+l+2|尸、.22b+l o g 2b1所以/(a)-/(2b)=2a+l o g 2a -(22b+l o g22b)=22b+l o g 2b -(22b+l o g226)=l o g2=-1 0,所以/(a)/(2b)，所以 a

12、0,此时 f(a)f(_b2),有 a b 2当 b =2 时，/(a)-/(h2)=-l 0 ,此时 f(a)f(b2),有。0,则 z=x+7y 的最大值为_ _ _ _ _ _ _ _ _.(y +1 0,【答案】1【解析】【解答】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，阅卷人得分其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大,据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：二;，可得点A的坐标为：71(1,0),据此可知目标函数的最大值为：Zm a x =1+7 X 0=1.故答案为：1.【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最

13、大值.14.（5 分）设 a,b 为单位向量，且 a +b =1 贝!a -b =.【答案】V3【解析】【解答】因 为a,b为单位向量，所 以 0=|b|=1所以|五 +瓦=J（d +B）2 =d 2+2a -b +b 2=y/2+2a-b=1解得：2 2 3 =1所以 I，-瓦=J 伍-3）2 =a 2-2a -b +b 2=北故答案为：V3【分析】整理已知可得：a +b=J（d +I）2，再利用a,b为单位向量即可求得2 益i=一 1，对 a -b 变形可得：d-b =d 2-2a-b +b 2，问题得解.1 5.（5 分）已知F 为双曲线C:|-=l（a 0,b 0）的右焦点，A为 C的

14、右顶点，B为 C上的点，且 B F 垂直于x 轴.若AB的斜率为3,则 C的离心率为.【答案】2【解析】【解答】依题可得，辐=3,而|力用=c-a ,即 9=3，变形得c2 a2=3a c 3 a2,化简可得，e2 3 e 4-2 =0 ,解得 e =2 或 e =1 （舍去）.故答案为：2.,2【分析】根据双曲线的几何性质可知，|B F|=，|力用，即可根据斜率列出等式求解即可.1 6.（5 分）如图，在三棱锥P-A B C 的平面展开图中，A C=1,A B A D =V 3,A B A C,A B A D,N C A E=3 0,贝 ij co s N FC B=【答案】一4【解析】【解

15、答】-ABL AC,AB=遍，4 C =1,由勾股定理得BC=y/AB*1 2+A C2=2 ,三、解 答 题（共5题；共6 0分）得分1 7.（1 2 分）设 an是公比不为1 的等比数列，的 为 a2，3 的等差中项.（1）（6 分）求 an）的公比；（2）（6 分）若 的=1 ,求数列 n a 的前n 项和.【答案】（1）解：设 M 的公比为q,即 为a2,a3的等差中项，v 2 a l =a 2 +。3,%。0,二 q 2 +q 2 =0 ,同理得BD=瓜，:.BF=BD=瓜，在 力 C E 中，AC=1 ,A E=4 D=遮，/.CAE=3 0 ,由余弦定理得 CE2=AC2+AE2

16、-2AC 4 Eco s 3 0。=l +3 2xlxg x孚=1，CF=CE=X ,在A B C F中,BC=2 ,BF=V6 ，CF=1 ,由余弦定理得cosZ.FCB-CF2+BC2-BF22CFBC1+4-62 x 1 x 214故答案为：J.4,【分析】在 A C E中，利用余弦定理可求得CE,可得出CF,利用勾股定理计算出B C、BD,可得出BF,然后在&B C F中利用余弦定理可求得cos乙F C B的值.阅卷入v q 手 1 q=-2 ；(2)解：设 nan)的前 n 项和为 Sn,%=1,即=(-2)n-1,S n =l x l +2 x (2)+3 x (-2)2 +n(-

