【高三数学】5年高考题、3年模拟题分类汇编圆锥曲线部分.pdf

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1、第二节圆锥曲线第一部分五年高考荟萃2009年高考题2009年高考数学试题分类汇编圆锥曲线一、选择题2 21.（2 0 0 9 全国卷I理）设 双 曲 线 与=1 （a 0,b 0）的渐近线与抛物线y=x，l 相切，a b 则该双曲线的离心率等于（）A.V 3 B.2 C.V 5 D.V 6【解析】设切点尸（X。,%）,则切线的斜率为y 忆 而=2 玉,.由题意有&=2%又=x02+1%解得：x02=1,.,.=2,e =+（）2=V 5.【答案】C2.（2 0 0 9 全国卷I理）已知椭圆C:万+y2 =1的右焦点为F,右准线为/，点Ae/,线段A F 交 C 于点B ,若 丽=3 而，则|丽

2、=（）A.V 2 B.2 C.也 D.3 解析 过点B 作5 M _ L /于M,并设右准线I与X 轴的交点为N,易知FN=1.山题意西=3 而,故|=g.又由椭圆的第二定义，得|6尸|=#彳=*：.|A F|=JL故选A【答案】A/v23.（2 0 0 9 浙江理）过双曲线一r二=1（。0/0）的右顶点4作斜率为-1 的直线，该直a b 1 线与双曲线的两条渐近线的交点分别为8,。,若 A B =B C ,则双曲线的离心率是（）2A.V 2 B.V 3 C.V 5 D.V 1 0【解析】对于A(o,0),则直线方程为冗+丁-。=0,直线与两渐近线的交点为B,C,(a1 ah)a2 a h、一

3、B-,C(-则I有(Q+Z?a+bJ a-b a-b前=(/乂 义2),而/-也,也,因2通=比,.4/=从=6a2-h2 a2-b2 I a+b a+b)【答案】C4.(2 0 0 9浙江文)已知椭圆x2二+v 42=1 (a 6 0)的左焦点为尸，右顶点为A ,点8在椭圆上，且5F_ L x轴,直线AB交y轴于点P.若 而=2而，则椭圆的离心率是A 3口近B.-1 1C.-D.一223 2【解析】对于椭圆，因 为 而=2而，则OA：=2 O F,a=2 c,:.e=2【答案】D5.(2 0 0 9北京理)点P在直线/:y=x-1上，若存在过P的直线交抛物线y=X?于41两点，且|PA=AB

4、,则称 点P为“X 点”，那 么 下 列 结 论 中 正 确 的 是()A.直线/上的所有点都是“力 点”B.直线/上仅有有限个点是“，嫉点”C.直线/上的所有点都不是“，嫉点”D.直 线/上 有 无 穷 多 个 点(点 不 是 所 有 的 点)是 点”【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以解决问题的能力.属于创新题型.本题采作数形结合法易于求解，如图，则 B(2 m x,2/?-x-2),*.*A,8在y=x2_ t,及学生的学习潜力,考查学生分析问题和0 x/n-m 2 -x +1 =(2m -x)2消去，整理得关于x 的方程x2-（4/n-l）x+2 m 2-1 =0 （1）/A =

5、（4 m-I）2-4（2 加2 -1）=8加2 -8机+5 0 恒成立,二方 程（1）恒有实数解，,应选A.【答案】A6.（2 0 0 9 山东卷理）设双曲线 j 4 =l的一条渐近线与抛物线尸？+1只有一个公共点,a2 h2则双曲线的离心率为（）.A.-B.5 C.-D.y/54 2【解析】双曲线0-=1 的一条渐近线为y=由方程组1 y aX，消 去 y,得a b a 2,iy =x+12 x +i =o 有唯一解，所以=（2）2 4 =0,2 b _ c a+b L,b、飞 匚 “3所以一=2,e =-=.1 1 +()-=V5，故选D.a a a a【答案】D【命题立意】：本题考查了双

6、曲线的渐近线的方程和离心率的概念，以及直线与抛物线的位置关系，只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能.7.（2 0 0 9山东卷文）设斜率为2的直线/过抛物线y2=ax（*0）的焦点F,且和y轴交于点4,若。4 尸（。为坐标原点）的面积为4,则抛物线方程为（）.A.y2=4x B.y2=S x C.y2=4x D.y2=8 x【解析】抛物线y2=（。工0）的焦点/坐标为（3,0）,则直线/的方程为=2（%-4）,4 4它与y轴的交点为A（0,-,，所以 OA F 的面积为g|夕.|夕=4,解得。=8.所以抛物线方程为9=8 ,故选B.【答案】B【命题立意

