2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-22年真题)专题06函数的概念.pdf

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1、专题0 6函数的概念【考点预测】1 .函数的概念(1)一般地，给定非空数集A ,B,按照某个对应法则/,使得A中任意元素x,都有8中唯一确定的y与之对应，那么从集合A到集合3 的这个对应，叫做从集合A到集合3 的一个函数.记作：x-y-f(x),x e A.集合A叫做函数的定义域，记为。，集合 y|y =/(x)，x c A 叫做值域，记为C.(2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.(3)函数表示法：函数书写方式为y =f(x),x e D(4)函数三要素：定义域、值域、对应法则.(5)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同.2 .基本的函数定义域限制

2、求解函数的定义域应注意：(1)分式的分母不为零；(2)偶次方根的被开方数大于或等于零：(3)对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；(4)零次募或负指数次基的底数不为零；(5)三角函数中的正切y =t an x 的 定 义 域 是 R,且X N日+e z|；(6)已知“X)的定义域求解/g(x)的定义域，或 已 知/g(x)的定义域求/(力 的定义域，遵循两点：定义域是指自变量的取值范围；在同一对应法则J下，括号内式子的范围相同；(7)对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.3.基本初等函数的值域 y =行+6 (k w 0)的值域是R.(2)了 =/

3、+法+(0)的 值 域 是：当 a 0 时，值 域 为 y|y 2 生 工 法;当 口 0 且 1)的值域是(0,+o o).(5)y =l o g“x(a 0 且ax l)的值域是 A.4.分 段函数的应用分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决,即分段函数问题，分段解决.【题型归纳目录】题型一：函数的概念题型二：同一函数的判断题型三：给出函数解析式求解定义域题型四：抽象函数定义域题型五：函数定义域的应用题型六：函数解析式的求法1.待定系数法（函数类型确定）2.换元法或配凑法（适用于了/同尤）型）3.方程组法4.求分段函数的解析式5.抽象函数解

4、析式题型七：函数值域的求解1.观察法2.配方法3.图像法（数形结合）4.基本不等式法5.换元法（代数换元与三角换元）6.分离常数法7.判别式法8.单调性法9.有界性法10.导数法题型八：分段函数的应用【典例例题】题型一：函数的概念例1.（2022全国高三专题练习）函数卡/的图象与直线x=l的交点个数（）A.至 少1个 B.至 多1个 C.仅 有1个 D.有0个、1个或多个【答案】B【解析】【分析】利用函数的定义判断.【详解】若1不在函数启）的定义域内，月的图象与直线x=l没有交点,若1在函数4 0的定义域内，的图象与直线 =1有1个交点，故选：B.【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义即可得

5、到答案.【详解】根据函数的定义，一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一个函数值，显然只有(2)不满足.故选：C.(多 选 题)例3.(2 0 2 2全国高三专题练习)下列对应关系力能构成从集合M到集合N的函数的是)A.例=七，1，养，N=-3,1,/出=-6,/(1)=-3,=1B.M =N =x|x-1 ,/(x)=2 x+lC.M=N=1,2,3,f(x)=2x+lD.M =Z,N=-1 ,.f(x)=-l,x为奇数,l,x为偶数.【答案】A B D【解析】根据函数的定义，结合函数的定义，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，集合例中的任意一个元素，按某种对应法则，在集

6、合N中存在唯一的元素相对应，所以能构成从集合M到集合N的函数；对于B中，集合A/=x|xN-l 中的任意一个元素，按某种对应法则，在集合N=x|x2-1 中存在唯一的元素相对应，所以能构成从集合M到集合N的函数；对于 C中，集合=1,2,3,当x=3时，可得/(3)=5任N,所以不能构成从集合M到集合N的函数；对于D中，集合M=Z中的任一元素，按/3)=-l,x为奇数,L x为偶数.,在集合N=-1,1 有唯一的元素与之对应，所以能构成从集合M到集合N的函数.故选：ABD【点睛】本题主要考查了函数的基本概念及判定，其中解答中熟记函数的基本概念，结合函数的定义逐项判定是解答的关键，着重考查推理与

