2023年高考数学大招3矩形大法.pdf

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1、大招3 矩形大法大招总结矩形大法:已知P为矩形ABCD所在平面内任意一点（即使在矩形外也成立，甚至在空间中），则有PA2+PC2=PB2+PD2，我们可以用三种方法来证明：方法一：勾股定理如图，P是矩形ABCD里的一点，连接PA,PB,PC,PD，过p做两条直线EF,GH分别平行于AB,AO.由勾股定理可知,尸 2 +尸尸=牙,尸”2 +2炉=PB2,PF2+PG2=PD2,PG2+PE2=PC2,易知 PA2+PC2=PB2+PD2方法二:建立直角坐标系以 所 在 的 直 线 分 别 为X,y轴建立平面直角坐标系，设P(x,y),A(O,O),B(Xo,O),C(凝，)，0(0，%)厕:尸牙

2、+PC2=x2+y2+(X-XO)2+(yPB2+PD2=(x-xn)2+y2+x2+(y-ya)2所以 PA?+PC2=PB2+PD2所以 PA2+PC2=PB2+PD2方法三:向量法如图:PA PC=：(PA+PC)2-PA-PC)?=；(2PO)2-C42PBPD=(尸8+PD，-(P B-PD)2=；(2PO)2-DB2在矩形ABC。中,C4?=所以 PA P C =P8 P O又因为 PA P C =PA-PC cosZAPC典型例题例1.（2020春-启东市校级月考）已知圆G：/+y2=9,圆C2：J?+y2=4,定点A/（1,O），动 点A,8分 别 在 圆C2和 圆G上，满 足

3、ZAMB90，则 线 段A B的取值范围解:方法 1:设A（%,y）、8（孙 2）,则1的 =（%一3）2=13-2（中2+M%）2别2,MAMB,（王一1,）1）.（七一1,%）=。，即（玉一1）（工2 1）+,必=，即 石 马+%2=为+工2-1，.J AB=132（玉 +1）=15 2（芯 +%2）-设 A B 中点为 N（,%），则I ABF=15-4%,-2%=%+,2%=X+必，4（x：+巾）=13+&不2 +y%）=13+2（再 +x2 1）=1 l+4x0,?点N（毛,%）的轨迹是以（g，0）为圆心、半径等于百的圆,，%的取值范围是 3,+-73,故 13-4 0蒯13+45/

4、3.故I A 8|的范围为2百 一 l,2g+l,故答案为:2百-1,2百+1.方法2:构造矩形M A Q B 根据矩形所满足的性质可得QA?+0 8?=O M2+O D-，所以。2=1 2，即0 D =26，所以点。在以原点为圆心,半径为2月的圆上运动，故=12,即O D =2y3，所以点。在以原点为圆心,半径为2初的圆上运动，故又因为=所以26-啜2y5 +126-啜273+1例2.（2018-青 浦 区 一 模）在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中，已 知 两 圆 G：Y+y2=1 2 和。2：/+旷2=4,又点人坐标为（3,-1）,例、N 是 G.上的动点。为。2上的动点，则

5、四边形A M Q N 能构成矩形的个数为（）A.0个B.2个C.4个D.无数个解：解方法1:如图所示,任取圆C,上一点。以 A Q 为直径画 圆/)交 圆 G 与 M、N两点，若 M N =A Q,即可得出四边形/一A M Q N 是矩形，_ J 由。的任意性知，四边形4 0 Q N 能构成无数个矩形 】方法2:取M N中点B(x,y)联 结O B,_.OB2+5 N 2=r 2=i 2,在R t A M A N 中,3 N =AB,O B2+A B2=12 x2+/+(x-3)2+(y+1)2=12,既 f +y2-3 x+y =.点B的轨迹方程为/+V _ 3 x+y=1,设点。(天,%)

