2020年数学高考真题卷--全国Ⅰ卷理数(含答案解析).pdf
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1、2020年普通高等学校招生全国统一考试全国I卷理科数学一、选择题:本题共12 小题,每小题5 分,共 60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若 z=l+i,则|z-2z -A.O B.1 C.V 2 D.22 .设集合/X x l/Y W O ,6=x|2 x+a W 0,且 4n s=x|-2 这W 1 ,则 a=A.-4 B.-2 C.2 D.43 .埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为4.己知A为抛物线C:/=2 p
2、x(p 0)上一点,点A到。的焦点的距离为12,到 y 轴的距离为9,则p=A.2 B.3 C.6 D.95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:。C)的关系,在2 0个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(%,%)(=1,2,2 0)得到下面的散点图:100%80%60%4 0温度/(由此散点图,在 10 至 40 之间,卜.面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是A.y=a+b x B.y=a+b xC.y=a+b e D.y=a+b l n x6.函数-2*的图象在点(1,F(D)处的切线方程为A.尸-2 x T B.尸-2 户1
3、C.片2 x-3 D.y=2xA7.设函数/U)mos(3#在-n,的图象大致如下图,则 f(x)的最 6小正周期为/4 ir 09C.I).3 228.(广匕)(x+y)5的 展 开 式 中 的 系 数 为XA.5 B.10 C.15 D.2 09.己知 a G (0,兀),且 3 c o s 2 a-8c o s a q,贝!J s i n a=A.更B/C.i D.渔3 3 3 910.已知A,B,C 为球。的球面上的三个点,O a为/比1的外接圆.若。Q的面积为4 J t,AB=BC=AC=Oa,则球0的表面积为A.64 n B.48 nC.3 6 n D.3 2 n11.己知。虫/+
4、/-2 2 尸2-0,直 线/:2 x+片2 R,P 为 1上的动点.过点P 作。的 切 线PA,PB,切点为A,B,当防M|力 最小时,直线AB的方程为A.2%-y-l OB.2 产厂1旬C.2x-y=QD.2 户尹14)12.若 2f l+1 o g2a 4z,+2 1 o g4b,则A.a2b B.a 2bC.a S D.a 0,14.设 a,6 为单位向量,且I a+b -1,则|a-b =.1 5 .已知尸为双曲线C:弓=1 (a H,6刈的右焦点,A为。的右顶点,B 为。上的点,且即垂直于x 轴.若四a2 b2的斜率为3,则 C 的离心率为.1 6.如图,在三棱锥尸4%的平面展开图
5、中,AC=l,AB=AD忐,AB LAC,AB LAD,Z CAE S O ,o(P)KCE(P)F(P)三、解答题:共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,第1 7 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第2 2、2 3 题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.1 7.(1 2 分)设 4 是公比不为1 的等比数列,既为检,a s 的等差中项.求&的公比;(2)若 a=1,求数列 a“的前n项和.1 8.(1 2 分)如图,为圆锥的顶点,。是圆锥底面的圆心,从为底面直径,AE=AD.4 7C 是底面的内接正三角形,P为DO上T、,PO聋 DO.6(1)证明:为 L 平
6、面PBC(2)求二面角1 的余弦值.1 9.(1 2 分)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为今(D 求甲连胜四场的概率;(2)求需要进行第五场比赛的概率;(3)求丙最终获胜的概率.2 0.(1 2 分)已知A,6 分别为椭圆E-y=(a l)的左、右顶点,G 为.的上顶点,AG 福=8.夕为直线产6 上的动点