7、】：本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算.考查数形结合的数学思想，其中还隐含着分类讨论的思想,因参数。的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况，这里加绝对值号可以做到合二为一.8.（2 0 0 9全国卷n文）双曲线2-=1的渐近线与圆（x 3）2 +V=厂2 任0）相切，6 3则 广（）A.V 3 B.2 C.3 D.6【解析】本题考查双曲线性质及圆的切线知识，由圆心到渐近线的距离等于r,可求尸【答案】A9.（2 0 0 9全国卷I I 文）已知直线=Mx+2）（火0）与抛物线C:y 2 =8 x 相交力、8两点,|必|=2

8、1 五同及 第 二 定 义 知/+2 =2（4+2）联立方程用根与系数关系可求k=尸为C的焦点。若|E4 =2 忻阳,则Q()1V 2A.-B.3 3C 2 D巫3 3【解析】本题考查抛物线的第二定义，由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2,0）,由【答案】D1 0.（2 0 0 9安徽卷理）下列曲线中离心率为理的是2A.-2 1 =1 BX-Z=I C._f =D._ =12 4 4 2 4 6 4 1 0【解析】由6 =V 6V得 弓=|，1 +!3 H 1 、八一，丁 =一，选 B.2 a2 2【答案】B1 1.（2 0 0 9福建卷文）若双曲线 一斗 =l（a o）的离心率为2,则a

9、等于（）a 33A.2 B.6 C.-D.12【解析】由 乌-二=1 可知虚轴b=V ,而离心率e 扬+3=2,解 得 a=l 或a 3 a aa=3,参照选项知而应选D.【答案】D j-1 2.（2 0 0 9安徽卷文）下列曲线中离心率为的字是（.（）.=1 W.Ji W.=1A.2 4 B 4 2 c.4 6 D.4 10【解析】依据双曲线与一二=1 的离心率e =可判断得.e =$=逅.选 B。a2 b a a 2【答案】BX y21 3.（2 0 0 9江西卷文）设片和工为双曲线-彳=1 （a0/0）的两个焦点，若耳，居,a b P（0,2。）是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为3

10、 c 5A.-B.2 C.-D.32 2【解析】由t a n 工=s=也 有 3 c 2 =4b2=4（。？/）,则6=2,故选B.6 2b 3 a【答案】B2 21 4.（2 0 0 9江西卷理）过椭圆，+=1（。人0）的左焦点与作x轴的垂线交椭圆于点a b P，%为 右 焦 点，若/P用=60 ,则椭圆的离心率为,V 2A.-B GC.-1D.-2323【解析】因为P（c,土也），再由=60 有 丝=2 a,从而可得0 =正，故选Ba a a 3【答案】B2 21 5.（2 0 0 9天津卷文）设 双 曲 线 二 一 二=1（。0/0）的虚轴长为2,焦距为2 百，则a b 双曲线的渐近线方

11、程为（）Iy2.1A.y =j 2 x B.y =2 x C.y =-x D.y =x【解析】由已知得到b =l,c =/=啦,因为双曲线的焦点在x轴上，故渐h5近线方程为丁 =/元=芋元【答案】C【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。2 2 2 21 6.（2 0 0 9湖北卷理）已知双曲线土-匕=1的准线过椭圆上 +与=1的焦点，则直线2 2y=履+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是（A.K C.K e【解析】易得准线方程是彳=2=1b 2所以=4-=1 即/=3 所 以 方 程 是 工+工=1联立y =h+2 可 得 3 3+（4 1 ）的

12、左、右焦点分别是耳、F2,其一条渐近线方程为y =x ,点2（省,九）在 双 曲 线 上 测 所 玩=（）A.1 2B.-2C.0【解析】由渐近线方程为y =x知双曲线是等轴双曲线，.双曲线方程是彳2-丁=2,于是两焦点坐标分别是（一2,0）和（2,0）,且 P（四,1）或 P（心1）.不妨去则丽=（-2-百1）,P =（2-V 3,-l）.丽 丽=（-2-7 3-1）（2-V3-1）=-（2 +7 3）（2-7 3）+1 =0【答案】C1 8.（2 0 0 9全国卷H理）已知直线丁=A（+2）伙 0）与抛物线。：、2=8 相交于4B两点，F 为C的焦点，若|E 4|=2|E B|,则女=（）

13、272【解析】设抛物线C：V=8 尤的准线为/:x =-2 直线y =Mx+2)(A 0)恒过定点P(2,0).如图过4 B分别作 A M _U 于M J J 于N,由|E 4|=2|E B|,则|A M|=2|B N|,点 B为 A P的中点.连结O B，则|。研=；|,.|OB|=|B F|点B的横坐标为1,故点5的坐标为(1,2 .)=20一0=,故选 D.1-(-2)3【答案】D2 21 9.(2 0 0 9全国卷H理)已知双曲线C：0-白=1(。0/0)的右焦点为尸，过尸且斜率为g 的直线交C于 A、B两点，若 而=4 而，则C的离心率为()6 妨 7 5 、9A.-B.-C.-D.

