2020～2022年新高考全国卷Ⅰ数学真题及参考答案汇总.pdf

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1、20202022年普通高等学校招生全国统一考试（新高考I 卷）数学真题及参考答案汇总第1页 共3 3页目 录2022年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国I 卷）数学真题.32022年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国I 卷）数学真题参考答案82021年普通高等学校招生全国统一考试（新高考I 卷）数学真题.122021年普通高等学校招生全国统一考试（新高考I 卷）数学真题参考答案.182020年普通高等学校招生全国统一考试（新高考I 卷）数学真题.232020年普通高等学校招生全国统一考试（新高考I 卷）数学真题参考答案.29注：2 0 2 0 年新高考全国I卷适用地区:山东2 0

2、2 1 年新高考全国I卷适用地区:山东、广东、湖南、湖北、河北、江苏、福建2 0 2 2 年新高考全国I卷适用地区:山东、广东、湖南、湖北、河北、江苏、福建第 2 页 共 3 3 页2022年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国I 卷）数学真题（适用地区:山东、广东、湖南、湖北、河北、江苏、福建）本试卷共4 页，22小题，满 分 150分。考试用时120分钟。注意事项:1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2 B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右 上 角”条形码粘贴处”。2.作答选择题时，选出每小

3、题答案后，用 2 B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分,共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合M =x|y 4 ,N =x|3 x 2 1 ,A.x|0 x 2 B.x x 3C.x|3 x 1

4、6 D.x x 1 632.若 i(l -z)=1,则z+5=()A.-2B.1C.1D.23.在 A B C 中,点。在边 A B 上，8 )=2ZM.记CA=/M,CZ)=，则。与=()A.3 m 2 nB.2 m +3nC.3 m +2 nD.2 6+3 则（）4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1 4 8.5 m 时;相应水面的面积为1 4 0.0 幻1?；水位为海拔1 5 7.5 m 时;相应水面的面积为ISO.Ok n?,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1 4 8.5 m 上升到1 5 7.5 m

5、 时，增加的水量约为（V 7 2.6 5 ）（）第 3页 共 3 3 页A.1.0 xl09m3B.1.2xl09m3C.1.4xl09m3D.1.6xl09m35.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(6.记 函 数/(x)=sin兀COX d-+-/。0)的最小正周期为7.若 曾 丁兀，且y=/(x)的图像关于点3兀T中心对称，则/设a=O.le，b=,c=-ln 0.9,则(9ahcB.chaC.cahD.ac OA f D.B P-B Q y B A 11 2.已知函数/(x)及其导函数/(x)的定义域均为R,记g(x)=/(x).若-g(2 +x)均为偶函数

6、，则()A./(0)=0 B.=0 C./(-1)=/(4)D.g(-l)=g(2)三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.1 3 .+的展开式中x 2 y 6的系数为(用数字作答).1 4 .写出与圆/+丁=1和(X 3)2+(y 4 y=1 6都相切的一条直线的方程.1 5 .若曲线y=(x+a)e*有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是.V-2 v211 6.已知椭圆C：=+二=l(a b 0),C的上顶点为A,两个焦点为耳，F,离心率为上.过耳且垂a h2直于A居的直线与C交于O,E两 点,|。石|=6,则A D石的周长是.四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应

7、写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.(1 0 分)记5 为数列 凡 的前项和，已 知 卬=1,是公差为；的等差数列.(1)求 q的通项公式；(2)证明：+k)0.0 5 0 0.0 1 0 0.0 0 1第6页 共3 3页k 3.841 6.6 3 5 1 0.82 82 1.(1 2 分)22已知点A(2,l)在双曲线C:J 一一占一=l(a l)上，直 线/交 C于 P,。两点，直线A P,A Q 的斜率之和a a-I为 0.(1)求/的斜率；(2)若 t a n/P A Q=20,求 P A Q 的面积.2 2.(1 2 分)已知函数f(x)=ex-axW g(x)=o r-l n

8、 x 有相同的最小值.(1)求。；(2)证明：存在直线丁 =力，其与两条曲线丁 =/(%)和丁=8。)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.第 7 页 共 3 3 页绝密启用前 试卷类型：A2022年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国I 卷）数学真题参考答案一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.D 2.D 3.B 4.C 5.D 6.A 7.C 8.C二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的

9、得0 分.9.ABD 10.AC 11.BCD 12.BC三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.13.-283 5 T 7 25 T 14.y=x+或 =x-或 x=T.4 4 24 2415.(一8,-4)。(0,+8)16.13四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、n(n+l)17.(1)a=-L21 2 J1 1、(2)-(,-A，an nn+l)n n+1 Ji i i IY n n n (i(/.-1-1-=2 1 +-N-=2 1-a a2 an w 2)12 n+lJJ I、兀18.(1)一；6(2)4 7 2-5.19.(1)y/2证明过程