6、,炉+y2=14上的每个点都符合题意方法三:当四边形A M Q N构成矩形时，有 042+OQ2=。知 2+附 2,因为M、N 是 G 上的动点,。为。2上的动点，则0 M2=0N?=12,OQ2=14,A 点坐标为(3,-1)，故(9A2=10该等式成立，所以满足该条件的矩形有无数个.故选D.例 3.(2012-江西)在直角三角形A B C中，点。是斜边A B 的中点点P为线段C D 的中点，则|P A+|PB|2-=I)PCA.2B.4C.5D.10解：解方法1:以。为原点,A 8 所在直线为x 轴，建立如图坐标系,丁 A B是 Rt A A B C 的斜边，以为直径的圆必定经过。点设 A

7、 B=2r,N C D B =a，则A(-r,0),B(r,0),C(rc os a.r sin a)点 P 为线段C O 的中点，J1 1 .)/.P r c os a,一 sin a(2 2 J/.I PA2=i-rc os6z+r j 4-|-rsinor=r2 4-r2 cos a,(2)12)4(Y(i Y 5 I PB|2=-r c o s a-r +rsina=r2-r2 c os a.(2)12)4可得|P 4+|28|2=22又；点 P 为线段C O 的中点,8=r.I PC|2=l-ri=T5,所以:与*=E=0故 选D4r方 法 2:构 造 矩 形 4 C B E ,根

8、据 矩 形 的 性 质，有P A2+P B2=P C2+P E2，又因为|PE|=3|PC|可得 P A +P B|2PC2|PC|2+1 PE|2I P C|2I P C|2+(3|PC|)2|PC|2=1014.若平面向量 a,6,e 满足|a|=2,|Z?|=3,|e|=1,且 4 一0 3+b j+l=0 很I J|a-6|的最小 值 是()A.1BA/13-4V3C.J 1 2-4 6D.币解：解方法1：由-C(a+6)+l =0 得。Z?+l =e(a+/?),等式两边平方得(d-h+1)2=e-d+h-c os2 a+h1令a/=/,上式可化为：*+2r+L,a2+2t+b2 t

9、2 12一2屈 中2 6,即一26羽b2 2百 a b|=yja2-2a-b+h2.13 4 3，方法 2:设 OA=a,OB b,OE=e，由 Q e(a+)+1=(h得(a e)(b e)=。，可以构造矩形 A E B P则有|O A+1 03 F=|0 E 5+1 o p/可得 op|=2百,|a-b|=|O A-OB=I B A|=|尸E|厕|a b|疝 =2 g 1,即 713-473故 选B.运用 矩形大法”解向量模取值范围问题例 5.(2021-漳州模拟)已知|a|=|b|=2,c|=1,(。一 c)(/?-c)=()，则 a-h 的取值范围是()A.V6-1,V6+1 r V7

10、-1 5+i-B.,2 2C.V7-1,V7+1V6-1 A/6+1D.-,-2 2解:如图 1作 OA=a,OB=b,OC=ca-c=O A-O C =CA,b-c=O B-O C =CB,由 C)=0,得C 4C B =0 故CAJ.CA以CA,CB为两邻边构造矩形CBDA,由矩形性质得0。2+。2=0 4 2 +082,因为 0 4 =0 8 =2,。=1,代入上式得0。=5,a-bOA-OB=AB=CD，而OD-OCCD OD+OC即J 7-啜 JCD V 7+1故|a-b|的取值范围是 b-1,b+1,于是选C .自我检测1.（2013-重 庆）在 平 面 上，A 4 _ L A B

11、 2，|OB|=|OB2|=1,AP=A 6 1+A B 2|O P|；，则|。4|的取值范围是（）答 案：方 法1：根 据 条 件 知A,BPB构 成 一 个 矩 形A B/B2,以ABt,AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设|的|=。,|伍|=点0的 坐 标 为（x,y）,则点yB标 为(a,b),由 网=叫=1,得(X-4Z)2=1-/(y-b)2=-x2B,x1 1 7|0 P|-,.(x-a)2+(y-b)2 -,:A-x2+l-y2 -(l)；2 4 4 4(x-a)2+y2=1,./y2 1,同理 x2 1,x2+y2 2(2)x2+/2(2)7由(D(2)知-x2+y22,