14、一5 5 8 5【解析】设双曲线C：)r2一 与v2=1 的右准线为/，过 A、B分 别 作 AM于 M,B N JJ于a bN ,8。_L A M于。，山 直 线A B的 斜 率 为 G,知 直 线A B的 倾 斜 角6 0 N B A D=60。,|A O|=；|,由双曲线的第二定义有1 1 1 一 一.A M -B N|=|A D|=-(|A F|-1 F B|)=-1 A B|=-(|A F|+1 FB|).e 2 2 1 5 6又A b =4.一 3 1/8|=一|户方|.e =一.e 2 5【答案】A2 0.(2 0 0 9湖南卷文)抛物线y 2 =-8 x 的焦点坐标是()A.(

15、2,0)B.(-2,0)C.(4,0)D.(-4,0)【解析】由V=-8 x,易知焦点坐标是(30)=(-2,0),故选B.【答案】B2 22 1.(2 0 0 9宁夏海南卷理)双曲线上-2-=1 的焦点到渐近线的距离为()4 1 2A.2G B.2 C.y/3 D.lX2 y2 r 13 x4-o|【解析】双曲线亍-台=1 的焦点（4,0）到渐近线 =瓜 的 距离为d=-一-=2 6【答案】A2 2.（2 0 0 9 陕西卷文）“m 0 ”是“方程机X?+盯2=1”表示焦点在y轴上的椭圆，的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2 2【解析】将方程加

16、/+），2=1 转化为 f+、_=,根据椭圆的定义，要使焦点在y 轴上必m n须满足上 0 0,所以m n n m【答案】C2 22 3.（2 0 0 9 全国卷I 文）设双曲线亍 一 方=l（a 0,b 0）的渐近线与抛物线y =x?+l 相切，则该双曲线的离心率等于（）A.V 3 B.2 C.V 5 D.V 6 bx【解析】由题双曲线与一3=1（。0,b 0）的一条渐近线方程为y =,代入抛物线方 程 整 理 得 好：一 加+。=0 ,因 渐 近 线 与 抛 物 线 相 切，所 以 从 一 加 2=0,即c2=5a2 0 e=V s,故选择 C.【答案】C2 2 2 22 4.（2 0 0

17、 9 湖北卷文）已知双曲线二一二二1 的准线经过椭圆士+3=1 0）的焦点，则2 2 4 b2b=（）A.3 B.y/5 C.V 3 D.V I2_【解析】可得双曲线的准线为x =1,又因为椭圆焦点为（J I*0）所以有C“-从=1 .即 代 3 故 炉 百.故 C.【答案】C2 7.（2 0 0 9 天津卷理）设抛物线V=2 x 的焦点为F,过点M （0，0）的直线与抛物线相交于A,8两点,与抛物线的准线相交于C,忸日=2,则 B C F与A C F的面积之比二 二=（）S ACF又 I BF 1=x1 3B4=2=-V32 2由A、8、M 三点共线有上也二XM -XA“M-“3 V3-xA

18、万 一。故工4=2,.9 口=丸 山=土 乂 =3,故选择A。S.e r 2*A+1 4+1 5【答案】A2 8.（2 0 0 9 四川卷理）已知直线4 :4 x-3y +6 =0和直线4：x =-l，抛物线V=4x上一)37D.1 6动点P 到直线4和直线4的距离之和的最小值是（1 1A.2 B.3 C.5【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。【解 析 I】直线/2：x =-l 为抛物线y 2=4 x 的准线，由抛物线的定义知，夕到人的距离等于夕到抛物线的焦点b（L 0）的距离，故本题化为在抛物线V=4 x上 找 个 点P使得P到点歹（1,0）和直线乙的距离之和最小，最

