2020年数学高考真题卷--全国Ⅲ卷文数（含答案解析）.pdf

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1、2020年普通高等学校招生全国统一考试 全国in卷文科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共 6 0 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=1,2,3,5,7,11,庐 x|3 r 0)交于D,两点,若OD LOE,则 C 的焦点坐标为A.(1 0)B.(；,0)4 2C.(1,0)D.(2,0)8.点(0,T)到直线y=A(x+l)距离的最大值为A.1B.72C.V 3 D.29.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A.6+4 V 2B.4+4 V 2C.6+2V 3D.4+2V 310 .设 a=l o g：；2,6=l o g s 3,则

2、A.acb B.abcC.bca D.11.在中,c o s C,A C=,B C A 则 t a n B=A.V 5 B.2V 5C.4 V 5 D.8V 512.已知函数 f(x)=s i n x-,则s i n xA.f(x)的最小值为2B.F(x)的图象关于y 轴对称C.f(x)的图象关于直线尸n 对称D.f(x)的图象关于直线x g对称二、填空题:本题共4小题,每小题5 分，共 20 分.x+y 0,13.若x,y满足约束条件2x-y 0,则 z=3 x+2y 的最大值为.X 1,14 .设双曲线(a A),6 刈的一条渐近线为y Ex,则。的离心率为a1 bz-15 .设函数 f(

3、x)=-.若 f(1)V，则 a=.16 .已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则 该 圆 锥 内 半 径 最 大 的 球 的 体 积 为.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17攵1题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23 题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共6 0 分.17.（12 分）设等比数列 a 满 足&依 幺,as-ai =8.求&的通项公式；记$为数列（l o g3a）的前n项和.若SM+SS*=SS&求m.1 8.（1 2 分）某学生兴趣小组随机调查了某市1 0 0 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表（

4、单位:天）：空气质量等级锻炼人次 0,2 0 0 (2 0 0,4 0 (4 0 0,6 0 0 0 1（优）21 62 52(良)51 01 23（轻度污染）6784（中度污染）_ _ 720（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4 的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1 或 2,则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3 或 4,则称 这 天“空气质量不好”.根据所给数据,完成下面的2X 2列联表,并根据列联表,判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关

5、？人次W 人4 0 0 次）4 0 0空气质量好空气质量不好n(ad-bc)2附1(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)p m 0.0 0.0 0.0k)5 0 1 0 0 13.8 6.6 1 0.k4 1 3 5 8 2 81 9.(1 2 分)如图,在长方体A BCD-A BCR中，点E,尸分别在棱加,BB上,且W E=E IX,BF FR.证明:当/庆比 时,E FVA C-,(2)点G在平面力跖内.2 0.(1 2 分)已知函数 f(x)=x-k x+l C.(1)讨 论 f(x)的单调性；(2)若/(%)有三个零点,求k的取值范围.2 1.(1 2 分)已 知 椭 圆 噫。=1

6、(0 3 的离心率为乎,4 8分别为。的左、右顶点.(1)求。的方程；若 点P 在C 上，点 0 在直线产6上，且 I BP=BQ,BPVBQ,求称。的面积.(二)选考题:共1 0 分.请考生在第2 2、2 3 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.2 2 .选修4 Y:坐标系与参数方程(1 0 分)在直角坐标系双。中，曲线。的 参 数 方 程 为 W C 为 参 数 且 后 1),，与坐标轴交于4 8两点.求 I 面；(2)以坐标原点为极点,不轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线力8的极坐标方程.2 3 .选修4 T:不等式选讲(1 0 分)设 a,b,c R,a+b+c=Q,a

7、b c=.(1)证明：ab 班c+c a 0;用 m ax a,b,c 表示.9,by c中的最大值,证明：m a x a,by c V 4.1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6BDCCBABBCACD7V31 J t3l.B【考查目标】本题主要考查集合的定义及交运算，考查的核心素养是数学运算.【解析】:集合力=1,2,3,5,7,1 1,集合5 x/3 r/s i n(专)=1,.：s i n(+?)等，故选 B.6.A【考查目标】本题主要考查轨迹方程的求法，考查的核心素养是逻辑推理、数学建模.【解析】以 4?所在直线为x 轴,线段四的垂

