2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-22年真题)专题07不等式恒成立问题.pdf

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1、专题07不等式恒成立问题【方法技巧与总结】1.利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：(1)通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；(2)利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；(3)根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.2.利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立，可根据以下原则进行求解：(1)V x e。,机1 T l i0；(2)V x e L ,=(3

2、)3 xeD,(4)JxeD,mf(x)f(x)min.3.不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数y=/(x),x&a,b,y=g(x),x e c,J .若 曲 目 词,V x,e c,t/,有)g(w)成 立,则/(x)1 m x g(x)1 ni n；若句，叫e c,d ,有(巧)成立,则/2 8 皿；(3)若 办 引,句,叫 有/(3)a x-(2)在点a的去心邻域(。-,a)+)内,f(x)与g(x)可导且g (x)C 0 ；.f(x)(3)l i m =I,g(x)/(x)/(x)那么l i m 今=f g(x)f g(%)法则2若函数法x)和g(x)满足下列

3、条件:(l)l i m/(x)=0及J i m g(x)=0.(2)3 A 0,/(x)和g(x)在(-o o,A)与(A,+o o)上可导，且g (x)w0；物f(品x 那么哽/号(X)法则3若函数/(幻和g(x)满足下列条件:l i m /(尤)=8 及 l i m g (x)=o o ；(2)在点a的去心邻域(a -a)+)内，/(%)与 g(x)可导且g (x)C 0 ,f(x(3)l i m=I,f g(x)那么l i m 半=1 皿/=/。1g(x)f g (x)注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意:(1)将上面公式中的尤-a,尤g x -f o,

4、x-a+,x-/洛必达法则也成立。(2)洛 必 达 法 则 可 处 理 0-O O,r，0 0，0，8-8 型。(3)在着手求极限以前，首 先 要 检 查 是 否 满 足 0.O O,1,8,0,8-8 型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。(4)若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。“X)g(xf g (x)l im*,如满足条件，可继续使用洛必达法则。g(x)【题型归纳目录】题型一：直接法题型二：端点恒成立题型三：端点不成立题型四：分离参数之全分离，半分离，换元分离题型五：洛必达法则题型六

5、：同构法题型七：必要性探路题型八：max,min函数问题题型九：构造函数技巧题型十：双变量最值问题【典例例题】题型一：直接法例 1.已知函数/(x)=4/以-丁+(2 a-l)x ,(a.0).(1)讨论/(x)的单调性；(2)若 f(x),O,求。的取值范围.【解答解：(1)/(X)=0 2 x +(2 a 1)=2厂 一(2a 1)A a _ _(2x+1)(x-a),X X X a=0 时，/(幻 0 时，由r(万)0,解得：x 0,解得：0 c x a,故/(x)在(0,4)单调递增，在g,位)单调递减；(2)由(1)可得，当”=0 时，/(X)在(0,+o o)单调递减，f(x)=-

6、x2-x 0 时，/(x)在(0,a)单调递增，在(“,内)单调递减，/.f(x)lliax=f(a)=alna-a2+(2a-l)a=alna+cr-a=alna+a-1).令 g (a)=Ina+a-1,a 0 易知函数g (a)在(0,+o o)单调递增，又g (I)=0,.当时，g(a)0,即 A x ,。，满足题意，当时，g(a)0,即f(x),”0,不满足题意，综上所述的取值范围为 0,1 .例 2.已知函数/(x)=a2/x-x 2 +O T .(1)讨论f(x)的单调性；(2)若 f(x),0,求。的取值范围.【解答】解：(1 )f(x)=a2lnx-x2+ax,定义域为(0,

7、+0 时,x e(0,a),_ f(x)0；x e(a,-K ),/,(x)0；x e(-,+o o),r(x)0 时,/(x)T O=/(a)=a2 Ina-a2+a2=a2lna 0 ,解得 0 q,l；2。当a=0 时，/(x)=-x2 0 ,在(0,内)上恒成立；2 2 Q 23 当 a 0 时,f(x)g=f()=a2/n(-)-=a2ln(-)-0 ,即加(，),3,解得-2 0,a 0,故 T(x).O,/(x)递增，当a 0 时，令尸(x)0,解得：x ln2a 令 f(x)0 ,解得：x 0 恒成立，a 0 时，/(x),r a.=/(/n 2 a)=(2 a)2+(l-4