10、或演算步骤.1 6.6 35,所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.，八 小 a P(B|A)P(B A)_P(A B)P(A)P(A B)P(A)(2)(i)因为 R =-=-：,P(B|A)P(B|A)P(A)P(AB)尸(A)P(A B)山an 一(A 8)P(B)P(A B)P(B)ryT-P(8)P(A B)P(B)P(A B)P(A B)P(A B)JTT 以 K -二 =;(i i)R=6；21.(1)-1；(2)处.922.(1)a=(2)由(1)可得f(x)=e*-x和g(x)=x-ln x的最小值为l-ln l=l-ln；=L当人1时，考虑e

11、x=b的解的个数、x-ln x=/?的解的个数.设 S(x)=e x-d S,(x)=ev-1,当尤0时，S(x)0时，S(x)0,故S(x)在(-8,0)上为减函数，在(0,+8)上为增函数，所以 S a Z i n n S e)=】一/。，而S(_)=e-0，S(b)=eh-2 b,设=e -2/?,其中方 1,则z Z =e -20,故M团在(1,+oo)上为增函数，故 (l)=e-2 0,第9页 共3 3页故S p)0,故5(力=一刀一人有两个不同的零点，即e-x =b的解的个数为2.设T(x)=x-ln x-b,F(x)=-,当0 x l时，T)1 时,r(x)0,故T(x)在(0,

12、1)上为减函数，在(I,”)上为增函数，所以 T(x L=T(l)=l匕0,T(eb)=eh-2 b 0 ,T(x)=x I n x 6有两个不同的零点即x ln x=h的解的个数为2.当b=l,由(1)讨论可得无一ln x=Z?、e*-x=仅有一个零点，当匕1.设(x)=e*+ln x-2x,其中 x 0,故(x)=e*+,-2 ,X设s(x)=e 九-1,x(),则s(x)=e-l0,故s(x)在(0,+oo)上为增函数,故s(x)s =0即e*x+1，所以(x)x+J 122 1 0,所以(x)在(0,+0 ,h()=e-3 -e-3 -0，e e e故h(x)在(0,+co)上有且只有

13、一个零点看,5 /1且：当0 x /时，(x)0即 e*-%X-I n x 即/(%)x0时，h(x)0 B P ev-x x-I n x B P /(x)g(x),因此若存在直线y=b与曲线=/(x)、y=g(x)有三个不同 交点，故匕=/(/)=g(%)l,此时e*-x=8有两个不同的零点西，入0(内0%)，第1 0页 共3 3页此时=8有两个不同的零点*0，*4(/1 1,xn=x,-b故 ，即玉+%=2%.xx=x0-b第1 1页 共3 3页绝密启用前 试卷类型：B2021年普通高等学校招生全国统一考试（新高考I 卷）数学真题（适用地区:山东、广东、湖南、湖北、河北、江苏、福 建）本试

14、卷共4 页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上用25铅笔将试卷类型（4）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后

15、，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.3.已知圆锥的底面半径为0,其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）1.设集合A=乂 2x4,8=2,3,4,5,则A D 8=()A.2 B.2,3C.3,4D.2,3,42.已知 z=2 i,则 z(5+i)=()A.6-2i B.4-2iC.6+2iD.4+2iA.2 B.272 C.4 D.4 04.下列区间中，函数/（x）=7 sin x-?）单调递增 区间是（）B.第1 2页 共3 3页2 25 .已知耳，鸟是椭圆C：/+=l的两个焦点，点M在c

16、上，则 闾 的 最 大 值 为()6,若t a n e =2,则型亚型竺L (7 .若过点(凡。)可以作曲线y =e两条切线,A.e v aB.eH bC.0 a e D.0 Z?0)的焦点为f，P为C上一点，P E与x轴垂直，。为x轴上一点，且P Q，。尸，若|叫=6,则C的 准 线 方 程 为.1 5 .函数 x)=|2 x T 2 1 n x的 最 小 值 为.1 6.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸某条对称轴把纸对折，规格为2()d m x l 2 d m的长方形纸，对折1次共可以得到l Od m x l 2 d m ,2()d m x 6d m两种规格的图形，它们的

