2021-2022学年山东省威海市高二（上）段考数学试卷（10月份）（附答案详解）.pdf

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1、2021-2022学年山东省威海市乳山一中高二(上)段考数学试卷(10月份)1.已知(l-i)2z =3+2i,则z=()A.-1-i B.-1+-i C.-+i D.-i2 2 2 22.在平行六面体4 B C 0-4/1 6/中，若 褊 =a +2b 而+3c 审，则 c的值等于()A.-B.-C.-D.-6 6 6 63.从点4(2,3)射出的光线沿与向量苍=(8,4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在直线的方程为()A.2x+y +l =0 B.x+2y -4 =0 C.x 2y +8=0 D.2x y +7=04 .设 z 为复数，则|z|=l”是 z +eR”的()A.充分不必

2、要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5 .给出以下命题，其中正确的是()A.直线/的方向向量为五=(0,1,1)，平面a 的法向量为元=(1,一1,一1),则Z J.aB.平面a、0 的法向量分别为=(0,1,3),n2=(1,0,2),则。C.平面a经过三个点4(1,0,1),B(0,-1,0),C(1,2,0),向量记=(1,%t)是平面a的法向量，则a+t =1D.直线/的方向向量为3=(1,-1,2),直线小的方向向量为石=(2,1,则/与根垂直6 .已知直线/过定点P(l,0)且与以4(2,-3),B(-3,-2)为端点的线段有交点，则直线/的斜率&的取值

3、范围是()A.(-8,-U 4,+8)B.,4 C.(-00,-3U 1,+o)D.-3,：7.唐代诗人李欣的是 古从军行开头两句说“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有缺的数学故事“将军饮马”的问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为/+好 1,若将军从做2,0)出发，河岸线所在直线方程x+y-4 =0,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为()A.V 10 B.2 V 5-1 C.2A/5 D.V 10-18.如图，边长为1 的正方形A 8C 所在平面与正方

4、形A 8 E F 所 在平面互相垂直，动点M,N分别在正方形对角线AC和 B E /NA上移动，且(?”=8%=。(0。/).则 下 列 结 论 正 确 的 是()A.CN =M E B.当a=g时，M E与 C N相交C.异面直线A C与8厂所成的角为45 D.M N始终与平面B CE平行9 .已知Z i与Z 2是共轨复数，以下四个命题一定是正确的是()A.zf =z12 B.zrz2=|z2|2 C.zr+z2 G.R D.Z2 G /?10.已知点 P在圆(比-5)2+(y 5)2=16上，点4(4,0),B(0,2),则()A.点P到直线4 B的距离小于10 B.点尸到直线4 8的距离

5、大于2C.当4P B 4最小时，P B=3V 2 D.当B4最大时，P B=3A/211.如图，菱形AB C。边长为2,/.BAD=60,E为边A 8的中点，将A/W E沿D E折起，使A到4,且平面A D E _ L平面BCD E,连接AB,4c.则下列结论中正确的是()A.BD 1 ACB.B E到平面4 c o的距离为日C.B C与 所 成 角 的 余 弦 值 为:D.直线4 B与平面4 C O所成角的正弦值为理412.若实数尤，y满足曲线C:y =1+V 二淳，则下列结论正确的是()A.1 y 3B.义 的最小值为；X+3 5C.直线y =k。-2)+3与曲线C有两个不同的交点，则实数

6、k e(o j D.曲线17上有4个点到直线3刀一4丫 +6=0的距离为113.直线+b y =N与圆与+y 2=r2相离,则P(a,b)与圆42+y 2=2的位置关系是点在圆_ _.(填“外 或 上 或“内”)14.已知z=l-i,则/(2。的虚部为.15.已知三棱锥P -AB C中，4BP A=/.CP A=60,上 BP C=9 0。，则侧棱P A与侧面P 5C的 夹 角 余 弦 值 为.16.已知点P(4,0),直 线 己(2+2)x -(A+l)y -42-6=0,则点已到直线/距离的取 值 范 围 为.第2页，共17页1 7.如图所示，正方形。481?的顶点力(2,3).(1)求边

7、AB所在直线的方程；(2)求出点C 的坐标，并写出边BC所在直线的方程.18.如图，三棱柱A B C-A iB iQ 的所有棱长都是2,4 4 1，平面ABC,D,E 分别是AC,e q 的中点.(1)求证：平面B4E _L 平面&BD；(2)求平面D B a和平面B441夹角的余弦值.19.(1)已知坐标原点在圆万 2+y2 一+。-1=0的外部，求实数a 的取值范围；(2)如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2 米，水面宽 12米，当水面下降1米后，求水面的宽度.20.如图，在四棱锥M-ABCD中，4BC0,4/WC=乙BMC=90,MB=MC,AD=DC,2AD=A

