2021-2022学年山东省枣庄市滕州市九年级（上）月考数学试卷（10月份）（附答案详解）.pdf

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1、绝密启用前2021-2022学年山东省枣庄市滕州市张汪中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）考试范围：XXX；考试时间：100分钟；命题人：XXX注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题）一、选 择 题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若一元二次方程/一 2x-m=。无实数根，则一次函数y=（m+

2、l）x+m-1的图象经过第（）A.二、三、四象限B.一、三、四象限C.一、二、四象限D.一、二、三象限2.如图，折叠长方形的一边A D,使点。落 在 边 的 点 尸 处，已知AB=8cm,BC=10cm,则EF=()A.4 cm B.3 cm C.5cm D.6cm3.如图，在矩形4BC0中，对角线AC,BD相交于点。，点E,7F分别是40,4。的中点，连接E F,若4B=6czn,BC=8sn,则EF的长是（）BCA.2.2 cmB.2.3cm4.如图，在矩形力B C D中，AD=2 AB,连接B E,C E,则4 8 E C=（）C.2.4 c mD.2.5cmA.4 5 B.6 0 C.

3、9 0 5.如图，为把我市创建成全国文明城市，某社区积极响应市政府号召，准备在一块正方形的空地上划出部分区域栽种鲜花，如图中的“阴影带，鲜花带一边宽l a,另一边宽2 m,剩余空地的面积为1 8 m 2,求原正方形空地的边长工米，可列方程为（）A.(x +1)(%+2)=1 8B.x2 3 x +1 6 =1 8C.(x -l)(x -2)=1 8D.X2+3X+1 6 =1 86.如图，在矩形4 B C C中，AB=3,BC=5,点E为C B上一动点（不与点C重合），将A C D E沿D E所在直线折叠,点C的对应点C 恰好落在4 E上，贝I J C E的长是（）D.1 0 0 A.V 2

4、B.1 C.2 D.V 37 .如果a、b是方程2%2一3万一1 =0的两个实数根，贝屹.2 +3匕-1的值为（）A.；B.；C.；D.?2 2 2 28 .若7 1（7 1 K 0）是关于x的方程/+m x +2 n=0的一个根，则m +n的值是（）A.1 B.2 C.-1 D.-29 .下列叙述正确的是（）A.形如a/+bx +c=0的方程叫一元二次方程B.方程4%2 +3 x =4不含有常数项C.一元二次方程中，二次项系数、一次项系数及常数项均不能为0D.（3 丫/=0是关于y的一元二次方程第2页，共21页1 0.已知，如图，菱形A B C D中,对角线A C与B D相交于点0.4C =

5、8,AB=5,则菱形4B C C的面积为（）A.2 4B.2 0C.40D.481 1.某文具店二月销售签字笔40支，三月、四月销售量连续增长，四月销售量为9 0支,求月平均增长率，设月平均增长率为,根据题意可列方程为（）A.40 （1 +x2）=9 0 B.40（l+2 x）=9 0C.40 （1 +x）2=9 0 D.9 0 （1 -x）2=401 2 .如图，P是正方形4B C D对角线8。上一点，P E 1 DC,PF 1 BC,E、F分别为垂足，若C尸=5,C E =1 2,则4P的长是（）A.1 0B.1 2C.1 3D.1 0 V2第I I卷（非选择题）二、填 空 题（本大题共8

6、小题，共2 4.0分）1 3 .若关于x的一元二次方程7 n x2 3 x=-1有实数根，则m的 取 值 范 围 是.1 4.已知（。2 +/?2）（。2 +炉-4）=1 2,则。2 +川=.1 5 .已知关于x的一元二次方程（a -3）x2-2 x+a2-9 =0的常数项是0,则a =方 程 的 根 为.1 11 6 .已知修、犯是一元二次方程/-4x-7 =0的两个实数根,则=+：的值是_ _ _.X1 x21 7 .如图，菱形A B C D中，对角线4c与B D相交于点0,E为BC选。反-刁。中点，O E =2,则菱形4B C D的周长为_ _ _ _ _./X/=/A/A B1 8 .