7、,PA与 的另一交点为C阳 与 的另一交点为D.(1)求 的方程;证 明:直线切过定点.2 1.(1 2 分)已知函数f(x)+ax-x.(1)当 a=l 时,讨论/(X)的单调性;(2)当时,f(x)x+1,求a的取值范围.(二)选考题:共1 0 分.请考生在第2 2、2 3 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.2 2 .选修4 Y:坐标系与参数方程(1 0 分)在直角坐标系中,曲线G的参数方程为?=o s:%为 参 数).以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建(y =si nKt立极坐标系,曲线G 的极坐标方程为4 o c o s 0-1 6 P si n 0+3=0.(1)
8、当 a=1 时,G 是什么曲线?(2)当斤4时,求 G 与 G 的公共点的直角坐标.2 3 .选修4 T:不等式选讲(1 0 分)己知函数 F(x)=|3 户 1 1-2 1x-l .(D 画出产/(x)的图象;(2)求不等式f(x)f (户1)的解集.1234567891 01 11 21 31 41 51 6DBCCDBCCAADB1V3241.D【考查目标】本题主要考查复数的模、复数的运算,考查的核心素养是数学运算.【解析】通 解:,z=l+i,.:/-2 z/=/(l+i)2-2(l+i)|=|2 i-2 i-2/=/-2/=2.故选 D.光速解:z=+1 ;.l)e zl=l zz2
9、lX F+1=正义a 2 故选 D.【方法总结】求解此类题需过好双关:一是“运算关”,即熟练掌握复数的四则运算;二 是“概念关”,即明晰复数的模的概念.若能利用性质:/嚼,/z/=/,可提升求解速度,如光速解的求解方法.2.B【考查目标】本题主要考查集合的交运算、解不等式等,考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】解法一 易知4=x/刃W 忘 2 ,8=x/启?,因为 0 6=/-2 忘 启 1 ,所以=1,解得a=-2.故选 B.解法二 由题意得 4=x/-2 Wx W2 .若 a=W 则 为 x/x W2 ,又 北 x/-2 Wx W2 ,所以4 C 5=x/-2 Wx W2 ,不满足
10、题意,排除A;若 a=-2,则B=x g,又 1=x/-2 W;2 ,所以4 n 8=*/-2 W;1 ,满足题意;若a=2,则 6=x/W T ,又 4=x/-2 x W2 ,所以 4 r l/x/-2 W后 T ,不满足题意,排除 C;若 a=4,则 B=x/xW-2 ,又 Zl=x/-2 Wx W2 ,所以 A A B=x/x=-2,不满足题意.故选 B.【解题关键】求解此类题的关键:一是会化简集合,通过解不等式化简集合;二是会借形解题,通过观察集合之间的关系,借助数轴直观、准确地解决问题.3 .C【考查目标】本题主要考查正四棱锥的定义,正四棱锥的高、斜高等,考查的核心素养是逻辑推理、直
11、观想象、数学运算.【解析】设正四棱锥的高为h,底面正方形的边长为2 a,斜高为例依题意得性X2aXm,即K=a m,易知K +J端 由 GW 0 邛a,所以广学 坊.故 选 C.【解后反思】破解此类题需明晰一个概念,即正四棱锥的概念,正四棱锥的底面为正方形,顶点在底面的射影为底面的中心;懂得一个区分,即区分正四棱锥的高与正四棱锥的斜高.4 .C【考查目标】本题主要考查抛物线的定义和几何性质等,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.【解析】通解 因为点1到 y轴的距离为9,所以可设点火9,%),所以若=1 8.又点力到焦点(今0)的距离为 1 2,所 以片 尸+y 尸 1 2,所以(9
12、9/1 8 0=1 2;即*3 6 p-2 52 4),解得p=M 2(舍去)或片6.故选C.光速解 根据抛物线的定义及题意得,点A到 C的 准 线 的 距 离 为 1 2,因为点A到 y 轴的距离为9,所以-1 2-9,解得 p=6.故选 C.【真题探源】本题来源于人A 教材选修2 T,2.4.1 练习题的第3 题 的 第 小 题:抛 物 线 上一点材到焦点距离是a(a 亭,则 点 材 到 准 线 的 距 离 是,点 的 横 坐 标 是.高考题只是把参数a 变为具体的数值,并添加条件“点力到y 轴的距离为9”,把求点到准线的距离变为求P,再把填空题变为选择题.显而易见,高考题源于教材,但高于
13、教材,考生只需利用抛物线的定义,找到关于参数的方程,即可轻松破解.5.D【考查目标】本题主要考查回归分析,考查的核心素养是数学抽象、逻辑推理.【解析】根据散点图,用光滑的曲线把图中各点依次连起来(图略),由图并结合选项可排除A,B,C,故 选 D.6.B【考查目标】本题主要考查导数的几何意义、直线的点斜式方程等,考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】通 解:V(x)中-2 尤.:(x)刃/与尤(1)=2又 f(l)=l-2=T,所求的切线方程为y+l=-2 (%-1),即 y=-2x+.故选 B.优解.f (1)=-2,.:切线的斜率为-2,排除 C,D,又/(1)=1-2=T,.:切线