8、a)2 a-2aM 2a.0 ,故 1-2。一/2 a.(),令 g (a)=1 -2 a-ln2a,g(a)=-2-0 ,a故g (a)递减，又g(；)=0,故0 ；.题型二：端点恒成立例 4.(2 0 2 2黑龙江模拟预测(文)已知函数 卜。-2)，-/+如+2,aeR.(1)当a=l时，求/*)的单调区间；(2)当 2 0 时:恒有/(x)N O,求实数。的最小值.【答案】(1)增区间：(-8,0),(l,+o o),减 区 间:(0,1)(2)2 e-4【分析】(1)求出函数导数，求解不等式/(司 0 和/(司 1,令/(x)=O n X I=l，w=l n a,讨论l a 0 =x

9、l,r(x)O n O x 0,.x(O,l)时：f (x)O J(x)单调递减n/(x)1 时：令/(x)=O n X =1,=ln a,若 l e a v e,则 X|%,令/(x)0 =0 x l,/(x)I n a x -2【分析】(I)根据/(x)=a l n x+b x,求得f(x)=q +b,再根据f(x)=a ln x+反5 力e R)在x 处取得极值,x2求 得 小。的关系，然后由曲线y =在点(11)处的切线与直线-y+i=。垂直求解.(2)将不等式M 71r ln rf(x)1 时，m ；恒成x x x-1立，令(幻=坐，求得其最大值即可.x-l(1)解：fx)=anx+

10、bx,，-fx)=-+b-x函数f (x)=a I n x+bx(ayb e R)在x =g处取得极值，f()=2a+b=0,又.,曲线y =/Q)在点()处的切线与直线x-y+i=o垂直，fm=a+b=-1.解得：a-,b-2-(2)m1 7 7不等式f M (m-2)x-恒成立可化为ln x /n r-,x xB P I n x l时，加之与三恒成立，X -1令力(幻=若，.,(ln x +l)(x2-l)-2x-x ln x _ x2-x2 ln x-ln x-1则(x)=彳b=EP ；z n(x)=x2-x2 ln x-ln x-1,贝 i j mx)=2x-2xnx-x-=_ 1.x

11、 x令(工)=/-2冗21口 工 一1,贝Ij (x)=2x-4 x ln x-2x =-4 x ln x v O ；得 (x)=d 2/ln x-1 在(L+o o)是减函数，故九(x)=0 ,进而m而)0(或加(x)=x-2x ln x-,m(x)=-21n x-l+4 7 0 ,x x得M(x)=x-2 x l n x-L在(1,用)是减函数，进而机口)。).可得：z n(x).2例6.(20 22黑龙江模拟预测(理)已知函数f(x)=x l n x+-3 Z,求:(1)当1=1时,求 曲 线，x)在点(1,/)处的切线方程；(2)当x 3 时，总有/(x)l,求整数的最小值.【答案】(

12、1)2 x-y-4 =0(2)-3【分析】(I)先对函数求导，计算出斜率，再用点斜式即可；(2)分离参数转化为函数的最值问题.(1)当=1 时，/(x)=xlnx+x-3(x)=In x+2/=2/=一 2/(x)在点(1J)处的切线方程为 y+2=2(x-1)即 2x-y-4=0(2)由 题 意,由*)1,即xlnx+自一3后 1,即氏(x-3)l-x ln x,-,1-xlnx _，、_1 _又x3,.-.k-恒成立.x-3人 1-xlnx令 g(x)=-g(x)=3nx-x+2(x-3)2令/z(x)=31nx x+2,则h(x)=主三0,/z(9)=31n9-7 0,当 K(Xo，+8

13、)时，gr(x)-3,x()-3 A g-3 3 3即整数/的最小值为-3【点睛】方法点睛：对于零点不可求问题，可以设而不求，整体替换从而求出范围。题型三：端点不成立例 7.(2022辽宁大连高三月考)已知函数 x)=axe-(x+l)2(其中aeR,e为自然对数的底数).(1)讨论函数 x)的单调性；(2)当x 0 时，求”的取值范围.【答案】(1)答案见解析；Q00【分 析】(1)计算/(x)=(x+l)(a e -2),分别讨论”M()、0 20 时，解不等式/(工)0和r(X)对x 0 恒成立,分离“可得”联手令晨 力=吟 了(0)，利用导数求g(x)的最大值即可求解.由 /(x)=a