12、|OA|=ylx2+y2,-/2,故选 D.方 法2:A,B,P,B2构成一个矩形ABtPB2,根据矩形所满足的性质O P+OA2=OB；+O B 1,即 OA2=2-OP2.因 为。尸 的 取 值 范 围 为|0 P|,可 知O A的 取 值 范 围 为 亭，血2.(2012秋-霍邱县校级月考)已知向量a,仇c满足|“|=|b|=2,|c=l,(d-C)伯一/7 1领j u b/7+1-故i4 的取值范围为J 7 故 答 案 为出方法 2:设 OA=a,OB=b,O C c,由(a C S-c)=(),则 CA1CB.过 点 A作 平 行 于C B的直线，过 点B作 平 行 于C A的直线，

13、两直线相交于点D,则 四 边 形ACBD为矩形，根据矩形的性质，有OD2+OC2=0 +OB2,所 以OD2=7,OD=V7,|a-b H BA H CD,又因为 O A-O B AB OA+OB,所 以：V7-1J|AB J 7 +13.(2015秋-温州校级期中)已知圆O:f+y 2=4,圆 内 有 定 点 圆 周 上 有 两 个 动 点A 8,使 Q 4，依,则矩形APBQ的顶点。的轨迹方程为.答 案：方法 1：设 4(%,X),3(工 2，%)，。(，丁)，又 P(1，D，则%+/=x+l,yt+2=y +l,PA=(X 1-1,=(x2-1,2-1).由 P A P B,得 PA P

14、B=0,即(x T)(/T)+(y T)(y 2 T)=。整理得：%一(+w)-(y +必)+2=0,即 不 X 2+X%=工+1 +1-2=%+丁 (D)又 点A、B在圆上，二工：+犬=后+=4 (2)再由|AB|=|PQ|,得(%/)2+(x l)2+(y l)2，整理得：x:+x；+y；+-2xtx2 2yly?=(xl)-+(y 1)-(3)把(D(2)代人(3)得：x2+y2=6.矩 形APBQ的 顶 点 Q的轨迹方程为：x2+y2=6.故答案为：x2+y2=6.方 法 2:因 为P A P B,那 么 当ABPQ为矩形时，有 O P 2+O Q 2 =Q42+O 5 2,因为OA=

15、OB=2,OP=g,所 以。=遥,。的轨迹是以原点为中心，以 7 6 为半径的圆，则 Q的轨迹方程为：x2+y2=64.（2017-南通一模）在平面直角坐标系xOy中，已 知 为 圆 f +：/=4 上两点，点 A（l,l）,且 A B _L A C 厕线段BC的 长 的 取 值 范 围 为.答 案：方 法 1:在平面直角坐标系x O y中，已 知B,C为 圆/+丁=4上两点，点且V =1A B Y A C,如 图 所 示 当B C 1 O A时，|B C|取 得 最 小 值 或 最 大 值.由 2,x2+y2=4-可得B(-5 1)或(国)，x=由 2 2,，可 得3,而或(1,一石)，x+

16、y=4解得 B Cmin=7(-1)2+(1-)2=V 6-V 2.BCmx=7(-V 3-D2+(l+)2=V 6 +V2.故答案为：遥-0,+后 .方 法 2:因为 AB1AC,则 可 以 构 造 一 个 矩 形 A C D B,由 矩 形 的 性 质 可 知O+OD2=OB2+OC2,又因为 0B=0C=2,0A=6,则 OD=B C =AD,又 因 为 A点在圆内，所以：V 6-V 2IJBC V6+V25.（2014-广东考）已知椭圆C ：卫+卫=1（。0）的右焦点为（75,0），离心率为包.a2 b-3求椭圆C 的标准方程；若动点P（x0,%）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切