7、判定能力，属于基础题.例4.（2022浙江 高三专题练习）将函数y=2sin（xe 0弓 的图像绕着原点逆时针旋转角a得到曲线T,当时都能使7成为某个函数的图像，则6的最大值是（）7 1 兀 3 2A.B.-C.兀 D.it6 4 4 3【答案】B【解析】【分析】根据函数的概念，一 个x只能对应一个y,所以找到在原点处的切线，使图像旋转过程中切线不能超过y轴即可.【详解】X解：y=cos在原点处的切线斜率为女=1,切线方程为当y=2sin楙绕着原点逆时针方向旋转时，若旋转甭。大于?，则旋转所成的图像与，轴就会有两个交点,则曲线不再是函数的图像.所以e的最大值为4-2-思路点睛,：函数的关键点：

8、每一个x都有唯一的一个确定的数y和它对应，所以考虑函数的切线，当函数的切线超过y轴时，一个x会有2个y和它对应，则不满足情况，所以旋转角度即为切线的旋转角.例5.（2022全国高三专题练习）存在函数/（x）,对于任意XWR都 成 立 的 下 列 等 式 的 序 号 是./(si n 3 x)=si n x；/(5 皿3 同=;?+3 2+x；/(x?+2)=|x+2 ；/(x?+4x)=|x+2.【答案】【解析】【分析】根据函数定义逐项判断，采用换元的方法求解中/(X)的解析式并进行判断.【详解】当x=0 时，f(O)=O；当 时，f(O)=3,与函数定义矛盾，不符合；当x=0 时，f(O)=

9、O；当x 时，/(O)=J+J+p 与函数定义矛盾，不符合；当x=-2 时，/(6)=0；当|x=2 时，/(6)=4,与函数定义矛盾，不符合；令x+2 =r,所以/(/-4)=M ,令产-4 =加卜4,+0 0),所以f =品+4 ,所以 f (w)=|J m +4|=J，+4(/n e -4,+8),所以/(x)=J x+4(x e -4,+o o),符合，故答案为：.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于对于函数定义的理解以及换元法求解函数解析式的运用，通过说明一个自变量X的值时应两个不同的/(X)的值，判断出不符合函数定义；同时在使用换元法求解函数解析式时，新元取值范围的分析不能遗漏.

10、【方法技巧与总结】利用函数概念判断题型二：同一函数的判断例 6.(2 0 2 2 全国 高三专题练习)下列各组函数是同一函数的是()X)=O 与 g(x)=xjz./(X)=A g(x)=J7./(x)=x 与 g(x)=%.“x)=x J 2 x 1 与 g(r)=/-2 r 1.A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的概念可知同函数需满足定义域和对应关系均相同，因此结合题目逐个分析即可得到结果.【详解】对于，八 力=/3的定义域为(,0),g(x)=x E 的定义域为(3,0),所以f(x)=E =-xE，则 x)与g(x)的定义域相同，但对应关系不同，则不是同一函数;对于g(

11、x)=|x|,所以/(x)=x H g(x)=G 的对应关系不同，则不是同一函数；对于f(X)=X 的定义域为 x|x*o ,g(x)=+的 定 义域为 x|x*o ,且 y(x)=l,g(x)=l,因此函数,“x)=x 与g(x)=g 的定义域和对应关系均相同，则是同一函数；对于/(力=犬-2 犬-1 的 定 义 域 为 g(f)=/一2 f-l 的定义域为/?,因此函数 x)=f-2*-1 与g(f)=-2 f-l 的定义域和对应关系均相同，则是同一函数；故选：C.例 7.(2 0 2 2 全国高三专题练习)下列各组函数中，表示同一函数的是()A./(x)=elnx,g(x)=xx2 4B

12、.f(x)=-,g(x)=x-2x+2c./(x)=x ,g(x)=lD./(x)=|x|,x e -l,0,1 ,g(x)=x2,x e -l,0,1)【答案】D【解析】【分析】根据函数的定义域和同一函数的定义逐一判断可得选项.【详解】解：对于A：/(X)的定义域是(0,+s),g(x)的定义域是R,两个函数的定义域不相同，不是同一函数，对 于 B：f M =x-2,(XH-2),g(x)的定义域是R,两个函数的定义域不相同，不是同一函数，对于C：f(x)的定义域为 x|x x 0 ,g(x)的定义域是R,两个函数的定义域不相同，不是同一函数，对于D：/(x)对应点的坐标为(-1,1),(0

13、,0),(1,1),g(x)对应点的坐标为(T 1),(0,0),(1,1),两个函数对应坐标相同，是同一函数，故选：D.(多 选 题)例 8.(2 0 2 2.全国高三专题练习)下列各组函数中表示同一个函数 的 是()A./(x)=|2 x|,g(x)=B./(x)=x,g(t)=tC.f(x)=x+,g(x)=x +-Zx,x u 3 Jr2-6D./(x)=x+4,g(x)=-x-4【答案】A B【解析】【分析】确定函数的定义域与对应法则是否相同即可判断.【详解】A中两个函数定义域都是R,对应法则都是乘以2后取绝对值，是同一函数；B中两个函数定义域都是R,对应法则都是取平方，是同一函数；

