2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-22年真题)专题19三角函数图象与性质.pdf

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1、专题1 9 三角函数图象与性质【考点预测】知识点一：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图jr *7T在正弦函数y=s i n x,x e 0,2 i 的图象中，五个关键点是：(0,0),1),U,0),(,-1),(2 ,0).22(2)在 余 弦 函 数 尸 叫*。,加的图象中,五个关键点是：(。,1)，年。)，3，-1)，鸟，。)心,1).知识点二：正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 e Z)函数y=s i n xy =co s xy=t a n x图象聿xL一 泮浮定义域RRTC x X E R,K 7T+值域-1，1 1-1，1 R周期性2%2 471奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区

2、间 2 -,2 4-2 2一%+2k jv,2k/r.7T.7T(K 7T,K 7V +)2 2递减区间.7T _.3冗.2k 7r +,+|2 22k 7v,7t +2k/r 无对称中心*7T,0)71(k jt 4-,0)咛,。)对称轴方程,冗X =K 7T+2x =k兀无注：正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是工；正(余)弦曲线相邻两个对称中心的距离是二;2 2正(余)弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离4知识点三：y=A s i n(w%+)与 y=ACOS(H X+9)(A 0,w 0)的图像与性质2 7r(1)最小正周期：.w(2)定义域与值域：y =+(p),y=ACOSGEX

3、+0)的定义域为R,值域为-A 4.(3)最值假设A0,w Q.对于 y=A s i n(v v%+e),当 松+夕=工+2%乃(&e Z)时，函 数 取 得 最 大 值1;2对于 y=A c o s(w%+),当wx+Q =-三+2 br(Z e Z)时，函 数 取 得 最 小 值A;当.+=2而(壮Z)时，函 数 取 得 最 大 他；对称轴与对称中心.当 何+夕=2%乃+(左2)时，函 数 取 得 最 小 值-4;外利nJ仲十假设A 0,w0.对于 y=A s i n(v t a +),7F当 馆。+=k兀 +G Z),BJ s i n(Ma0+夕)=1时，丁 =5亩(卬*+0)的对称轴为

4、x与对于y=ACOS(WX +Q),当皿+夕=k i(k G Z),BP s i n(v v x0+=0口 寸，y=s i n(wx+e)的对称中心为(工0,0).当松。+夕=k兀(k G Z),即c o s(wX o +)=1时，y=c o s(v v x+夕)的对称轴为r =X o0,w0.对于 y=A s i n(wx+)，松 十 +2k i,+(A E Z)n 增 区 间；2对于 y=A c o s(wx+),wx+夕 w 三+2%肛/+2 Q r (Z e Z)n减 区 间2 2wx+9 -7T+2k 7r,2k兀(k e Z)n 增 区 间；松+夕 2女 ,2女 +加/e Z)=减

5、 区 间(6)平移与伸缩由函数y=s i n x的图像变换为函数7Ty=2 s i n(2 x+)+3的图像的步骤;7T7T方法一：(x-x+f 2 x+1).先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负“(相一期一 幅)三 角函数图像，使之变形.,皿皿“向左平移1个单位 n_ 所有点的横坐标变为原来的工y=s i n x的 图 像-y=s i n(x+的 图 像-纵坐标木变-Jy=s i n(2 x+的图像 甲包糜幽绝_ y=2 s i n(2 x+0)的图像 画上平整个谀y=2 s i n(2 x+1 9+3方法二：(x-x+|-2 x+9.先周期变换，后相位变换，再

6、振幅变换.y=s i.n x的1 Vtm图/缶像-所-有-点-的丽横坐标布变为殖原来一的4j y=s,i n c2 1V的，防图1上像-向-左-平-移-!-个-单-位-)，=s i n 2(x +?)=s i n(2x +9的图像 所 有 点 的 嘴 翳 音 来 的?倍、=25亩(2+)的 图 像 一 _、=2$山(2%+()+3注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩(先相位后周期，即“想欺负”)，但先伸缩后平移(先周期后相位)在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量x而言的，即图像变换要看“变量尸 发生多大变化，而不是“角w v +e”变化多少.【方法技巧