17、面积之和S=2 4 0 d m 2,对折2次共可以得到5 d m x 1 2 d m,1 Od m x 6d m,2 0 d m x 3 d m H种规格的图形，它们的面积之和$2=1 8 0 d m z,以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形 的 种 数 为;如果对折次，那么 d m2.Jt=l第1 4页 共3 3页四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.已知数列 q相足q =1,all+为伸和为偶数（1）记勿=%,，写出伪，b2,并求数列也 的通项公式；（2）求 q的前2 0项和.1 8 .某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A,8两类问题，每

18、位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；8类问题中的每个问题回答正确得8 0分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答8类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A类问题，记X为小明 累计得分，求X的分布列；第1 5页 共3 3页(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.19.记AABC是内角A,B,C 的对边分别为。，h

19、,J已知=ac，点。在边AC上,3。sin ZABC=a sin C.(1)证明：BD=b；(2)若 A D =2 D C,求cos/ABC20.如图，在三棱锥A-BCD中，平面平面BCD,AB=A D,。为8。的中点.第1 6页 共3 3页A(1)证明：O A 1 C D；(2)若AOC。是边长为1的等边三角形，点在棱A。上，DE=2EA,且二面角的大小为4 5。，求三棱锥A-3 8的体积.21 .在平面直角坐标系x O y中，已 知 点 万,0)、6(丁万,0)|町|-阿 玛=2,点用的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)设点T在直线x =g上，过T的两条直线分别交C于A、3两点和P,。两点

20、，且TA-TB=TP-TQ,求直线A B的斜率与直线P Q的斜率之和.22.已知函数函(x)=x(l-l n x).(1)讨论/(x)的单调性；(2)设。，力 为两个不相等的正数，且从n a-a l n=“-b,证明：2 -+-2 2 2ac5 =ac9 2.2 3 2-CZ+CZ-JCZ_ 7F p-石(11 2 2 1 2a =3C=匕2=Z c 2 n c o s/4 B C=产=Lb2=ac 3 2C-C 6综上7cos A B C-1220.(1)证明：由已知，A A B D 中A B=A D 且 0为 B D 中点.-.A 0 B D又平面A B D，平面B C D.A 0 _ L

21、 平面B C D 且 C D u 平面B C D.-.A 0 C D由于A O C D 为正三角形，边长为1.-.O B=O D=O C=C D:.Z B C D=90 取0 D 中点H,连结C H,则 C F U O D第2 0页 共3 3页以H为原点，H C,H D,H Z为x,y,z轴建立空间直角坐标系由可知，平面B C D的法向量记=(0,0,1)设 C 号,0,0),B(0,-|,0),D(0,|,0)则方彳=(0,-1 4)v D E=2E A 2 一 2 2D E=-D A =(0,-.-.B E=DE-DB=(0,捐/)且 丽=(y,|,0)设元_ L 平面 B E C n=(

22、x,y,z).归 匣=0,即(元 B E=0-l 2 n=(V 3,1,-)hV3x+3y=0向+|乃=。由于二面角E-B C-D为4 5。V 2 _ _c os 4 5 0 =|c os(n m)=乙2h3+1+44 h =1T T1 ,1 y/3 c d/3：,V三 棱 锥A-BCD=S&BCD X X 2 X 1=2 1.(1)c=V 1 7,2 a=2,a=1,b=4y j2C表示双曲线的右支方程：/一k=1(%2 1)(2)设7(：,7 7 1),设直线 AB 的方程为y =七-3+m,A(x1,y1 B(x2,y2)匕(X 2)+,得 16/用12%+J+2 k l m (%+/=

23、1 61 6 x2 y2=1 6 4 (1 6 k)x2+(好2 k1m)x(抬+k1Tn m2-1 6 =0第2 1页 共3 3页 TA TB =(1+烂)&-I)(%2-0o1 11=(1+照)x1x2-(x1+x2)+-Z4(1+照)=(1+照)k-rn m2 16161 2 klm-k1 12 16-/cf+4-m2-1216 k：m2+12筋 _ 16=(1+k。设kpQ=k2,同理可得ITPIITQI=（1+发）鬻所以（1+照）然=（1+好）窗I1 fcf-16“杨-1 6得另16好=好一得必:.=k，2 七 H k2:，k 的即的+%=022.(1)f(x)=x-xlnxV(x)

24、=1 Inx 1=lnx(x0)令 f(x)0,则 O V xV l,令 f(x)l.f(x)的单调增区间为(0,1),单调减区间为(1,+8).(、In a In b _ 1 1a b b a即匕电 =上 空，即 f p)=f(3a b a b第22页 共33页令 p ，q=p 不妨设O V p V l V q,下面证明2 V p+q 2,当p 2 2 时结论显然成立.当(1,2)时,p+q 2,则 p2-q,.2-q V L 只需设 f (p)f (2-q).即证当 q (1,2)时，由 f(p)f(2-q)令 g(x)=f (x)-f (2-x).g (x)=f(x)+f (2-x)=-