14、C中/*)定义域是 x|x*O ,g(x)的定义域是R,不是同一函数；D中f(x)的定义域是R ,g(x)的定义域是 x|x x 4),不是同一函数.故选：A B.(多 选 题)例 9.(2 0 2 2 全国高三专题练 习)在下列四组函数中，A x)与g(x)不表示同一函数的是()r2 -1+1A.f(x)=x-1,(x)=-B./W=|x +l|,g(x)=x +1C.fix)=1,g(x)=(x +l)D.f(x)=x,g(x)=(4)2【答案】A C D【解析】【分析】根据同一函数的要求，两个函数的定义域和对应法则应相同，对四个选项中的两个函数分别进行判断，得到答案.【详解】A选项，定义

15、域为R,g(x)的定义域为(,-l)U(T”)，所以二者不是同一函数，故 A符合题忌；/、I f X 4 1 x N 1 /、B选项，/(x)=|x+l|=,与g(x)定义域相同，对应法则也相同，所以二者是同一函数，故 1 X X 0,而以2为底的对数函数是单调递增的，因此2 9X+1 4 4,求解可得X|.故答案为：（-c o,2）u f|,+c o 例 1 2.（2 0 2 2.北京.模拟预测）函数f（x）=岳 工 T +l g（2-x）的定义域是【答案】【解析】【分析】依据题意列出不等式组，解之即可得到函数的定义域【详解】f 2 x+l 0 1由题意可得，c 八，解之得-彳4 X 0 2

16、则函数f(x)=J-+lg(2 x)的定义域是-g,2)故答案为：-g,2)例13.(20 22.上 海 市 奉 贤 中 学 高 三 阶 段 练 习)函 数/)=拈 1的定义域为.【答案】S 0【解析】【分析】根据具体函数的定义域求法，结合指数函数的单调性求解.【详解】解：由 出-10,所以x 4 0,所以函数的定义域为(-8,0,故答案为：(y,0【方法技巧与总结】对求函数定义域问题的思路是：(1)先列出使式子“X)有意义的不等式或不等式组；(2)解不等式组；(3)将解集写成集合或区间的形式.题型四：抽象函数定义域例14.(20 22.北京.高三专题练习)已知函数y=/(x)的定义域为(0,

17、1),则函数F(x)=/(|2 l|)的定义域为()A.(-8,1)B.(-o),()50，l)C.(0,+8)D.0,1)【答案】B【解析】【分析】抽象函数的定义域求解，要注意两点，一是定义域是x 的取值范围；二是同一对应法则下，取值范围一致.【详解】.f-1 -1 0 即023322 x1 x 23解 得:1,x 2；所以原函数的定义域是：|,2，故选：B.【点睛】本题考查学生掌握复合函数的定义域，考查了对数不等式的解法，属于基础题.例 19.（2 0 2 2 全国高三专题练习）已知函数“X）是定义在 2,）的单调递增函数，若/（2/5。+4）/（/+4）,则实数。的取值范围是（）.B.2

18、,6）D.（0,6）A.-o,-J U（2,+）c.o,l u 2,6）【答案】C【解析】a 22ae R0a62 a 2-5 a +4 2 2根据函数的定义域以及单调性可 得 俨+。+4 2 2 ,解不等式组即可.2a2-5a+4a2+a+4【详解】因为函数/（力是定义在 2,+8）的单调递增函数，且f（2/5 a+4）2所以/+。+4 2 2 n2 a 2-5a+4a2+。+4解得 0 a V g 或 2 4 a 6 .故选：C.例 20.（2 0 2 2全国高三专题练习）求下列函数的定义域：（1）已知函数f（x）的定义域为-2,2 ,求函数y =的定义域.已知函数y =/（2 x+4）的

19、定义域为 0,1 ,求 函 数 的 定 义 域.（3）已 知 函 数 的 定 义 域 为 1,2 ,求函数y =/（x+l）-f（x 2-l）的定义域.【答案】-6,6 ；（2）4,6 ；-百,1 .【解析】【分析】抽象函数定义域求解，需注意两点：定义域是函数解析式中自变量“X”的范围；对于同一个对应关系T,，了 后括号里面式子整体范围相同.y =.f(x2-l)中一一1的范围和“X)中x范围相同，“6中x范围是-2,2 ：“X)中X的范围和y =2 x+4)中2 x+4范围相同，y=f(2x+4)中x范围是 0,1；y =.f(x+1)-1)中x+I与f 一 1均与/(x)中x范围相同，x)