14、 x e”-(x+l)2 可得/(x)=tz(x+l)ex-2(x+l)=(x+l)(6 z ev-2),当 4 K()时，aex-2 0,当 0；当工 一1 时，/(x)0 时，由/(无)=。得，X)=-1,x2=l n-,a7若I n =-1,即a =2e 时，/(司2 0 恒成立，故在R上单调递增；a2若ln 2e 时，a由r(H 0可得：X -1；令r(x)v 0 可得：此 时 的 单 调 递 增 区 间 为a a-c o,ln|U(-l,+o o),单调递减区间为(i n j l)；2若 In -1,即 0 v a v 2 e 时、ao o由 r(%)0 可得：x l n-；由 r(

15、x)v 0 可得：-l x 2 e 时，/(%)的单调递增区间为1-8,In 总 和 ,”)，单调递减区间为(哈 一)当0 11 1%一 工2一 十 一3可得0 ,一1 1 1 1一+2 0对 0 恒成立,即也言对任意的x 恒成立令 g(x)=吟子(、0)，则,川=1+1 卜J（x +l）e（l n x +x-2）（x+）（3 _ n x-x）,8（可一 充 一 而令Z?(x)=3-l n x-x,则“(x)=-L-l 0,/i(e)=2-e 0,gx)0,g(x)单调递增;当 4(飞,+00)时,/2(X)0,，(X)0.(1)若a=l,证明：/(“NO；(2)若/(x)NO恒成立，求a的取

16、值范围.【答案】(1)证明见解析(2)1,+)【分析】(1)由a=l,求出函数导数，利用导数求出函数的最小值即可证明；(2)先 由 可 得 再 利 用 导 数 求 出 函 数 的 最 小 值，再根据e W x+1,不等式的性质证明最小值恒大于0即可求解.(1)当a=时，f(x)=ex-nx-l,fx)=ex-,x 0,易知y=/x)在(0,+功 单调递增，且 广 =0,所以0 cxe1 时，,f(x)1 时，f(x)0二f (x)在(0,1)单调递减，(1,+o o)单调递增,(2).”1)2 0,/.6?1 ,/(尤)=/*_：,x o,易知y=7(x)在(0,+8)单调递增，且 广 =/_

17、“，卜2号 _/_ 4x 当a2 1 时，/(A)0,.实数 的取值范围是口,y).例9.(2 02 2江苏镇江高三期中)已知函数/(x)=l n x,g(x)=kx2-2x(k e R).(1)若y=/(x)在X=1处的切线也是y=g(x)的切线，求Z的值；(2)若X(0,+o o),F(x)4 g(x)恒成立,求火的最小整数值.【答案】-4(2)7【分析】(1)先用导数法求得k/(X)在x =l 处的切线,再根据y=/(X)在x =l 处的切线也是y=g(x)的切线，将切线方程与y=g(x)联立，利用判别式法求解；(2)令-2 x-l n x,将x e(0,+o o),f(x)Vg(x)恒

18、成立，转化为*2 +空,对x e(0,+o)恒成立，利用导数法求解.(1)因为函数/(x)=l n x,所以/(x)=LX贝 =0，所以y=/(x)在x=i 处的切线方程为y=x-i，y=x-由,2 c，得f c ：2 _ 3 x+l=0，y=kx-2x因为y=/(x)在x=i 处的切线也是y=g(x)的切线，9所以A=9 4%=0,解得攵二:；4(2)令=g(x)-f(x)=kx1-2 x-l n x,因为x w(0,4 w),/。)8 3)恒成立，所以4 2 彳+学，对尤w(0,+8)恒成立，令夕(工)=1+-,Ml l，/、2 l-2 l n x l-2 l n x-2 x令 r(x)=

19、l-2 l n x-2 x,则/(x)=_：_ 2 v 0,所以r(x)在(0,4 o)上递减，又 r =_ 0,所以存在有r(x 0)=0,即”(毛)=0,因为。(x)在(。，/)递增，在(为,8)上递减，所以。(工)4*(*0)=2+电 孕，工 0 工 0又 I 2 In Xg _ 2 x（）=0,/2 1 -2XQ 1 1所以3(%)=_+2=_+丁?，与 2 x()X。2x0令 丫 =一 +丁？，由四 一,1|,iy-e+e,x 2x)2所以p(x)0,可得g(x)在卡上递增，即f，(x)在 R上递增，因为1(0)=0,所以当x 0 时，_f(x)0；当x 0 时，f(x)0 时，可得