7、与总结】关于三角函数对称的几个重要结论；n(1)函数y=s i n x的对称轴为x =Z乃+,(Z Z),对称中心为(%.0)(Z)；7 7(2)函数y=c o s x的对称轴为 =攵%(左Z),对称中心为(k r +万,0)(%Z)；k冗(3)函数y=t a n x函数无对称轴，对称中心为(当,()(&G Z)；7T(4)求函数y=As i n(v u x +e)+Z?(v v w O)的对称轴的方法；令.+9=万+人 (&w Z),得7TM 一3卜/一 x =2-(ZEZ)；对称中心的求取方法；令w x +(p=k 7i(k eZ),得 工=-上，即对称中心为WW(,b).(5)求函数 y

8、=Ac o s(皿r +0)+(w W 0)的对称轴的方法；令 v v x +0=k r(Z Z)得w71,7t l-V K K-(p -+k7V-(px=2-,即对称中心为(2-M(k e Z)w w【题型归纳目录】题型一：五点作图法题型二：函数的奇偶性题型三：函数的周期性题型四：函数的单调性题型五：函数的对称性(对称轴、对称中心)题型六：函数的定义域、值 域(最 值)题型七：三角函数性质的综合题型八：根据条件确定解析式方向一：“知图求式”，即已知三角形函数的部分图像，求函数解析式.方向二：知性质(如奇偶性、单调性、对称性、最值)，求解函数解析式(即A,叫夕的值的确定)题型九：三角函数图像变

9、换【典例例题】题型一：五点作图法例 1.(2022全国模拟预测)己知函数/(x)=2s i n(5+s),o 0,|同45.若/(不)=2,/仇)=0,且打-目的最小值为(，0)=1，求解下列问题.(1)化简/(x)的表达式并求f(x)的单调递增区间；7 TE(2)请完善表格并利用五点作图法绘制该函数在一个周期内的图象，并求/(X)在 区 间 0,上的最值.X =CDX +(pX小)【答案】(l)x)=2sin 2x+J,单调递增区间为-1 +7+k n(Z e Z)；(2)完善表格见解析；图象见解析；最大值为2,最小值为【解析】【分析】(1)利用最大值点和零点可确定最小正周期，由 此 可 求

10、 得 利 用/(0)=1可求得。，由此可得f(x)解析式：令-畀 2吐 口+色 2 版(丘Z)即可求得单调递增区间；令X =2 x+.,利用五点作图法即可完善表格并得到图象，结合图象可求得最值.(1)若 4)=2,/(x2)=0,即4 是/(x)的最大值点，巧是的零点，且归-*2|的最小值为%设/(力 的最小正周期为T,则m =工，即7 =生=，解得：3 =2.4 4 C D由 0)=1 可得：/(O)=2sin =l,即有sin =g,：.(/)=+2k 7r +2k 7r(k e Z),又冏 生，；.(p=y6 6 2 6综上所述：/(x)=2sin(2x+)；令一 楙 +2后%K2%+看

11、+2左 乃(G Z),解得：-?+攵+W x 看+Z),r r j r.J(x)的单调递增区间为 +y+k 兀(k e Z).(2)T T根据“五点作图法”的要求先完成及格：令 X =2x+7.X=cox+(p0冗77 13乃22万X7 T n兀654122万T1 1T2020-20 x=,时，X)取到最小值一Gj r例 2.(2022全国高三专题练习洸函数/(x)=2sin x的图象向左平移以0 g(x).(1)求函数=力(幻的最小正周期和单调增区间；TT 7T(2)画出函数y i(x)在区间 一宗少上的大致图象【答案】(1)7 =兀，单调增区间是1-m+E,g +E H e Z).(2)图

12、见解析6 3【解析】【分析】(1)根据三角函数图象的平移变换法则以及正弦函数的对称性确定y =g(x)的解析式，从而可得人(x)的解析式，利用降暴公式与辅助角公式化简，然后利用正弦函数的周期公式结合正弦函数的单调性即可得结果;(2)利用“五点法”：列表、描点、连线，从而可得结果.【详解】(1)由题意知 g(x)=2sin(x+e),7 T根据函数y =g )的图象关于直线x=?对称，O得 2+e =2+G Z),兀即(p=+n t n(f n G Z),又 0 夕5，所以 9 则 g(x)=2sin(%+1),贝lj h(x)=f(x)(x)=4sin x-sin(x+=4sin x(-sin

13、 x+cosx)=2sin2 x+2/3sin xcosx=1 -cos2x+A/3 sin 2x =2sin(2x-)+1,6则函数y =久%)的最小正周期丁=兀，令-+2k i t 2 x-+2k jt(k G Z),-+k i t x +k jt(k G Z),2 6 2 6 3故函数y =(x)的单调增区间是-J +如伏e Z).6 3(2)列表如下：X7 15兀nnTt兀21261232c 兀2.x 6l i t 6-7 C兀 20兀25兀 6sin(2x-)20-1012h(x)21-11327T 7T故y =%。）在 区 间 上 的 大 致 图 象 是:宣2-号口TT三6一一一一