19、小值为歹（1,0）到直14-0+6 1线4：4尤一3），+6 =0的距离，即dm i n=-=2,故选择A。【解析2】如图，由题意可知d=%i +61=2S+42【答案】A二、填空题2 9.（2 0 0 9宁夏海南卷理）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F（l,0）,直线/与抛物线C相交于A，B两点。若A B的中点为（2,2）,则直线/的方程为.【解析】抛物线的方程为 2=4 x,f y 2 =4 x4（芯,凹）,8（,必）,则 有 玉*2，（；两 式 相 减 得，N 4=4（xx,）,.江*_ =一=1玉一超,+2 直 线1的方程为y-2=x-2,即y=x【答案】尸X2 y230.（2

20、0 0 9重 庆 卷 文、理）已 知 椭 圆j +=l（a b 0）的 左、右焦点分别为a b a c片（-C,O），B（C,O）,若椭圆上存在一点尸使-=-,则该椭圆的离心率的si n P FyF2 si n P F2FX取值范围为【解 析1】因为在尸片鸟中，由正弦定理得 尸 二 二 P si n P FF2 si n P F2F则由已知，得3=上，即E=c PF,rPFr2 rPFr设点（玉）,%）由焦点半径公式，得尸片=a +eXo，P F?=。-0%则。（+6/）=（?（。一”：0）记得x0=/二D由椭圆的几何性质知X。则 叱 a a,整理得e（c-a）e（e+l）e（e+l）2 +2

21、e 1 0,解得 e -V 2 1或e亚 1,又e e(0,1)，故椭圆的离心率 e e(0 1,1)【解析2】由解析1知P =尸工由椭圆的定义知ac 2 a 2夕”+尸 巴=2。则一户尸2 +?居=2即尸居=，山 椭 圆 的 几 何 性 质 知a c+a2P 8 a +c,则 幺 一 0,所以 e?+2e 10,以下同解析 1.c+a【答案】（夜-1,1）31.（2009北京文、理）椭圆土+匕=1的 焦 点 为 工，点P在椭圆上，若|P F J=4,9 2则|P 8|=；尸 入 的 大 小 为.【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理.属于基础知识、基本运

22、算的考查.a2=9,b2=3,c-y ja2 b 9 2=V7,.闺周=2疗,又|P H|=4,|P周+|P B|=2a =6,.1 P周22+42-(27 7?1又由余弦定理，得c o s ZFiP F2=-L =2x 2x 4 2/6 2工=1 20,故应填2,1 20.32.（2 0 0 9广 东 卷 理）巳知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离 心 率 为 立，2且G上一点到G的两个焦点的距离之和为1 2,则椭圆G的方程为同2 2【解析】e=Y 2,2a =1 2,a=6,b =3,则 所 求 椭 圆 方 程 为 二+二=1 .2 36 92 2【答案】二+=136 933.（20

23、09四川卷文）抛物线y 2=4 x的焦点到准线的距离是.【解析】焦 点 产（1,0）,准线方程犬=-1,.焦点到准线的距离是2.【答案】2v.2 234.（2009湖南卷文）过双曲线C：一 ，=1（4 0,。0）的一个焦点作圆/+2=/a b的两条切线，切点分别为4 B,若/4。8 =120（。是坐标原点），则双曲线线C的离心率为_t【解析】Z A 05=120 n Z/1OF=60 n ZAP。=30 n c=2a e =2.a【答案】235.（2009福建卷理）过抛物线/=2P x（p 0）的焦点尸作倾斜角为45的直线交抛物线于 A、B 两点，若线段4 8 的长为8,则=【解 析】由 题

24、意 可 知 过 焦 点 的 直 线 方 程 为 y=x-,联 立 有2y 2=2 px 2 _ I 2=联立方程组，消去y,得：x2kx0,X,+x2 k2 X 2,故y2=4x.【答案】y2=4x38.（2009湖南卷理）已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60 ,则双曲线C 的离心率为,【解析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两边直角分别是b,c（b 是虚半轴长，c 是焦半距），且一个内角是3 0 ,即得2 =tan 3 0,所以c=技，C所以a=离心率e=3=a V2 2【答案】2r2 V239.（2009年上海卷理）已知

25、甚、乃 是椭圆。：=+彳=1（a b 0）的两个焦点，Pa b为椭圆C 上一点，且 丽，虫.若 公巴”2的面积为9，则b=.I PK I+I P B t 2a【解析】依题意，有|2 尸 2 1=18，可得4c2+3 6=4/，即/一,2=9,J P F,2+PF224C2故有b=3。【答案】3三、解答题40.（2009年广东卷文）（本小题满分14分）已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x 轴上，离 心 率 为 母，两个焦点分别为 和 工，椭圆G上一点到6 和F2的距离之和为12.圆：/+丁+2Ax 4y-21=0 伏 w R）的圆心为点 求椭圆G的方程 求 片 工 的面积 问是否存在圆G 包围椭

