2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-22年真题)专题12函数与方程.pdf

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1、专题1 2 函数与方程【考点预测】一、函数的零点对于函数丫=/(X),我们把使力=0 的实数x 叫做函数 =x)的零点.二、方程的根与函数零点的关系方程y(x)=0有实数根o函数y=/(X)的图像与X轴有公共点o函数y=/(X)有零点.三、零点存在性定理如果函数y=/(x)在 区 间 句上的图像是连续不断的一条曲线，并且有/()./()0,那么函数y=x)在区间(a内有零点，即存在c e(a,b),使得 c)=O,c,也就是方程x)=0 的根.四、二分法对于区间。,目上连续不断且的函数 x),通过不断地把函数八”的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法

2、叫做二分法.求方程/(x)=0 的近似解就是求函数/(x)零点的近似值.五、用二分法求函数./Xx)零点近似值的步骤(1)确定区间 a,句,验证/().f(6)0,给定精度.(2)求区间(a,b)的中点片.计 算/(x j.若 xJ=O,则改就是函数,“X)的零点；若 4)(占)0,贝 U 令6 =不(此时零 点 w(a,xj).若/伍)/(与)0,则令”=不(此时零点玉)武 为 )(4)判断是否达到精确度,即若卜-4 ,则函数零点的近似值为a(或b)；否则重复第(2)(4)步.用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.【方法技巧与总结】函数的零点相关技巧：若连续不断的函数f(x

3、)在定义域上是单调函数，则/(x)至多有一个零点.连续不断的函数/(x),其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.连续不断的函数/(x)通过零点时，函数值不一定变号.连续不断的函数/(x)在闭区间 a,加上有零点，不一定能推出f(q)fS)=0,即“毛）=-e .所 以e-&）=T,所以=故-%一定是y=e （x）-l的零点，故A正确，B错 误；又 由e/（f）=l,得 _ 七）=3，所 以 _/）+3=3+3=*0,故C错误；由e 0 e e,e e=_/（x0）e f =e%-e-#0,故 D 错误.故选：A.例2.（2022江西萍乡二模（文）已 知 函 数 力=（：一?则 丫 =/）-!的

4、所有零点|x+l|,x （）2之 和 为（）A.如 B.1 222C.2D.0【答案】D【解析】【分析】根据零点定义求出零点后可得.【详解】15x N O 时，由(x-l)2-7 =O 得 x =l 4,2 2x o 时，由|x+i|-g=o 得x=-g 或*=-1,所以四个零点和为i+也+1-也 一-3=0.2 2 2 2故选：D.例 3.(20 22江西模拟预测(文)已知函数,f(x)=2*+x 4,别是a,b,c,则 a,b,c的大小顺序是()A.a b c【答案】C【解析】【分析】将 x),g(x),这些函数图象，利用数形结合的方法即可求解.【详解】由已知条件得B.c b a C.b

5、a c力(X)的零点看成函数y =4 -x 分别与y =2,g(x)=e +x-4,(x)=l n x+x-4 的零点分D.c a =2,与 y =4-x 的交点的横坐标，g(x)的零点可以看成y =e，与 y =4 7 的交点的横坐标，的零点可以看成 =I n x 与 y =4-x 的交点的横坐标，在同一坐标系分别画出y =2 =e ,y=nx,y =4-x 的函数图象，如下图所示，可知c a 万，故选：C.例 4.(2022.天津红桥.一模)函 数 f(x)=e*+2x-6的零点所在的区间是()A.(3,4)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1)【答案】C【解析】【分析】根据函数零点存

6、在性定理判断即可【详解】函数x)=e*+2 x-6 是R 上的连续增函数，/(I)=e-4 0,可得1)/(2).r 2.+log2r-lo g23 -lo g22=-0,/0=；+1%；=_；|=1+log 2|=|-log23=1(5-3 1og23)=|(lo g232-log2 27)0m3 5 1 1+log2-=-+log23=-(-5 +41og23)=-(-lo g2 32+log281)0,则函数F(x)=x+lo g 4 的零点所在的区间为故选：B例 6.(2022全国高三专题练习)若函数用0=+人有一个零点是2,那么函数g(x)=h/一以的零点为()A.0 或 B.0 C