14、一|4二|4-|，二-1二-2一=3三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实.三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解例3.（2 0 2 2广东佛山市顺德区乐从中学高一期中）设函数x）=co s（s+e）的最小正周期为万，且 _/（：）=亭 求0和夕的值；

15、（2）填下表并在给定坐标系中作出函数A x）在 0,句上的图象；（OX+q）y/kXf(x)-i-;1：O +1)：+cosx-sin;在 区 间“上的最大值为M最小值X+C OS X+1为 N 则 M +N=.【答案】2【解析】【分析】化简/(x)=Q+1尸sx-sin x，可得f(x)=1+产-叫，令g(=广，可得g(%)奇函数，结合已X +C OS X +1 r+C OS X+1 X +C OS X +1知条件，即可求得答案.【详解】/w =(x +1)2 4-co s x-s i nxX2+C OS X+1_ x2+2 x 4-1 +co s x -s i n xX2+C OS X 4

16、-1.2 x-s i nx=1 +-X+C OS X+1令 g(x)=2 x-s i nxx2+C OS X+1/、-2 x+s i nx /、口 r i i ig(-x)=-.;=-g(x)+C OS X+1 g(x)为奇函数，设其最大值为则其最小值为-4,，函数/的最大值为。+1,最小值为-a+1M +N =2.故答案为：2.【点睛】本;题考查了求函数在指定区间上最值问题，解题关键是掌诱导公式和奇偶性的判断方法，考查了分析能力和计算能力,属于中等题.例 5.(2 0 2 2 北京市十一学校高三阶段练习)若/(x)=2 s i n(x+0)-s i nx 为偶函数，则9=.(填写符合要求的一

17、个值)7T TT【答案】p填写符合9=2 b r q,&e Z 的一个即可【解析】【分析】把/)展开化简，只要能化成Ac o s x的形式即为偶函数.【详解】/(x)=2 s i n(x+s)-s i n x=2 s i n xc o s e +2 c o s xs i n s-s i n x=2 s i n c o s x+(2 c o s -l)s i n x,只要2 c o s 9一 1 =0,/(x)就为偶函数，c o s 夕=g,TT T T(p =2 k 7 T ,k GZ,填写一个即可,如丁TTTT故答案为：y，填写符合e =2 b r,Ae Z 的一个即可.例 6.(2 02

18、2 四川德阳三模(理)将函数y =g s i n x-c o s x(xe R)的图象向左平移皿，0)个单位长度后,所得到的图象对应函数为奇函数，则机的最小值是.【答案】76【解析】【分析】7T TT由题可得函数y=2sin(x+m-)为奇函数，进而可得根-7 =b r,%Z,即得.6 6【详解】山/(x)=V3sinx-cosx=2 sin(x-),向左平移加(6 0)个单位,得到y=2sin(x+?一马的图象,6 6TT7T函数 y=2sin(x+m-7)为奇函数，/.2sin(w)=06 6TT 7T所以加-=匕1、Z wZ,即相=一+k i,k e Z ,6 6所以2的最小值是6故答案

19、为：例 7.(2022贵州贵阳高三期末(文)将函数 x)=2sin(2x+的图像向右平移夕个单位，所得函数图象关于丁轴对称，则 正 数 夕 的 最 小 值 为.【答案】金5 吟54【解析】【分析】求出火x)平移后的解析式，根据它是偶函数可求。的值.【详解】将函数 x)=2sin(2x+T的图像向右平移0 个单位变为f(x-e)=2sin 2(x-0)+?=2sin(2 x+1-2 s|要使其为偶函数，则(-2 e =1 4 2 k +l)e Z,则 夕=卡-笥 入 2,”0,.当仁-1时，S 喑为其最小值.故答案为：.7T例 8.(2022上海模拟预测)已知函数/(x)=asinx-bcosx