7、如图，要设计一副宽2 0 c m、长3 0 c n i的图案，其中-M-M-有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比2：3,如果要使彩条所占面积是图案面积幅，则每个横彩条的宽度是 cm.19.如图，E是正方形4BCD边BC上一点，CE=1,DE=3,则正方形 的 面 积 为20.如图，在边长为2的正方形ABCD中，动点F,E分别以相同的速度从D,C两点同时出发向C和8运动（任何一个点到达即停止），连接4E,BF交于点P,过点P作PMCD交BC于M点，PN/BC交CD于N点,连接M N,在运动过程中则下列结论：4BE三ABCF；（2）AE=BF-,（3）AE 1 BF；线段MN的最小值为遥一 1.其

8、 中 正 确 的 结 论 有.（填写正确的序号）三、计 算 题（本大题共1小题，共8.0分）21.用适当的方法解方程：（I）%2+4%-1=0；（2）2x2-3 x-5 =0.四、解 答 题（本大题共6小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）22.为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的2倍，请利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元.23.定义:若关

9、于x的一元二次方程ax?+bx+c=0（a中0）的 两 个 实 数 根 为 上（%1 亚），分别以与，&为横坐标和纵坐标得到点MQi，&），则称点M为该一元二次方程的衍生点.已知关于工的一元二次方程为/-2（m-l）x+m2-2m =0.（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）求衍生点M的轨迹的解析式；第4页，共21页(3)若无论k(k*0)为何值，关于x的方程a/+法+c=0的衍生点M始终在直线y=kx 2(k 2)的图象上，求匕与c满足的关系.24.如图，四边形4CDE是证明勾股定理时用至I 的图形，a,b,c是Rt ABC和Rt BED边长，易知ZE=V2c，这时我

10、们把关于x的形如a/+y2cx+b=0的一元二次方程 称 为“勾系一元二次方程”.(1)写出一个“勾系一元二次方程”；(2)求证：关于x的“勾系一元二次方程 a/+V2cx+b=0必有实数根.(3)若x=-1 是 勾系一元二次方程”ax?+l2cx+b=0的一个根，且4 ABC的面积是2 5,求四边形4CDE的周长.25.如 图，矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8 c m,点P从点4沿边ZB 以lcm/s的速度向点B移动，同时点Q从点8沿边BC以2cm/s的速度向点C移动，当P、Q两点中有一个点到终点时，则另一个点也停止运动.当 DPQ的面积比 PBQ的面积大19.5cm2时，求点P运动的

11、时间.26.我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中所得的四边形叫中点四边形.图1图2(1)如图1,在四边形4BCD中，点E,F,G,H分别为边4B,BC,CD,的中点,中点四边形EFGH是(2)如图2,点P是四边形力BCD内一点，且满足P4=PB,PC=PD,乙APB=乙CPD,点E,F,G,分 别为边4B,BC,CD,D4的中点.猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想.(3)若改变(2)中的条件，使乙4PB=4CPD=90。，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状(不必证明).2 7.如图，在。4BCC中，对角线4C、8。相交于点。，AC 1 B D,过点4作4E 1

12、B C,交CB延长线于点E,过点C作CF_LAD,交4。延长线于点F.(1)求证：四边形4EC尸是矩形；(2)连接O E,若2E=4,AD=5,求OE的长.第6页，共21页答案和解析1.【答案】A【解析】解：由己知得：-4 a c =(-2)2-4 x 1 x(-m)=4 +4 m 0,解得：in 1.一次函数y=(m +1)%+m 1 中，k=m +1 0,b=m 1 0,该一次函数图象在第二、三、四象限.故选：A.根据方程无实数根得出炉-4ac 0,代入数据即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出m的取值范围，再根据m的取值范围来确定一次函数系数3 b 的范围，由此即可得出一次函数

13、经过的象限，此题得解.本题考查了根的判别式以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是找出小的取值范围.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式(或不等式组)是关键.2.【答案】C【解析】解：四边形A B C D 为矩形，11-4 B=4 C=9 0；由题意得：AF=ADIBC=1 0,E D=E F,设E F =x,则E C =8 -x；由勾股定理得：BF2=A F2-A B2=36,：.BF=6,C F =1 0 -6 =4；由勾股定理得：X2=42+(8-X)2,解得：x=5,故选：C.先求出B F、C F 的长，利用勾股定理列出关于E F 的方程，