8、B=2V2,E 为 AB 中点，ME=V2.(1)求点D 到平面AMB的距离；(2)点 P 为棱AM上一点，且4G=：，求 C P与平面AMB所成角的正弦值.AM 421.已知圆C的圆心在直线2x y-3 =0上，且经过点4(5,2),8(3,2).(1)求圆C的标准方程；(2)直线/过点P(2,l)且与圆C相交，所得弦长为2遍，求直线/的方程；(3)设。为圆C上一动点，。为坐标原点，点P(2,l),试求OPQ面积的最大值.22.已知直三棱柱A B C-a iB iG中，侧面4 4/潭 为正方形，AB=BC=2,E,F分别为AC和CQ的中点，。为棱4/1上的点，BF L AxBr.(1)证明：

9、BFJ.DE；(2)当&D为何值时，面BBiGC与面QFE所成的二面角的正弦值最小？第4页，共17页答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查了复数的运算，主要考查了复数的乘法运算法则以及除法的运算法则的运用,考查了运算能力，属于基础题.利用复数的乘法运算法则以及除法的运算法则进行求解即可.【解答】解：因为(l-i)2z=3+2i,所以2=卫=迎=1 =3=_1+入771 人(1)2 -21(-2 i)i 2 2故选：B.2.【答案】D【解析】解：如图，温=配+鬲=南+南+44；,由?1 C；=aB+2 b 而 +3 c/,可得Q =1,6 =c=I，所以a b c =：.6故选：D.由

10、向量的线性运算求得宿=AC+CCA-AB+AD +AAX,结合已知可求得a,b,c 的值，从 而 得 到 的 值.本题主要考查空间向量及其线性运算，属于基础题.3 .【答案】B【解析】解：4(2,3)关于y 轴的对称点为(-2,3),由于入射光线与行=(8,4)平行，所以反射光线的斜率是：=一；，所以反射光线所在直线方程为y-3 =-1(x+2),x+2 y -4 =0.故选：B.求得A关于y 轴的对称点，由此求得反射光线所在直线方程.本题考查了直线关于直线的对称直线方程的求法，是基础题.4 .【答案】4【解析】解：设2 =。+儿，又|Z|=1,则+0 2 =,则z +三=a +万+-=Q+b

11、 i+-:渭 =2a e R,充分性成立,z a+bi(Q+E)(Q-/H)当z =2,则z +e R 也成立，但|z|=2,故必要性不成立，故“|z|=1”是“z +eR”的充分不必要条件，故选：A.分别从充分性、必要性两个方面证明，可解.本题考查充分条件、必要条件相关知识，属于基础题、5 .【答案】D【解析】解：对于4,因为五元=0-1 +1 =0,所 以 元，所以“/a 或l ua,选项4错误；对于8,因为元力4 底，A G R,所以与荻不共线，所以a 与夕不平行，选项B 错误；对于C,设平面a 的法向量是元=(%y,z),因 为 四=(一1,一 1,1),AC=(-2,2,-1),所I

12、 元.4 C=0 (2 x+2 y-z =0化简得一 3 x+y =0,令x=1,得y =3,z =4,所以记=(1,3,4),所以i z +t =7,选项 C 错误；对于。，因为五不=l x 2-l x l +2 x(-=0,所 以 直 线/与 川 垂 直，选项O正确.故选：D.4中，根据五记=0 判断1 a 或I u a；B 中，根据元与尼不共线判断a 与夕不平行；C 中，求出平面a 的一个法向量为元=(1,3,4),即可判断u +t 的值；。中，根据五不=0判断直线/与，垂直.本题利用命题真假的判断，考查了空间向量的应用问题，是基础题.6 .【答案】C【解析】解：因为部4=3等=-3,加

13、8=千 宗=2，若直线/过定点P(l,0)且与以4(2,-3),B(-3,-2)为端点的线段有交点，则 k p故选：C.由 已 知 先 求 出 先 求 出 直 线 小 的斜 率，然后结合直线的斜率与倾斜角关系即可求解.本题主要考查了直线的倾斜角与斜率关系的应用，属于基础题.第6页，共17页7.【答案】B【解析】解：设点A关于直线x+y =4的对称点A(a,b),kA A,=a2(=1A A 的中点为(等，9，故J对 b _解得a =4,b =2,要使从点4到军营总路程最短，即为点大到军营最短的距离，“将军饮马”的 最 短 总 路 程 为-1 =2 b一 1,故选：B.先求出点4关于直线x+y