7、.D.0 或：2 2 2【答案】A【解析】【分析】根据函数7(x)=a r+b 有一个零点是2,得到b=2”，再令g(x)=O 求解.【详解】因为函数_/U)=o r+b 有一个零点是2,所以b2a,所以 g(x)=-2 4 x=1a(2x 2+x).令 g(X)=O,得 力=0,X 2=.故选：A例 7.(20 22全国高三专题练习)已知/是函数/(同=2产 2+1 僦-2 的零点，则e 2f+1叫=.【答案】2【解析】【分析】2 M4根据零点定义可得x 0%5 2+i n%-2=0 ,整理可得x 0 e&=l n e 根据此时可得%=e 2 f 成立，代入化及简即可得解.【详解】根据题意可

8、得x j e&v +l n x。-2=。，整理可得 与ex&_22=-2-I-n-Xn p2 2 2 J n l%oev-I n =l n -.e 马/xQ x0 x0e2可得当天=l n ,即x 0=e 2f 成立，又I n x=2-x：e 5 2,玉,代入可得标+I n/=x 0 +2-x；.-L =2.%故答案为：2.例 8.(20 22广东广州二模)函数 x)=si n;rx-l n|2x-3|的 所 有 零 点 之 和 为.【答案】9【解析】【分析】根据给定条件，构造函数了=$m 心，y =l n|2x-3|,作出这两个函数的部分图象，确定两个图象的交点个数，再结合性质计算作答.【详

9、解】由 /(x)=0sinx=ln|2 x-3|,y=sin7tr,y=ln|2x-3|,3x 对称，2显 然 产 sin7U与 y=ln|2x-3|的图象都关于直线在同一坐标系内作出函数y=sin。，y=ln|2x-3|的图象，如图,观察图象知，函数y=sin7tv,y=ln|2x 3 的图象有3这 6 个点两两关于直线x=j 对称，有%=工2+毛=七+%=3,则%+工2+工 3 +%4+$+%=9,所以函数/(x)=sin;rx ln|2x-3|的所有零点之和为9.故答案为：9例 9.(2022内蒙古呼和浩特二模(文)若x-kg2X=3,y-2y=3,z lnz=3,则 x、y、z 由小到

10、大的顺序是.【答案】yx0,y0,z0,x-log2x=3log2x=-,y 2=3 o 2=一,zln z=3 In z=-,x y z3因此，力 og2X=3成立的x 值是函数=10氏工与 的 图 象 交 点 的 横 坐 标 人x3y 2=3成立的y 值是函数为=2、与=一的图象交点的横坐标与，x3z Inz=3成立的z 值是函数 =皿%与乂=一的图象交点的横坐标4，x3在同一坐标系内作出函数y=log2%，%=2*,%=也 X，%=一的图象，如图，xVl=log2.X观察图象得：G r./3,即y x z,所以X、y、Z由小到大的顺序是 yxz.故答案为：yx z【点睛】思路点睛：涉及某

11、些由指数式、对数式给出的几个数大小比较，可以把这几个数视为对应的指数、对数函数与另外某个函数图象交点横坐标，利用图象的直观性质解决.【方法技巧与总结】求函数/(X)零点的方法：(1)代数法，即求方程/(x)=0的实根，适合于宜因式分解的多项式；(2)几何法，即利用函数 =/(x)的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围例10.(2 0 2 2浙江高三专题练习)设匕是常数，若函数/(x)=(x-l乂 加-2 x+b)不可能有两个零点，则b的取值情况不可能为()A.1 或6 -1 B.0 /?1C.1 D.-1【答案】D【解析】【分析】令/(x)=

12、(x-l)(芯 2 x+b)=O,易知 x =l 是 y=x)的一个零点.只需讨论以2 -2 x+人=0的情况：分为b=0和 厚0分类讨论.在 尔0时，根据判别式讨论根的情况即可.【详解】令/(x)=(x-l)伍/-2+6)=0,即x-l=O或b f-2 x+6 =o.显然x =l是y=x)的一个零点.下面讨论加2 -2 x+b =0的根的情况：(1)。=0时，x =0.不符合题意.(2)屏0 时，A=22/?2 若/1或匕()时，有061或一160,故(x)在(0,e)上单调递增,因为(0)=-1 0,所以存在唯一的为，(x+l)(-l)XE(0,l),使得伍)=0,M 1即与e-1 =0,