20、中x的范围是 T,2 .(1)令一一1、2 得一人/夕,H P 0 x2 3,从而一后 函数y =1)的定义域为 一(2).y =/(2 x+4)的定义域为 0,1 ,即在 y =/(2 x+4)中x e 0,l ,令尸2升4,xG 0,l ,则 f d 4,6 ,即在/(/)中，r e 4,6 ,的定义域为 4,6 .(3)由题得匕“_1 4 2 .一6 8；函数y =/(x+i)f，-i)的定义域为 _ 百,小【方法技巧与总结】1.抽象函数的定义域求法：此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若 人力的定义域为(4,力，求 g(x)中a g(x)0恒成立，且满足In（2?+l+a）h 0

21、 n 2?+,+a w 1,2,%w l-a .解出。得范围，二者取交集即可.【详解】因为2，=+4 2 2+4，/（X）的定义域为R,所以首先满足2+a 0恒成立，2,再者满足ln（2，0=2?+,+a 丰 I,变形得到*5 a,.2*e 2,+oo）/.l-a -,最终得到a-1.故选：B.例 22.（2022全国高三专题练习）已 知 函 数 力=+?的定义域为R,则机的取值范围 是（）A.-1m 2 B.-m 2 C.-m 2 D.-m 0A=（？+1）2 3（根 +1）W 0解得：综上：w i F 1,2,故选：C.（多选题）例 23.（2022全国高三专题练习）（多选）若函数y=在区

22、间-2,-1 上有意义，则实数。可能的取值是（）A.-1 B.1 C.3 D.5【答案】AB【解析】【分析】该题可等价于三+1 *0 在区间-2,-1 上恒成立，分离参数即可求得.【详解】函数y =+l 石上有意义,等价于 +1 2 0 在区间卜2,-1 上恒成立，由x 0 在R上恒成立，则对。进行分类讨论，确定满足条件的a的范围.【详解】由题意可 得 加+公+1 0 在 R 上恒成立.当a =0 时，则1 0 恒成立,.,.4=0 符合题意;当a w O 时,则a 0a2-4 a 0解得0 a 4.综上可得0 4 a 0不等式a +f e v+o O 的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a

23、=0时，=0,c 0；当a w O 时.，/八；A 0不等式2+版+0 0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a=0 时，Q O,c ()；当“H O 时，A 0 恒成立，利用构造函数法结合图象求出不等式恒成立时的取值范围.【详解】解：函数/(x)lg(J d +1 +八)的定义域为R，/.而，1+以 0恒成立，7+1 -以恒成立，设)=GTi，X G R，)，2-x2=l,y.它表示焦点在y轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为丫=;令y=-o r,x G R；它表示过原点的直线;由题意知，直线y=-o r的 图 象 应 在 的 下 方，画出图形如图所示;/.0 -1 或-10-4(2 x+l

24、)=4 a r2+(4 a +2 匕)x+(a+b),因为/(2 x+l)-/(x)=x 2+3 x+2 ,所以3 a x2+(4 a+b)x+(a+)=x 2+3 x+2,a=-b=-/(x)=-x2+-x所以3 a =l,4a+b=3,a+h=2,所以 3,3 ,所以 3 3 .2.换元法或配凑法(适用于了/g(x)型)例29.(2 02 2.陕西西安高三阶段练习(文)已知了(+1)=1/，则/(x)=()A.l n(x+l)2 B.2 1 n(x+l)C.2 1 n|x-l|D.l n(x2-1)【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用换无法求出/(x)即可作答.【详解】因/(x+l

25、)=k u 2,则设x+l=f,有x =r l,而X HO,则有 工1,于是得 f)=l n(f-l)2=2 1 n|f-l|,所以/。)=2 1 1 1|了-1|,户 1,故选：C例30.(2 02 2 全国高三专题练 习)已 知 函 数 詈 卜 舟，则“X)的解析 式 为()0 VO V*A.B,/(同=一五了(工-1)C.x)=7 7(x w-l)D,/()=-1A-(x*-l)【答案】A【解析】【分析】令=*则”=旨代 入 已 知 解 析 式 可 得 的 表 达 式 再 将 f 换成X 即可求解【详解】令 t=-,则 X=-,1 4-X 1 4-f所以 f(X)=X-1),故选：A.例