20、(4、b 为 常 数/?)在 工=二 处 取 得 最4小值，则 函 数/(37邛r-幻 是()43兀A.偶函数，且图象关于点(兀,0)对称 B.偶函数，且图象关于点(手,0)对称C.奇函数，且图象关于点(专,0)对称 D.奇函数，且图象关于点(兀,0)对称【答案】D【解析】【分析】由题意先求出f M 的最简形式，再根据三角函数性质对选项逐一判断【详解】f(x)=a sin x-bcos x=a2+b2 sin(x+(p),若/(幻在 了二1 处取得最小值,则sin(&+e)=-l,=+2ZX,Z;GZ,/(X)=Ja2+b2 sin(x+),4 4 4f (-x)=y/a2+h2 sin(-x

21、+)=yja2+b2 sin(-x),4 4 4可.得函数/(冲-幻是奇函数，且图象关于点(兀，。)对称.4故选：D例9.(2022安徽淮南二模(理)对任意的x e R,函数/满足/(x)+/(-x)=4.若函数g(x)=/(X)+驾工 在区间-2022,2022上既有最大值又有最小值，则函数g(x)的最大值与最小值之和为sin x+1()A.0 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】【分析】结合函数的奇偶性求得正确答案.【详解】依题意对任意的x e R,函数/(x)满足/(%)+/(-%)=4,/(x)-2+/(-x)-2 =0,所以函数尸(x)=x)-2为奇函数，g(x)=fx)+sin

22、xsin2 x+令 G(x)=g(x)_2=/(x)_2+y =F(x)+CL L-1/6 八 sin2x+l、7 sin2x+lG(-x)=F(-x)+-=-F(x)+-=-G(x),)v sin2x+l sin2x+l (XGR),所以G(x)为奇函数，所以G(x)区间-2022,2022上的最大值与最小值之和为0,所以g(x)=G(x)+2,所以函数g(x)的最大值与最小值之和4.故选：C例10.(2022山西太原二模(理)已知函数x)=c o s x-2 c o s+则下列说法正确的是()A.y=为奇函数 B.=小-?)为 偶函数c.y=/(x+?)T为奇函数 D.y=f为偶函数【答案

23、】B【解析】【分析】根据余弦的二倍角公式以及辅角公式，可得 X)=&cos卜+?),在分别求出y 和y=/|/+?)T的解析式，根据三角函数的性质，即可求出结果.【详解】所以 f （x）=0 c o s（x+?J,所以/一彳）=血 cos卜一=C c o s x,所以y=f（x-?为偶函数，故 A 错误，B 正确；又 y=f 卜+?）-l=&c o s 卜+|-l =-0 s i1 1 r-l,所以函数y=/（x+?）-l 为非奇非偶函数函数，故 C、D 错误.故选：B.【方法技巧与总结 由 =5足工是奇函数和y=cosx是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：（1）若丁=Asin（x

24、+Q）为奇函数，则 =女乃（ZGZ）；7F（2）若 y=Asin（x+）为偶函数，则 夕=Z乃+万（攵w Z）；I T（3）若丁=Acos（x+0）为奇函数，则夕=左 十万（女 Z）；（4）若 y=Acos（x+0）为偶函数，则0=2%（攵 Z）；k冗若丁=Ata n（x+e）为奇函数，则e=5-（左e Z）,该函数不可能为偶函数.题型三：函数的周期性例 11.（2022北京八十中模拟预测）已知函数丫=411（5 +9）（0 0）与直线y=g 的交点中，距离最近的两点间距离为?，那 么 此 函 数 的 周 期 是.【答案】MIUGZ【解析】【分析】利用正弦型函数的性质确定两个距离最近且sin（

25、3x+e）=g 的两个角，求出0,进而求周期.【详解】根据正弦型函数的周期性，当sin（0 x+e）=g,贝 ij：若。X i+e=,最近的另一个值为0）,将函数/（x）的图象向右平移？个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则。的最小值为一.【解 答】解：函 数/（x）=ta n（yx3 0）,将 函 数/.的 图 象 向 右 平 移 六 个 单 位 长 度 后，得到g(x)=t a n(0）,若/巴）-/（七）|=2时，归-I 的最小值为彳，则（）TTA.函数f（x）的周期为2TTB.将函数/*）的图像向左平移一个单位，得到的函数为奇函数4C.当x e（g,f）,/（x）的值域为（也,1）6

26、 3 2D.函数f（x）在区间 一 n,切上的零点个数共有6个【答案】D【解 析】【分 析】由条件求出“X)的最小正周期，由 此 判 断A,根据正弦函数的图象及性质判断B,C,D.【详 解】由题 意，得 T =r e，所 以T =等2 7 r ，则0 =素2 7 r =3,所 以/(x)=s i n(3 x 4)选 项A不正确；TT 7T 1 T对 于 选 项B：将 函 数fM的图像向左平 移?个单位，得到的函数是 X)=s i n 3(x+-)-=c o s 3 x为偶函数,所 以 选 项B错 误；对 于 选 项C：当时x e(g,g),则 3x-手，所 以/(x)的值域为(立J,选 项C不