13、即 已=1,=-ln x0,工 0所以当0 x 玉冏，/z(x0)0,g/(x)0,g(x)单调递减，当 与 x O,g,(x)0 ,g(x)单调递增,所以 g(x)m in =g (飞)=A-Oes,-x0-ln r0=1 -x0+x0=1,乂 x .0 时，g(x)f+e,故 x e(),e),g(x)el,4 1,即:1,所以有2 1,h=c.a故选：D例 13.(2 0 2 2.全国.高三专题练习)函数/(幻=2、-：-。的一个零点在区间(1,3)内，则实数的取值范围是()A.(7,-F oo)B.(-C.1)U(7,e)D.(-1,7)【答案】D【解析】【分析】先判断出/(x)=2、

14、-三-a 在(0,+8)上是增函数，利用零点存在定理列不等式，即可求a的范围.x【详解】3y =2*和y =-在(0,+8)上是增函数，x3/(x)=2r。在(0,2)上是增函数，x.只需/4(3)0 即可，B P(-l-a)-(7-a)0,解得-l a 7.故选：D.【方法技巧与总结】本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，列关于参数的不等式，解不等式，从而获解.题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题x3 4.2 r 0【答案】2【解析】【分析】当*4 0 时，令丁+2 =0,直接解出零点即可；当x 0 时，先判断单调性，再结合零点存在定理即可判断.【详

15、解】当x 4 0 时，令d+2 =0，解得x =0,后 0 时，/(x)=x-3 +ev,显然/(x)单调递增，又/(；)=-|+e；0,由零点存在定理知此时有1 个零点；综上共有2个零点.故答案为：2.例 1 5.(2 0 2 2.上海市市西中学高三阶段练习)已知函数f(x)(x eR)是偶函数，且/(2 +x)=/(2-幻，当x e 0,2 时，/(x)=l-x,则方程/(x)=在区间-1 0,1 0 上的解的个数是_ _ _ _ _ _ _ _-|x|【答案】1 0【解析】【分析】根据函数满足/(2 +X)=/(2-X),得到函数图象关于x =2 对称，再结合奇偶性得到函数的周期性，作出

16、函数/(X)和函数y=F 在区间 TO，1 0 上的图象，把方程解的个数问题转化成两函数图象的交点个数问题解决.【详解】函数/(x/x e R)是偶函数，/(一外=/(尤)，/(2 +x)=/(2 -x)，/(x)的图象关于 x =2 对称，由得，/(x +2)=/(x-2),即 f(x)=f(x +4),二函数/U)的一个周期为4,画出函数/(X)和 函 数 在 区 间 T O,1 0 匕的图象,方程/(幻=一在区间-1 0 ,1 0 上的解的个数就是这两个图象的交点个数,-|x|由图象可知方程解的个数为1 0，故答案为：1 0.(1)若=0,则“X)有两个零点；(2)兼 0,使得/任)有一

17、个零点；(3)弘 0,使得/(*)有三个零点；(4)来 0,使得A x)有三个零点.以上正确结论的序号是【答案】(1)(2)(4)【解析】【分析】将函数零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，作图可解.【详解】函数x)H l g x|-2 的零点的个数可转化为函数y=|/g x|与直线y=f cr +2 的交点的个数；作函数y=H g x|与直线丁 =息+2 的图象如图，若=0,则函数y=|l g x|与直线y=+2 的图象在(0,1)与(1,-K o)上各有一个交点,则f(x)有两个零点,故（1）正确;若z 0,则当函数y=|i g x|与直线y=+2的图象相切时，/有一个零点，故（2

18、）正确;当A 0 且&足够小时，函数yg l g x l 与直线y=h-+2 的图象在（0,1）与（1,+8）上分别有1 个、2个交点，故（4）正确;故答案为:例 1 7.（2 0 2 2.黑龙江哈师大附中三模（文）已知有且只有一个实数x满足Y-a x-1 =0,则实数的取值范围是（）/小（3版 ,ci f 3蚯 1A.（Y,2）B.v,C.（-o,2 D.【答案】D【解析】【分析】根据参数分离，将有且只有一个实数x 满足/-g-1 =0 转化为方程a =x2 只要一个实数根，利用求X导，得函数单调性，结合图像即可求解.【详解】x =0 显然不是/一 如-1 =0的根.所以方*0因此只有一个实