20、a.2-；-恒成立，x-x)+x+-ex(2-x)ex+(-x-x-2)(2-x)ex+(-x3-x2)+(x2-x-2)设 h(x)=2一,则 ，(x)=-2-=-2-X X XX3-X3 可设2(x)=e*龙 2 了 一 1,可得 W(x)=e、一 工 一 1 ,2设 k(x)=ex-x-1,kx)=ex-I,由x0,可得恒成立,可得左(x)在(0,+oo)递增，加(幻在(0,+oo)递增，所以 inr(x)加(0)=0,即加(x)0恒成立，即m(x)在(0,+oo)递 增,所以?(x)皿0)=0 再令(=0,可得x =2,当0 v x v 2 时，/Z(x)0,(x)在(0,2)递增;7

21、x 2 时，、(x)v0,x)在(2,+8)递 减,所 以 (0 皿=力(2)=-7 _22综上可得a的取值范围是 f,+00).例 1 1.已知函数/(x)=x+Y+(a-l)x +l .(1)当a =1 时，讨论了(x)的单调性；(2)当x 0 时，f(x)x4+ex,求a的取值范围.【解答】解：(1)当a =l 时，/(x)=x4+x2+l ,所 以 1(x)=4 x3+2x=2x(2x2+1),当x 0 时，/(x)0,函数单调递增,当x v O 时，,f(x)0 时,X”+X?+(a-l)x +L,x4+e*恒成立，即 x?+(a-l)x+L,所以a l,-I,Xex-Y2-1令 g

22、(x)=-，X 。，X由重要不等式可知，当x 0 时，+则 g(x)=(e*2x)x(e、炉-1)_(x-D G-x-l),当x l 时，g，(x)0,g*)单调递增，当O v x v l 时，g x)0 时，.(x)0,函数f(x)单调递增,当x v O 时,f (x)0，函数f(x)单调递减,所以/(x)在(0,-H)上单调递增，在(YO,0)上单调递减；()当x =0 时，不等式/(x)gv 2OX2恒成立，1 X 3 +X +1.-x当x 0 时，由/(%).弓丁 一2ax2恒成立可得a.2-、-恒成立，-x3+X +1令 g(x)=-彳-，x ofx1 3 1 o(2 x)cx H

23、x x 2(2 x)(e x x 1)则 g(x)=-7-=-r-，XX令 m(x)=ex-x2-x-,贝 ij mx)=ex-x-,2令 h(x)=ex-x-1,x 0,贝 ij hx)=-1 0,所以(x)在(0,+oo)上单调递增，/2(x)/2(0)=0,所以加(x)0,z(x)在(0,转)匕单调递增，m(x)m(0)=0 所以当0 v x v 2 时，g (x)0，g(单调递增，当x 2 时，g (%)vO,g(x)单调递减，1-e2所以 g(x)M=g(2)=:，所以&一t1 _-e土2，41 P2故a的取值范围为 a I a.，一.题型五：洛必达法则例 1 3：已知函数/(x)=

24、a l nx+b x(a,O e R)在 x =1 处取得极值，且曲线y =/(x)在点(1,7(1)处的切线与直线x y +l =O垂直.(1)求实数a,。的值；(2)若 V x c l,+8),不等式/(幻 4(加一2)无 一生恒成立，求实数切的取值范围.X【解析】(1)：/(x)=a l nx +Z?x,二 f(x)=-+b；x函数/(x)=a l nx+版(a,O e R)在 x =1 处取得极值，：./(；)=2a +b =0；又.曲线y=/(x)在点(L/(D)处的切线与直线xy+i=o垂直，/(1)=。+力=1；解得：a=l,b=-2；Y)1 HI j(2)不等式/(x)1时，加

25、2 一 恒成立,X 1令 h(x)=xnxx2-l(lnx+l)(x2-l)-2x-xlnx1产_ x2-x2 lnx-lnx-1(T A，则人3人 /、2 21 i i，/、c c i 1 2%2 In x 1令根(%)=尤-lnx-lnx-1,则加(x)=2x-2xlnx-x=-；x x令n(x)=x2-2x2 n x-l,则 nx)=2x-4xlnx-2 x =-4xlnx0；得九(x)=%2-2%21nx-1 在(l,+oo)是减函数,故(x)=0,进而加(x)0(或加(x)=x-2 x ln x-，m(x)=-21nx-l+7 0,得m(x)=x-2 x ln x-在(l,+oo)是

