2020年数学高考真题卷--江苏卷文数（含答案解析）.pdf

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1、2020年普通高等学校招生全国统一考试-江苏卷数学I本试卷均为非选择题(第1 题 第 20题,共20题).本卷满分为16 0分,考试时间为120分钟.参考公式：柱体的体积V=S h,其中 S 是柱体的底面积，方是柱体的高.一、填空题:本大题共14小题,每小题5 分,共计70分.一1.已知集合 A=-1,0,1,2,6=0,2,3),贝A C 8=_ _ _ _ _ _.阜2.已知i 是虚数单位,则复数z=(l+i)(2-i)的实部是.笔 歹3.已知一组数据4,2a,3-a,5,6的平均数为4,则a的值是.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2 次,观察向上的点数,则点数和为5 的概率af i

2、 d I y i+i I足j5.如图是一个算法流程图.若输出y的值为-2,则输入x的值是_ _ _ _ _ _./输 少76 .在平面直角坐标系xOy中，若双曲线捺q=l(a X)的一条渐近线方程为y岑 x,则该双曲线的离心 赢率是.7.已知y=f x)是奇函数，当 x 2 0 时，f(x)丁，则 (的值第 5 题是8.已知 sin2（-J-+。）q,贝！I sin 2 a 的值是,9.如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm,高为 2 cm,内孔半径为0.5 cm,则此六角螺帽毛坯的体积是 cm3.(第9 题)10.将函数y 4 s in(

3、2 x )的图象向右平移三个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程46是.11.设 a 是公差为d 的等差数列，伍 是公比为g 的等比数列.已知数列&与 的前项和(/?N*),则d+q的值是.12.已知5/y+y=(%,R),则x+/的最小值是.13.在力回中,股4,AC,Z BAC O ,在边B C E延长 至 U P,使 得 仍 9,若 可 可 丽 理，元(卬为常数)，则中的长度是.DB（第 13）1 4 .在平面直角坐标系 9中，已知尸喙0）,4 6 是 圆。:/+（6）2=3 6上的两个动点,满足PA=PB,则为8 面积 的 最 大 值 是.二、解答题:本大题共6 小题，

4、共计9 0分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 5 .（本小题满分1 4 分）在三棱柱ABC-4 BC中，4 人 犯 6C J _ 平面ABC,E,尸分别是AC,6 c的中点.（1）求证:旗平面AR Ct;（2）求 证:平 面 平 面ABBx.（第 1 5 题）1 6.（本小题满分1 4 分）在4 6C 中，角 4&C 的对边分别为a,b,c.已知a=3,c R I,生4 5 .（1）求 s i n C 的值；（2）在边弦上取一点D,使得cos NADC=W求 t a n/%C 的值.（第 1 6题）1 7 .（本小题满分1 4 分）某地准备在山谷中建-座桥梁,桥址位置的竖直截面图

5、如图所示:谷底。在水平线M N上,桥 与,那 平行,。为铅垂线（O 在AB上）.经测量,左侧曲线/。上任一点到册的距离A （米）与到比 的距离a（米）之间满足关系式4 三且2;右侧曲线6。上任一点尸到网 的距离%（米）与尸到0。的距离6（米）之间满足关系式昆=S+6 b.已知点8到 0。的距离为40米.（1）求桥06的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于。的桥墩必和E F,且CE 为8 0米,其中C,在 四 上（不包括端点）.桥墩E F每米造价0 万元），桥 墩 5 每米造价|“（万元）（於0）,问 为 多 少 米 时,桥 墩CD与 的总造价最低？（第 1 7 题）1 8 .（本小题满分1 6