19、数x满足/一以_ 1 =。等价于方程a=x2-只有一个实数根.X令小)3+，(x)=2x+g,令)=2/+亳=0 =壶，故可知:当当XG时，fx)o,此时/单调递增，当xo,+8)时，r(x)o ,此时/“)单调递增,口当 x=-l 00 时，/(戈)二10000+,x=100 时，f(x)=0000-,当 x=时,f(x)=+100,p|x=1IXJ I OU 100 llnXX)J 001时,/*)=1 0 0 0 0-1 0 0,故/(X)图像如图:故“0,x x x3则3 +a(2f-4 e)l n f =0,则(，-2e)l n/=-有解，设g(r)=(f-2e)l n f,2ag(

20、t)=Inf+1-为增函数,g(e)=lne+l-=0,t e当f e 时g )0,g(f)递增，当0 f e 时g )0,gQ)递减，3所以当f=e 时函数 g取极小值，g(e)=(e-2e)lne=-e,即 gQ)N g(e)=-e,若2a3 3则 上-2 e,即上-4 e,2a 2a3所以a)D.(-4 4 4 4【答案】A【分析】yy原式可化为动1%-。=斗 令 X)=成-凡 8(力=4,研究函数的单调性和值域，问题转化为妙)的值域是y yg(x)值域的子集.【详解】y y原式可化为 xln_r-a=令 /(x)=xltir-a,g(x)=彳y y/,(x)=l+ln x 0,故函数

21、f(x)在xel,e上是单调递增的，/(x)e-a,e-al.g(x)=(y；)e,故函数 3)在(,0)/,(0,2)(2,内)/g =1函数的大致图像为:对 于 任 意 的 实 数 总 存 在 三 个 不 同 的 实 数 使2V得x y l 四一冲一q=0 成立，即方程f(x)=g(x)有解，满足-,e-a|u(5，+o o)/e2故一 一。=。一一.44故答案为A.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道综合题.例 20.(20 22江西省抚州市第一中学高二月考(理)若存在两个正实数,使得等式2工+机。-24)(111y-皿犬)=。

22、成立，其中。为自然对数的底数，则实数机的取值范围是()A.(8,一)B.(0,-)C.(-0,0),+o o)D.(-o o,0),+o o)e e e e【答案】C【解析】由 2x+m (y -2e x)(I n y -I n x)=0 得 2x+m (y -2e x)I n =0,x即 2+m (-2e)I n =0,x x即设t=2,则 t 0,X则条件等价为2+m (t -2e)l n t=0,2即(t -2e)l n t=-有解,m设 g (t)=(t -2e)I n t,g*(t)=l n t+l -”为增函数,Vg(e)=lne+l-=1+1-2=0，当 t e 时，gz(t)0

23、,当 0 t e 时，g(t)g(e)=-e,2 2 2若(t-2 e)lnt=-有解，则-e,即一e,m m m2则 a,e故答案选：C点睛；本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数与方程的关系，转化为两个函数相交问题，利用构造法和导数法求出函数的极值和最值是解决本题的关键.综合性较强.对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是个常函数一个非常函数，注意让非常函数式子尽量简单一些。【方法技巧与总结】方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是要确定函数零点的个数还需要进一步研究函数在这个区间

24、的单调性，若在给定区间上是单调的，则至多有一个零点；如果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断.题型四：嵌套函数的零点问题例 21.(2022全国高三专题练习)已知函数/(x)=，-x-l)e*,设关于x 的方程尸)一 时 =3(%e R)e有 个不同的实数解，则”的所有可能的值为A.3 B.1 或3 C.4 或6 D.3或4 或6【答案】A【详解】/(x)=(x l)(x+2)e,.J(x)在(e,2)和(1收)上单增，(2,1)上单减，又当x f 时，f+00时，故 的 图 象 大 致 为:令 x)=f,则方程-!=()必有两个根，小G且tt2=-j,不仿设:0 ，2，当 时，恰有

25、 4=5 e 此时/(x)=f,有 1 个根，/(%)=?,有2 个根，当 -e 时必有0 G 5。，此时/(力=彳无 根,力=。2有3 个根，当-e 乙51,此时月=力有2 个根，司=4,有1 个根，综上，对任意mR，方程均有3 个根，故选A.【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决：(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.一是转化为两个函数y=g(x),y=M x)的