27、正确；对 于 选 项D：令f(x)=0 nx=+与,AeZ,所以当&=3,-2,1,0,1,2时，X G 肛 幻,所 以 函 数 3在区 间 -兀，兀 上 的零 点个数共有6个，D正 确，故选：D.例16.(2022安徽高三阶段练习(理)设 函 数f(x)=s i n(o x-s),6 1,其 中。0,|。|乃.若/孚=5 且f(x)的最小正周期大于2万，则(【答 案】D【解 析】【分 析】由题意求得，再由周期公式 求 得。，再 由/()=&可 得 工-夕=+2，结合|川%，求 得。值，即可48 12 2得解.【详 解】T 7T由f(x)的最小正周期大于2万，得又/年)=6/(-1)=0,得(

28、哼+红 牛,24 2T =3兀、则=3 1，即二二，co/(x)=G s i n(x-(p),由/()=A/3s i n(|x-)=7 5,得s i n(19 8)=l,o JO 12取=0,得9 =-勤-自 万,故选：D.例17.(2022.辽宁实验中学模拟预 测)函 数，(力=忖11目+|8$耳的最 小 正 周 期 和 最 小 值 分 别 为()【答案】c【解析】【分析】根据正余弦函数的性质及辅助角公式写出了(X)的分段形式，进而画出函数图象，即可知答案.应 s i n(x+),I k r t x 2k 兀+夜s i n(x-),2k 7r +x I k Tt +n【详解】由题设，/()=

29、-y/2s i n(x+),2k +7r x 2后 万 ),%w Z,所以/(x)的部分图象如下:Tt所 以 最 小 正 周 期 和 最 小 值 分 别 为1.故选：C例18.(2022山西临汾一模(文)将函数/(x)=2s i n(2x +9的图象上各点的横坐标缩短到原来的;，纵坐标不变，得到g(x)的图象，若g(/)=g&)+4,则g f I的 最 小 值 为()7 1e 冗 八 一7 1A.B.C.7 1 D.4 2 4【答案】A【解析】【分析】根据题意求出函数g(x),由g(%)=g(%)+4得到占，目分别是函数g(x)的最小值点和最大值点,进而求出答案.【详解】由已知，g(x)=2s

30、 i n(4x +y),而g(&)-g(x j =4,则为,电分别是函数g(x)的最小值点和最大值点，而函数的周期T =927 r =g7t ,则1内-1的最小值为T 0,X GR,又/(内)=2,/(x2)=0,3且|丹-七|的最小值为g兀，则0的 值 为()OA.-B.-C.4 D.3 3 3【答案】A【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数y=x)的解析式，由k-引 的最小值为函数y=x)的最小正周期 的;，可求得函数y=/(x)的最小正周期，进而可求得正数。的值.【详解】/(x)=/3sintyx-cos(yx=2sin(0 x-)(0),所以-2 4/(x)=2 s in 因为归-引

31、的 最小值为函数y=f(x)的最小正周期的，Q -jr 3 7 7 所以，函数y=/(x)的最小正周期为7=4 x 4 =9.o 2.24 2x2 4因此，o)=-.7 37r 3故选：A例20.(2022浙江高三专题练习)已知函数x)=sinx+cosx,将y=f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的3倍(纵坐标不变)，得 到 函 数 尸g(x)的图像.若X产 毛，且g(x jg()=2,则k|的最小值为()7 1A.B.%C.2兀 D.4万2【答案】B【解析】【分析】应用辅助角公式化简y=f。)，再由图像平移写出y=g(x)的解析式，结合已知及正弦型函数的周期性确定|为一/|的最小值.【详

32、解】由题设，/(x)=0 sin(x+f),故 尸8()=&S皿2工+),4 4要使x产 甚 且8(玉)8(毛)=2,贝l g(%)=g(x2)=&或g(xJ=g(%)=-&,.|与-引的最小值为1个周期长度，则|F-X 2L=故选：B.例21.(2022.全国高三专题练习)函数/(x)=Asin(ox+e),(AO,0O),若f(x)在区间 0,9 是单调函数，且f (一 万)=/(0)=/(，)，则。的 值 为()I 1 7A.1 B.1 C.2 或 D.或 2【答案】D【解析】【分析】根据/在区间 0,是单调函数，得 到0)=Asin(yx+9)在区间 0,是有单调性，且0 0,.7 1

