2023一轮复习重难点专题突破专题10 利用导数解决一类整数问题（解析版）.docx

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1、2023 一轮复习重难点专题突破专题10利用导数解决一类整数问题【题型归纳目录】题型一：整数解问题之分离参数、分离函数、半分离题型二：整数解问题之直接限制法题型三：整数解问题之虚设零点题型四：整数解问题之必要性探路【典例例题】题型一：整数解问题之分离参数、分离函数、半分离例1.已知函数/(x) = x-lnx-2 .(1)求函数在(1,/。)处的切线方程(2)证明：/(x)在区间(3,4)内存在唯一的零点；(3)若对于任意的xe(l,+oo),都有xlnx + xMx-l),求整数”的最大值.【答案】(1) y= -1；(2)见解析；(3) 3 .【分析】(1)根据导数的几何意义即可切线：(2

2、)先利用导数证明/(x)在(3,4)上单调递增，再结合零点存在定理，得证；(3)参变分离得左0, J(x)在(3,4)上单调递增，v/ (3) =3-ln3-2 = l-ln30, /(x)在区间(3,4)内存在唯一的零点.(3)v xlnx + x A (x-1),且xw(l,+oo),f xnx + x k ,x-令g(x)=%,则式力消总 x 1(X 1)由(2)知，/(x) = x-lnx-2在上单调递增，且在区间(3,4)内存在唯一的零点，设该零点为 e(3,4),则/(4)= %-皿-2 = 0 ,故当xe(l,Xo)时，/(x)0 ,即g(x)0 ,即gx)0, g(x)在(X。

3、，+)上单调递增，A g(X)mM = g (% )= X。*： MxL? + X= / &4 )， X。- IX。T.Mg(x)min=Xoe(3,4),故整数k的最大值为3.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点，以及不等式问题，考查转化与划归思想，逻辑推理能力和运算能 力，属于中档题.例 2.已知函数/(x) =2V+lnx-1 2+x, (a *0). aVa J(1)当a =；时，求函数f(x)在点处的切线方程：4(2)令尸(x) = qf(x)-x2,若尸(x)l-2ax在xe(l,+8)恒成立，求整数a的最大值.(参考数据：,ln4-).4【答案】(1) x-y-3 = 0；(2

4、) 3.【分析】(1) (1)当 a = 1 时，得到 x) = 2x2 + lnx-4x,求得/(x) = 4x +2-4 ,得出了=1,且/(1) = -2, 2x结合直线的点斜式方程，即可求解.(2)把尸。)(幻=尹，利用导数求得函数 In xInx的额单调性，零点的存在定理得到万(X)在(1,%)上递减，在(X”+00)上递增，从而求得即可 求得整数的最大值.【详解】(1) (1)当。=一时，可得/(x) = 2x2+ lnx-4x ,贝!/(x) = 4x + -4 , 2x可得可(1) = 1, fi/(l) = 2 + lnl-4 = -2,即函数/(x)在点(1,-2)处的切线

5、的斜率 = 1,所以切线方程为丁-(-2) = x-1,即x-y-3 = 0, 函数/(x)在点(1J)处的切线方程x-y-3 = 0.(2)由尸(x) = alnx-(2a+ l)x ,因为尸(x)l-2ox在(l,+oo)恒成立，即。足丫-(2。+ 11-2。丫在(1,+)恒成立,即al,可得小一 xInx ：ln x令f(x) = lnx- 可得f(x)在(1,田)上单调递增，且3)0, X所以存在3 W(3,4),使得/)=足/一-1 = 0,从而h(x)在(l,x0)上单调递减，在(x0,+oo)上单调递增，诉 r) 人(min =()= = = X。W (3,4)所以lnx0 J_

6、 + i，因为。),都有xlnx + xk(x-l),求整数左的最大值.【答案】(1)证明见解析；(2) 3.【分析】(1)先利用导数证明x)在(3,4)上单调递增，再结合零点存在定理，得证；(2)参变分离得左0 ,.,/3在(3,4)上单调递增，. /(3) = 3-ln3-2 = l-ln3 0 ,.八外在区间(3,4)内存在唯一的零点.(2)解：V xlnx + xZ:(x-l),且xw(l,+8),. xnx + x. k l，由(1)知，x) = x-lnx-2在(l,+8)上单调递增，且在区间(3,4)内存在唯一的零点，设该零点为与 (3,4),则/伉)=丫0-1叫一2 = 0,故