26、图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为y=,y=g(x)的交点个数的图象的交点个数问题./、1 /X x +l,x 0g(y(x)-帆=0 有四个不同的解，则实数?的取值集合为()【答案】A【分析】设f=/(x)，根据/(X)的解析式，可得/(X)的单调性、奇偶性，即可作出/(X)的图象，即可求得，的最小值，利用导数判断g(x)的单调性，结合/的范围，作出g(f)的图象，数形结合，可 得 加(0,殍)时，y=g(f)/；的图象与y=m图象有2 个交点，此时)=%与 y=弓分别与y=/(x)有 2 个交点，即即g(/(x)-6=0 有四个不同的解，满足

27、题意，即可得答案.【详解】设/=，3),则g -机=0 有四个不同的解,因为/(-X)=*乂 一 g =冽 一 g =/(幻，所以f=/(x)为偶函数，且当x 0 时，/(x)=e -g 为增函数,所以当了 40时，f =/(x)为减函数，所以0 =/(0)=e-g =；，即d;，当x 0 时，g(x)=(x-l)ln x,则 g (x)=ln x+，(x-l)=ln x +1 ,X X令 g (x)=O,解得x =l,所以当X(O,1)时，g (x)0,g(x)为增函数，又g(g)=-g ln g =，作出x 0 时g(x)的图象，如图所图象有2 个交点，且设为公明所以当机1 0,殍时，y=

28、的图象与)=机作出f =/(x)图象，如下图所示:此时y=G 与 y=L分别与y=/(x)有 2个交点，即g(/(x)-?=O 有四个不同的解，满足题意.综上实数?的取值范围为(o,竽故选：A【点睛】解题的关键是根据解析式，利用函数的性质，作出图象，将方程求根问题，转化为图象求交点个数问题,考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.例 2 3.(2 0 2 2 河南 高三月考(文)已知函数f(x)=(p 若关于x 的方程/(x)T+b(x)+a-1 =0 有且仅有三个不同的实数解，则实数。的取值范围是()A.(-2 e,l-e)B.(1 e,0)C.(-e)D.(1-e,2 e)【答案】C【分析

29、】首先利用导函数求/(x)的单调性，根据其单调性作出f M的大致图像，然后结合已知条件将方程解的问题转换成交点问题即可求解.【详解】因为 力=户，所以r(x)=二,I n x(I n x)当x(0,l)5 1,e)，/(x)0,所以x)在(0,1)和(1,e)单调递减，在(e,”)单调递增，且当X TO时，/(x)-0,/(e)=e,故/(x)的大致图象如图所示：V/(x)+l /(x)+a-l =0,关于X的方程 力 丁+硝 +“-1 =0等价于即=T 或 x)=l a,由图知，方程 x)=-l 有且仅有一解，则”x)=l-a 有两解,所以1 ae,解得。0例 26.(2 0 2 2.安徽省

30、滁州中学高三 月 考(文)已知函数f(x)=2 3 八的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=1 的对称点在履+y -1 =0 的图象上，则实数%的取值范围是【答案】A【分析】将问题转化为直线y=H+i与”力在(F,O)和(0,+)上各有两个交点，借助函数图像与导数的几何意义求出y =+i与/(x)的两段图像相切的斜率即可求出的取值范围.【详解】直线依+-1=0 关于宜线y=1的对称直线为-+y-i=O,则直线一+y-l=O 与y=x）的函数图像有4 个交点，当x 0 时，,r（x）=l-ln x,，当0 x 0,当x e 时，/（%）0,“X）在（O,e）上单调递增，在（e,一）上单调递减，

31、作出y=x）与直线-爪+y-1 =0 的函数图像，如图所示：设直线y=+l 与y=2 x-x ln x 相切，切点为a，y j，则1 -In X)=k2X-x,Inx,=fcc,+1解得西=1,2=1,3设直线y=+i 与丫 =-/-5 （0）相切，切点为（天，必），则 2.X-,=k2 2；，解得电=-1 =2,-X22 X2 =+Iy=+l 与y=f（x）的函数图像有4 个交点,，直线卜=履+1与“X）在（-co,0）和（0,+8）上各有2 个交点，k 1 故选：A2【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，考查了数形结合思想，解题的关键是作出函数图像，属于中档题.例 27.（2022.内蒙古

