2020年数学高考真题卷--全国Ⅱ卷理数（含答案解析）.pdf

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1、2.2020年普通高等学校招生全国统一考试全国II卷理科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5 分，共 6 0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合%-2,T,0,1,2,3,4=-1,0,1,4=1,2,贝!A.-2,3 B.-2,2,3C.-2,-1,0,3 D.-2,-1,0,2,32.若。为第四象限角，则A.c o s 2。X)B.c o s 2 a 0C.s i n 2。X)D.s i n 2 a 03.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务,每天能完成1 200份订单的配货，由于订单量大幅增加,导致订单积压.为解决困难,许多志愿者踊跃报名参加

2、配货工作,已知该超市某日积压5 00份订单未配货,预计第二天的新订单超过1 6 00份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成5 0份订单的配货,为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.9 5,则至少需要志愿者A.10 名 B.18 名C.24 名 D.32 名4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9 块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9 块.已知每层环数相同,且下层比中层多7 29 块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)A.3 6 9 9 块

3、 B.3 47 4 块C.3 402 块 D.3 339 块5 .若过点1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x-y-3=0的距离为B.雪r 3 衣 4V5-1J.5-5A.史56 .数列 4 中，句2 a 陪 产 丛 4.若&八+为连+a zo电 气、,则k=A.2 B,3 C.4 D.57 .如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点|-匚 二为M,在俯视图中对应的点为N,尚 下则该端点在侧视图中对应的点为A.EI-B/m-C.GD.H8 .设。为坐标原点,直线x=a与双曲Q 2 b2线(a A),6 和)的两条渐近线分别交于D,两点.若必的面积为8,则。的焦

4、距的最小值为A.4 B.8 C.16 D.329 .设函数 f(x)-I n 12x+l -I n 12x T|,则 9(x)A.是偶函数,且在+8)单调递增B.是奇函数,且在(-j,|)单调递减C.是偶函数，且 在(-用-i)单调递增D.是奇函数,且在(-叫-?单调递减10.已 知 是 面 积 为 度 的 等 边 三 角 形,且 其 顶 点 都 在 球。的球面上.若球。的表面积为16 n,则。到平面4 比的距离为A娼 B.|C.l D 411.若 则A.In(y-+1)X)B.In(y-+1),(a,-6),所以 S m X a X i DEX a X2b=a b g 所以 c a?2 2

5、a 6=1 6,所以 c 4,所以2 c 2 8,所以。的焦距的最小值为8,故选B.9.D【考查目标】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解题思路】首先确定函数f(x)的定义域,并判断函数/U)的奇偶性,然后针对选项给出的区间化简函数解析式,最后根据对数函数的单调性与复合函数的单调性判断函数f(x)的单调性.【解析】由无:二:。得函数A x)的定义域为(-R T)u T，；)U (i +8),其关于原点对称，因为/(-(ZX-lU,2 2 2 2*)=l n/2(-x)+l/T n/2(-x)T/=l n/2 xT/T n/2 x+l/=-f(x),所以函数

6、 f(x)为奇函数,排除 A,C.当 xC (-|,|)时，f(x)=l n(2 x+l)T n(l-2 x),易知函数 f(x)单调递增,排除 B.当 x d (-，1)吐 f j)=l n(-2*T)-l n(l-易知函数/X x)单调递减,故选D.2X-1 2X-1【解题关键】解答本题的关键点：(1)判断函数的奇偶性通常利用定义，但必须要先判断函数的定义域是否关于原点对称；(2)确定函数的单调性时,要注意化简函数的解析式,并利用复合函数的单调性进行判断.1 0 .C【考查目标】本题主要考查球的表面积、球心到截面的距离，考查的核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算.【解题思路】首先根据等边