7、当 xe。,/)时，/(x)0,即 g，(x) 0 , BP g(%) 0 , g(x)在(Xo，+oo)上单调递增， g(x)mLg(%)= *如。产=*.一2)+”=/ e(3,4), x0 -1x0 - 1*0在-200, 200上有且只有300个整数解，求实数a的取值范围【解答】解：/(X)是偶函数，.,./(-x) = /(x),.1 /(4 + x) = /(4-x),/(8 + x) = /(4_ (4 + x) = f(-x) = f(x),./(乂)的周期为7 = 8.当 X(0, 4时，r(x) J-2x),.当 0x 0 ,当x, 4 时，/(x) 。，f (4) = =

8、 0,且x)是以8为周期的偶函数, 44.当X为整数时，/(x)0, fx) + qf(x) 0 在-200 , 200上有 300 个整数解,./2(外+叭幻0在(0, 4上有3个整数解，显然这三个整数解为1, 2, 3,即/(x) + a0 在(0 ,4上有三个整数解1, 2, 3.ln6 .+ Q 03Anza ln6 31n2，解得：0),其中awR, e为自然对数的底数.(1)试讨论/(x)的单调性；(2)是否存在正整数0,使得/(x).底对一切x。恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在, 请说明理由.【解答】解：(1) f(x) = ex - a(x 0).若a, 1，则/(x)0

9、恒成立，/(x)在(0,yo)上单调递增：若 a 1 ,令 f(x) = 0 ,则 x = /“a ,当0x(加a时，f(x) /a时，f(x) 0 , /(x)单调递增.综上所述，当a, 1时，/(x)在(0,+oo)上单调递增；当al时，f(x)在(0,/a)上单调递减，在(a,*)上单调递增.(2)要使/(x) = e*-ax./wx在(0,+a)上恒成立，则彳-/内.0在(0,+ 0), x x则以 x)=竺 + q=(X - 2)e；(X - Q)X X X XX当 a = 2 时，A,(x) = U2)(f X),X由e、x知，(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+oo)上单调递

10、增.2 (x)丽=例2) = (-/2-10，a = 2满足题意.当a 2时，当2xa时，函数(x)的取值情况， :2x x-20 , x-a x , (x 2)ex (x- a)x， BP hx) 0， 当a 2时，力(x)在(2,a)上单调递增.不妨取a = 3,则函数人。)在(2,3)上单调递增， 2e3,且(e) = e2-3-l0),其中aeR, e为自然对数的底数. X(1)若函数/(x)有两个零点，求a的取值范围；(2)是否存在正整数a,使得对一切x0恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在.请 说明理由.【解答】解：(1)f(x) = - = - -a,X XX令ra)o,得x

11、i,令ra)o,得oxi,函数/(x)在(0,1)上单调递成，在(1,+co)上单调递增， 1- f(xK = f =e-a ,函数f(x)有两个零点，f (1) 0)x则 h(x) =+ 二一 L(x - 2)e；(x-a)x , X X XX当 a = 2 时，(x) =(x二 2)(；士),X由e、x知(x)在(0,2)单调递减，在(2,+00)单调递增,2 (x)丽=例2) = (-/2-10，a = 2时满足题意；当a 2时，考查ax2时，函数(x)的取值情况： : a x 2 /. x - 2 0 x-a x ,(x - 2)ex (x- a)x ,即1(x) 0 , 当。2时,A

12、(x)在(2,a)上单调递增,取。=3,则函数(x)在(2,3)上单增， 2e 0,集合 8 = x| x?-2ar-L, 0，a 0.(I )若 a = 1,求 4n 8 ；(1【)若4n8中恰含有一个整数，求实数a的取值范围.【解答】解：(I) / = x|x2+2x-30 = x|x1 或 x 0 ,/(0) = -10,即 0 人:, 9-6a-l 034解得： a 0的解，从而可得函数的单调增区间.(2)利用导数结合虚设零点可求-：。)而 0),x，/、1a- ax2 +x-(a-)0%一(。-1)(+ 1)所以d(x) = + a-一=P上 ，小0),X XXX当a = 0时，由(

13、x)0,解得x0；当al时，由e(x)0,解得心； a当0a0,解得x0；当a = l时，由。(x)0,解得x0；当 a0,解得 0xl时，(x)的增区间为,口).(2)当。=1 时，g(x) = x-3,所以/z(x) = (x-3)lnx,r-33而 hx) = lnx += Inx + 1,XX因为y= lnx,y = -1均为(0,+s)上的增函数，X7故(x) = lnx- + l为(0,+8)上的增函数，X而1(2) = ln2-g0,呜) = ln|-l0,故h (x)在(0, +8)上有且只有一个零点x。，-x0 23且 lnxo=1 且 xw(O,Xo)时，hx) 0 ,%故