17、线相互垂直，求点P的轨迹方程.答 案：a2-b1=5(1)依 题 意 知,c 75 75-求 得。=3,。=2,=-Q 32 2椭 圆 的 方 程 为 二+匕=1.9 4 方 法1:当两条切线中有一条斜率不存在时，即A、8两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点，P的 坐 标 为(+3,2),当两条切线斜率均存在时，设 过 点P（x0,y0）的切线为丁=%（%-%）+%，X2/_ X2 M%0）+为了9 4 9 4+9 左2 （_ 入0）+；+2 6 0（%_入0）=364%2+9 攵与2+女2焉 一 2 入*+y；+2ky（）x-2ky（）x0 =36整 理 得（9父+4）炉+18左（%米（Jx+9

18、（%履O）2-4=0,.=18%（%-5）丁一4（9公+4卜9（），0-5）2-4=0,整 理 得（考-9）-2%x%x 氏+（$-4）=0,1 =匕,人,=-=1,/.xj+y（）=13.%一 9把 点(3,2)代人亦成立，点P的轨迹方程为：x2+y2=l3.方 法2:过 点 片、F2分别作两条切线PA.P B的 对 称 点E,F,分别交PA.P B于 点C D,再 连 接O C、O D、O P、EF、F Ft,因 为 点C是EFi的中点且点。是 耳 巴 的中点，所 以 OC=g 叫=3,同理可得。=；个=3,因为四 边 形 P C F Q 是矩形，所 以|0 P +|O制 2=|O C+|

19、o o|2=i8,又 因 为。耳=石，所 以|OP|2=13,所 以 P点是以原点为圆心，半 径 为 V T 3 的圆，故 点 P的轨迹方程为X2+/=13.6.（2021-龙岩期中）已知 向 量。、b、c 满 足：|。|=1,（。一d）_LS c）,J_（q-2Z?）若6 的最大值和最小值分别为利耳则m+等于（）A.22RV52C-A/37D 述2答 案：如图 2,作 OA=d,O B=b,O C=c,贝 Uc=O A-O C =CA,b=c=O B-O C =C B,由(a f c S c)=0,得 CA CB=Q,故 C A LC B 以邻边构造矩C A,C B 为两形 CBDA,由 矩

20、 形 性 质 得 OC2+O D2=O/+O B2,因 为 图20A=1,08=也，代人2上式得 0。2+。2=?.由 _L(a-2)得(4-26)=0,则 2am =Q2=,AB=|OA OB|=|a b|=yj(a b)=ja2+b-2 a-b =CD 由 三 角 形 中 线 长 公 式 得 OC2+O02=2(O”+C M2),则241(/v7 Y=2 0M 2+,解得 0 M4I 4 J上 叵“，雨O M-M&)C O M +M C,即 加=拽+且7,=之 叵 一 巨，所44 4 4 4以 m +n=3，,故选 D.27,已 知 向 量：I。|=3,|石|=2J c|=1,(。-e)(

21、Z?2)=0,则I。一5 I的 取 值 范 围 是可知|OA|2+|O C|2=|OB|2+|O D|2,可知 OC=2百,1 a b 1=1 5。1=1 AC|G2百-1,2有 +1.8.在平面直角坐标系中,若动点2(。/)到 直 线4：丁 =演/2：，=一 +1的距离分别为4，4，且满足4 +2 4 =272厕a2+b2的最大值为.答 案：由题意，|P A|=M+&2 e*,2 0 (转化为线性规划问题).所以 a1+b2=O P|2 (|O A 2+2V2)-=.9,过圆:/+V=4外点P(2,l)作两条互相垂直的直线A B和CD,分别交圆。于A、B和C、两点厕四边形A8CO面 积的最 大 值 为.答 案：由题意，过P作圆的切线且切线长为1,根据圆的相交线定理，124II PB 1=1 PC|PO|=1,理 SABCD=SP B D-SPAC=PBPD-PAPC)=(1 、PBPD-由矩形性质知，+|0尸|2=|08|2+|0)|2n|0E|I|P 31|PD=V3.21 P B|P D|剜 PB|2+|P D|2=|PE|2(加+百 ，所 以(I P B|P D|)max=4+V15（当 且 仅 当P、E、0共线时取等号），所 以 四 边 形A B C D面积的最大值为V15.