14、即可解决问题.本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.3.【答案】D【解析】解：.四边形ABC。是矩形，/.LABC=90,BD=A C,BO=OD,v AB=6cm,BC=8cm,由勾股定理得：AC=y/AB2+BC2=V62+82=10(cm).BD=10cm,DO=5cm,点E、/分别是4。、4。的中点，EF是40。的中位线，EF=池=2.5cm,故选：D.根据矩形性质得出N4BC=90。，BD=A C,BO=O D,根据勾股定理求出A C,进而求出B。、O D,最后根据三角形中位线求出EF的长即可.本题考查了勾股定理，矩

15、形性质，三角形中位线的应用，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.4.【答案】C【解析】解：4D=248,E为2。边中点，AE AB,.矩形 ABCC 中 44=/.ABC=90,/.ABE=乙4EB=45,同理可得4OEC=乙DCE=45,乙BEC=180-45-45=90,故选：C.根据4D=2AB,E为4。边中点得到AE=A B,再根据矩形4BC0中乙4=N4BC=90。,得到N48E=4AEB=4 5 ,同理可得4DEC=4DCE=4 5 ,从而求得答案.考查了矩形的性质，解题的关键是利用矩形的性质得到 ABE是等腰直角三角形，难度不大.5.【答案】C【解析】解：原正方形空

16、地的边长为x米，剩余空地为长Q -1)米，宽(x-2)米的矩形.依题意得：Q 1)Q 2)=18.故选：C.第8页，共21页由原正方形空地的边长为X米，可得出剩余空地为长0-1)米，宽(*-2)米的矩形，再利用矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.6.【答案】B【解析】解：四边形4BCD是矩形，:.(B=Z.C=90。，AD=BC=5,CD=AB=3,由折叠的性质得：CD=CD=3,UE=C E,乙DUE=Z.C=90,Z-ACfD=90,AC=y/AD2-CD2=VS2-32=4.设

17、 CE=CE=x,在中，BE=5 x,AE=x+4,由勾股定理得：(5-X)2+32=(X+4)2,解得：x=1,故 选:B.由矩形的性质得出NB=NC=90,AD=BC=5,CD=AB=3,由折叠的性质得CD=CD=3,CE=C E,由勾股定理得出A C,在R t/M B E中，由勾股定理得出方程，解方程即可.本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键.7.【答案】C【解析】解：a 是方程2/3%-1=0的根,2a2 3a-1=0,2a2=3a+1,:.2a2+3b-1=3 a+1+36 1=3(a+b),a、b是方程2

18、/一 3x 1=0的两个实数根，,3a+b=-,22a2+3h-1=3 x-=2 2故选：c.先根据一元二次方程根的定义得到2a2=3a 4-1,再原式可变形为3（Q+b）,接着利用根与系数的关系得到a+b=|,然后利用整体代入的方法计算.本题考查了根与系数的关系:若匕/2是一元二次方程a/+加+c=0（a 羊0）的两根，则 X1+X2=W8.【答案】D【解析】解：把 =九代入方程2+mx+2n=0得n?+mn+2n=0,因为九H 0,所以n+zn+2=0,则m+n=-2故选：D.根据一元二次方程的解的定义得到*+nm+2几=0,然后利用等式性质求m+九 的值.本题考查了一元二次方程的解：能使

19、一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.9【答案】D【解析】解：4、形如。/+匕+。=0（。=0）的方程叫一元二次方程，故 4 不符合题-3*t.忌；B、方程4x2+3x=4的一般形式是叙 2+3%_ 4=0,常数项是 4,故 B 不符合题意；C、一元二次方程中，二次项系数不能为0,故 c 不符合题意；。、（3 y）2=0的一般形式是y2 6y+9=0,是关于y的一元二次方程，故。符合题-?r.忌；故选。.根据一元二次方程的一般形式，可得答案.本题考查了一元二次方程的一般形式，利用一元二次方程的一般形式是解题关键.1 0.【答案】A【解析】解：菱形4BCD的对角线4C与BD相交