32、赤峰二中三模（理）若直角坐标平面内A、B 两点满足点A、B 都在函数f（x）的图像上；点A、B 关于原点对称，则点（A 8）是 函 数 的 一 个，姊妹点对”.点对（A 8）与（6,A）可看作x2+2x（x 0）是同一个“姊妹点对”，己知函数,则/的“姊妹点对”有（）X I 4-7）A.0个B.1个C.2个D.3个【答 案】C【分 析】根据题意可知，“姊妹点对 满足两点：都在函数图像上，且关于坐标原点对称，作出函数7y=x2+2x(x，=(x 2 0),由图像可得结论【详 解】解：根据题意可知，“姊妹点对”满足两点：都在函数图像上，且关于坐标原点对称.可 作 出 函 数y=x2+2x(x0)的

33、图像关于原点对称的图像，看它 与 函 数y=/(x N 0)交点个数即可.如图所示:2当 x=时，0 一 00)恰有两个“姊妹点对“，则实数。的 取 值 范 围 是()A.0ae2B.0 a e-2C.()a e D.0 a 0与 函 数g(x)=以+1,x 2 0的图象恰好有两个交点，即方程Inx-1=0在(0,+8)上有两个不同的解，构 造 函数版x)=l n x-a x-l,利用导数，分类讨论求得函数的单调性与最值，即可求解.【详 解】由题意知函数/(%)=a r-l(x 0)恰有两个“姊妹点对”,等价于函数/U)=l n x,尤 0 与函数g*)=G：+l,x 之0的图象恰好有两个交点

34、,所以方程l n x =o x +l,即l n x-a v l =O 在(。,+8)上有两个不同的解,构造函数人(x)=l n x-o x-1,则力 (工)=，-。，x当4 0 时，函数。)区间(0,+8)上单调递增，不符合题意；当。0 时，令(无)0,解得0 x ：,所以函数/z(x)在区间(0。)上单调递增,令(x),，所以函数(x)在区间(L+8 上单调递减，所以解得0ae2 f乂由 e)=l n e-a e-l =-a e 0,解得0 x4,所以函数(x)在区间(0,4)上单调递增，令 M，(x)4,所以函数M(x)在区间(4,口)上单调递减，所以 M(x)g=M(4)=l n 4-3

35、 0,所以 M(x)=In x -4-1 V M(4)0 ,即 In x&+1,又由(N)=l n-a x -l +1 -axW-1 =-(1 -5/2)0,所以函数(x)在(捺)上有且仅有一个零点.综上可得：0 e-2,即实数的取值范围是(0,e-2).故选：A.【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.3、根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出

36、导数的零点，难度较大例2 9.(2 0 2 2 浙江高三专题练 习)若直角坐标系内A,B两点满足：(1)点A,B都在/(x)图象上；(2)点 A,B关于原点对称，则称点对(4与是函数 x)的一个“和谐点对”，(4 B)与(B，A)可看作一个，和谐点对”.已知函数x2+2 x(x 0)/W=则%)的 和谐点对”有(),7 (x-)A.1 个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【分析】问题转化为X 2 0,F(x)关T-原点对称的函数与/(X)=炉+2 x 在(V,0)交点的个数，先求出X2 0 J*)关于原点对称的函数g(x),利用导数方法求出g(x)=/+2 x在(-c o,0)解的个数，

37、即u j 得出结论.【详解】设P(x,)(%4 0)是 y =/(x)(x 2 0)关于原点对称函数图象上的点，则点P关于原点的对称点为P-x,-y)在 y =/(x)(x 0)上，2-y=-,y=-2ex,设 g(x)=-2e*(x 4 0),e“和谐点对”的个数即为g(x)与/(X)在(,0)交点的个数，于是-2/=炉+2x ,化为2e*+X2+2X=0(X 0),令S(x)=2e*+2x(x 0，所以f+2 x 0,解得-2x 0,.只要考虑x e(-2,0)即可，“(X)=2ex+2x +2,9(x)在区间(-2,0)上单调递增，而夕(-2)=2e-2-4+2 0,：.存在/e (-2