17、2)n，(?)2Sn=1 x (-2)+2 x (-2)2 +3 x (-2)3+(n-1)(2)n-1+z i(-2)n，(2)一得，3 S n =1 +(-2)+(-2)2 +(-2)n-i -n(-2)n=1-(-2 尸1-(-2)-n(-2)nl-(l+3 n)(-2)n3l-(l+3 n)(-2)n9【解析】【分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比q的方程，求解即可得出结论；（2）由（1）结合条件得出 an的通项，根 据（nan的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.1 8.（1 2 分）如图，D 为圆锥的顶点，0是圆锥底面的圆心，A E为底面直径，AE=AD.A B C是

18、底面的内接正三角形，P为。上一点，。=学。0 .6(1)(6 分)证明：PA 1平 面PBC；(2)(6 分)求二面角B-P C-E的余弦值.【答案】(1)解：由题设，知 AO AE 为等边三角形，设 4 E=1 ,则 0 0 =/,CO=B O=AE=2,所以 P O=埠 DO=卒,Z o 4PC=yI/-PO-2-V 6 z-7 6+0 C2=tPB=J PO2+OB2=不又A A B C为等边三角形，则 基 第=2。4 ,所以,s i n 6 0 2PA2+PB2=AB2,则 Z-APB=9 0 ,所以 PA 1 PB,同 理PA 1 PC,又 PC CPB=P,所 以PA 1平 面PB

19、C；（2）解：过 O 作 ON B C 交 AB于点N,因 为P0 1平 面ABC,以O 为坐标原点，O A为x轴，O N为y轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 E（-1,O,O）,P（O,O,*）,B（-/，4（）,C（-/,一，,O）而=（-U，-圣，丽=T卓 一?），*T，o,一 ），设平面P C B的一个法向量为n=（%i，yrZ i）,由I片:得%一 V2 Z 1 二 0一 1 +V3 y1 y/2z1-0令 X 1 =，得 Z 1 =-l,y1=0 ,所以 n=（V2.0.-1）,设平面P C E的一个法向量为m =（x2,y2,Z2）C m -P C =0PE=0得 f-x2 -

20、V3 y2-V2Z2=01 2%2 V2 2 2 =0，令2 =1，得 z2=-V2,y2=字，co s =n-m _ 2y/2 _ 2/5=尊=可设二面角B-P C-E的大小为6则C OS 0 =所以 m=(1,-V 2)故【解析】【分析】（1）要证明PA 1平 面P B C ,只需证明P 4 1 P B ,P A L P C即可；（2）以0为坐标原点，O A为x轴，O N为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别算出平面P C B的法向量 为 元，平 面P C E的法向量为m,利用公式c o s（沆质=露7计算即可得到答案.1 9.（1 2分）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：

21、累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为I,(1)(4分)求甲连胜四场的概率；(2)(4分)求需要进行第五场比赛的概率；(3)(4分)求丙最终获胜的概率.【答案】解:记 事 件 M:甲连胜四场,则P(M)=(J)4=;(2)解：记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，则四局内结束比赛的概率为P=PABAB)+PfACAQ +P(BCBC)+P(BABA)=4

22、x 8 广=1，所以，需要进行第五场比赛的概率为P =l-P，=,；(3)解：记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，记事件M:甲赢，记事件N:丙赢，贝 U 甲赢的基本事件包括：B C B C、A B C B C、A C B C B、BABCC、BACBC、BCACB、BCABC、BCBAC,所以，甲赢的概率为P(M)=(1)4+7X&)5=点.由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，所以丙赢的概率为P(N)=1-2乂 备=金.【解析】【分析】(1)根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率；(2)计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率

23、；(3)列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率.v22 0.(1 2 分)已知A、B分别为椭圆E：与+y 2 =i (a l)的左、右顶点，G为 E的上顶点，AG GB=8,P为直线x=6 上的动点，P A 与 E的另一交点为C,P B 与 E的另一交点为D.(1)(6 分)求 E的方程；(2)(6 分)证明：直线CD过定点.【答案】(1)解：依据题意作出如下图象:B(a,O)，G(O,1)AG,GB=a?-1 =8,*a?=9二椭圆方程为：于+y 2 =1(2)证明：设 P(6,y0),则