7、三角形的面积公式求得边长AB,并求得/以外接圆的半径r,然后根据球的表面积求得球的半径其最后利用球的截面的性质求得球心到平面的距离.【解析】由等边三角形4 比 的面积为见I得 立 命 方,得 4 8=3,则的外接圆半径r 上乂乌4 比咚俗=万.4 4 4 3 2 3设球的半径为R,则由球的表面积为1 6 口，得 4 n =1 6 n ,得必2,则球心。到 平 面 的 距 离 庐 尹=1,故选C.【拓展结论】(1)若等边三角形/窈的边长为a,则/8 C 的面积为f，；(2)球的截面的性质:若球的半径为R,截面圆的半径为r,则 球 心 到 截 面 的 距 离 八 环 Z1 1 .A【考查目标】本题

8、主要考查函数的单调性，考查的核心素养是逻辑推理、数学建模、数学运算.【思维导图】2 J2B-3一型2,-(/出电f(x)之 飞)必 幽 里/U)单调递增一”的大小关系一片*+1 乂对数函数的性质【解析】由 2 -2 3 3-,得 2 3 r 2 -3;即 2 -9 设/(%)之-(9；则 f(x)在R上为增函数，则由/U),所以 l n(y-x+l)X,故选 A.【解题关键】解答本题的关键点：(1)对于结构相同(相似)的不等式,通常考虑变形,构造函数；(2)利用指数函数与对数函数的单调性得到x,y的大小关系及l n(y-x+l)的符号.1 2.C【考查目标】本题主要考查新定义、周期序列，考查的

9、核心素养是逻辑推理、数学运算.【思维导图】新 定 义 周 期 序 列_%a z+a z a 3+a 3 a-1z-/o J2 1 a 3+Q 2 a 4+0 3的+0 4 a 6+。5。7 2不满足g 工D新 定 义 周 期 序 列 3 丁 年 口对于B C(1)一不)两足。(4)对于C 新定如期序”c q,以2)4C(3)R,(7(4)3 一 满 足 a k).对于口新定如期序列 c 2 一 不 满 足 C(k)W【解析】对于 A,因为 C(D-1X1+1XO+1+1XO+OX14 C(2)lx 0+lx l+00+lx l+0 x l4 不满足以A)故 A 不正确;对于B,因为C(l)lx

10、 l+lx 0+01+l x l+l x l4不满足C(k)泉故B不正确;对于C,因为八,八 1X04-0X0+0X0+0X1+1X1 1 Z c、1x0+0 x04-0 x1+0 x1+1x0C d)二-；-W C(2)-0 _ixo+oxi+oxi+oxo+ixo4),(7(4)=5551X1+OX1+OXO+OXO+1XO 满足以公0 故 C正确;对于D,因为。xl+lx0+0:+0 xl+lxiq,不满足以公.故 D不正确.综上所述，故选C.【解题关键】解答本题的关键点：(1)理解周期序列的定义,正确写出各选项中的序列；(2)根据所给公式正确求出C，C，以3),。的值,从而作出判断.1

11、3.学【考查目标】本题主要考查向量的数量积，考查的核心素养是数学运算.【解析】由题意，得 a 6=/a/b/cos 45。因为向量Aa-b与 a 垂直，所以(Aa-6)。=后-6=4-4 码 解 得 A1 4.3 6【考查目标】本题主要考查分步计数原理、排列组合的实际应用，考查的核心素养是逻辑推理、数学建模、数学运算.【解析】由题意,分两步进行安排,第一步,将4 名同学分成3 组,其中1 组 2 人,其余2 组 各 1 人,有鬣的种安排方法;第二步,将分好的3 组安排到对应的3 个小区,有Ag=6种安排方法,所以不同的安排方法有6X6=36(种).1 5.2 V 3【考查目标】本题主要考查复数

12、的模，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】解法一 设(xi,yi GR),诙=质小i(&姓WR),则由/二 怎/之,得 好 因 为Z 13玄i=乃+i,所以1 z+zzAx+xT+y+y32M 人 母 镑 也汨兹我力先丁企汨兹攵耳乃=(四)泊,工 所以2小热f2必 理 二-4,所以/zi-z2!=/x-X2Ky-J2)i/、/(%I-%2)2+(%乃)2 二/好+*+据+光 2%622%9248+4之百.解法二设(a,bR),则劭二百i,则:噎 :2 即，十 一?所以t|z2|=(y/3-a)2+(1-b)2=4,(V3a+b=2,Izz j二Qa心+(2b7y工炫+於 Y(遮a+A)