33、 1 7 1 242 2 2 G.0v ,2；IT.(一万)=/(0),函数/(X)关于 X =-对称，=0离最近对称轴x=g的距离为0-（-9 =;又八0）=-吗，f（x）有对称中心为（,。）；4若x=-W 与C ,。）为不是同一周期里面相邻的对称轴与对称中心.2 4则T =f +g，可得T=乃，4 4 20=2.若X=-与 弓，0）为同一周期里面相邻的对称轴与对称中心.则9 T=f +W，可得T=3万，4 4 223故选：D.例 22.（2022河南.模拟预测（理）已知函数 x）=sin（s+0）O）在上单调，且图=-d-,则0 的可能取值（）A.只有1个 B.只有2 个C.只有3 个 D

34、.有无数个【答案】C【解析】【分析】设了 的最小正周期为T,由函数f（x）在-（系上单调，判断出T 2 进而计算1 1（呢，0）为了 的一个对称中心，x=今为的一条对称轴.结合正弦函数的图象，分类讨论，7 =，-?=v，3T 3/r （4、54 T 3 冗（l 1 5乃.a,p _T=T-r T 2 j=T 4=T-r i 2 j=T,分别求出。的值.【详解】设 F（X）的最小正周期为T，则由函数/（X）在-彳，*上单调，可得即T 0._ J。Z O J 727 r因为T=N 冗，所以0 O,网 =2+(p=2k7V-,且|初 .(P=-3./(x)=-2 s i n(2 x -夸),当2以+

35、工 融 x-二2 +.,即 以+卫 轴 板+业(左 e Z)时，函数单调递增，2 3 2 12 12/(x).的单调递增区间为伙乃+普,后乃+得 ,fceZ./(x).的单调递增区间为伙丁-葛,At+自 入 Z.故选：A.例 24.(2022 秋梁园区校级期末)已知函数/。)=2$访(0,0 0 0,0 v o v,)f(x)=2,/(x2)=0,X1-X2 .的最小值为 二 二！，：,(!)=兀.4 69 2“1、i.7T _ 1 7 V：j ()=1 =2sin(+9)=2cos cos(p=,:.(p=jr故/(x)=2sin(x+y).令2左 4+工效Jrx+工 2k;r+.f 求得2

36、女+,轰 lk 2k+2 3 2 6 6则/(x)的单调递减区间为2Z+L 2)1+-,k e Z ,6 6故选：A.例 25.(2022.内蒙古呼伦贝尔二模(文)函 数 力=白 而 卜+胃-8 5 的单调递减区间为().71.471,A.X +K Tt,+K71、k GZ_ 3 3 _C.+2lai,+2lai,k wZ_3 3 _【答案】C【解析】【分析】71.27r.rB.bkit,-F ku,k w Z_6 3 _D.+2/c7t,+2k7t Lfc eZ_6 3先用三角恒等变换化简得到/(x)=sin(x+a,再用整体法求解单调递减区间.【详解】/(x)=V3sinX7 1H-3-c

37、os x=-sin x+i cos x=sin(x+),+2kn.%+2kn,k e Z,解得:2 2 6 2 6 27 T4 4jr 4-7 7 7 T 4 7 r1+2x+2 ,k w Z,故f(x)的单调递减区间为+2 航,彳+2 航,keZ33故选：C例 2 6.（2 0 2 2 新疆二模（理）设函数 x）=4 s i n（s+0）,其中0 G V1,网 兀，若/4,/=0,则在 0,2 可上的单调减区间是（)A.30,一 兀8B.C.3 1 5-7 t,兀8 8事,2 兀 D.0,7 t 8【答案】C【解析】【分析】根据/（X）的对称中心、零点求得。，进而求得夕，结合三角函数单调区间

38、的求法求得正确答案.【详解】98据题意可以得出直线x =声 和 点 心,0）分别是的图象的一条对称轴和一个对称中心,二 匚M9 兀 3 兀 3 兀 2 Z 1 丁 2k2 兀(2%1)兀所以-=-T=-=-8 8 4 44 co 2co即卓(keZ),2所以&=又由/3 兀=4 得 s i n2 3X-7 1 +6 73 8=1,T T T T即 W +8 =2kli+-(%Z),|同/2 c os|2x-.1 2 6 2 6 6 7令2 版一万口一看口乃，kwZ,即 狂 专 x M+专，Z eZ,，x）的单调递增区间为.54,nK 7T-,k 兀 +,_ 12 12故选：D.k eZ.例 2