24、直线A P的方程为：y =/厂 或(%+3)，即：、=缪(+3)o-Q-0)y联立直线A P的方程与椭圆方程可得:可V=1 ,整理得:y =(x +3)(y0 2+9)x2+6 y0 2x 4-9 y0 之 -81 =。，解得：x =-3 或 x =一 3 丫 0 2+2 7/3 y 0 2+2 7y0 2+9y0 2+9所以点C的坐标为代入直线y =空(x +3)可得：y=T 7 7-3y0 2+2 7 6 y o 、(y0 2+9 0 2+9).同理可得：点D的坐标为 产0 212 ml_y0 2+i y0 2+i直 线C D的方程为：y 一(二%7)=yo+1-3 y0 2+2 7(“_

25、 3 y 0 _ _ 3y0 2+i)3 y oyo 2+9整理可得：春=需*。一,)=8y o6(3-y0 2)整理得：y=4y o3(3-y0 2)2 y o4y oy0 2-3 -3(3-y0 2)/3、(工一力将%+故直线C D过定点(|,0)【解析】【分析】(1)由已知可得：A(-a,0)，B(a,0)，G(0,l),即可求 得 布 福=&2-1，结合已知即可求得：。2=9,问题得解.(2)设 P(6,y),可得直线A P的方程为：y =普(x +3),联立直线A P的方程与椭圆方程即可求得点C的坐标为,同W+9 yo+9理可得点D的坐标为(3%2 3,_2薨,即可表示出直线C D的

26、方程，整理直线C D的方程 v 2 I-1 2 Iy。十 人 丫。十工可得：y =2、(%一，命题得证.y()21.(12 分)已知函数 f(x)=ex+a x2 x.(1)(6 分)当 a=l 时，讨论f (x)的单调性；(2)(6 分)当 近0 时，f (x)N ,x 3+l,求 a 的取值范围.【答案】(1)解：当 a =l 时，/(x)=ex+x2 x,f(x)=ex+2x 1 ,由于/(%)=靖+2 0,故f(x)单调递增，注意到f(0)=0,故：当 (-00,0)时，f(x)0,/(x)单调递增.(2)解：由 /(%)%3 4-1 得，ex+a x2%3+1,其中%0,.当x=0时

27、、不等式为：1 2 1 ,显然成立，符合题意：.当x 0 时，分离参数a 得，,记 g(x)ex-lx3-x l(x 2)(ex x2 x 1)令/i(x)=ex 2x2 x l(x 0),则 hx)=ex x 1 ,hff(x)=ex-1 0 ,故 hf(x)单调递增，hf(x)h(0)=0,故函数h(x)单调递增，h(x)h(0)=0,由/i(x)N O 可得：/一*/一 万-1 0 恒成立,故 当 (0,2)时，g(x)0,g(x)单调递增;当 x G (2,+oo)时，g(x)0 ,g(x)单调递减;因此，g Q O l m a x =g Q)=，综上可得，实数a 的取值范围是 宇,+

28、8).【解析】【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.(2)首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a 的取值范围.阅卷入四、选修4-4：坐标系与参数方程（共 1题；共 10分）得分22.（10分）在直角坐标系x O y中，曲 线Q的参数方程为F =cs，（t为参数）.以坐标原点（y=sin t为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲 线C2的极坐标方程为4pcos0-16psin0 4-3=0.（1）（5分）当k=1时，Q是什么曲线？（2）（5分）当k=4时，求 的 与 牝 的公共点的直

29、角坐标.【答案】（1）解：当k=l时，曲线Q的 参 数 方 程 为 为 参 数）,两式平方相加得x2+y2=1 ,所以曲线的 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；_ 4.x =c o s/（t 为参数），y=sin t所 以 2 0,y 2 0 ,曲线Q的 参 数 方 程 化 为 为 参 数），两式相加得曲线Q方程为 历+方=1 ,得 y/y=1 y/x,平方得 y=x-2 x 4-1,0 x 1,0 y 0,y 0 ,曲 线C i的参数方程化为 吃：；仁 为参数）,两式相加消去参数t,得 J普通方程，由pcos0=x,psin6=y,将曲线C2化为直角坐标方程，联立C i G方程，即可求解.