38、,-1)使得叫)=0,当 x e (-2,x0),p(x)O，e(x)单调递增，而奴-2)=2e-2 0,p(x0)p(-l)=2e-l 0,二函数仪x)在区间(-2,-1),(-1,0)分别各有个零点，即的“和谐点对”有 2 个.故选：B.【点睛】本题考查函数的新定义，等价转化为函数图象的交点，利用函数导数研究单调性，结合零点存在性定理是解题的关键，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.【方法技巧与总结】转化为零点问题题型六：函数的零点问题之分段分析法模型例30.(20 22浙江奉化高二期末)若函数/&)=x3-2ex2+nix-nxx至少存在一个零点，则，的取值范围为()(,1A.1

39、-00,6?+-【答案】A【分析】B.e2+-,+eC.-oo,+eD.e+,4-ooe将条件转化为加=-f+2勿+吐 有解，然后利用导数求出右边函数的值域即可.x【详解】因为函数/。)=-2 0 2+mx-ln”至 少 存 在 一 个零点X所以 i-2e?+ffuT nx=0有解X即m-x2+2e x +电匠有解x令人(x)=X2+,则”(x)=-2x+2e +-h(x)=(-2 x+2 e+=2+3x+：xlnx=3x 2x：+2xlnx _ 3x 2x(：3一也x)因为兀 0,且由图象可知/i n x,所以(x)0所以“(x)在(O,y)上单调递减，令(x)=0得x =e当0 x 0,/

40、?(x)单调递增当x e时/(x)0也即 )0 在(0,-K x)上恒成立,所以h(x)在(0,+o o)上单调递增，又力(0)=。，因此e 是坂幻的唯一零点，当0 x e 时，/7(x)09所以g。)在(0,e)上递减,在3+0 0)上 递 增,g 极 小 值()=g(e),函数g(x)至少有一个零点，则g(e)=e2-2e2+m-0 f m 和y=-6因 为y=/-2x,开口向上，对 称 轴 为x =l,所 以(f)为单调递减，(1，e)为单调递增:X ni.,x-My =-,则 y=-p-由于，o,所 以(,1)为单调递减，(1，+8)为单调递增;可 知 函 数y=x 2-2 x及 尸-

41、当 均 在 苫=1处取最小值，所 以“力 在x =l处取最小值，又因为函数/(x)至少存在一个零点，只 需/(1)40即可，即：/(l)=l-2-l +a 0),设%(x)=-f+2 e x+,令x x x/?,(x)=-x2+2ex,4()=号，则%(力=U，发现函数%(x),%(x)在(O,e)上都是单调递增，在 e,E)上都是单调递减，故函数(x)=-f +2 e x+3在(0,e)上单调递增，在 e,+w)上单调递减，故当x =e时，得所以函数至少存在一个零点需满足即“4/+巳 应选答案D.点睛：解答本题时充分运用等价转化与化归的数学思想，先将函数解析式/(x)=V-2 e x-妈+。

42、中X n Y1r v的参数。分离出来，得 到“=-/+2夕+?。0,然后构造函数/()=-/+20+?,分别研究函数(力=-f+20，为(x)=3的单调性，从而确定函数/1(X)=一丁+20+9 在(O,e)上单调递增，在 e,E)上单调递减，故当x =e 时，得(x)a=e 2+J,所以函数“力至少存在一个零点等价于4 口(力 加，即a 4e 2+：.使得问题获解.题型七：唯一零点求值问题例 34.(2 0 2 2 安徽蚌埠模拟预测(理)已知函数 x)=x 2-l n(l+x)-l n(a-x)有唯一零点，贝心=A.0 B.C.1 D.22【答案】C【分析】分析可知函数/(X)存在极小值/(

43、%)=0 且满足一 =77-2%,由此可得出C l，o x()*%）=W+ln=0,构造函数9（%）=f+ln1 2x（X+I）2-T7T其中一 y 一 1,/(x)=2x-一二 一 一,x+l x-a则/“(耳=2+1 焉+1 20,(x+1)x-a)所以，函 数/(X)在(T a)上为增函数,当 X -1+时，/()-00 当 X 时，/(X)+,则存在毛 (-1,4),使 得/(入 0)=2%=。，则=77-2%,当-lx x。时，f(x)0,此时函数 x)单调递减，当x 0 x 0,此时函数f(x)单调递增，./(同所=/()=君一皿(1+%)一皿4%),由于函数/(=-111(1+“