26、圆G?请说明理由.解（1）设椭圆G 的方程为：=+4=1 （。匕 0）半焦距为c;a h2a 12 r/=6、贝 M e G ,解得 厂，./=。2 _。2=36 27=9=c=3 0 可 知 点（6,0）在圆 G.外，若2 0 可 知 点（-6,0）在圆 Q 外;不论K为何值圆Ck都不能包围椭圆G.4 1.（2 0 0 9 浙江理）（本题满分1 5 分）2 2已知椭圆G：与+=1（。60）的右顶点为4（1,0）,过 G 的焦点且垂直长轴的弦a b长为1.（I）求椭圆的方程；（I I）设 点 P在抛物线G：y x2+h（he R）k,。2 在 点 尸处的切线与G 交于点M,N .当线段A P的

27、中点与MN 的中点的横坐标相等时，求 Z i 的最小值.b =1 f n 2解（I）由题意得4 b2 a=2，所求的椭圆方程为v.2=1 b=l 4.a（I I）不 妨 设”（和弘）川（,2），。，/+人），则 抛 物 线。2 在 点 P 处的切线斜率为y x=l=2t,直 线 M N 的 方 程 为 y =2 f x-+力，将 上 式 代 入 椭 圆 Q 的方程中，得4x2+（2t x-r+h）2-4 =0,即 4（1 +/）/一4 f（/一力口+（/一力 一4 =。，因为直线MN 与椭圆G 有两个不同的交点，所以有4=1 6 -f4+2（/z +2）r-/i2+4 0,设线段MN 的中点的

28、横坐标是七，则 与=上土区=2 2噂（1 -T，I t）设线段M 的中点的横坐标是X 4,则 =（，由 题 意 得 七=/，即有/+（1 +/2），+1 =0,其中的4 2 =（1 +力）2-4 0,，/1 2 1 或%4 3；当 一3时有/?+2 0,4 /0 不成立；因此/?2 1,当G =1 时代入方程+（+力+1 =0 得，=一1,将=1/=1 代入不等式A=16，+2(/I+2)*W+4O成立,因此九的最小值为1.42.(2009浙江文)(本题满分15分)17已知抛物线C：X2=2p y(p 0)上一点4加,4)到其焦点的距离为一.4(I)求与m的值；(I I)设抛物线C上一点P的横

29、坐标为f。0),过尸的直线交。于另一点。，交x轴于点M,过点Q作PQ的垂线交C 于另一点N .若M N 是C的切线，求t的最小值.解(I)由抛物线方程得其准线方程：=-，根据抛物线定义点4)到焦点的距离等于它到准线的距离，即4+畀 g 解得p 抛物线方程为：/=，将A(m,4)代入抛物线方程，解得机=2(II)由题意知，过 点 尸 的 直 线 尸。斜率存在且不为0,设其为上。.2.1 .2.1 .则/po：y 当 y=0,x=_,则 M(一,0)。k k联立方程整理得：x2-kx+t(k-t)=Ox=y即：(x-t)x-(Z：-r)=0,解得x=，或x=Q(k-t,(k-t)2),而 Q N

30、LQ P,.直线 NQ 斜率为工k整理得：X2+x-(k-t)-(k-t)2=0,即：kx2+x-(k-t)k(k-t)+l Ok k kx+k(k-t)+l x-(k-t)O,解得：.=_0(J 1,或=_/k,N(H k T)+l 卜伙 T)+lk k伙(I)+l2.K=H_ ,(-+1)2NM _ k(J)+l-t2+kt -k(t2-k2-Y)kk而抛物线在点N 处切线斜率：切=y*（火-，）+1-2 k（k-t）-2Fl JJJ.U/J-A Z 1.nZJ-kt+1）2k（k f）2MN是抛物线的切线，J1一=-，k（t2-k2-l）k整理得r +成+1-2/=02 7 2v A=r

31、2-4（l-2 r2）o,解得 t v （舍去），或.mm=43.（2009北京文）（本小题共14分）已知双曲线C:二一二=1（。0力 0）的离心率为V3,右准线方程为x=.a b3（I）求双曲线C 的方程；（H）已知直线x y+机=0 与双曲线C 交于不同的两点A,B,且线段A 8 的中点在圆/+y2=5 上，求机的值.【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力.4=在解（1）由题意，得1 0 3,解得a=l,c=J J,av2 =C?/=2,所求双曲线C 的方程为一一2_ 二 1.2（II）设 A、8 两点