14、Mx)在(0,x)上为减函数，在伉,+8)上为增函数，故A(x)min =(/)=(玉)-3)111%=伉-3)(*-1) = 6-1%+j ,3”139 20因为:Xo2,所以彳与 +一 ,2 2X。 3us 2 J9)1所以一二6- x+一 3时，总有/(x)l,求整数的最小值.【答案】(1) 2x y 4 = 0(2) -3【分析】(1)先对函数求导，计算出斜率，再用点斜式即可；(2)分离参数转化为函数的最值问题.(1)当 = 1 时，/(x) = xlnx + x-3/ (x) = lnx + 2/./(1) = 2/(1) =-2./(x)在点(1J(D)处的切线方程为V + 2 =

15、 2(x 1)即2x歹4 = 0(2)由题意，fW 1,即xlnx + Ax-3Zl, gpA:(x-3)l-xlnx ,e. 1-xlnx 尸一又x3 , ：.k怛成乂.x-3人 /、 1-xlnx rz、 3Inx-x + 2令g(x)=，-SM = x-3(x-3)3 x令A(x) = 31nx-x+2,贝V(x) = 0, A(9) = 31n9-7 0 ,当 X(Xo，+8)时，g(x)g(x)a，B.keZ, .k-3,即整数上的最小值为-3【点睛】方法点睛：对于零点不可求问题，可以设而不求，整体替换从而求出范围。例10.已知函数/(x) = (x-l)e、(其中e为自然对数的底数

16、).(1)当人=一1时，求函数/(x)的极值：(2)若函数g(x) = /(x)+e2在xe(0,+3x对任意的xeR恒成立，求整数上的最大值.【答案】(1)极小值为-L,无极大值： e(2) 2Ue2-l,+oo)；(3) -2.【分析】(1)利用导数可确定/(x)单调性，由极值定义可求得结果；(2)利用导数可确定g(x)的单调性；当上4 0时，可知g(0)0 时，根据g(x)m,n=g(%),分别在g(4)0, g(%) = 0和g(无)0三种情况下,根据g(x)在x0,+8)有唯 一零点可构造不等式求得结果；(3)将恒成立不等式化为令x) = x_甘得g) = e+：3,令机(x) =

17、e*+3x-3可确定玉使得加(X) = O,由此可得Mxs =力伍)，进而得到A(X。)的范围，从而得到人.当上=一1 时，/(x) = xex,则 /(X)= (x +1)，当xe(-oo,T)时，r(x)0；在(-8, -1)上单调递减，在(-1,+8)上单调递增，/(x)的极小值为/(-1)=，无极大值. e(2),jg(x) = (x k 1)e* + , r. g(x) = (x A)e”,.当xe(-oo时，g(x)0：，g(X)在(-8, A)上单调递减，在(左,+8)上单调递增：当斤40时,g(x)在(0,+8)上单调递增，若g(x)在(0,+8)上有唯一零点，则g(0)0,B

18、P -Z: -1 + e2 解得：ke2 10 (舍)；当%0时,g(x)在(。上单调递减，在化+8)上单调递增；当g(力0,即0人0,则g(x)在(0,+s)上无零点，不合题意;当g(左) = 0,即 = 2时，g(x)在(0,+s)上有唯一零点x = 2,满足题意;当g(4)2时，由g(左+ 1)=0得:g(i)g(*+l)e2-l；综上所述：当# = 2或左会2-1时，g(x)在(0,+。)上有唯一零点，即实数上的取值范围为2 Ue2 _ 1,田).(3)若/(x)3x对xeR恒成立，即(x-左一l)e*3x对xeR恒成立，则左0,加在R上单调递增,m(；) =北0，使得m(Xo) =

19、O,即 ex + 3x0 -3 = 0,贝I当xe(-8,x()时，A,(x)0；./(x)在(-8,X。)上单调递减，在(%,+8)上单调递增,k(x-1),求整数上的最大值.【答案】 y= -1；(2)见解析；(3) 3 .【分析】(1)根据导数的几何意义即可切线：(2)先利用导数证明“X)在(3,4)上单调递增，再结合零点存在定理，得证；(3)参变分离得生里土，令g(x)=或竺士t 原问题转化为求g(x)在(1, +8)上的最小值，结合x-1X-1中结论和隐零点的思维，即可得解.(1)v/(x) = x-lnx -2,(1) = 0，/(%)在(L-1)处的切线为y = T；(2)证明：