6、 分）在平面直角坐标系Xa中，已知椭圆E：X=1的左、右焦点分别为凡三点4 在椭圆 上且在第一象限4 3内,凡 直 线 4 E 与椭圆 相交于另一点B.(1)求的周长；(2)在 x轴上任取一点P,直 线 与 椭 圆 的右准线相交于点Q,求 而 的最小值；(3)设点在椭圆上,记6(46 与物历的面积分别为S,S,若 S 4 S,求点的坐标.1 9.(本小题满分1 6 分)已知关于x的函数y=F(x),y 招(x)与力(x)=而历(左6 WR)在区间上恒有f(x)力(心g(x).若 F(x)=x x,g(x)=-/+2 x,=(-,+9),求 A(x)的表达式；若 /(x)-x-x+,g(x)41

7、 n x,h(x)=kx-k,=(0,+),求 k 的取值范围；若 f x)-x-2x,g(x)N8,方(x)N(t-t)x-31 +212(0|t W 夜),D=_m,r i U 2,V 2,求证2 0.(本小题满分1 6 分)j.1.J.已知数列 a (C N*)的首项a=1,前项和为S.设义与A 是常数,若对一切正整数n,均有耳+1 年=4 彳+i成立,则称此数列为A、k”数列.(1)若等差数列 a 是“4 1”数歹U,求，的值；若数列仿“是 弋 笃”数歹U,且a,M求数列 a,的通项公式；(3)对于给定的人是否存在三个不同的数列 a 为“4数列,且&2 0?若存在,求义的取值范围;若不

8、存在，说明理由.12 345 67891 0 1 1 1 21 31 4 0,2 3 219-332-4131 2 V 3-n2x=5%4A -4245孩或01 0V 51.0,2)【考查目标】本题主要考查集合的交运算，考查的核心素养是数学运算.【解析】由交集的定义可得力0 庐 0,2.2.3【考查目标】本题主要考查复数的运算、实部的概念，考查的核心素养是数学运算.【解析】复数z=(l+i)(2-i)=3+i,实部是3.【答题模板】确定复数的实部和虚部,要利用复数的运算法则将复数化为z=a+历(a,6C R)的形式,其中a是实部,6 是虚部.3.2【考查目标】本题主要考查考生对平均数的理解和应

9、用，考查的核心素养是数据分析.解析 由平均数公式可得4+2a+(31a)+5+6%,解得 之.【题型风向】统计题以频率分布直方图等统计图表或平均数、方差等数字特征为主要考向，本题对平均数的考查是主要考向之一.4.1 【考查目标】本题主要考查古典概型，考查的核心素养是逻辑推理.【解析】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2 次，向上的点数共有36种情况,其中点数和为5 的情况有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共 4 种,则所求概率为总焉【误区警示】古典概型中基本事件的计数一般利用列举法,注意列举要按照一定的顺序,避免重复和遗漏.5.-3【考查目标】本题主要考查算法流程图,考查考生的

10、读图能力，考查的核心素养是数学运算.【解析】由流程图可得用?I,o 则当片V 时,可得d，2或:+1=-2 得 产 36.|【考查目标】本题主要考查双曲线的几何性质，考查的核心素养是数学运算.【解析】由双曲线的一条渐近线方程为y 与得则该双曲线的离心率T=11+(-)242 a 2 a y a 2【归纳总结】若双曲线的焦点在x 轴上,则渐近线方程是y=-x,若双曲线的焦点在y轴上,则渐近线方a程是y=x,不能混淆.b7 .【考查目标】本题考查函数的性质，考查的核心素养是数学运算.【解析】由题意可得A-8)=-f(8)=崔=-(2啃=-2、W8.1【考查目标】本题主要考查降事公式、诱导公式的应用

11、，考查的核心素养是数学运算.【解析】因为s i n 。),所 以1Y o sf+2 a)与 上 警 号 得 s i n 2 a44 3 2 3 2 3 3【二级结论】降基公式s i n2。士 等,c os2 a上号四是二倍角余弦公式的变形式.9.127 3-【考查目标】本题主要考查空间几何体的体积，考查的核心素养是直观想象、数学运算.【解析】正六棱柱的体积为6 乂 乂22乂2=126(,又方招(而-近)PC=ni CB PC,则刀=m(荏 灰)号 函 与 齐)彳 而 十 丽+(|-/r i)AC,贝 i j 2 话+(3-2加 衣 和 二 而南+(1-4)前，所以2加=4/3-2 卬=一4，所