14、=4的对称点4,点4到圆心的距离减去半径即为最短.本题考查了数学文化问题、点关于直线的对称问题、点与圆的位置关系等等，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而解决问题.8.【答案】D【解析】解：建立如图所示的坐标系,由正方形A B C。，A 8 F E的边长1,所以4(1,0,0),5(0,0,0),C(0,0,l)，D(l,0,l),F(0,1,0),严(1,1,0),C M =B N =a,所以M猿,0,1 一卷)，N建金,0),CN=J (金=+(,)2 +1 =M E=J脸)2 +#+(1 一 )2 =&2 一 缶+2,当a 2 +1 =a?+2即a =/时，CN

15、与ME相等，所以A不正确;AC=(-1,0,1),乔=(1,1,0),所以C O S。=AC-BF _ _ 1+0+0ACBF V2 x 212 所以。=|兀,所以异面直线AC与B F所成的角为会所以C不正确,ME与CN相交时，ME与CN在同一个平面，如图所示，则。=岑，8错误;而7=(0/，*一 1),平面BCE的法向量瓦？=(1,0,0),所 以 而 市=0 +0 +0 =0,所以MN与面B D E平行，故力正确；故选：D.建立空间坐标系，由正方形的边长设点的坐标，求出向量的坐标，及面的法向量的坐标,判断各个选项的真假.本题考查命题的真假的判断方法及空间向量的应用，属于中档题.9.【答案】

16、BC【解析】解：设z =Q+为实数），则Z 2 =a瓦,A：z f =a2 b2 4-2abi,zr2=a2+b2,A 错误；ziz2=a2+b2=Z229 8 正确；Zi+Z2=a +b i+a bi=2Q 6 R,C 正确；Z i _ a+biz2 a-bi02-62+2的a2+b2g R,n错误.故选：BC.结合共轨复数的概念及复数的四则运算分别检验各选项即可判断.本题主要考查了复数的四则运算及复数的概念，属于基础题.1 0 .【答案】A C D【解析】【分析】求出过AB的直线方程，再求出圆心到直线AB的距离，得到圆上的点尸到直线A8 的距离范围，判断A与&画 出 图 形，由图可知，当过

17、B的直线与圆相切时，满足N P B 4最小或最大，求出圆心与8 点间的距离，再由勾股定理求得|P B|判断C与。.本题考查直线与圆的位置关系，考查转化思想与数形结合思想，是中档题.【解答】解：4(4,0),8(0,2),.过A、8 的直线方程为：+1,即x +2 y-4 =0,圆0 5)2+(y 5)2=1 6 的圆心坐标为(5,5),圆心到直线x +2 y-4=0 的距离d =叱 冷 等 甸=范=呼%J +2 2 V5 5 点P到直线A B的距离的范围为 呼-4,喑+4,11V5/_ 11V5.).11V5 一，i cv -5,A-4 1,-4-4 1),是圆/+(y 1)2=4 的上半部分

18、，如图：设做一2,0),B(2,0),P(2,3),M(-3,0),依次分析选项：对于4 曲线C对应的图形为圆/+(y -1)2=4 的上半部分，必有A正确；对于8,七=会，其几何意义为曲线C上x+3 x-(-3)的点与点(一 3,0)连线的斜率，又由册”=肃=，则 有 备 2 MM=B正确；对于C,直线y =k(x-2)+3,恒过点P(2,3),若与曲线C有两个不同的交点，必有0 k r,y/a2+b2即a?+/r2,即点到原点的距离小于半径，点(a,b)在圆内部.故答案为：内.根据直线与圆没有公共点，得到圆心到直线的距离大于半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到该直线的距离，得到关于。和匕

19、的关系式，再根据点与圆心的距离与半径比较即可得到点的位置.本题考查直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，本题解题的关键是运用点到直线的第10页，共17页距离公式解决数学问题，属中档题.14.【答案】1【解析】【分析】由已知条件可得，z=l+i,再结合虚部的概念，以及复数代数形式的乘法运算，求解即可.本题考查了共轨复数和虚部的概念，以及复数代数形式的乘法运算，属于基础题.【解答】解：z=1 i,z=1+i,z (2-i)=(1+i)(2-i)=3+i,故其虚部为1.故答案为：1.【解析】解：如图所示:15【答案】专过 A 作4E 1 PB,AF 1 PC,设点4在平面P 8 C内的射影为0,连