20、于点。，AC=8,AO CO 4,BO-DO,AC 1 BD,：.U O B=90,第10页，共21页BO=7AB2 -AO2=0且?n H 0,解得：m 0,然后解不等式即可.本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键.14.【答案】6【解析】解：设。2+炉=3则t(t-4)=12,整理，得(t-6)(t+2)=0,解得t=6或t=-2(不合题意，舍去).故+2 =6.故答案是：6.第 1 2 页，共 2 1 页先设a?+炉=3则方程即可变形为t(t -4)=1 2,解方程即可求得t即a?+X的值.本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它

21、，实行等量替换.1 5.【答案】一3%=0,x2=【解析】解：关于无的一元二次方程(。一3)/一2%+(1 2-9 =0的常数项是0,:.a2 9 =0,即a =3或a =-3,当a =3时，方程为-2 x =0,不符合题意，则 a =-3.一元二次方程为一6/-2 x =0,2 x(3 x +1)=0,解得=0,X2=-p故答案为：3；%1=0,%2 由方程常数项为0求出a的值，检验即可得到a =-3,则方程为-6 M-2X=0,利用因式分解法即可求得方程的根.此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，正确求得a的值是解本题的关键.1 6.【答案】t【

22、解析】解：根据题意得%1+%2=4,%1%2=-7，1 1 X 1+X2 _ 4 _ 4-1.-,X X2 XtX2-7 7故答案为-右根据根与系数的关系得XI+%2=4,X62=-7,利用代数式变形分别得到警，然后人 兀2利用整体代入的方法计算.本题考查了根与系数的关系：若%,X2是一元二次方程。/+6%+。=0缶*0)的两根,be时，x1+x2=-,XtX2=1 7.【答案】1 6【解析】解：四边形/BCD为菱形，AC 1 BD,AB=BC=CD=DA,COB为直角三角形.0E=2,点E为BC边的中点，BC=20E=4.C菱形ABC D =4BC=4 x 4=16.故答案为：16.由菱形的

23、性质可得出AC 1 BD,AB=BC=CD=D A,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出8C的长，即可得出结论.本题考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握菱形的性质,求出BC的长是解题的关键.18.【答案】2【解析 解：设每个横彩条的宽度是2x c m,则每个竖彩条的宽度是3x c m,空白部分可合成长为(30-2 x 3x)cm,宽为(20-2 x 2x)cm的矩形，依题意得：(30-2 x 3%)(20-2 x 2x)=30 x 20 x(1-),整理得：(5 x)2=16,解得：小=1,&=9(不合题意，舍去)，2x=2 x 1=2.故答案为：2.设每个

24、横彩条的宽度是2尤cm,则每个竖彩条的宽度是3xcm,空白部分可合成长为(30-2 x 3x)cm,宽为(2 0-2 x2 x)cm 的矩形，利用矩形的面积计算公式，结合空白部分所占面积是图案面积的(1-女)，即可得出关于久的一元二次方程，解之即可得出x的值，将符合题意的值代入2x中可求出每个横彩条的宽度.本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.19.【答案】8【解析】解：四边形4BC。为正方形，ZC=90,CD2=DE2-C E2=9-1 =8,正方形48CD的面积为8,第14页，共21页故答案为：8.根据正方形的性质得到NC=90。，根据勾股定理求出C

25、 D 2,得到答案.本题考查的是正方形的性质、勾股定理，根据勾股定理求出CD?是解题的关键.2 0.【答案】【解析】解：.动点尸，E分别以相同的速度从D,C两点同时出发向C和B运动,DF=CE,四边形4BCD是正方形，AB=BC=CD=2,乙ABC=乙BCD=90,CF=BE,在AABE和ABCF中，AB=BCABE =ABCF,.BE =CFA BE至 BCF(SA S),故正确；A AE =B F,4 BAE =4 C B F,故正确；v 乙CBF+乙4BP=90,/.BAE +B P=90,.乙4PB=90。，1 B F,故正确；:点P在运动中始终保持乙4P8=90,点P的路径是一段以A