32、的坐标分别为（,必）,（工 2，%），线段A 3 的中点为M（%,/）,由 f上=12-得一一2mx /2=0（判别式（）,x+y+m=0.X.+X2 c x0-2/yo xo+m 2?，.点”（X。，）在圆 2+y2=5 上，m2+（26=5,./”=1.44.（2009北京理）（本小题共14分）X2已知双曲线C:二ay2=1伍0/0）的离心率为百，右准线方程为x=等（I）求双曲线C的方程；（II）设直线/是圆。：/+2=2上动点2（与,%）（入0%。0）处的切线，/与双曲线。交于不同的两点A,6,证明NA08的大小为定值.【解 法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考

33、查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力.（I）由题意，得且=也c 3,解得4=1,。=百=6a：.h2=。2 _/=2,.所求双曲线。的方程为一_2=1.2（II）点2（/，比乂*。/）在 圆/+）2=2上,圆在点尸（%,%）处的切线方程为丫 一 为（x-Xo）,化简得XoX+%y=2.f上=i,.,由.2 及+=2 得（3x；-4*一4xx+8-2x；=0,*0%+%）=2.切线/与双曲线C交于不同的两点A、B,月.0（片2,A3XQ-40,且3=16%-4（3,-4）（8-2年）0,设A、B两点的坐标分别为，贝i j,M +X）=-4xn ,x,x.-8-z,-3

34、x -4 2 3x-4./.c*OA OB 口 cosNA08 .,且OA-OB=x1x2+必必=xix2 +（2-XOX1）（2-XOX2）,玉 +7 T4-2x0（X|+x2）+X；玉2 一%=8-2片+1 L 8片 片（8-2引3x；4 2-xj 3Xg 4 3x（4二-2x；8-2史 3xg 4 3XQ 4Z 4。8的大小为90.【解法2】（I）同解法1.（II）点尸（工0，0）（入0%/0）在圆%?+y2=2上,圆在点尸（入0，0）处的切线方程为y-凡=（x-x0）,X2 _ Z =1化简得x0 x+%y=2.由，2-及 片+巾=2得xQx+y0y 2（3x；-4）r-4x0 x+8

35、-2芯=0（3x；-4）y2_8%x-8+2x；=0 .切线/与双曲线C交于不同的两点A、B,月.0 x：2,.3片一4力0,设A、B两点的坐标分别为（,弘）,（,），则 XX28 2x3 2 腐 8OA-OB=xtx2+yty2=0,NAQB 的大小为 90.（；x；+y：=2 且*0 ,，0 x：2,0 y；0）的直线交抛物线C于。、E两点，ME=2DM,记。和E两点间的距离为/（m）,求/（加）关于机的表达式。（第22题图）解：(1)由庖意，可设抛物线。的标准方程为，=2 p x 因为点A(2.2)在抛物线C 上,所以p=1.因此，抛物残C 的标准方程为y2=lx.(2)由(1)可得焦点

36、F 的坐标是(；.0),又直线0 A 的斜率为T =1.故与直线。1 垂直的直线的斜率为-1.因此,所求直线的方程是x+y-十=0.(3)解法一：设点。和E 的坐标分别为(斫”1)和(七.打),直线。的方程是y=k(x-m).wa 将x=+m 代人尸=上,有4-2y-2hn=0,解得“=由ME=2DM知 1 +/I +2mA:=2(/1 不 工-1).化简得犬=人.因此m=(*t-x,)1+(y,-y,)2=(1+3)(力-力尸=(*+F)l=T(m+4m).所以/(m)=+4m(m 0).解法二：设。令，s),E(y,1).由点M(m.O)及 证=2 而 得4?-m=2(m-y)t I-0=

37、2(0-s).因此，=-2 itm=.所以/(m)=DE=/(2J2-(-2i-3)2=m3+4m(m 0).、-246.(2009山东卷 理)(本小题满分14分)2 2设椭圆E:J+2r=1 (力 0)过 M(2,V2),N(遍,1)两点，O 为坐标原点，a b(I)求椭圆E 的方程；(I I)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,8,且苏，无？若存在，写出该圆的方程，并求MB|的取值范围，若不存在说明理由。x2 y2 广解：(1)因为椭圆 E:+=1(a,b 0)过 M(2,V2)a h以所,N(瓜 1)两点,4，2=解得 0，即 8二一M？+4 0玉+工