8、直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设 4(-a,0),Ba,0),C(x,y),.A C,BC=1,(x+a)(x-a)+y y-1,.x =2 的，.：点 C 的轨迹为圆，故选 A.【方法总结】求轨迹方程的常用方法：(1)直接法，即直接利用条件建立 y 之间的关系尸(x,y)R;(2)待定系数法,即已知所求曲线的类型,求曲线方程；(3)定义法,即先根据条件得出动点的轨迹是某种己知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(4)代入(相关点)法,即动点户(*,D 依赖于另一动点0(刘,的变化而运动,常利用代入法求动点尸(x,。的轨迹方程.7.B【考查目标】本题主要考查抛物线的方程与性质，直线

9、与抛物线的位置关系，考查的核心素养是直观想象、数学运算.【解析】通解 联立抛物线方程/之小与直线方程x 力，可得点(2,2 赤)，以2,-2 而)或 以 2,-2 诉)，6(2,2 万).-.-OD LOE,.：2 X 2+2 诉 X(-2 万)=0,即 4 =0,.：0=1,.：抛物线 C 的方程为/=2 x,其焦点坐标为 0),故选B.秒解 根据抛物线的对称性可知(2,2)或 (2,2),代入抛物线方程/之3,得=1,.：抛物线。的方程为/力匕其焦点坐标为6 0),故选B.8.B【考查目标】本题考查点到直线距离的最值的求法，考查的核心素养是直观想象、数学运【解析】解法一由点到直线的距离公式

10、知点(0,-1)到直线产(x+1)的距离o+（-i）-（-n+k K i k+i ik2+2k+l1 +召二,当公。时，G 1;当 A W 0 时，衣使“最大，需力为且 4 3最小，,：当k=时，/二五,故选B.k解法二 记点/(0,T),直线厂雇户1)恒过点6(-1,0),当四垂直于直线片W x+1)时,点4(0,-1)到直线片W x+1)的距离最大,且最大值为8/R 2,故选B.9.C【考查目标】本题主要考查三视图及几何体表面积的求解，考查空间想象能力，考查的核心素养是宜观想象、数学运算、逻辑推理.【解题思路】在正方体中还原三棱锥,然后根据已知数量关系求解表面积即可.【解析】由三视图可知该

11、几何体为三棱锥，记为三棱锥产-4%将其放入正方体中，如图，A_z易知PA=A B=A C9,P B=P C=B C 3 Z故其表面积为 以加孤用户鼠3 5 康4 X 2 X 2 号X 2 X 2 号X 热:2 X 2 +X 2 V 2 X 2 V 2 售 4 必 瓜 故选C.【技巧点拨】当一个几何体的三视图是由三角形或者四边形组成时,可在长方体(正方体)中还原几何体的直观图，从而几何体的表面积、体积、外接球问题都迎刃而解.1 0.A【考查目标】本题主要考查指数、对数的大小比较，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】：,23 32,.：2 3 5,.：l o g32 l o g33 5=|

12、).a 5 ,.：3 5 5,.：l o g53 l o g55 5 ,/.b c,.：a c 3.8 4 1,故有9 5 黜把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【命题分析】题目以空气质量问题为背景，借助表格表达出了频率分布直方图的效果,让人耳目一新.1 9 .【考查目标】本题主要考查立体几何知识，涉及直线与直线、直线与平面的平行（垂直）的判定与性质、点共面等知识，考查的核心素养是直观想象、逻辑推理.【解题思路】连 接BD,由已知易得四边形48（力为正方形,得A CLBD,由的 平面A BCD,得BBd A C,进而得4d平面BBD D,最后由线面垂直的性质得证；在 上

13、取 点 G,使A G G Al y证明四边形4 初 G 是平行四边形,得D G/A E,再证四边形尸G是平行四边形，得 z.IXG/QF,最后由线线平行的传递性及点共面得证.解：如图,连接BD,&队.因为A B=BC,所以四边形A BCD 为正方形,故A CLBD.E _ _ _ _ _ 又因为防 平面 被力,于是力a班.所以力。1 _ 平面跖K由于 7 七 平 面 即 所 以 因 U/C 4 应 一 如图，在棱4 4 上取点G,使得A G G A,连 接 效,FC FG.因为4匿 如，仆4 4,所 以 被 4 G,于是四边形被的为平行四边形，故 仍/做.因 为 即 中 玩 4 6 孝 4,防