20、/(x) = x-欣一2,()=1 当xe(3,4)时，/,(x) = l-i0, /(x)在(3,4)上单调递增， ： f (3) =3-ln3-2 = l-ln30, /(x)在区间(3,4)内存在唯一的零点.(3)v xlnx + x A (x-1),且xw(l,+8),. xnx + x/. k 1, x-(x-1)由(2)知，/(x) = x-lnx-2在(1,包)上单调递增，且在区间(3,4)内存在唯一的零点，设该零点为/ w(3,4),则/60)= /-*-2 = 0 ,故当xLxo)时,/(x)0,即g(x)O,即 g1X)0, g(x)在(%, +8)上单调递增， g(x)m

21、M = g M=X。e 6,4 )，X。- I X。T.Mg(x) + l恒成立，求整数机的最小值.【答案】(1)(2)最小值为1.e【分析】(1)由/(x) = g(x),可得加=写我,函数“X)与g(x)有公共点，即加=瓜：1有解，设(x)=；丁 , 求导数，求出函数Mx)的值域即可.(2)不等式/(x)g(x) + l恒成立，即me、-hu-l0恒成立,当x = l时，melnl + 2成立,解得加2,故加21.再验证m = l时，不等式成立即可得出答案.【详解】解：(1)令y(x) = g(x),即me*=lnx + l,则机=生出， e函数/(x)与g(x)有公共点，即加=如言有解.

22、令人(x)_hir_l =(L_l)_hu,当 xl 时，-l0,所以(x)0,当 0x0,1iu0 XX所以Mx)在(0,1)上单调递增，在(1,+00)上单调递减，所以Mx)wMl) = J且当X -0时，/(x)tyo e所以me(2)不等式/(%)g(x) + l恒成立，即机elnx l。恒成立.2则 x = l 时，zelnl + 2 成立，解得 ?一，e由题意求满足条件的整数加最小值，下面验证川=1是否满足题意.当m = 1 时，An(x) = ev-lnx-2,/w(x) = er-,且M(x)在(。,+8)上单调递增.又M0,加出0 ,XQ即当m = l时，不等式/(x)g(x

23、) + l成立.故整数机的最小值为1.【点睛】关键点睛：本题考查根据两函数图像有公共点求参数范围和不等式恒成立求参数范围，解答本题的关 键是先根据x = l时，不等式melnl + 2成立，求处一个参数的范围，然后根据题目要求再验证m = 1满足条 件，从而得出答案.属于中档题.例13. (2021 北京北师大二附中未来科技城学校高三阶段练习)已知/(x) = sinx, g(x) = lnx, A(x) = x2 -ax -1.(1)若xe0,l,证明：/(x)g(x + l)；(2)对任意xw0,l都有e，(“ + Mx)-g(x)0,求整数。的最大值.【答案】(1)证明见解析；(2) 2

24、.【分析】(1)利用二次求导求得存在唯一零点xe(O,l),使得户(x0) = 0,尸(x)0在(0,1)上恒成立上可以证 明尸(x)在定义域上的单调性，可知尸(x)20,便可证明结论.(2)先判断整数可知65+/-以-1-11120疝+/-2工一1 一Inx，接着证明H(x) = esM+x2-2x-l-lnx0在区间(0,1上恒成立即可可出结论.【详解】解：(1)证明：设户(x) = sinx-ln(x + l), (04x41),贝lJF(x) = cosxg .因为尸(x) = /-sinx,且xe0J(X + 1)则尸(X)在0,1,单调递减，-sinl + COS= 0, F (0

25、) = 0所以广(x)0在(0,1)上恒成立上，所以尸(x)在0,1单调递增则尸(x)2尸=0,即尸(x)20,所以/(x)2g(x + l).(2)因为对任意的x0,l, ez(x)+A(x)-g(x)0即e疝*+2 以一1一山;0恒成立令x = l,则/10。由(1)知sinlln2,所以2 =漕？ e3 0整数，则因此 eSin、+x2-or-l-lnx2esM*+x2-2x-l-lnx下面证明，(x) = esS+x2-2x-l-lnx0,在区间(0,1上恒成立即可.由(1)知 sinxln(x + l),贝 1J僦+ 1故 H (x) x+1 + x 2.x 1 In x = x x