38、2 =4km1 +2k2xx2=2/n2-81 +2k2yx y2=(kx+m)(kx2+m)=k2xx2+km(xi+x2)+m1A:2(2 m2-8)1 +2公4k2 m21 +2公2+mm2-S k21 +2公要 使 况J _无，需使玉+）1%=，即2 m2-8 m2-S k21 +2-+1 +2/=0,所以3机2 8/一8 =0,所以k23 /7 2 _ o-0又8/册2+4 0 ,所 以48 晨,所 以 Y，即 加 考 或2r“2 4-黄，因 为 直 线 =履+用 为 圆 心 在 原 点 的 圆 的 一 条 切 线，所以圆的半径为mT7P2 =0T=一生 一=-,r =，所求的圆为x

39、2+/=-，此时圆的切 +kz,3 m2-8 3 3 31 +-8线 丁 =乙+用 都 满 足 机2 城 或 用4-亚，而当切线的斜率不存在时切线为x =城3 3 3与椭圆江+广=1的两个交点为（亚,3鸟或（-亚,冬 鸟 满足_ L无，综上,8 4 3 3 3 3,0 8存在圆心在原点的圆f+y 2 =一，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,8,且 30 A L 0 B.X1+x2因为4km-1 +2/2/一 81 +2产所以（王一工2）2 =（玉+）2 4不 工2 =（7）2-4X1 /K2m2-8 8（82-/?t2+4）1 +242（1 +22）2I AB|=，（内一苫2）2+

40、（弘一2 3=，（1 +左2）（内-）2 =（1+/）岑；2；4）v（1 i 乙 K）1 2 4 4+5/7?卜2 小v T-4 F+4 F+T -v T +4/+4 3 +132 1当攵，0时|A5|=1+-1 3 4/+3 +4Vk2因为 4k2+3 +4 2 8 所以 0 -1-,卜 4 攵 2+3 +4 8k232 32 1所以+nb 1 2,3 J A1.2,1,A所以区2后 当且仅当女=等时取 当 上=0时A 8|=4 .当4B的斜率不存在时，两个交点为（城,土 短）或（_ 辿,冬 匹）,3 3 3 3所以此时|4 5|=坟,综上，的取值范围为g卡W|A8区2百 即：|A 8|e

41、j ,2 6【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定，直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法，能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.47.（2009山东卷文）（本小题满分14分）设?e R，在平面直角坐标系中，已知向量。=（zx,y+l）,向量至=（x,y-l）,。1 坂，动点例（x,y）的轨迹为E.（1）求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状;（2）已知机=,证明:存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交4点4 8,且。4 1 OB（。为坐标原点），并求出该圆的方程；（3）已知机=匕 设直线

42、/与圆C:%?+产=R2（IR 2 -1 =0,即机2+2=.当m=0时，方程表示两直线,方程为y =1;当机=1时，方程表示的是圆当?0且？力1时,方程表示的是椭圆;当机 o,即4攵2一+10,即/4 r+1,且48kt4/一4x.x,=-r-1 2 1+4/yxy2=(3 +t)(kx2+/)=k2xtx2+kt(xx+x2)+r2 k2(4t2-4)8k中1+4/1+4&2+3l+4k2要使。AJ.0 8,需 使 不 超+%=，即4/2-4 r-4 k2 5t2-4 k2-4-1-=-1+4/1+4/1+4/0,所以5一很2 一 4 =0,即5*=4火2+4且*4&2+1,即4左2+4

43、2=1交 于 点（一 石，土一石）或5 4 5 5（-|V 5,|V 5）也满足0 4,0 8.4综上，存在圆心在原点的圆?+，2 =,使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点4,8,且 04 J _ 08.1x2（3）当 加=时，轨 迹 E 的 方 程 为 上+丁=1,设直线/的方程为y =H+f,因为直线/与圆4 4C:x2+y2甯（1 /?2）相切于4,由（2）知A=/L,即产=犬2（1 +Z 2）,J 1 +公因为I 与轨迹E 只有-个公共点由（2）知 （I I）C上是否存在点P,使得当/绕尸转到某一位置时，有OP=OA +OB成立？若存在，求出所有的户的坐标与/的方程；若不存在，

44、说明理由。解析：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理。解（I ）设尸（c,0）,当/的 斜 率 为1时，其 方 程 为x-y-c =0,。至卜的距离为p 0 _ d=故 =也 c =l正一耳,n _由 e=-=，得 a =V 3，h =-xja2-c2=V 2a 3（H）C上存在点尸，使得当/绕尸转到某一位置时，有。2=。4+。8成立。由（I ）知C的方程为2x?+3y 2 =6.设4修，必）,8（乙,乃）-（i）当/不垂直x轴 时，设/的方程为y =