25、l nx-l n(2-x)=-l n-(x-1)2+l 当 x (1,2)时，-(x-l)2+l 0,.g(x)在(1,2)上单调递增,Ag(q)g(l)=O,即 f(q)f(2-q)再设p+q 0,当%e(e,+河时，/(%)0.q e,/0 P e-1 1要证q f(e-p)即证当Pe(0,1)时,Wf(P)f(e-p)设 h(x)=f(x)f(e x),x 6(0,1),h(x)=f(x)4-f(e k)=In x ln(e x)=lnx(e-%)设e%/=i 小于i 的根为%0,则力(%)在(0,%。)单调递增，在 单 调 递 减./(%)4(1)=/(I)f(e 1)02 0 2 0

26、年普通高等学校招生全国统一考试（新高考I卷）第2 3页 共3 3页数学真题（适用地区:山东）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合 A=x|lS 0,8=x|2x4,则 AU3=A.x|2x3 B.x|23C.x|lx4D.x|lx42.2-

27、il+2i 一A.1B.-1C.iD.-i3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有A.120 种 B.90 种C.60 种 D.30 种4.日辱是中国古代用来测定时间的仪器，利用与唇面垂直的唇针投射到唇面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为O）,地球上一点A的纬度是指O A与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且 与。4垂直的平面.在点A处放置一个日署，若辱面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40。，则唇针与点A处的水平面所成角为A.20B.40第2 4页 共3 3页C.50 D

28、.905.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是A.62%B.56%C.46%D.42%6.基本再生数&与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：/)=e描述累计感染病例数/随时间/(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R。，T近似满足Ro=l+rT.有学者基于已有数据估计出R)=3.28,T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍

29、需要的时间约为(1112=0.69)A.1.2 天 B.1.8 天C.2.5 天 D.3.5 天7.已知P 是边长为2 的正六边形A8CDER内的一点，则 而 通 的取值范围是A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)8.若定义在R 的奇函数段)在(-oo,0)单调递减，且 2)=0,则满足血X-1)20的 x 的取值范围是A.-l,lU3,+w)B.-3,-HU0,lC.-l,0Ul,+)D.-l,0Ul,3二 选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得3 分。9.已知曲

30、线Uwtr?+=1.A.若则 C 是椭圆，其焦点在y 轴上B.若加=0,则 C 是圆，其半径为C.若“0,则C是两条直线1 0.下图是函数产s i n(o)x+9)的部分图像，则s i n(s+0)=A.s i n(x +)B.s i n(-2 x)3 31 1.已知。0,h 0,且 a+b=l,则A.a2+b2 -2C.l o g2 a+l o g2 b-2/c 冗 x/3兀C.c o s(2 x +-)D.c o s(-2 r)6 6B.2a-b-2D.+/b 0(z =1,2,.,)，XA=1 ,定义 X 的信息燧 H(X)=p j o g?R .i=i=A.若=1,则/(X)=0B.若

31、=2,则(X)随着外的增大而增大C.若口=(i =l,2,.,)，则”(X)随着的增大而增大nD.若=2?，随机变量y所有可能的取值为1,2,且p(y=j)=P j +P 2 w(j=i,2,、/n),则 H(X)k)n(ad-he)2b)(c+d)(a +c)S+d)0.0 500.0 0 10.0 1 0k20.(1 2 分)3.8 411 0.8 286.635如图，四棱锥P-A8 C。的底面为正方形，底面A B C D.设平面P A D与平面P B C的交线为/.(1)证明：平面P QC；(2)已知P Z)=A D=1,。为/上的点，求P B与平面QC D所成角的正弦值的最大值.第 2

32、 8 页 共 3 3 页p.(：21.（1 2 分）已知函数 f(x)=aex -I n x+I n a .(1)当a =e时，求曲线y7(x)在 点(1,/(I)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若/(x)1,求a 的取值范围.22.(1 2 分)已知椭圆C5+=l(a 0)的离心率为乎，且过点A(2,1).(1)求C 的方程：(2)点M,雌。上，且AM L AN,ADL MN,。为垂足.证明：存在定点Q,使得|。|为定值.2020年普通高等学校招生全国统一考试(新高考I卷)数学真题参考答案第2 9页 共3 3页一、选择题1.C2.D3.C4.B5.C6.B7.A8.D二、选择题9