14、过点(1,T),排除A.故选B.【方法总结】曲线y=F(x)在点(皿/U)处的切线方程为尸/(加)=(*-加 (加,其 中 F (就表示曲线y=f(x)在点(刈 f(x。)处的切线的斜率.求曲线的切线方程应先设切点的坐标,再根据切点的“一拖三”(切点的横坐标与斜率相关、切点在切线上、切点在曲线上)求切线方程.当试题中涉及切线方程、切线的斜率(或倾斜角)、切点坐标等问题时,可利用导数的概念与几何意义迅速求解.7.C【考查目标】本题主要考查三角函数的图象与性质,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.【解析】通解 由题图知,(芽)=0,.:冬。片 小 妖”C Z),解得.设A”)的最小正周9
15、 9 6 2 4期 为 7;易 知 7 2”2 7;.:衿 2 贝 名,,I。I 2,当且仅当代T 时,符合题意,此时.:声 中.故 选|6)|3|2 O)3C.秒解 由题图知,八 号)4 且/(-“)0),解得3 .(*)的最小正周期7 卫 卫.故 选 C.3 38.C【考查目标】本题主要考查二项式定理,考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】因为(x+y)s 的展开式的第r+项Tr.-y 所以(x,)(x+y”的展开式中系/的系数为C g 忙3=1 5.故选C.【方法总结】破解此类题需利用二项展开式的通项公式,并结合另一个因式的特征,即可求出指定项的系数.9.A【考查目标】本题主要考查
16、二倍角公式,同角三角函数的基本关系等,考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】:3 c o s 2 a-8 c o s a =5,Z 3(2 c o s2 a-1)-8 c o s a =5,.:6 c o s a&os a-8=0,.:3 c o s 2 a M e o sa-4=0,解得 c o s a =2(舍去)或 c o s a=|.a e (0,Jt),Z s i n a Z l c o s 2 a q.故选 A.【答题模板】破解此类题的答题模板:一是化简,利用二倍角公式、两角和与差的三角函数公式或诱导公式,化简已知三角等式;二是求值,利用同角三角函数的基本关系求出三角函数值,
17、此时,一定要注意所给角的取值范围,否则易产生增解.1 0.A【考查目标】本题主要考查三角形的外接圆,球的表面积等知识,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.【解题思路】首先利用圆的面积公式求出/!配的外接圆的半径,然后利用正弦定理求出正三角形4 比 的边长,再利用勾股定理求出球的半径,最后利用球的表面积公式即可得结果.【解析】如图所示,设 球。的半径为七。的半径为r,因为04的面积为4 n,所以解得r=2,又AB=BC=AC=0 a,所 以 高-之 百 解 得 心 28,故0。畛6,所以#=0*d=(2 6),2?=1 6,所以球。的表面积 X x#-6 4 Ji.故选 A.【一通百通
18、】求解球的表面积问题的关键在于过好双关:一是“方程关”,能借用图形,利用己知三角形的外接圆的面积,得三角形的边长,从而得球的半径彳所满足的方程,解方程,求出A的值;二是“公式关”,能应用球的表面积公式5 N n 求其表面积.1 1.D【考查目标】本题主要考查直线和圆的位置关系、最值问题,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.【思维导图】通 解/局/尢 最小一四边形监的面积最小一为 的面积最小一/必/最小-最小一直线月V 的方程的坐标一以门/为直径的圆的方程一两圆的相交弦4 9 所在直线的方程优解/冏 /用/最小f四边形为,如的面积最小一为M的面积最小一 PA 最小f PM 最小f 网
19、17-7/7ABfk后 2排除A,Cf直线7 W的方程一的坐标f 4的坐标一排除B,选 D【解析】通 解 由。:V+/-2 x-2 尸2 R ,得。林(刀-1)。-1)2 司,所以圆心材(1,1).如图,连接AM,BM,易知四边形融监的面积为川 弘 欲 使“/夕最小,只需四边形刃,财的面积最小,即只需处的面积最小.因为/=2,所以只需仍1/最小.又/期/刃|PM-MM|2R|PM|2-4,所以只需直线2 x+y+2 加上的动点尸到的距离最小,其最小值为审,此时PMV 1,易求出直线阴的方程为2 1=0.由“得Z 所以尸(T,0).易知P,A,M 6 四点共圆,所以以也为直径的圆的方程为xO(W
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