12、以 4,又 4。=9,则 初=3,所以(4 4)2+(3-3儿)包 得 八 嚼 或A=0,则而/卷 CB/晨 X V 32+42号 或CD/=0 X CB/=0.解法二 由题意可设成=才丽=4 而+(v)无 =4”前+(A-A)正，其中4 l,0W 又PA=nFB+(-m)PC,所以飞 得 A 即 翩 芸,又 为 当 则 丽/W,而/玛 所 以AD=AC.当与C 重2=-TH,2 1叫 2合时，C D 0 当不与。重合时,有NACD=NCDA,所以N G 4=1 8 0 -2Z ACD,在中，由正弦定理可得CD AD tji.i/-yr i4Dsin(180 2N4CD)sin2N 4C。.n

13、_n/Azn A/3.4-18 土,万 人 18 p 八-,P l y CD=乙 二-AD cos Z ACD9 AD=2 X-X 3 综上，CD 或 0.s in/CAD s i nZ ACD-s i nZ ACD-s i nZ ACD-5 5 5【方法总结】求解线段的长度可在坐标系中利用两点间的距离公式求解，也可在三角形中利用正弦定理、余弦定理求解,还可结合向量的模求解.1 4.10 V5【考查目标】本题主要考查直线与圆的位置关系、导数的应用，考查数形结合思想，考查的核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算.【思维导图】通 解 设 圆 心 C 到直线AB的距离为圆 三 角 形 的 面 积 公

14、 式.用 表 示 出X P A B的面积S令 升1=：构 造/(。求 宅/(的单调性一函数最值一得解当 仍在点。的左上方时一记直线PC与4B的交点为D,设(ACD=8 AB=2AD=12sin 8,CP=6cos 0-*H 4 B的面积s关于e的 表 达 式 幽 的 单 调性T 最 值-优解PAB面积的最大值-【解析】通解 连 接。，细 则。=绍 连 接 中 由 处=如 且。=(方得4 6的垂直平分线是直线设圆心C到 4?的距离为d(O W dS),易知当必6 的面积最大时，点。到直线4 6的距离为d+PC=d+,AB=2y/3 6-d2,用8 的面积 S 与1 8(d+l)-|x 2V 36

15、-d2(7+1)5/36(d+l)2-d2(d+l)2,令 d+l f t e 1,7),则S 力 36t 2-(t-l)2 t 2,令丹 4 6 d-(I)I 6 d+35 R t e 1,7),贝 lj f (t)t3 t2*701-21(t-5)(21+7),由f 一 得 t 巧，则 当 2 口,5)时,(力为,*一单调递增,当t w(5,7)时,/(力O f(t)单调递减，所 以 f U N 巧 00,则以6 面积的最大值为1 0V 5.优解 如图,连接CA,CB,则CA=CB,连接PC,由PA=PB且 CA=CB,得四的垂直平分线是直线CP.当 经 过 点C 时，为6 的面积S X

16、1 2 X 1 4.当 在 点。的左上方时;记直线PC与4?的交点为D,设N/C=e,（0,；）,则/比2 4%1 2 s i n，切=6c o s，则为6 的面积 S 9 仍 X U s i n 0（6 c o s。+l）=36s i n，c o s 0-s i n 。，贝 I S W G c o s 夕 一 36s i n ，c o s 。考6c o s 2。用c o s 。与（1 2 c o s 。化o s 夕 6）,由 S N）得 c o s （舍去c o s 9=q），且当O Cos9|时,S 0,S 单调递减；当1Gos，1 时,S X）,S 单调递增，所以当c o s 时,S 取