26、B为直径的弧，如图，设AB的中点为H,连接CH交弧于点P,此时CP的长度最小,在Rt BCH中，CH=J BC2+B H2=炳,1V PH =-AB=1,2：.CP=CH-PH=y/5-l,v PM/CD,PN/BC,四边形PMCN是平行四边形，乙 BCD=90,四边形PMCN是矩形，:.M N =CP=相 一 1，即线段MN的最小值为石一 1,故正确.故答案为：.由正方形的性质及F,E 以相同的速度运动，利用SAS证明 ABEma BCF,得到4E=BF,/.BAE=乙CBF,再根据NCBF+4ABp=90,可得NBAE+/.ABP=90,进而得到AE 1B F,根据点P在运动中保持乙4PB

27、=90,可得点P的路径是一段以AB为直径的弧，设4B的中点为H，连接CH交弧于点P,此时CP的长度最小，根据勾股定理，求出CH的长度，再求出PH的长度，即可求出线段CP的最小值，根据矩形对角线相等即可得到MN.本题主要考查正方形的性质、全等三角形、勾股定理等，解题的关键是证明 ABEWABCF.21.【答案】解：(l)x2+4 x-l=0.移项得：x2+4x=1,配方得：X2+4%+4=1+4,即(x+2)2=5,开方得：x+2=V5.二 原方程的解是：Xi=2+，x2=-2 V5.(2)2x2-3 x-5 =0.因式分解得(2x-5)(x+1)=0,2x 5=0 或 +1=0,5 Xl=3，

28、X2-1.【解析】(1)利用配方法求解即可；(2)利用因式分解法求解即可.本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.22.【答案】解：设该品牌粽子的定价为%元/个，则每个该品牌粽子的销售利润为(x-3)元，每天能售出500-舒x 10=(900 100 x)个，依题意得:(x-3)(900-100 x)=800,整理得：X2-12x4-35=0,解得：=5,x2=7.又.该品牌粽子售价不能超过进价的2倍，x W 6,第 16页，共 21页x-5 答：超市给该品牌粽子的定价为5

29、元/个.【解析】设该品牌粽子的定价为x元，则每个该品牌粽子的销售利润为(x-3)元，每天能售出(900-100%)个，根据超市每天销售该品牌粽子获得的利润为800元，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合该品牌粽子售价不能超过进价的2倍，即可得出超市给该品牌粽子的定价为5元/个.本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.23.【答案】解：(l)x2-2(m-l)x+m2-2m=0v A=2(m l)2 4(m2 2m)=4 0,不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；(2)x2 2(m l)x+m2-2m=0,解得：xx=m-2,x2=

30、m,二方程二 2(m l)x+m2-2m=0 的衍生点为 M(m 2,m),二 衍生点M的轨迹的解析式为y=x+2.(3)存在.直线y=k x-2k-2)=k(x 2)+4,过定点M(2,4),:.ax2+bx+c=0两个根为X】=2,x2=4,2+4=-a a2x4=-,A _b =-6(,-。=Qo,a ab 3-7=4-【解析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题.(1)由4 -2(m-I)2 4(m2 2m)=4 0,即可得出结论；(2)解方程一-2(m-l)x+m2-2m=0,得到衍生点M(m-2,m),即可

31、得出衍生点M的轨迹的解析式为y=m+2；(3)求出定点，利用根与系数的关系解决问题即可.24.【答案】解：(1)答案不唯一，例如：a=3,6=4,则c=5,二“勾系一元二次方程”是：3/+572%+4=0；(2)由题意得：A=(V2 c)2 4ab=2 c2 4ab.,a2 4-&2=c2,A=2(a2+b2)4ab-2(a2+b2-2ab)=2(a h)2.v(a-fa)2 0,/.Z 1 0.关于x 的“勾系一元二次方程”ax2+V2 cx+b=0必有实数根.丁 X=一 1是 勾系一元二次方程 Q%2 +y2cx+6=。的一个根，a-42c+b=0 即 Q+b=2c.:.a2+2ab+h2