26、减x x x函数，进而根()。).rIn X可得：m(x)m(l)=0f故/z(x)=1一 1(1)证明：当 一1时，f(x)；x+1X(2)设当xNO时，/(x)一一，则-0,f(x)-不成立;a or+1 tzx+1x X当“NO时，当xNO时，/(x)-,Bpi-e-x0,则1一 4-等价于,即一w e,ax+x ax+1 xex-x记 g(x)则 g (x)=e 2-2 e，2e +l _(xex-(xex-x f(ex-x2-2+ex).记h(x)=ex-x2-2+ex,则(x)=ex-2x-ex,h(x)=ex+ex-2 0.因此，(x)=e 2x 在(0,+8)上单调递增，且(0

27、)=0,所以/f(x)0,即(x)在(0，+8)上单调递增，且(0)=0,所以力(x)0.因此g (x)=?必无)0，所以g(x)在(0,+8)上单调递增.(xe-x)x ex-ex x ex ex+x ex i由洛必达法则有 l i m g(x)=l i m =l i m =l i m .=XT。XTO X E _ X XTO e)+x eA-1 0 2ex+xex 2即当X -0时-，g(x)f L,即有g(x),，所以2 2 2I si n x综上所述，a的取值范围是0,.例15.设函数/(%)=-.如果对任何x 0，都有/(x)W ax,2 2+c os x求。的取值范围.【解析】/(

28、%)=Sm V 0,则s i nx2+c os xs i nx%(2+c os x)即 g(x)=s i nxx(2+c os x)奴 等价于。2则 g (x)=2x c os x-2s i nx-s i n 尤 c os x +xX2(2+COS x)2t 己 M x)=2x c os x-2s i nx-s i n x c os x+%,hx)=2c os x 2x s i nx-2c os x-c os 2x +l =-2x s i nx c os 2x 4-1=2s i n2 x-2x s i nx =2s i nx(s i nx-x)因此，当(0,TT)时，hx)0,/i(x)在(0

29、,1)上单调递减，目(0)=0,故g (x)o x旬 x(2+c os x)2+c os x-x s i nx 3,、s i nx 1 1另一方面，当x e r,+8)时，g(x)=-7M 一X(2+CO S X)X 71因此31-3题型六：同构法例 1 6.已知函数/(x)=e*-/”(x+2)+/“-2 ,(1)若/(x)在 x=0 处取得极值，求。的值及函数的单调区间.(2)请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择.如果多写按第一个计分.若/(x).O恒成立，求 a 的取值范围；若f(x)仅有两个零点，求的取值范围.【解答】解：(1)函数f(x)=ae，一/(x+2)+/a-2 ,则

30、/(x)的定义域为(-2,),且 f(x)=aex-,x+2因为/(x)在 x=0 处取得极值，所 以(0)=0,即a g=O,解得a=g；此 时/(幻=!。、一一二，所以fx)在(-2,转)上单调递增，则当一2 c x e 0 时,f(x)0 时，r(x)0,则 单 调 递 增,所以x)的单调递减区间为(-2,0),单调递增区间为(0,+oo)；(2)若选:因为/(x).0恒成立,则aex-ln(x+2)+Ina-2.0恒成立,整 理 可 得+x+/a.历(x+2)+x+2恒成立,即8+.+x+lna.Jn(x+2)+eb,(x+2)恒成立,令*)=+x,则 h(x+Ina).h(ln(x+

31、2)恒成立，因为hx=，+1 0 恒成立,则力(x)为单调递增函数，所以+bia.ln(x+2)恒成立，即 Ina.ln(x+2)-x 恒成立,令(p(x)=lnx+2)-x ,x v -2 ,则“(X)=-!1=-1,x+2 x+2当-2 V X V-1 时，”(%)0,则以幻单调递增，当力-1 时,(px)0 恒成立,则力(x)为单调递增函数，所以x +/“=/(x +2),即历4/=方*+2)-在(一2,+00)上有两个根，令(p(x)=ln(x 4-2)-x ,x 0,则夕(x)单调递增，当%-1 时,“。）0,恒 有。(ettV+lj 2 x +I n x ,求 实 数。的 最 小