13、网刊X 4Y X 2刊=12,所以/-勿/之百.解法三 题设可等价转化为向量a,b满足/a/=/b/N,a+6=（遮,1）,求/a-4 因为（a 物 二 9-犷 之 乃/*/2,所以4+（己-。）2=1 6,所以2 V 即,z1-Z 2/之百.解法四 设z、“z$+i,则 Z 在复平面上对应的点为八倍,1）,所以/z产Z2/=/Z/N由平行四边形法则知曲外是边长为2,一条对角线也为2的菱形,则另一条对角线的长为/z Z 2/=2 X 当X 2=2 次.1 6 .【考查目标】本题主要考查复合命题真假的判断、空间直线与平面的位置关系，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象.【思维导图】对于PC设出三条

14、直线给/2,4 两两分别相交于点儿AC、，4确定一个平面a 生?*然12,4共面于o是真命题对于分两种情况广 三点不共线T有且仅有一个平 面 卜 P,是假命题-L 三点共线r 有无数个平面-对于根据空间两条直线的位置关系r两条直线也,%可能异面-P）是假命题一对 于 ,里直 曳法也是真命题【解析】解法一 对于必，由题意设直线/mAwUz CA包/m/3=c 则由知上，心共面,设此平面 为。，由 b e A,A u a,知a,由 C G h,A u a,知 C G a,所 以h u a,所 以 7b 12,2）共面于a,所以口是真 命 题.对 于 当A,B,C 三点不共线时,过4瓦。三点有且仅有

15、一个平面；当 4氏C 三点共线时,过4 6,C的平面有无数个,所以.是假命题，M 是真命题.对于出,若空间两条直线不相交,则这两条直线可能平行，也可能异面,所以外是假命题，无是真命题.对于R,若直线l u平 面。，直线江平面a,则m i l,所以口是真命题，不 是 假 命 题.故 为 真 命 题，八 R 为假命题，下 V为真命题，MV 为真命题.综上可知，真命 题 的 序 号 是 解法二 对于p i,由题意设直线7 i D I-i=A,12c l s=B,Z D h=C,则A,B,C 三点不共线,所以此三点确定一个平面a,则 4 c a,BG a ,g a,所以 ABC L a,BCU a,O

16、u a,即/u a,h u a,73c a,所以 n 是真命题.以下同解法一.【易错警示】解答本题时,需注意以下易错点：（1）判断命题R 时,忽视三点在同一条直线上的情况,从而误认为R 为真命题；（2）判断命题R 时，易受同一平面内的影响,误认为两条直线不是相交就是平行,从而误认为R 为真命题.1 7 .【考查目标】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解题思路】(1)首先根据正弦定理及已知条件得BCi-Ad-A=AC-AB,然后结合余弦定理求出c o s A的值,从而求得角A-,(2)首先利用正弦定理及已知条件表示出AC,AB,然后用角6的三角函数表示出

17、兆的周长,再利用两角和的正弦公式化简,最后由正弦函数的性质求出最大值.解：由正弦定理和己知条件得BC-Ae-A&=AC-A B.由余弦定理得初刃-打4-2/C /氏o s 4 由。M c o s =因为,所以(2)由正弦定理及(1)得2s若 之 百,从 而sinB sinC sin/14 02 遮 s i n 6,4 6=2 W s i n(J t -A-B)c o s 2?-V 3 s i n B.故 BC+AC+AB专 电 si n 8+3 c o s 8=3+2 6 s i n(5，).又 01 所以当8 时,比 1 周长取得最大值3 2/1【方法点拨】求三角形周长的最大值是一种常见题型