26、 3 1.(2 02 2.全国高三专题练习)已知函数 X)满足 c osx-l)=c o s 2 x T,则 x)的解析式为()A.f(x)=2 x2+4 x(-2 x 0)B.f(x)=2x2+4 x(x e 7?)C./(x)=2 x-l(-2 x 2)【解析】【分析】令 五+2=f,贝 卜2 2,且x=(f-2)2,将已知条件转化为关于f的表达式，再将f换成x 即可求解.【详解】令4+2=r,贝!r2 2,且x=(r-2)-,所以/(r)=(r-2)2+4(r-2)+5=?+l,(r2)所以 X)=X2+1(X22),故答案为：/(X)=X2+1(X2).例 33.(2022全国高三专题

27、练习)已知/(x =则函数y(x)=,/(3)=【答案】f +2 11【解析】【分析】利用换元法可求出/(x),进 一 步可得/(3).【详解】令x-=f,则i+3 =(x,y+2=/+2,X X X所以/)=产+2,所以/(幻=1 +2,所以-(3)=32+2=11.故答案为：x2+2；11.例 34.(2022全国高三专题练 习)已知/(|x-l|)=f -2X+3,则/(3)=()A.6 B.3 C.11 D.10【答案】C【解析】利用拼凑法求出/(X)解析式，即可得出所求.【详解】,.,/(|x-l|)=x2-2x+3=(x-l)2+2=|x-l|2+2,/(x)=x2+2,.-./(

28、3)=32+2=11.故选：C.例 35.(2022全国高三专题练习)已知/(f)=1 嗅 ，则 8)=()1-61A.2-1-B.41-D.8【答案】A【解析】先利用换元法求函数解析式，再代入自变量计算函数值即可.【详 解】由题设可知：/(x6)=l og2x,令 f 0,则 x =J,则/(f)=1 0g 2 R=o g y ,1 3 1故/(8)=7 l og,8 =二=二.6 6 2故选：A.3.方程组法例3 6.(2 02 2全国 高 三专题练 习)已知函数/(x)的定义域为R,J i/(x)+2/(-x)=x2-x,则 X)=().x2+2x _ 2x2 2x2+2x x2A.-B

29、.+x C.-D.+x3 3 3 3【答 案】D【解 析】【分 析】令x 为-x,则/(-x)+2/(x)=x 2+x,然 后 与./。)+2/(-力=/-丁联立可求出了。)【详 解】令x 为-x,I)1|J/(-X)+2/U)=A2+X,4，(X)+2/(-X)=x 2-X 联立可解得，/(x)=y+X.故选：D.例3 7.(2 02 2全国高三专题练 习)设 函 数/(X)对X H 0的一切 实 数 均 有 )+2/三 生 =3，则/(2 01 8)等于A.2 01 6 B.-2 01 6 C.-2 01 7 D.2 01 7【答 案】B【解 析】【分 析】将x换 成 干 再 构 造 一

30、个 等 式,然 后 消 去 呼)，得 到“幻的 解 析 式,最后可求得了(2 0I 8).【详 解】v/W+2/()=3 x X,2 01 8、3 x 2 01 8)+2/W =-XX一 x 2 得-3/(x)=3x-3 x 2 x 2 01 8x/.f(x)=-x +2x2018./(20 18)=20 18 +2=-20 16 故选：B.【点睛】本题考查求解析式的一种特殊方法：方程组法.如已知4(X)+/(!)=g(x)，求/(x),则由已知得Xaf(-)+bf(x)=g(-),把 f(x)和 f d)作为未知数，列出方程组可解出J(x).如已知4(x)+/(-幻=g(x)X X X也可以

31、用这种方法求解析式.例 38.(20 22全国高三专题练习)若函数/(x),g(x)满足“X)-2/|=2X-1,且/(x)+g(x)=x+6,则/+g(-D=【答案】9【解析】根据方程组法求解函数/(x)的解析式，代入求出/，/(-I),再利用/(-1)代入求出g(-D.【详解】由幻-2/仁 =2,，可 知 氏 L)-2 f(x)=2-4 x,联立可得/(X)=2X,所以1)=2,/(-1)=-2 又x)X X X因为/(_ l)+g(T)=T +6=5,所以 g(_l)=5+2=7,所以 f(l)+g(_l)=9.故答案为：9例39.(20 22全国高三专题练习)已知3/(X)+5/|=：