26、In x设G(x) = x2x-lnx, xg(0,1,则Gx) = 2x_=(2x + 1)(xT)40, XX所以G(x)在(0,1上单调递减，所以G(x)NG=0,所以(x)0在xe(O,l上恒成立.综上所述，。的最大值为2.例14.是否存在正整数a,使得e-axNx2 1nx对一切x0恒成立?试求出。的最大值.解:易知e-arN/lnx对一切x0恒成立，当x = l可得aWe,则a仅可取1、22(x 2) (e - x下证a = 2时不等式恒成立，设g(x) = I In X,g(x) =X XXg(x)在(0,2)单调递减，(2,+8)单调递增，g(x) g(2) = i(e2 -

27、4 - 4 In 2) 0当a = 2时，不等式恒成立，所以a最大为2.例15/2,左0对Vxe(0,+8)恒成立，求整数上的最大值.【答案】(1)见解析(2)2【解析】【分析】(1)先求导，讨论导数的实根个数，然后分别研究相应区间的导数符号从而确定函数单调性;(2)分离参数得上(丑二旦对Vxe(O,+8)恒成立，构造函数，研究其最小值，然后求出的最大值. eA - 1(1)f,(x) = ex -2a , xe R当aVO时，在xw(-0恒成立，/(x)单调递增；当a0时，令/(x) = 0,解得x = ln(2a),在xw(-oon(2a)/(x)上/(x)0恒成立，/(x)单调递增.综上

28、：当aSO时，/(x)在xe(-oo,+oo)上单调递增；当a0时，/(x)在x-oo,ln(2a)上单调递减，在xe(ln(2a),+oo)上单调递增.(2)因为e*-l0,所以原不等式等价于对Vxw(O,+8)恒成立，即左船 xe* + 1“ ex(ev-x-2)令MF，令，(x) = 0,即 e、-x-2 = 0，令(x)=e*-x-2 ,因为/(x) = e、-l0,所以“(x)在xs(0,+oo)上单调递增, 因为，(1) =e-30所以玉。e (1,2)使得 (x) = 0 ,即 e& - % - 2 = 0在xe(0,x)上，Hx)0 , “(X)单调递增,所以“(X)=H &)

29、xe +1 _ x。除+2)+1 _ex -1(x0 + 2)-10又因为所以“(X)mJ(2,3),又keZ,所以上的最大值为2.【点睛】本题第一问的关键是分类标准的正确选择：第二问的关键是零点虚设，通过设而不求的思想解决问题.2. (2022河北衡水高三阶段练习)已知函数x) = (a-l)x+lnx(awR).(1)讨论函数/(x)的单调性与极值：r 1 1.13一当。=0时，函数g(x) = /(x)-(2-x)e、在-,1上的最大值为5 ,求使得be k-,k + -上的整数A的值(其中e为自然对数的底数，参考数据：In 0.5x-0.7, In 0.6 =-0.5).【答案】(1)

30、单调性见解析，极大值为-l-ln(l-a),无极小值(2)-4【解析】【分析】(1)对函数/(x)求导，并对”的取值范围进行分类讨论，利用导数研究函数的单调性、极值即可求解;(2)对函数g(x)求导，构造新函数，利用导数研究函数的单调性、零点、函数值域即可求解.(1)fr(x) = a-l + - , xg(0,-l-oo). x当”L.0,即a时,/(x)0恒成立，则函数/(x)在(0,+8)上单调递增，无极值；当 一10,即 a,故函数x)在(0,占)上单调递增；当时，/。)0,故函数/(x)在上单调递减，所以当x = 丁！一时，函数x)取得极大值，且极大值为/(丁L = _i + lnJ

31、- = _l-ln(l-a). -a)-a综上所述，当a.时，函数x)在(0,+oo)上单调递增，无极值；当。0在7，1上恒成立，所以人(x)在上单调递增. x |_414 _又A(0.5) = eo5-20,1311所以存在xe ,使得(x0) = 0,即、=一， _ 2 3x0则当xe(、,/)时，h(x) 0,所以函数g(x)在上单调递增；当xXo，l)时，(x)0,则g(x)0,所以函数g(x)在(Xo，l)上单调递减，所以函数 g(x)在；,1 上的最大值 b = g (X。)= In X。- % +(X。- 2) e*。= In X。- X。+ xoex-2ex,.12 3-又因为e=一,所以方= lnxo-xo + l, x0 e .x。x_2 5j令 9(x) = In x - x +1, x g 一,一， x |_2 5_12 J1 3