45、A（x-l）C上的点P使 而=苏+而 成 立 的 充 要 条 件 是P点 的 坐 标 为（毛+X 2,%+为），且 2（修+/）2+3（乃+力）2=6整理得 2x J +3y J +2X22+3y22+4x,x2+6月 为=6乂4 8在C上，即2x J+3y=6,2才+3为2=6故 2x/2+3/乃+3=0将y =k（x-l）代 入2/+3），=6,并化简得（2+3 1.2 -6忆2尤 +3%2-6 =0曰 6k2 3 k2-6于是 M1+1 2 =-？，x,x2=-r,2 2+3 1 1 2 2+3&2c _ 4t2yiy2=k-（xi-1）（X2-2）=2+3k?3代入解得，k 2=2,此

46、时/：k 3 k于 是 弘+乃=上 区+/2）=-万，即尸弓,一,）因此，当=-五0寸，pg，/），/的 方 程 为 缶+y-亚=0；当 出=五 时，p（j,-y）,/的方程为岳一丁一J i =o。（i i）当/垂直于x轴时，由 赤+方=（2,0）知，C上 不 存 在 点 产 使 丽=雨+而 成 立。综上，c上存在点p g,*）使 而=赤+而 成立，此时/的方程为J L c y J i =0.49.（2009广 东 卷 理）（本小题满分14分）已知曲线C:y =与直线/:x-y+2=0交于两点A（x.,力）和B（xB,yB），且4 /.记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段A 8所围成的平面区

47、域（含边界）为。.设 点P（s,t）是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合.（1）若点。是线段A B的中点，试求线段尸。的中点的轨迹方程；（2）若曲线6:/一2分+/一4），+/+|=0与。有公共点，试求。的最小值.1 5解（1）联立y =/与y =x +2得4=-l,xB=2,则A B中点。弓 为），1 5设线段尸。的中点M坐标为（x,y）,则了二七一4二号 ,即s =2x 1 =2y -5,又点尸在曲线C上,5 1 ,112 y-1 =(2x -万)2化简可得y=x2 _x+_)又点。是心上的任一点,且不与点A和点B重合，则一 1 2%-工 2,即2 4 425、-1-I (X 一).

48、8 4 4(2)曲线 G:f 一 2a x+/一4 +/+|=0,即圆E：(x-a)2+(y-2)2=|,其圆心坐标为E(a,2),半径r =(由图可知，当0 4。4、历 时，曲线G:x 22a x +y 2-4y +a 2+|=o与点。有公共点;当a 0时，要使曲线G:/2以+丁 一 4)，+/+II=o与点D有公共点，只需圆心E到直线/:x y +2=0的距离d=S 一 汁得 逆Ka。0）上，x0=a c o s ,y0=/?s i n/?,0,2：1有唯一解，y =ix-xn，即直线4与椭圆有唯一交点p.y =%不(方法二)显然P是椭圆与6的交点，若。(a co s1,b sin4),0

49、 W 4 o因此，人 就是椭圆在点尸处的切线。根据椭圆切线的性质，P是椭圆与直线4的唯一交点。(I I)t a na =%*=2t a n/7 的斜率为一“巴，4 的斜率为 tan/=t a nB，x0 a yoa _ xob b由此得t a n。t a n/=t a n2(3手0,t a n a,t a n民t a n/构成等比数列。5 1.(20 0 9江西卷文)(本小题满分14分)如图，已知圆6:(2)2+2=产 是 椭 圆 上+2=1的内接448。的内切圆，其中4为16椭圆的左顶点.(1)求圆G的半径r;(2)过点”(0,1)作圆G的两条切线交椭圆于E,E两点,证明：直线EF与圆G相切

50、.(1)解 设8(2+，,凡)，过圆心G作GO L AB于。，8。交长轴于“,GD HB r y0由 一=得/=上-AD AH y/36-r2 6 +r而点 B(2+r,)在椭圆上,比2;1_11 21=12 4一 厂=_(一2)(+6)16 16 16由、(2)式得15/+8-12=0,解得尸=2或尸=一9(舍去)3 54(2)证明设过点M(0,l)与圆(x 2+y 2=相切的直线方程为：y-=kx(3),2|2%+1|2贝 =I 1,B U 32%2+36*+5 =0 (4)3 V 1 7 F-9+J4 1-9-J4 1解得左=y,k2=16 2 16x222k将代入一+y=1得(16左2