32、+1,则函数/(x)的解析式为.【答案】/()=二4+5+I(OA O O【解析】以:代 替 X得出3 f(/)+5f(x)=2 x+l,与已知等式联立，解出函数7 W的解析式.【详解】V 3/(x)+5/=|+l,3/(-)+5/(x)=2x+l,(2)x3-x 5,得：-16/()=-O x-2,X 3 5 1v 7 8 x 8 8a s 1故答案为：/(x)=oX o o4.求分段函数的解析式x,-x0例 40.(2 0 2 2全国高三专题练习)设函数/)=1 4。八 ，若函数y=/(x)-2 r 在区间(-1,1)内有且仅有两个零点，则实数r 的取值范围是()A.卜 g,+8)B.(,

33、0)C.-J,。D.总。)【答案】C【解析】【分析】先求出分段函数在(T，I)上得解析式，进而根据解析式做出函数图象，由于函数y=/(x)-力 在区间(-11)内有且仅有两个零点等价于函数/(X)的图象与直线y=2 t 在区间(-U)内有且仅有两个公共点，数形结合即可求出结果.【详解】x,-l x 0故 f(x)=1 .-+1,0X1若0 x l,则一所以 x)=/(：_】+故选：c.例 41.(2 0 2 2 浙江高三专题练习)已知函数/(幻=；,则/(/(x)=_,的最大值-2,x-l 时，/W=-l,则/(/(x)=T)=-2,当x V-I 时，/。)=一 2,则/(/(切=/(-2)=

34、-2,综上：/(/(x)=-2；当转。时，焉=亍*，,Ixl -X 八当一 1 vxvO 时，=r =x 0,f(x)-1x-x X ,1当1 时，7=?-2综上：篇 的 最大值是。;故答案为：20例 4 2.(2 0 2 2 全国高三专题练习)函数1%)=一/+4 工一1在区间上，f+l (t C R)上的最大值为g .求 g 的解析式；【解析】7(A)x2+4 x-1 =一(%2/+3.当f+1 4 2,即Y1 时，段)在区间U，r+1 上为增函数,；.g =_/(f+l)=理+2 t+2；当r 2 r+l,即 1 /2 时，g(f)=W 2)=3；当时，/(X)在 区 间 修，+1 上为

35、减函数，g(f)=/(f)=一产+由一1.综上所述，g(r)=,-t2+2t+2,tl,3,1 Z 2,-/+4-1/2 2,5.抽象函数解析式例 4 3.(2 0 2 2.全国高三专题练习)对任意实数x,九都有/(+)-2/()，)=/+2孙一丁+3 苫-3,求函数/(x)的解析式.【答案】/(x)=1+3 x【解析】【分析】方法一：赋值x=y=O,得到/(0)=0,再赋值y=o,得到/(x)解析式；方法二：赋值x=0,得到f(y)的解析式，再令y=x，即可得到了(切解析式【详解】方法一：.(工+月一2/6)=X 2+2个 一+3彳-3丫对任意实数。都成立,;.令尢=了=0,得/(0)=0.

36、再令y=o,得 6-2 0)=/+3不.力=炉+3%方法二：在已知式子中，令x=0.得/(2/3=-/-3,-/(y)=-r-3 y,-f(y)=y2+y,令 尸 得了(x)=d+3 x【点睛】本题考查赋值法求函数解析式，如何赚值要根据题目特征来确定，由赚值法求出解析式后，应注意函数的定义域例4 4.(2 0 2 2河南高三阶段练习(文)已知函数f(x)是定义在(0,+8)上的增函数，且力+)=1，I 则/。)=()24A.B.-C.2 D.33 3【答案】B【解析】【分析】令/.(x)+?=t,根据给定条件可得r为常数，再由/、/列 式计算作答.【详解】令/(x)+?=f，即有f)=l,因函

37、数x)是定义在(0,+8)1二的增函数，则f为常数，因此f(x)=，+f,从而 ，t，解得a =f =2,于是得f(x)=，+2,显然函数x)在*1)=_。+/=0”(0,转)上递增，7 4所以/(3)=-+2 =.故选：B例 45.(20 22安徽芜湖一中 三 模(理)已知函数f(x)在x e R 上满足/(2+X)=2/(2T)X2+6X,则曲线 y=/(x)在点(2,/(2)处的切线方程是()A.2 x-y-6 =0 B.6 x-y-4 =0C.2 x-y-4 =0 D.2x+y-4-0【答案】C【解析】【分析】山/(2+)=2”2-刈 一/+6尢可得函数/(1)的解析式，进而利用导数求