17、得最大值,且以46 X J 1 -（|）2 乂|用X-（|）2=1 OV 1 综上,为6 面积的最大值为 IOVS.1 5 .【考查目标】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等知识,考查空间想象能力和推理论证能力.【解题思路】（1）根据三角形中位线的性质得线线平行,利用线面平行的判定定理即可证明；（2）利用线面垂直的判定和性质、面面垂直的判定证明.解：（1）因为尸分别是4 c 8 C的中点，所以 E F/AB,.又 跖 1 平面A B C B u平面ABC,所以好 平面AR G.因 为 平 面ABC,A B c平面ABC,所以又/员L/C 8 t t 平面ABCACc:平面

18、 ABC K C C AC=C,所以4 61.平面ABy C.又因为A B u平面应幽，所以平面4 A U L 平面ABB、.（第 1 5 题）【解题关键】熟记空间直线与平面平行、垂直的判定定理和性质定理是正确解题的关键.1 6.【考查目标】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角公式等基础知识,考查运算求解能力.【解题思路】（1）利用余弦定理、正弦定理求解；（2）利用两角和的正切公式、同角三角函数的基本关系求解.解：（1）在4 8,中，因为 a=3,c=s/2,8N5 ,由余弦定理 4=J+c 2-2 a c c o s 氏得 4=9+2-2 X 3 X&c

19、o s 4 5 =5,所以在力比 中，由正弦定理七三，s nB sinC得近-短sin450 sinC所 以 s i n C专.在中，因为c o s/A 9C=g 所 以 为 钝 角,lf nZ ADC+C+Z CAD=180。，所以 C 为锐角.故 c o s c R l-s i n 2 c 书,则 t a n 噜|今因为 cos Z ADC=,所以 s i n Z J Z？C1-11 cos2ZADCz 4 M s i nZ ADCt a n ZADC二-cos Z.ADC34从而 t a n Z/M f t a n d S O -AADC-O）=t a n（N/G 0（第 1 6题）3,

20、1tanN/OC+tanC _ _ 7+5 _21-tanNADCxtanC i-（）x1 111 7.【考查目标】本题主要考查函数的性质、用导数求最值、解方程等基础知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查直观想象和数学建模核心素养.解：设 4 4,BB,CD、E R都 与 垂 直,4,凡 几R是相应垂足.由条件知，当。历4 0 时,BBx=X 4 03 6X 4 0 =1 60,贝 I 力 4=1 60.800由工。才=1 60,得。4 30.40所以 6=0 +0 6=80 得0=1 2 0（米）.（2）以。为原点，为 y 轴建立平面直角坐标系x 行（如图所示）.设 F（x,，

21、x G （0,4 0）,（第 1 7题）则姓4x,痔 1 60 -%=1 60 脸，-6x.因 为 上 80,所 以 O 0 80-x.设 (x-80,%)，则 =(80-x)；40所以 CD=60-必=1 6 0(8 0 -x)*=-x+Ax.40 40记桥墩切和旗的总造价为f(x),则 f(x)=4(1 60 V x _ 6x)白+4 x)=k x-x+&Q)(0 x M,（第 1 8 题）在x t时取等号.所 以 而 丽的最小值为.(3)因为椭圆以。号 二 1 的左、右 焦 点 分 别 为 凡&点/在 椭 圆 上且在第一象限内，小则FA-4 31,0)/(1,0),4(1,|),所以直线

22、4 6:3 x Y y+3=0.设M(x,y),因为力5,所 以 点 到 直 线 距 离 等 于 点。到 直 线 距 离 的 3 倍.由 此 得 号 到 3、吆产1,则 3 x Y y+1 2 R 或 3 x Y y-6=0.(3 x-4 y+1 2 =0,由卜，y 2 得 7 f+2 4 x+3 2 R,此方程无解;(7 +W=1，(3 x-4 y-6=0,由/必 得 7*2-1 2 1 4,所以产2 或x=.C+5=L 7代入直线/:3 x Y y _ 6=0,对应分别得y=O或y=昔.因此点 的坐标为0)或(号 号.1 9.【考查目标】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学