18、,常用的解法有两种:一是找到边之间的关系,利用基本不等式求最值;二是将周长表示为关于某个内角的函数，利用三角函数的图象与性质求最值.1 8 .【考查目标】本题主要考查用样本估计总体、抽样方法的选择、相关系数的计算，考查的核心素养是逻辑推理、数学建模、数学运算、数据分析.【解题思路】(1)首先求出样区这种野生动物数量的平均数,然后对该地区这种野生动物的数量进行估计；(2)利用公式直接求解即可；(3)根据总体个数的多少、个体的差异是否较大及所学知识选择合理的抽样方法.20解：(1)由已知得样本平均数歹噂 y,W0,从而该地区这种野生动物数量的估计值为6 0 X 2 0 0=1 2 0 0 0.20

19、i=l(2)样本3,%)(4 1,2,2 0)的相关系数20三团(y 8 00 2 0八球 1一1 二 一 =0.9 4.(2020,80X9000 3工(X2 工(y.y)2J i=l i=i(3)分层抽样:根据植物覆盖面积的大小对地块分层,再对2 0 0 个地块进行分层抽样.理由如下：由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关.由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大,采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性,提高了样本的代表性,从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.1 9 .【考查目标】本题主要考查椭圆与抛物线

20、的标准方程与几何性质、抛物线的定义，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.【解题思路】（1）首先根据题意设G的方程为/N c x,然后由/与/或/的 关 系 得 关 于a ,c的方程,结合d=S-l J,得到关于a,c的方程,即可求得结果；（2）首先用c分别表示出a,b,从而用c表示出椭圆的标准方程,设必施,H）,得 看 苧=1,然后结合抛物线的定义求得c的值,即可求出G,G的标准方程.4C，3c解：（1）由已知可设G的方程为y cx,其中庐不妨设4 c在第一象限，由题设得4 6的纵坐标分别为纥4;C 的纵坐标分别为2 c,-2G故a aAB今,I CDR c.由I CDl l ABl

21、得4 c年,即3 X土壬-2 （-）2.解得=-2 （舍去），话.3 3a a a a a 2所 以G的离心率为今（2）由（1）知 a 3 G 故 C，724c2 3c2设M（xo,y o）,则段 嚷二1，y l力。照，故段号 二L由于C的准线为XF 所以/肺/二施乜而/好”5,故刖节-C,代 入 导 锣 誓 以1,即C2-2C-34）,解得 k4c2 3c1 （舍去），e V.2 2所 以G的标准方程为 =1,G的标准方程为7=1 2%.36 27【方法点拨】离心率的求解在圆锥曲线问题中是考查的重点，也是难点,求离心率一般有以下两种方法：。直接求出a,c,进而求出e：构造关于a,c的齐次式,

22、求出e.2 0.【考查目标】本题主要考查空间中直线、平面的位置关系及直线与平面所成的角，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.【解题思路】（1）首先利用矩形的性质及棱柱的性质证得AAJ/M N,然后通过证明6C垂直平面4 4 A V内的两条相交直线,证得8 c平面AM 从而证得面面垂直；（2）先以材为坐标原点，加 的 方 向 为x轴正方向，丽/为单位长,建立空间直角坐标系,再求出直线8遂的方向向量与平面/4 A部的法向量,最后利用夹角的余弦公式求解即可.解：因 为M,N分别为BC,台G的中点，所以M N/CG.又由已知得AA/CG,故AAJ/M N.因为/山G是正三角形,所以84,4成

23、 又5GL妣故平面AAM N.所以平面44匹L平面EBCF.0(2)由已知得AM V BC.以材为坐标原点,近?的方向为x 轴正方向，/丽/为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 M-xy z,则 A B 2 J.I/W 3.连接N P,则四边形4 0 快为平行四边形,故掰考,E 手 0).由知平面4 4 阶。平面ABC.作N QLAM,垂足 为Q,则 MU平面ABC.设 0(a,0,0),则 N Q=J4-(停-a)2,R(a,1,J 4-(当-a)2),故B 1 E=(当-a,J-J4 (-a)2),BrE.Z.又 2 7-(0,-1,0)是平面4 4 邮的法向量,故s in(-7 1,电