39、9.（2 0 2 2.湖南.长郡中学高三阶段练习）下列直线中，函数/（x）=7 si71A.x =-3【答案】B【解析】【分析】c 2 4B.x =3C.得D.x =2的对称轴是（根据正弦型函数的性质可得对称轴方程为X=%万+半2 7 r月 Z ,进而判断各项是否为对称轴即可.【详解】TT 7 T 2/T令x-3 =k 兀 二 旦 ke Z,则对称轴方程为工=%万+三 且 A w Z,6 2 3显然2 =0 时对称轴为=竺，不存在火eZ有对称轴为x =g、23 3 6故选：B.例 30.（2 0 2 2 浙江高三专题练习）已知函数f（x）=si nX乃 2兀+COS-2 si n.2 求函数/

40、（X）的单调递增区间；求使/（X）o 成立的实数X 的取值集合._._ 2 兀 _,7 T _,【答案】(1)一 +2 也,+2k l i ,k w Z（2）1 1-与 +2E x 2k i t,k 6 Z【解析】【分析】（1）由两角差的正弦和余弦公式及降幕公式化简函数解析式为/（x）=2 si n（x +专卜1,解不等式-F 2 f a t x H F I k i t,Z se Z 即可得答案；2-6 2(2)利用正弦函数的图象与性质求解不等式si n(x+2 卜;即可得答案.(1)解：因为f(x)=si n(x-S +c os(g-x)-2 si n(.n.兀、(兀 .兀.1 -c os

41、x r r .i=si n x c os c os x si n +c os c os x +si n-si n x -2 x-=si nx +c osx-1I 6 6)3 3 J 2=2 si n xH c osx 1 2 si n xH 1 ,2 2 I 67 T T T T T 2 j T 7 T由-F 2k l i W x H W F 2 E ,k wZ、解得-n 2 E W x 4 F 2 E ,26 2 3 32 7 r I F所 以 的 单 调 递 增 区 间 为-+2 也,+2 妹，kwz；(2)解：由(1)知/(x)=2 si n(x +)-l ,由/(x)0,得si n(x

42、 +e)；,ke Z,L L,、I 7 兀兀 兀 一,.一以-F 2 2 兀 v x H F 2.k i i,k G Z ,6 6 64 兀所以-F 2k l i x 2 E ,k e Z ,3所以x的取值集合为与 +2k n x 0,w 0）的单调区间的确定基本思想是吧w x +夕看做是一个整体,-7 T -7 T如由2 人万一1 松+02&%+1（&6 2）解出工的范围，所得区间即为增区间；由7T 3 7 r2 人 万十万（松+9 0,w0,可用诱导公式将函数变为丫=一 4 山（一皿-0）,则y =A si n（卷 一 的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间.对于函数=A c

43、os（皿r +0）,y =A ta n（皿 x +0）的单调性的讨论与以上类似处理即可.题型五：函数的对称性（对称轴、对称中心）例 31.（2 0 2 2 春河南期末）已知函数/（x）=a s i n x +Z?c o s x 的图象的一条对称轴是工=工.，则2 =（）4 aA.1B.-1C.GD.Y【解答】解：函数/(%)=a s i n x +b c o s x.的图象的一条对称轴是元=巴故 f(7)=a+=Jc/+从，整理得：3-加2=0,所以a =。，即 2=1,故选：A.例32.(2 0 2 2.宁夏.固原一中一模(文)将函数f(x)=s i n(2 x+T的图象向右平移个单位长度得

44、到g(x)图像，则下列判断错误的是A.函数g(x)的最小正周期是不B.g(x)图像关于直线x =A77r对称C.函数g(x)在 区 间-泻 上 单 调 递 减 D.g(x)图像关于点信0)对称【答案】C【解析】根据三角函数的图象平移关系求出g(x)的解析式，结合函数的单调性，对称性分别进行判断即可.【详解】由题意，将函数/(X)的图象向右平 移 个单位长度，可得 g(x)=s i n 2(x )+y =s i n(2 x ),对于A,函数的最小正周期为与=万,所以该选项是正确的：对于B,令=得，则g(3)=s i n(2 x 3-)=s i n g =l为最大值，7万.函数g(x)图象关于直线