44、-111(4 一力有唯一零点,则“或 而=/(%)=片 一 ln(l+X o)-ln(a-X o)=()，-=-2x00 A 由x +l ,解得,.2%-1所以,令夕(x)=V+ln-!-r-，其中-i x 且 二，(x+1).x+lj 22(x+2)_2x+2(x+2)_ 4x4+8x3+2x2+4(x+1)3-(2X2+2J C-1)(X+1)-(2X2+2J C-1)(A:+1)夕 )=2、+若必4X2(X+1)2+2(2-X2)(2/+2x-l)(x+l)6_1v-l x 0,2-X2 0，则d(x)0,/(X)单调递增，当x 1例 3 9.(2 0 2 2全国高三专题练习)已知函数/

45、*)=1 二,g M=f(x)-kx,若函数g。)有两个零1 4点，则的取值范围是()【答案】D【分析】作出了(x)的图象，函数g*)有两个零点，即y=f(x)与、=区 有两个交点，根据图象，利用数形结合即可求解结果.【详解】当丫=京 与 y =l og 2 X 相切时，设切点为,%=5则有，%=l og,%,解得%=e,k=x0l n2所以相切时的斜率上=工；en2将函数y =丘的图象顺时针旋转,当!工 时，/。)与丫=有2个交点，满足题意;4 e l n 2当0%：时，(x)与、=区 有3个交点，不满足题意；当40时，/)与、=有1个交点，不满足题意；当kN 一，时，/(A-)与y =自

46、有。个 或1个交点，不满足题意.e l n 2故选：D.【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令y(x)=o,如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间伍，/”上是连续不断的曲线，且/”)/(0零点，则机的取值范围是().A.-1,-K O)B.(-o o,-l C.0,+o o)D.-1,0)【答案】A【分析】g(x)存在两个零点，等价于y=-X-”与“X)的图像有两个交点，数形结合求解.【详解】Q g(x)=f x)+x+m o f x)=-x-m g (x)存在两个零点，等价于V =x-m与/(%)的图像有两个交点，在同一直角坐标系

47、中绘制两个函数的图像:个交点,山图可知，当直线在x =0处的函数值小于等于1,即可保证图像行两故：-tnS l,解得：/ne-l,+oo)故选：A.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解.2、一X x 0,同的零点，则实数。的取值范围是()A.(-oo,2 B.C.(7,1)D.l,+oo)【答案】B【分析】将函

48、数的零点问题转化为方程的根的问题，变换方程的形式，从而转化为两个曲线的交点问题，作出函数的大致图象，数形结合求解即可.【详解】解法一：函数y=/(x)+2x-。有两个不同的零点等价于方程/(x)+2x-a=0有两个不同的根，即方程/(x)+x=-x+a有两个不同的根，等价于函数y=/(x)+x与函数y=-x+a的图象有两个不同的交点.，/、(2x-x,x0 f2,x0：=,r.y=/(x)+x=0 log2 x,x 0作出函数y=/(x)+x与y=-x+a的大致图象如图所示，数形结合可知：当时，两个函数的图象有两个不同的交点，即函数y=/(x)+2 x-a有两个不同的零点.解法二：函数y=f(

49、x)+2 x-a有两个不同的零点，等价于方程f(x)+2x-a=0有两个不同的根，即方程x)+2x=a有两个不同的根，等价于函数y=/(x)+2x与函数y=a的图象有两个不同的交点.,.(x)=2x-x,x0，y=x)+2x=2T+x,x0作 出 函 数y=/（x）+2x与 函 数 了 =。的大致图象如图所示.数形结合可知:当时，两个函数的图象有两个不同的交点,即 函 数y=f（x）+2x a有两个不同的零点.故选：B.【点 睛】方法点睛：已知函数零点（方程根）的个数求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围;（2）分离参数法：先将参数分

50、离，转化成求函数的值域问题加以解决;（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.例42.（2022北京北师大实验中学高三月考）己知函数/（）=3川-W 0In x,x0若 函 数g（x）=/（x）-，有两个 零 点，则 实 数m的 取 值 范 围 为（）A.(-oo,2B.(-,2)C.(-1,2 D.(-L2)【答 案】C【分 析】先把原命题转化为了（力=由两个零点，再数形结合分析得到m的取值范围.【详 解】令g（x）=f（x）-他,所 以/（6 =机.当X4 0H寸，/（同=3川-1在（3,0 上单调递增，则 月=3