24、)气o s ,B1c 2 1/1|n|BXE 10所以直线8 历与平面4 4 胧所成角的正弦值为唱.【方法点拨】利用空间向量法解答立体几何问题的一般步骤：(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系；(2)写出相关点的坐标,求出相应直线的方向向量；(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直,方向向量的数量积为零列出方程组求出法向量；(4)将空间位置关系转化为向量的位置关系；(5)求出相应的角和距离.2 1.【考查目标】本题主要考查函数的单调性、导数的应用、三角恒等变换、不等式的证明，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.【思维导图】(l)F(x)f(x)-(x)N s in x s in

25、3 才-单倜性(2)的单调性一*F(x)的最值一不等式得证3-绵(3)利用等价转化一(s in x s in Z x s in 2 2 x”=/s in x/(x)f(2 x)f(2 i)s in，2 x/(2)的结论结论解：F 3 气o s x(s in x s in 2x)+si n x(s in xsi n 2A)N s in x c o s x s in 2 x+2 s in，c o s 2xNsin xsin 3x.当XG(O.y)U(g,n)时，立(x)X;当号，号)时,尸 0.所以 4)在区间(0,a(季“)单调递增,在区间(1,争单调递减.因 为AO)=kn)=0,由知，/U)

26、在区间 0,的最大值为A 1)当，最小值为吟)=卷.而/1(*)是周期为九的周期函数,故(x)/W平.(3)由于(sin-sinS矛 sinXJi-/sinsin2%,sin:l2%/-/sin xj/sin2xsin2%,sin320 xsin2x/sin22x/=/sin x/(x)f(2x)/si v c2x/W(x)f(2x)“f(2)/,所以 sinxsin*sir？2xW(苧 亳.【规律总结】在某个区间(a,6)上，若f (x)弗 则/U)在这个区间上单调递增;若f (x)e,则f(x)在这个区间上单调递减;若f(x)=0恒成立,则/(X)在这个区间上为常数函数;若f(x)的符号不

27、确定，则/1(x)在这个区间上不具有单调性.22.【考查目标】本题主要考查直线的参数方程、双曲线的参数方程与普通方程的互化，圆的极坐标方程,考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解题思路】(1)利用同角三角函数的基本关系消去参数，即可得到G的普通方程,利用平方消参法可得 到C的普通方程；(2)首先联立曲线G,C的普通方程求得点夕的坐标,然后设出圆心的直角坐标,利用两点间的距离公式求得圆心的坐标,进而得圆的极坐标方程.解：(1)G的普通方程为x+y=(0WxW4).由G的参数方程得x=t+2,/=/唯 _2,所以x-y=.故C的普通方程为V于 N.(2)由=:得f -1所以的直角坐标为(|,1)

28、.(xz-yz=4 1y =-f 2 2设所求圆的圆心的直角坐标为(旗,0),由题意得诏=(胸$3，解得施系.因此，所求圆的极坐标方程为0q c o s 0.【方法点拨】将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数,消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.参数方程化普通方程常用的消参技巧有:代入消元、加减消元、平方后相加减消元、整体消元等.2 3.【考查目标】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解题思路】(1)首先利用零点分段法去绝对值,然后分段求出解集,最后取并集即可；(2)首先利用绝对值三角不等式的性质求得函数/(%)的最小值,然后得到关于a的不等式,最后解此绝对值不等式即可求得a的取值范围.(7 2x,x 3,解：当at时,f(x)1,3 x 4.一 一因为 A x)/x-a 1+1x a+信 /a2-2 a+l /=(a T)；故当(a-l)2 4,即/a T /2 时,f(x)2 4,所以当 a 2 3或 a W -1 时,A%)4.当 T a 3 时，/(a2)=/a-2a+/=(a-l)2 4.所以a的取值范围是(-叫-i u 3,+8).【方法点拨】解绝对值不等式一般有两种基本方法,一是运用零点分区间法讨论,二是利用绝对值的几何意义求解.前者是运用分类讨论思想,后者是运用数形结合思想.