14、 4 4,所 以 用A B,FG G D,四边形9G为平行四边形，故期必.于是A E/FQ.所以4 G四点共面，即点G在平面A E F内.【技巧点拨】证明线线平行的方法：（1）利用线面平行、面面平行的性质证明；（2）利用三角形的中位线证明；（3）利用平行四边形证明等.本题中第（2）问证明四点共面本质上就是证明线线平行，避开了近年立体几何解答题第（2）问以考查几何体的体积或点到面的距离的考查方式,体现了高考试题稳中有变的特点.2 0 .【考查目标】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的零点问题，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解题思路】求导,分k=O,kC与k X）三种情况讨论函数的

15、单调性；（2）利 用 中k X）时/（%）的单调性求出函数/U）的极大值点和极小值点,根据/U）有三个零点,结合零点存在定理求解即可.解：f （x）=3f-无当k 巾时，f （禽力,故 F（x）在（-8,f 8）单调递增.当衣0 时，f （x）-3x 2_x,故 f（x）在（_8,f 8）单调递增.当 Q0 时，令 f (x)K,得哼.当x W(-8,粤)时，f，刈 当 心(弩，尊 时，/(x)0;当X R(苧,*8)时,/，(*)见 故 f(x)在(_ 8,q)，(苧,+8)单调递增,在(哼,争单调递减.由 知，当k W O时,f(x)在(-8,+8)单调递增，/(不可能有三个零点,当QO吐

16、 产 当 为f(x)的极大值点,x当 为/V)的极小值点.此时，-A-1 k+且 A-A-1)0,f(k+1)X),A-苧)根 据 f(x)的单调性,当且仅当fd p)e,即 2 片 巫 e 时,f(x)有三个零点,解得 心 因此k的取值范围为(0,21.【考查 目标】本题主要考查楠圆的方程与几何性质以及直线与椭圆的位置关系，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.【解题思路】(1)根据离心率建立方程求得氤即可得解；(2)根据/=为0/及 皿 制 求 出P,Q的坐标,则三角形面积可求.解：(1)由 题 设 可 得 笠 空 岑,得 疡 岑，5 4 16所 以 C 的方程为总喈=1.16 设

17、Pl x广,力)，0(6,盟)，根据对称性可设次X),由题意知力X).由已知可得8(5,0),直线分的方程为片弓(x T),所以例7 乎 J1+垢,/畋/=卜+%.因为,7=/8。/,所以丹=1,将”=1代 入。的方程,解得X=3或-3.由直线征的方程得为母或8.所以点巴。的坐标分别为A(3,1),。(6,2);R(-3,1),0(6,8).IRQ/W 10,直线R Q的方程为y x,点 4(3,0)到直线外。的距离为手,故 4%的 面 积 为:哼x VT o.2/R Q/Wn 瓦直线月a的 方 程 为 丹，点A到直线月a的距离为缪,故月月。的面积为;X 缪9 3 26 2 26x v n u

18、 W2综 上,的 面 积 为 今【解题关键】解析几何问题解题的关键在于几何条件的转化与应用，本题中将相等与垂直关系转化为坐标关系是整个问题的关键环节.22.【考查目标】本题主要考查考生对参数方程的理解以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解题思路】分 别 令 x=2 2 4/力_3 d=0,求出曲线C 与坐标轴交点的坐标，再求/4?/;（2）根据（1）求出直线4?的直角坐标方程，再利用公式转化为极坐标方程.解：（1）因为由2-广产力得广-2,所 以。与 y 轴的交点为（0,1 2）;由 2-3”/R得之,所以。与 x 轴的交点为（M,0）.故 A B国 同.

19、（2）由（1）可知，直线4 5 的 直 角 坐 标 方 程 为 将 x=o c o s O,y=P s i n。代入，得直线1 8 的极-4 12坐标方程 3 0c o s。-夕 s i n 1 2r0.【题型风向】题目的新颖之处是根据参数方程求解曲线与&y 轴的交点坐标,体现了对参数方程的深刻理解，角度新颖.23 .【考查目标】本题主要考查不等式的证明及基本不等式的应用，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.解：（1）由题设可知,a,b,c均不为零,所以a b+b c+c a W _（a+b+B+6+/）二 1 （才 +/）0.不妨 m a x a,by c -a,因为 a b c=l,a=-（b+c）,所以 a X）,c0.由 可得 a b c M-,故 a442 海，所以m a x a,b,c 2 那.