38、其在点(2,2处的切线方程即可.【详解】:函 数/(x)在 R上满足 2+x)=22 x)f+6 x,用-x 替换x 得：f(2-x)=2/(2+x)-(-x)2+6(-x)=2/(2+x)-x2-6x,/(2+x)=22/(2+x)-x2-6x-x2+6x：.f(2 +x)=x2+2x令f=2+x,则x=f-2,A f(t)=(t-2)2+2(t-2)=t2-2 t,即/(x)=x2-2x：.fx)=2x-2,.-./(2)=0,尸(2)=2曲线y=/(x)在点(2 J(2)处的切线方程是：y-0 =2(x-2),即2 x-y-4 =0.故选：c.例 46.(20 22全国高三专题练习(文)

39、定义在R上的函数/单调递增，且对VX ER,有/(/(X)-2*)=3,贝 Ijf(log4 3)=.【答案】7 3+1【解析】【分析】根据题意求解出函数的解析式，进而求解出函数值.【详解】根据题意,对V x e A,有-2,)=3又/(x)是定义在K 上的单调增函数.R上存在常数a 使得/(a)=3：.f x =2x+a,fci)=T +a=3,解得 a=l./(X)=2+l./(lo g43)=2略3 +1 =6 +1 故答案为:6 +1.例 47.(20 22全国高三专题练习)已知定义在(0,+8)上的单调函数 x),若对任意xe(O，+8)都有f/(x)+l o g,x =3,则方程

40、x)=2+6 的解集为.2 7【答案】4,16 .【解析】【分析】由题可求“*)=2-地 产，再利用数形结合即求.2【详解】(.定义在(0，+8)上的单调函数/(X),对任意x e(O,+8)都有/(x)+l og|x =3,V2)令 x)+l o g/=c,则 c)=3,2在上式中令X =c,则”c)+l o g,c =c，l o g,c =c-3；解得c =2,2 2故 x)=2-l o g 产,2由 f(x)=2+G 得，2 l o g j =2 +6 即=,2在同一坐标系中作出函数y =l o g2和 y =石 的图像，可知这两个图像有2 个交点，即(4,2)和(16,4),则方程 x

41、)=2 +五 的解集为 4,16 .故答案为：4,16 .例 4 8.(2 02 2 全国高三专题练习)已知“力在(0,+o o)上是减函数，且“力+/(=/(切+1对任意的x 6(0,+)都成立，写出一个满足以上特征的函数/(%)=，【答案】l-l o g N 答 案 不 唯 )【解析】【分析】由/(x)+/(y)变形到孙)可考虑对数函数，然后根据单调性以及“1”可考虑构造对数型函数y=l-logax(0a 0及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域.(2)配方法：对于形如丫 =办2+以+c(a xo)的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数

42、的定义城求出函数的值域.(3)图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型.(4)基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等.(5)换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形y =a x +6 +Ud的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数.(6)分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析.(7)判别式法：把函数解析式化为关于x的一元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如y =A r +8,Ja r，+6 x +c 或 y =维 也 的 函 数 值 域 问 题 可 运 用 判 别 式 法(注 意 x的取值范围 dx+e

43、x+f必须为实数集R).(8)单 调 性 法：先 确 定 函 数 在 定 义 域(或 它 的 子 集)内 的 单 调 性，再求出值域.对于形如y =Ja x +】+Jcx +d或 y =a x +Jcx +d的函数，当 a c 0 时可利用单调性法.(9)有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.因为常出现反解出y的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法.(1 0)导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大(小)值，从而求出函数的值域.1.观察法例50.(2 0 2 2 全国高三专题练 习)函 数 y =的值域是()A.(-oo,-l)B.(+l,+oo)C.D

44、.【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合一二40,即可求解.【详解】因为一1*0,所以一tn t，故函数丫=一1-1的值域 y i y w-i .故选：C.例51.(2 0 2 2全国高三专题练习)下列函数中，值域为(0,+8)的 是()2A.y=x2 B.y=-C.y=2x D.y =|log2【答案】C【解析】由题意利用基本初等函数的值域，得出结论.【详解】解：.函数y =d的值域为 0,内)，故排除A；二函数y =42的值域为 y ly 中。,故排除8：X-函数y =2 的值域为(0,+8),故C满足条件;函数y=|log 2 x|的值域为 0,+),故排除),故选：C.例52.(2