32、=2 c2.力 BC的面积是2 5,：,-ab=2 5.2ab-50.:a2+b2=c2,1 c2+100=2 c2.v c 0,c 10.a+b=yf2c=IOA/2.四边形4CDE的周长为：2(a+b)+&c =3 0a.【解析】(1)利 用“勾系一元二次方程”的意义写出一个满足定义的方程即可，答案不唯一；(2)计算此方程的4说明 0即可；(3)将x=-1代 入”勾系一元二次方程 a/+V2 cx+b=0得到a+b=鱼 点 将此式两边平方，结合勾股定理和三角形的面积即可求得c值，利用图形即可求得四边形的周长.本题主要考查了一元二次方程的根，勾股定理，一元二次方程根的判别式，本题是阅读型题目

33、，理解并熟练应用新定义是解题的关键.2 5.【答案】解：设当ADPQ的面积比APBQ的面积大19.5cm2 时，点P运动了x秒.根据题意得：x 8 x x +x 2 x(6 x)+x 6(8 2%)+x 2 x(6 x)+19,5=6 x8,第18页，共21页化简得：2x2-10 x+-=0,4解 得:X 1=；，X2=时9-2-2x=-1 V 0,去舍9-2=答：当ADPQ的 面 积 比 的 面 积 大19.52时，点P经过了3秒.【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.设当AOPQ的面积比APBQ的面积大19.5c/n2时，点p运动了 秒，根据

34、四个三角形的面积之和等于矩形的面积，即可得出关于 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论.26.【答案】平行四边形【解析】解：(1)如图1,连接BD,点E,，分别为边AB,D4的中点,1-.EH/BD,EH=；BD,点尸，G分别为边BC,CD的中点,FG/BD,FG=BD,EH/FG,EH=GF,中点四边形EFGH是平行四边形，故答案为：平行四边形;(2)结论：四边形EFG”是菱形,理由：如图2,连接4C,BD.v Z-APB=乙CPD,Z.APB+Z-APD=乙CPD+Z.APD,B P Z.APC=乙BPD,在APC和BPD中，(AP=BP/LAPC=乙 BPD,(PC=PD图2APC

35、 三BPD(SAS),AC=BD,.点E,F,G分别为边4 8,BC,CD的中点,1 1 =*,FG=BD,2 2:.EF=FG,平行四边形EFGH是菱形；(3)结论：四边形EFGH是正方形，理由：如图2,设4C与BD交于点O.AC与PD交于点M,APC=L BPD,Z.ACP=乙BDP,乙 DMO=乙 CMP,乙COD=乙CPD=90,v EH/BD,AC/HG,(EHG=乙DOC=90,菱形形EFGH是正方形.(1)连接8 D,根据三角形中位线定理证明EHFG,EH=F G,根据平行四边形的判定定理证明即可；(2)证明AAPC三A B P O,根据全等三角形的性质得到AC=8。，再证明EF

36、=F G,根据菱形的判定定理证明结论；(3)证明NEHG=9 0 ,禾IJ用 APCNA B P D,得至lj乙4cp=乙B D P,即可证明4COD=乙CPD=9 0,再根据平行线的性质证明NEHG=90。，根据正方形的判定定理证明即可.本题考查的是平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、正方形的判定和性质，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，学会添加常用辅助线.27.【答案】证明：(1).四边形ABC。是菱形,AD/BC,CF/AE,四边形AECF是平行四边形，AE 1 BC,.四边形4ECF是矩形；(2)连接0E,在菱形4BCD中，AD=AB=BC=5,AO=

37、CO,：Z.OEC Z.OCE,由(1)知，四边形4ECF为矩形；第20页，共21页 LAEC=90,v AE 4,:.BE=V52-42=3.A CE=3 +5=8,在RMAEC中，4E=4,CE=8,AC=y/AE2+CE2=4/5，AO=CO,：.OE=-AC=2A/5.2【解析】(1)根据菱形的性质得到AC BC,推出四边形AECF是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；(2)根据菱形的性质得到4D=AB=BC=5,AO=CO,=O C E,根据矩形的性质得到N4EC=9 0,根据勾股定理得到BE=3,进而解答即可.本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键.