45、X =最，对称是正确的；对于 C 中，x e -5 I,则 2 x-g e H r,0 J,6 3 3则函数g(x)在区间-9,刍 上 先减后增，不正确；对于。中，令X =g,则g 6)=s i n(2吟-多=s i n 0 =0,O 3 3 3 3 3JTg(x)图象关于点(,0)对称是正确的，故选C.【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的单调性，对称性，求出解析式是解决本题的关键.例3 3.(2 0 2 2湖南岳阳一模)已知函数x)=A s i n x+e),其中。0,A 0,函 数 的 周 期 为 万,且x =?时，/(X)取得极值，则下列说法正确的是()A.a =B.C.函

46、数“X)在 停 引 单 调 递 增 D.函数“X)图 象 关 于 点 后 0卜寸称【答案】D【解析】【分析】利用周期公式可判断A；利用极值的定义可判断B；根据极值的不确定性可对单调性进行判断；根据对称性可判断D.【详解】对于 A,函数/(x)=Asin(ftzr+e),其中。0,A 0,因为函数“X)的周期为，所以0=3=2,故 A 不正确；n对于B,x=?时，.f(x)取得极值，所以*=(为函数f(x)的对称轴方程，但是不能确定是取得极大值还是极小值，所以/仁 卜 土 A,故 B 不正确；对于C,因为不能确定x 是函数/(力 的极大值还是极小值,所以无法确定函数的单调性，故 C 不正确；对于

47、D,因为x 为函数 X)的对称轴方程，TT 1T则2*+9=5 +仁万,勺G Z,解得*=+4肛K eZ,6所以f (x)=Asin(2x-仁+占1所以函数 x)图 象 关 于 点 对 称，故 D 正确.故选：D例 34.(2022.黑龙江.大庆实验中学模拟预测(文)已知函数f(x)=4 s in(s+q 卜 1 1(8-今|,(0 0)的最TT小正周期为万，将其图象沿x 轴向左平移，(m0)个单位，所得图象关于直线X=g 对称，则实数m 的最小值 为()A.3 B.工 C.型 D.工6 3 4 4【答案】A【解析】【分析】由已知，先对函数/(x)进行化简，根据最小正周期为兀，求解出。，然后根

48、据题意进行平移变换，得到平移后的解析式，再利用图象关于直线工=5 对称，建立等量关系即可求解出实数加最小值.【详解】elx.(7 t.(Tt Jl.Y 1 ./3、解：j(x)=4sin cox+sm cox=4 snax+cos6zx sincox-COSGX0 jr即f（x）=-2 c o s 2 x-l,由其最小正周期为兀，即?=乃，解得。=1,2co所以/(x)=-2 c o s 2 x-l,将其图象沿“轴向左平移加（加0）个单位，所得图象对应函数为y =-2 c o s 2（x+m）-l=-2 8 s（2 x+2/n）l,其图象关于X=（对称，所 以 与+2 m =Ee Z,所 以

49、2 =-方+g次eZ,由?0,实数机的最小值为6故选：A.例 3 5.（2 02 2广东佛山市南海区艺术高级中学模拟预测）已知直线x=|和x =是曲线/（）=2$山 即+0）（-兀 彳 4兀）的两条对称轴，且函数/（幻 在 上 单 调 递 减，则夕的值是（）A.-B.0 C.-D.兀2 2【答案】A【解析】【分析】根据两条对称轴直线方程和单调递减区间可知0）=-2 为最小值，然后解。的值【详解】由f M 在 号）上单调递减可知争 是最小值由 两 条 对 称 轴 直 线 和 x 号 可 知 x =0 也是对称轴且/（0）=-2,为最小值故 s i n e=-l7 T又 一 兀 兀，解得9 =-耳

50、故选：A例 3 6.（2 02 2 四川宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理）已知。0,x）=s i n（x +?）-a s i n x 的最大值为6,x=机是 x）的一条对称轴，则帆 的最小值为（）A.I B.J C.寻 D.1【答案】B6 3 3 6【解析】【分析】利用三角函数的性质可得2+2=3,进而可得?+g =Z乃欢wZ,即得.【详解】-/(x)=s i n2+6 Z =2 ,I 32x+-c z s i n x =3=3,又。0,。卜i n x+c o s x 的最大值为5/./(x)=-2 js in x+-c o s x =/3cosx+yj,又 x=m 是/(x)的一条对称轴，