32、值 解 析+1)2 oa r(e +1)x2+ijln x2=(e*+lp n eav 2 x2+l)ln x2,令f(x)=(x +1)I n x，则r(x)=I n x +*+1,/(x)=-r =X，X X x X易知外x)在(0,1)上单调递减，在(l,y)上单调递增，所以/(X)2/(1)=2 0,所以/(x)在(0,zo)单调递增.则(*+1 n*(x2+l)ln x2 /(eav)/(x2)ear 2/=依22 1 n x =a 2 21n土,x/2 1 n r /2(1 -I n x)令g(x)=T，则g(x)=一当 x c(0,e)时，g，(x)0，当x w(e,+o o)时

33、，g x)0),若关于x的不等式/(x)0恒成立，求实数a的取值范围解析/(x)=ev-a I n (ax -a)+a 0 -er ln a(x -1)-1 =et-ln ln(x -1)-1 o ex-,n e,n(x-l)+ln(x -1),a令g(x)=e+x,则gx)=e“+1 0,所以函数g(x)为R上的增函数.则原命题又等价于g(x-I n tz)g(ln(x -1)ox I n。ln(x -1)o I n a x -ln(x -1).由于x -ln(x -1)-(x-2)=2,所以n a 2,即得0 a 0,不等式为 瞪-I n无+I n a()恒成立，求实数的最小值解析 2 a

34、e I n x +I n a 2 0 2aeIx 2 1 n =2 x elv I n (x 0)=2 x +I n 2 x 2 I n +I n (in 土 (x a).a a a a y a)设f(x)=x +l n x,贝 丫 卜)=1 +，0,所以函数/(x)在(0,+00)上单调递增所以由得2 x 2 I n 土，即恒成立.a)a e令g(x)=，则 g a)=，e e当0 x 0,当时，g(x)0 恒成立?试求出。的最大值.解:易知e -a r N x 2 1 n x 对一切x0 恒成立，当x =l 可得a e,则a 仅可取1、2ev 2下证a=2 时不等式恒成立，设 g(x)=l

35、n x,g(x)x x(x -2)(e -x)x3g(x)在(0,2)单调递减，(2,+0。)单调递增，g(x)g(2)=1(？-4-4 1 n 2)0当a=2时，不等式恒成立，所以a 最大为2.例 2 1.x2/-%-，求 k 的最大整数值.x2解:令/(幻=曲乎，显 然&I n 1-B|J I n x 3-x e x xx l n x+x所以/(x)=-x 2(2 X 3-I 刁x2+x c=4 +-4x-2例 2 2.求使得x e*2 x +%0 在0,+o o)上恒成立的最小整数k解:令g(x)=x e*-2 x +Jt,则必有g(0)0成立，此时解得&0 即左=1 符合条件下证人=1

36、 时，x2 x +l 0 恒成立由然 2 1 +x xcx 2 x +1 2 x(x+1)2 x +1 0例 2 3.(2 01 9 苏 州 三 模)已 知 函 数/(x)=(x-l)e，_y,其 中“eR.(I )函 数 的 图 象 能 否 与 X 轴相切？若 能，求 出实数”，若不能，请说明理由;(II)求最大的整数a,使 得 对 任 意 尤x2 G(0,+oo),不 等 式/(X+尤2)-/(%-/)-2 工 2 恒成立.【解答】解：(I )f,(x)=xex-ax.假设函数/(x)的图象与x 轴相切于点.0),则有/=0/w=o(-y=otel-at=0显然r xO,e =a 0,代入

37、方程。一1)d-3/=()中得，/2-2 r +2 =0.=-4(X,-X2)-(X j+x2)O f(%+9)+(石+9)/(王一 工 2)+(与一 期)恒成立设 g(x)=/(%)+%,则上式等价于 g(X +x2)g(xi-x2),要使g(X +x2)g(X -W)对任意%e R，x2 G(0,+8)恒成立，即使g(x)=(太一1)，一+工 在 7?上单调递增，M -0 +1.0 在 二恒成立.vgf(1)=e-a +L.O,则4，e +1,.9(x).O在 R上成立的必要条件是：a,e +l .下面证明：当a =3 时，xex-3 x+l.O恒成立.设力(乃=/一力一1,则/(%)=d