30、阅卷人五、选修4-5：不等式选讲（共 1题；共 10分）得分23.（10 分）已知函数/（%）=|3 x 4-l|-2|x-l|.（1）（5分）画 出y=/（%）的图像;%4-3,x 15-1,-1 xl,作出图象，如图所示:-X 3Q,x。-1-3(2)解：将函数/(x)的图象向左平移1 个单位，可得函数f(x+1)的图象，如图所示:所以不等式的解集为(-00,-1).【解析】【分析】(1)根据分段讨论法，即可写出函数/(%)的解析式，作出图象；(2)作出函数/(%+1)的图象，根据图象即可解出.试题分析部分1、试卷总体分布分析总分：160分分值分布客观题（占比）65.0(40.6%)主观题

31、（占比）95.0(59.4%)题量分布客观题（占比）13(56.5%)主观题（占比）10(43.5%)2、试卷题量分布分析大题题型题目量（占比）分 值（占比）解答题5(21.7%)60.0(37.5%)选修4-4：坐标系与参数方程1(4.3%)10.0(6.3%)选修45：不等式选讲1(4.3%)10.0(6.3%)填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20分。4(17.4%)20.0(12.5%)选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12(52.2%)60.0(37.5%)3、试卷难度结构分析序号难易度占比1普通(73.9%)

32、2容易(21.7%)3困难(4.3%)4、试卷知识点分析序号知识点（认知水平）分 值（占比）对应题号1散点图5.0(3.1%)52二项式定理的应用5.0(3.1%)83直线与圆的位置关系5.0(3.1%)114利用导数求闭区间上函数的最值12.0(7.5%)215等差数列的性侦12.0(7.5%)176简单线性规划的应用5.0(3.1%)137直线与圆锥曲线的综合问题12.0(7.5%)208相互独立事件的概率乘法公式12.0(7.5%)199双曲线的简单性质5.0(3.1%)1510同角三角函数间的基本关系5.0(3.1%)911数列的求和12.0(7.5%)1712利用导数研究曲线上某点切

33、线方程5.0(3.1%)613正弦定理5.0(3.1%)1014点的极坐标和直角坐标的互化10.0(6.3%)2215复数代数形式的乘除运算5.0(3.1%)116向量在几何中的应用12.0(7.5%)2017抛物线的定义5.0(3.1%)418向量的模5.0(3.1%)1419直角三角形的射影定理5.0(3.1%)320圆系方程5.0(3.1%)1121分段函数的解析式求法及其图象的作法10.0(6.3%)2322三角函数的周期性及其求法5.0(3.1%)723余弦定理5.0(3.1%)1624元二次不等式的解法5.0(3.1%)225函数单调性的性质5.0(3.1%)1226线性回归方程5

34、.0(3.1%)527二倍角的余弦公式5.0(3.1%)928复数求模5.0(3.1%)129直线与平面垂直的判定12.0(7.5%)1830利用导数研究函数的单调性12.0(7.5%)2131棱锥的结构特征5.0(3.1%)332交集及其运算5.0(3.1%)233函数的图象10.0(6.3%)2334由y=Asin(u)x+(p)的部分图象确定其解析式5.0(3.1%)735向量数乘的运算及其几何意义5.0(3.1%)1436参数方程化成普通方程10.0(6.3%)2237球的体积和表面积5.0(3.1%)1038用空间向量求平面间的夹角12.0(7.5%)1839列举法计算基本事件数及事件发生的概率12.0(7.5%)1940圆锥曲线的几何性质5.0(3.1%)15