33、.A C D1 0.BC1 1.A B D1 2.A C三、填空题1 3.3 1 4.3万2 1 5.”+4 1 6.叵322四 解答题1 7.解：方案一：选条件.由c =2和余弦定理得尘土=走.6 2 ab 2由s i n A=s i n 3及正弦定理得=百.于 是 史 黑r=手，由此可得b=c.由“C=A/5，解得a =6,8 =c =l.因此，选条件时问题中的三角形存在，此时c =l.方案二：选条件.由c=g和余弦定理得”士.C2.=立.6 2 ab 2由s i nA=J 5s i n5及正弦定理得=.于是=5由此可得5，人C=%,A=y.由c s i nA=3,所以c =b =2/5,

34、4=6.因此，选条件时问题中的三角形存在，此时C=2 6.方案三：选条件.由C=g和余弦定理得色g二U=g6 2 ah 2由s i n A=s i n 8及正弦定理得=6/7.于 是.2 商一=彳，由此可得6=c.由。=扬，与匕=c矛盾.因此，选条件时问题中的三角形不存在.第3 0页 共3 3页18 .解：（1）设 4 的公比为心 由题设得44+q/=2 0,q/=8.解得 7 =-g（舍去），4=2.由题设得4=2.所以”“的通项公式为。=2.（2）由题设及（1）知么=0,且当2 4 m 6.6 35,故有9 9%的把握认为该市一天空气中P M 2.5浓度与S0?浓度有关.20.解:（1）因

35、为P D _L底面加8,所以PDL A又底面A B C D为正方形，所以ADJ_ DC,因此A D _L底面P D C.因为A D 8 C,A .因此/J平面P D C.（2）以。为坐标原点，区的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。-肛z.第3 1页共3 3页p贝ua o,0,0),C(0,1,0),3(1,1,0),尸(0,0,1),D C =(0,1,0),P B =(1,1,-1).由(1)可设 Q(40,l),则 丽=30,1).设 =(x,y,z)是平面Q S的法向量，则)=即产+二n-D C =0,=6可取”=(-l,0,a).n-PB a所 以 c o s n,PB)

36、=-z=-=广 /.设P B与平面Q 8所成角为。，则si n =x等=乎 五.3 V l +a2 3 V a+1因为等J言 4当 当且仅当a =l时等号成立，所以依与平面Q C。所成角的正弦值的最大值为当.2 1.解:/(x)的定义域为(0，-)，fX x)=a eiX(1)当 ”=e 时，f(x)=e-nx+,r(l)=e l,曲线 y=f(x)在点(1 J(D)处的切线方程为 y-(e+1)=(e-l)(x-1),即 y=(e-l)x +2.直线y=(e-l)x+2在X轴，y轴上的截距分别为二3，2.e-1因此所求三角形的面积为2含.(2)当 0。1 时，f m =a+na.当 a =l

37、 时，/(x)=e*T I n x ,f(x)=ex -.X当 x w(0,l)时,r(x)时,f(x)0.所以当X =1时，/(x)取得最小值，最小值为/=1,从而/(X R1.当 a 1 时，/(x)=a e 1-I n x +I n eA-1-I n x 1.第3 2页 共3 3页综上，。的取值范围是口，田).2 2.解：(1)由题设得：+J=l,上 生=解得/=6,y=3.a b2 a 2-)2所以C的方程为E+A=1.6 3(2)设M(x,，x),N(x2,y2).若直线MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为y=履+?,2 2代入土+乙=1 得(1+2左2 2+4初 +2，2-6 =0

38、.6 3干旱rir_ 4.2.-6 由 A M A N 知 A M -A N=0,故(玉-2)区-2)+(y-1)(%-D =。，可得(k2+1)%+(km-k-2)(%4-X2)+(/H-1)2+4=0.将代入上式可得(公+1)娑 U-(hn-k-2)署r +(加-4 +4=0.l +2r 1 +2 k整理得(2 k+3m+l)(2 k+m 1)=0.因为A(2,l)不在直线MN上，所以2%+机-1关0,故象+3?+1 =0,k.于是.M N 的方程为 y=k(x-g)-g(%xl).所以直线MN过点P(|，-g).若直线MN与x轴垂直，可得N(x”-y).由 谢 丽=0得Q-2)(%-2)+(%-1)(-y -1)=0.又1+.=1,可得3/_ 8 3+4 =0.解 得%=2 (舍去)，*=|.此时直线MN过点P(|,-1).令。为”的中点，即Q(*g).若。与P不重合，则由题设知AP是R t A A D P的斜边，故|O Q|=；|A P|=2 f.若。与P重 合,则|O Q|=|A P|.2综上，存在点Q(*g),使得|/)|为 定值.第3 3页 共3 3页