38、一 1,当x v O 时，(x)v O,当 0 时，/(x)0,/.h(x)I J l j n=(),即 V x R ,ex.x+.那么，当 x.O时，xer.x2+x,xex-3 x+if f iv2-2 x+1 =(x-1)2 0 ：当x 0 时，ex 0,3 x+l.O恒成立.X因此，。的最大整数值为3.题型八：m a x,m in函数问题例 2 4.(2 0 2 2.云南师大附中高三月考(文)已知函数f(x)=(xl)e*-g x2 +l,g(x)=s inx-奴，其中(1)证明：当 X.时，f(x).O.当X 1 时，/(x)O,X O,X =O 讨论即可得答案；(2)由题意，将 F

39、(x).O恒成立转化为当x 0 时，g(x)2 0 恒成立即可，对 g(x)求导得g，(x)=cos x-a ,分a V O、0 “0 时,e、一 1 0,则/(x)0 ；当 x 0 时，e*1 0,当 x=0 时，/(。)=0,所以当x eR时，r(x)0,/(x)在 R上是增函数，又 f(0)=0,所以当x N O 时，/(x)/(0)=0;当x 0 时，/(x)0,又 F(x)=m a x f (尤)，g(x)、/(x),所以当x N O 时，尸(x)2 0 恒成立，由于当x 0 时，/(x)0 恒成立，所以尸(x)F O等 价 于:当 x 0.g (X)=C OS X-Q.若 4 WO

40、,当一/x 0 时，Occos xvl,故gO O,g(x)递 增,此 时 g(x)vg(0)=0,不合题意;若 0 a l,当一 x 0,g(x)递增，此时g(x)g(0)=0,不合题意;若“21,当x 0 时，由cos xW l 知，对任意x 0，g (x)g(0)=0,符合题意.综上可知：存在实数“满足题意，。的取值范围是U，+8).例 2 5.(2 0 2 2云南师大附中高三 月 考(理)已知函数/(x)=(x-2)e i-g x2+x+g,g (x)=a x-s in x-l n(x+1),其中 a e R.(1)证明：当 x.l 时，当x l 时，f(x)l,x l,x=l 讨论即

41、可获得证明；(2)由题意，将尸(。.0 恒成立转化为当T x 0 两种情况讨论，结合g(x)的单调性及零点存X+1在性定理可得到满足题意的。【详解】(1)f(x)=(x-l)ev-x+l =(x-l)(e -1),xe R,当 xl 时，x-l 0,ei-l 0,则/(x)0；当x l 时，x-1 0 ,et-1 0,当 x=l 时，r(i)=o.所以当x eR时，/V)0,/(x)在 R上是增函数，又/=0,所以当xNl 时，/(x)/(l)=():当尢 1 时，/a)/(i)=o.(2)函数尸(x)的定义域为(-1，+8),由(1)得,当时，,f(x)N0,又尸(x)=m a x(x),g

42、(x)/(x),所以当x2 1 时，尸(x)2 0 恒成立.由于当时，f(x)0 恒成立，故 F(x)N0 等价于：当时，g(x)2 0 恒成立.g(x)=a-cosx-,5,(x)=s inx+-5 y.x+1 (x+1)当一 l x 0 时，-1 s inx 1,故 g (x)0；(X+1)当0 M x 0,故g (x)0.(x+l 从而当T x 0,g (x)单调递增.若 g (l)4 0,即 a W c o s l +；,则当 x w(-L 1)时，g (x)g (l)0,g(x)单调递减，故当x e(O,1)时，g(x)0,即”c o s l +1，取1,-1+工，2 I a+)贝!

43、j-1 -1 H-0,目.g (b)a cosb-W a +1-0,a+b+b+1故存在唯一-与c(-I,1),满足 g (X o)=O,当x e(-l,%)时，g(x)0,g(x)单调递增.若.0,则当X W (知 0)时,g(x)单调递增，g(x)0,则当x e(0,/)时，g(x)单调递减，g(x)0的解集；(2)若a =l,证明：当x 0 时，g(x)2；(3)用m a x m,”表示m ,中的最大值,设函数(x)=m a x /(x),g(x),若(x)2 0 在(),+)上恒成立，求实数。的取值范围.【答案】(1)/(x)在 R上是增函数，(3,物)；(2)证明见解析；(3).【分

44、析】(1)利用导数讨论N =/(x)的单调性，山/(3)=0,得到不等式/。)。的解集；(2)利用导数讨论y =g(x)的单调性，求出最小值，即可证明；(3)先判断当x 4 3 时，由 X)恒成立得到(x)“恒成立;再研究当x 3 时，x-3 0,ex3-1 0 f/M 0,当 3 时，x-3 0,一 0,当 x =3 时，(x)=0,所以当工1时，/V)0,即/在 R上是增函数；又3)=0,所以/(九)。的解集为(3,”).(2)g (x)=-s i n x.由0,得 e”l,s i n x e -1,1 ,则g，Q)=-s i n x 0,即g(x)在(0,”)上为增函数.故 g(x)g(