45、0 2 2 浙江高三专题练 习)下列函数中，函数值域为(0,+8)的 是()A.y =(x+l)2,x w(0,+oo)B.y =log,x,x e(1,+co)C.y=2 x 1 D.y=j2xl【答案】B【解析】对于选项A,函数值域为a,),所以选项A错误；对于选项3,函数的值域为(0,”)，所以选项8正确；对于选项C,函 数 的 值 域 为,所以选项C错误；对于选项。，函数的值域为 0,+8),所以选项 错误.【详解】对于选项A ,函数丫 =(+1)2,(0,+0 0)的值域为(1,y 0),所以选项A错误；对于选项B,函数y =log 2 X log 2 1=0,所以函数的值域为(0,

46、*),所以选项8正确；对于选项C,函数y =2 x-1 的 值 域 为 所 以 选 项 C错误；对于选项。，函数y =二I 的值域为。,+8),所以选项。错误.故选：B2.配方法例53.(2 0 2 2.全国高三专题练 习)函数的y =J 金 _ 6 x 5 值 域 为()A.0,-K)B.0,2 C.2,-K O)D.(2,-K O)【答案】B【解析】【分析】令=-9-6*-5,则N O,再根据二次函数的性质求出”的最大值，进而可得的范围，再计算y =4的范围即可求解.【详解】令 =-/-6%-5,则且y =4又因为 =-/-6 x-5 =-(x+3)2 +4 4 4 ,所以 0 4 4 4

47、,所以 y =&w 0,2 ,即函数的y =7-X2-6X-5 值域为 0,2 ,故选：B.例5 4.(2 0 2 2全国高三专题练习)函数y =x)的图象是如图所示的折线段。钻，其中A(l,2),8(3,0),函数g(x)=x.f(x),那么函数g(x)的值域为()【答案】B 0,2 B.D.0,4【解析】【分 析】根据图象可得x)的解析式，进而可得g(x)的解析式，再利用二次函数的性质分别求分段函数各段的值域，再求并集即可求解.【详解】由题图可知，3=咨=2,所以直线。4的方程是y =2 x,1 0n _ o因 为 原-=-1，所以直线A8的方程为y =-(x-3)=-x+3,3 1所以f

48、(x)=2 x,0 x l-x +3,l x 3所以 g(x)=x-/(x)=2X2,0X1-x1+3 x,1 x 3 当0*X1时-，g(x)=2f在 0,1 上单调递增，此时函数g(x)的值域为 0,2 ；当1X43时,3g(X)=-X24-3 A：=-XI +r所以当X 时，函数g(x)取得最大 值 会 当x=3时，函数g(x)取得最小值0,9此时函数g(x)的值域为0，9综上可知，函数g(x)的值域为0q故选：B.例5 5.(2 0 2 2全国高三专题练习)已知正实数。，h,c满足2+。=1,必c +l =2c,贝卜的最大值为)【答案】C【解析】【分析】由2 +6 =1,可得6 =1-

49、2 a,结合“，匕是正实数可得。的范围，将8=1-%代入必c +l =2 c ,分离c,再利用二次函数的性质即可求解.【详解】因为2 7 +/?=1,所以6 =1 因为人=1 -2 a （）可得:1-21 1所以a c(l-2 a)+l =2 c,B P C_ 2a2-a+2 ，”斜+因为2(4-工 +竺 2 竺，当 时取得最小值I 4 J 8 8 4 8Q所以C 的最大值 为 与故选：C.3.图像法（数形结合）例 5 6.（2 0 2 2全国高三专题练习）函数y =/-4 x+l,x e 0,4 的值域是（）A.1,6 B.-3,1 C.-3,6 D.-3,伊）【答案】B【解析】根据题意，画

50、出二次函数的图象，数形结合求值域.【详解】因为y =/-4 x +1,故作出其函数图象如下所示：故其值域为卜3,1 .故选：B.【点睛】本题考查二次函数在区间上的值域，数形结合即可求解.si n x-1例5 7.(2 0 2 2全国高三专题练习(理)函数，(x)=/-5 4 0,2万)的最小值是()/3-2 c osx-2 si n xA.-B.-1 C.-J2 D._乖)2【答案】B【解析】【分析】对f(x)变形，得到 _ 一“2,当si n x w l时，利用g(x)=1吐的几何意义求解其取值范围,/./1 +(-；)1 -si n xV 1-si n x进而得到-L J(x)0,当si