23、思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.解：(1)由条件 f(x)2力(x)2g(才)，得 x*2x2-7+2 x,取产0,得 0 2 0 2 0,所以加0.由x 地xkx,得/+(2 M)x 2 0,此式对一切恒成立，所以(2 3)2 W 0,则公2,此时2 x 2-/+2 x 恒成立，所以力(x)=2x.(2)/?(x)-g x =k x-1-I n x),(0,.令 u(x)j-l-l n x,则 工，令 3 a 得 x=l.XX(0,1)1 (1,+8)u(x)u(x)0极小值所以 u(x)“i“=u(l)力.贝lj X-I l n x 恒成立，所以当且仅当k2时，方(x)2 g(x)

24、恒成立.另一方面，f(x)，方(x)恒成立，即 V-x+l M-A 恒成立，也即x-(l +k)x+1+kW 恒成立.因为在2 0,函数尸？-(1 +心x+的图象的对称轴x 甘 为,所以(1%)2-1(1%)W 0,解得-1 W A W 3.因此,k的取值范围是0 W 4 W 3.尊1WK应时，由 g(心 W加x),得 4/-8 W 4 (t3-t)x-3 1+212,整理得4W 0.(*)令 4=(7-t)2-(3/-2/，则/那.记35+3 无(1WK或)，则。=6 15-2 0 十将 t=2 1(3 t2-l)(t2-3)0 恒成立，所以。(力在 1,&上是减函数,则。(鱼)W 0(/)

25、W。(1),即 2 W 0 1)W 7.所以不等式(*)有解,设解为xW xW xz,因此-辰X2-XIWZWV7.当oac时，f(-l)-/?(-l)t M /_ 2 t 2 Ml.设 K(t)=31 M t3-2 t2-4t-l,则 r(t)=1 2 d+1 2 d/YN(l)(3干-1),令/(t)R,得 瑶.当 r e (0,争 时，/(f)6,4)是减函数;当 G(/,1)时，r(t)K),Mt)是增函数./0)=-1,“1)4,贝 IJ 当 0t l 时，v(t)0.(或证：p(力=(加1)2 (3 心1)(D 0.)则 f(-l)-A(-l)0,因此T O G 力,7 7).因为

26、%,加G ,所以“W 企+1 V 7.鳄 巨 f 1）.解 得b“2即 佟出之,也即9N,sn Sn所以数列$是公比为4 的等比数列.因为S和=1,所 以 则&樱蒲六外(3)设各项非负的数列 a“(G f O为“A 3 数列,111则纪+1 无=4 磺+1,即 海 二-遥 力 除 工 瓦 因为a“2 0,而团=1,所以则室?T=4令 海=*贝 U 以T =4 n(4 l)，即(以一1 尸=(端 T)(c,2 l).(*)。喏 2 W O 或 4=1,则（*）只有一解为c =l,即符合条件的数列 a 只有一个.（此数列为1,0,0,0,）彝 义 乂，贝 I（*）化为（以-1）（若 若 c“+l）力，因为心2 1,所以*以+1 K）,则（*）只有一解为c=l,即符合条件的数列&只有一个.（此数列为1,0,0,0,）彝04 1,则W 4?以+1 力的两根分别在（0,1）与（1,+8）内，则方程（对有两个大于或等于1 的解:其中一个为1,另一个大于1（记此解为t）.所以“=或S*由于数列 5 从任何一项求其后一项均有两种不同结果,所以这样的数列 有无数多个,则对应的 a j 有无数多个.综上所述,能存在三个各项非负的数列 aj为“A%”数列，4 的取值范围是041.