20、接。4,0E,0F,设|P4|=a,因为NB24=NCP4=60,所以|PE|=PF=),因为40 1平 面PBC,PF u平 面PBC,所以PF _L 4 0,又4FDA0=4所以PF 1平面A F O,又OF u平 面AFO,所以。F l P F,同理。E J.P E,又。/是4 P FC A PE。的公共边，所以PF。PE。，且 ZBPC=90,所以ZOPE=Z.OPF=45,则|0P|=号=e|PF|=枭，因为PA与平面PBC所成的角为NHPO,所以 COSNAPO=子|=.伊 川 2故答案为：号,过 A 作4 E 1 P B,AF 1 P C,设点A 在平面PBC内的射影为。，连接。

21、4,OE,OF,设|P4|=a,则|PE|=PF=j a,易证OF 1 PF,OE 1 P E,再由 OP 是2 P尸。与 PEO的公共边，得 至 PF。三 PE。，从而得至Ij/OPE=NOPF=45求得|0 P|,然后由PA与平面PBC所成的角为乙4P。求解.本题主要考查线面角的计算，空间想象能力的培养等知识，属于基础等题.16 .【答案】0,2【解析】解:：直线/：(2+2)x (4+l)y 4A 6 =0,即4 (x y 4)+2x y 6 0,二该直线经过x-y-4=0和2x-y-6 =0的交点M(2,-2),当点P(4,0)在直线/：(4+2)x(4+l)y-4/l-6=0上，点尸

22、到直线/的距离最小为0；当PM和直线/垂直时，点P 到直线/的距离最大为PM=,(4 一 2尸+(0(一 2)尸=2vL此时，直线/的方程为：x-y-4=0,不存在;I值，满足此条件，故点P 到直线/的距离最大P历取不到，故点P 到直线/的距离的取值范围为 0,2夜)，故答案为：0,2夜).先求出直线经过定点M,当点P(4,0)在直线/上，点 P 到直线/的距离最小为0；PM 和直线/垂直时，点尸到直线/的距离最大为P M,检验最大值尸M 取不到，由此求出点P到直线/的距离的取值范围.本题主要考查直线系方程的应用，直线经过定点问题，属于中档题.17.【答案】解：(1)因为4(2,3),所以=1

23、，又AB 1 O A,所以%B=-p所以边4 8 所在直线的方程为y-3=-|(x-2),即2x+3 y-13=0.(2)设C(x,y)(x 0),(=-(V=-3由(MJ.OC,Q4=OC得，X 2,解得，即 o.解得。1,又一+y2 a x +a 1 =0表示圆，可得a?4 a +4 0,解得a*2,实数a的取值范围:(l,2)U(2,+oo).(2)如图所示，以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x轴,以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系.设圆心为C,水面所在弦的端点为4,B,则由己知可得4(6,-2),设圆的半径长为r,则C(0,r),即圆的方程

24、为依+丫产=*.将点A的坐标代入上述方程可得r =1 0,所以圆的方程为/+(y +1 0)2=1 0 0,当水面下降1米后，水面弦的端点为A,B,可设4(&,一3)3)0),代入*2 +。+1 0)2=1 0 0,解得与=V 5 1,水面宽度M B I=2同 米.解析(1)利用坐标原点在圆/+y2-a x +a -1 =0的外部,求解a 1,又一+y 2 一a x +a-1 =0表示圆，解得a。2,得到实数a的取值范围.(2)以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为)，轴，建立平面直角坐标系.设圆心为C,水面所在弦的端点为A,B,设圆的

25、半径长为 求解圆的方程，然后水面宽度|4 B|即可.本题考查直线与圆的位置关系的应用，圆的方程的求法，考查转化思想以及计算能力,是中档题.2 0.【答案】解：（1）取B C中点O,连接MO、E O,4 0 c为等腰直角三角形，AC=&A D=2,因为4 8 =2y2,AB/CD,则=Z.ACD=4 5 ,由余弦定理可得B C =y/AB2+A C2-2AB-ACCOSACAB=2,:.AC2+B C2=A B2,故AC 1 BC,又r AM C B为等腰直角三角形，M B =MC,。为B C的中点，则M O L B C.第14页，共17页 。、E 分 另lj为 BC、AB 的中点，则O E/A

26、 C,故。E _ L BC,又：MOCOE=0,1 1 BC 1 平面 MOE,又,：ME=a,0E=1,0M=1,所以，AMOE为直角三角形，以。为原点，OE为 x 轴，OB为)，轴，OM为 z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则。(0,0,0)、6(0,1,0)4(2,-1,0),(0,0,1)、。(1,一 2,0)、C(0,-l,0),BA=(2,-2,0),丽=(0,-1,1),DA=(1,1,0),设平面BAM的法向量为元=(x,y,z),贝嚼案%即际”)，取则y j z=i，得元=CM)，所以，点。到平面AMB的距离d=喀=4=乎；|n|V3 3(2)因为含=4 则 而=：祠=(-