45、0)=2,即 g(x)2.(3)由(1)知，当x N 3 时，f(x)N O 恒成立，故九。)2 0 恒成立：当x 3 时，f(x)0,得。2-ex设函数)=一 詈、仪。,则 r (x)=s i n x+c o s x3令/(x)=0,得x =.随着X 变化，/(X)与X)的变化情况如下表所示:XIT43r,(x)4-0-r(x)/极大值所以r(x)在(0,；)上单调递增，在 停 3)上单调递减.心)在(0,3)上唯一的一个极大值，即极大 值 噌 卜 圣；故北圣4 血-1综上所述，所求实数”的取值范围为与-e,+8 .【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中

46、重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.题型九：构造函数技巧例 2 7.已知函数/(x)=,n x 7 H x-1 ,.(1)讨论函数/(x)的单调性；(2)若 8二f-二.且 关 于 了 的 不 等 式/空 在 +上 恒 成 立，其中e 是自然对数的底数,e求实数机的取值范围.【解答】解：(1)根据题意可知/(x)的定义域是(0,内)，fx)=m(lnx+),令/(%)=

47、0,解得：x=-,e当加 0 时，0 时，/(x)0,e e当 znvO 时，0 0,时，fr(x)0 时，/(x)在(0)单调递减，在 d，+8)上单调递增，e e当zvO时，/(九)在(0/)上单调递增，在 d，+00)上单调递减；e e2 1?(2)由题意：inxlnx-1,x2 x,即x+minx.0 在(0,+oo)上恒成立，e x e令 p(x)=x+-m l n x-，则 px)=1 -4-=-,x e x x x对于y=f 一 蛆-1,=+4 。，故其必有2 个零点，且 2 个零点的积为T,则 2 个零点一正一负，设其正零点为为(0,+8),则 1 =0,即 m XQ-,且 P

48、(处在(0,与)上单调递减，在(%,+8)上单调递增，2【放 P(毛)0 即/H-(XQ-.0,%与。1 1 2令 g(x)=x+(x)lnx，x x e则 q(x)=1 -(1H )lnx (1 r)=(14-r)lnx,X r X X-当工(0,1)时，qf(x)0,当 xw(l,+oo)时，/(x)vO,则qx)在(0,1)上单调递增，在。,”)上单调递减，又 q()=q(e)=0 故不 L e e e显然函数相=x -L 在L e上是关于%的单调递增函数，/e则机 -e,e-9e e故 实 数 的 取 值 范 围 是 e 且e e例28.已 知 关 于 x 的 函 数 y=f(x),y

49、=g(x)与 h(x)=kx+h(k,在 区 间。上恒有f (x)W?(x)g(x).(1)若，(幻=炉+2x,g(x)=-x2+2x,=(-OO,4-CO),求(1)的表达式；(2)若幻=工2 -x+,g(x)=Idnx,h=kx-k,)=(0,+oo),求左的取值范围；(3)/(X)=X4-2X2,g(x)=4x2-8,h(x)=4(?-t)x-3?+2?(0|r|y/2),D=m,-u6 1，求证：n-n1t，币.【解答】解：(1)由/(x)=g(%)得 x=0,又(x)=2x+2,(x)=-2x+2,所以r(0)=g0)=2,所以，函数/(x)的图象为过原点，斜率为2 的直线，所以(x

50、)=2x,经检验：h(x)=2x 符合任意，(2)h(x)-g(x)=k(x-1-Inx),1 jr-.10,s(x)单调递增，在(0,1)上，“(x)p(0)=1 +%.0,所以左=1,当 +10时，即左 一1时，,0,即(女+1/一 4(2+1),0,解得-1 2,3,综上，Ze0,3.(3)当掇 友 时，山g(x)(x),得4 8 4(/3 t)x 3/4+2广,整理得 x2-(t3-t)x +3ft 二 2厂二8,0,(*)4令=(r 7)2-(3/-2*-8),则=产一5广+3r+8,记夕 Q)=_ 5-+3，+8(1 领)6),则“=6/一 2 0 r+6/=2 f (3*1)(*