27、弥)则 方=诵+加=职设 CP与平面AMB所成角为0,则 sin”|cos =韶=甯.【解析】(1)如图建立空间直角坐标系，设平面BAM的法向量为元=(x,y,z),则露即:;二 经 I。，取“1,则y=1,z=1,得元=(1,1,1),故点 O 到平面 AM8的距离d=喀=1=等，可得.|n|V3 3(2)根据为喘=：,则 存=3 押=(_|,4,则 而=5+3?=g W),设 CP与平面 AMB所成角为。，则sin。=|cos|=需 尚=等.可解.本题考查点到平面的距离和线面角相关知识，属于较难题.21.【答案】解：(1)圆。的圆心在直线2%-丫-3=0上，设C(a,2a-3),由圆经过点

28、4(5,2),8(3,2),可得|C4=|CB，即(a-5)2+(2a 3 2产=(a 3)2+(2a 3 2/，解得a-4.故圆心C(4,5),半径为r=CA=V(a-5)2+(2a-3-2)2=V10,故圆C 的标准方程为(x-4)2+(y-5)2=10.(2)当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=2,弦心距等于2,满足弦长为2遍,符合；当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y-l =k(x-2),即k x-y +l-2 k =0.此时，弦心距d=著 竺 坦=黑，V fc2+1 Vk2+1由十+(V6)2=产解得k=故直线I 的方程为y=综上可得，所求的直线/的方程为x=2或y=：x-

29、g.(3)直线OP的方程为y=x,即x 2y=0,故圆心到直线的距离为d=然,故圆上的点到直线0P的距离最大为d+r=卓+6 4再由|0P|=V1T4=V5,可得 OPQ面积的最大值为；|0P|(d+r)=3+苧.【解析】(1)求由题意可知，圆心应在线段AB的中垂线上，求出圆心与半径，即可求圆C的标准方程；直线/过点P(2,l)且与圆C相交，所得弦长为2n，分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求直线/的方程.(3)求出直线0P的方程为x-2 y =0,圆心到直线的距离d的值，根据AOPi?面积的最大值为|OP|(d+r)运算求得结果.本题主要考查求圆的标准方程的方法，直线和圆相交的性质

30、，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题.22.【答案】(1)证明：连接A凡 E,F分别为直三棱柱A B C-aB iC i的棱AC和CCi的中点，且AB=BC=2,CF=1,BF=V5,v BF 1 A1B1,AB世1，:.BF 1 AB,：.AF=IAB2+BF2=J 22+忖=3,AC=yAF2-CF2=V32-l2=22,.-.AC2=AB2+BC2,即84 IB C,故以8为原点，BA,BC,BBi所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则力(2,0,0),S(0,0,0),C(0,2,0),E(l,l,0)，F(0,2,l).设则。(m,0,2),BF=(0

31、,2,1),DF=(1-m,1,-2),.乔 屁=0,即BFJ.DE.y第16页，共17页(2)解：由(1)知:4 B 1 平面B B i G C,.平面B B i G C 的一个法向量为瓦=(1,0,0),由(1)知，D E =(l-7 n,l,-2),E F =(-1,1,1).设平面 E F 的法向量为芯=(x,y,z),则 佟 鬻:,即 驾注/=。,(n2,E F=0 (x-r y -r z-u令 =3,则y =m+l,z=2 m,:.五=(3,m +1,2 m),：COS=:二|ni|-|n2|_ 31 x J 9 +(m +I-+(2-tn-_ 3 _ 3一 衣 酒 2徵+14-卜

32、 一 乎 十 当，当m 时，面B B 1 G C 与面。尸 E所成的二面角的余弦值最大为彳，此时正弦值最小为V33,【解析】本题考查空间中线与线的垂直关系，二面角的求法，熟练掌握利用空间向量证明线线垂直和求二面角的方法是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于中档题.(1)连接AF,易知C F=1,BF =V5,由B F 1 4 B 1 =B F _ L 4 B,再利用勾股定理求得A F 和AC的长，从而证明8 4 1 B C,然后以B为原点建立空间直角坐标系，证得 前 瓦0,即可;(2)易知平面BBCC的一个法向量为近=(1,0,0),求得平面。E F 的法向量而，再由空间向量的数量积可得c o s =3从而知当山=时，得解.