2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-22年真题)专题20解三角形.pdf

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1、专题2 0解三角形【考点预测】知识点一：基本定理公式(1)正余弦定理：在ABC中，角 A,B,C 所对的边分别是a,b,c,R 为ABC外接圆半径，则(2)面积公式：定理正弦定理余弦定理公式a b c_ _ 2/?sin A sin B sinCa2=b2+c2-2bccos A；b2=c2+a2-2accosB；c1=cr+tr-2ahcosC常见变形。=27?sin A,Z?=2/?sinB,c=27?sinC；(2)sin A=,sinB=,sinC=；2R 2R 2RA从cosA=-；2hcDc2+a2-b2cosB=-:2acc a2+b2-c22abSsABC=gabsinC=；0

2、csinA=JacsinB SABC=g(a+6+c)r(r 是三角形内切圆的半径，并可由此计算R,，.)知识点二：相关应用(1)正弦定理的应用边化角，角化边=a:c=sinA:sinB:sinC大边对 大 角 大角对大边aZi4BsinAsinB cos A cos B 合 分 比a+b+c a+b b+c a+c a b c._-=-=-=-=-=-=2Rsin A+sin 8+sin C-sin A+sin 8 sin 8+sin C-sin A+sin C sin A sinB-sinC(2)Zk A5c 内角和定理：A+3+C=%sin C=sin(A+B)=sin Acos B+c

3、os Asin 3 o c=a 8 s B+匕 cos A同理有：a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC.-cos C=cos(A+B)=cos Acos B-sinAsinB；tqn A+tqn R斜三角形中，一 tan C=tan(A+B)=-。tan A+tan B+tanC=tanA-tan?tanC1 -tan A-tan B公 sm.(/-A-+-B-)=cosC ；cosz(A-4-B-)=s.in C2 2 2 2在AASC中，内角A B,。成等差数列0 B =%,4+。=二.知识点三：实际应用3 3（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角

4、叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图）.图 图 图 图 （2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为a（如图）.（3）方向角：相对于某一正方向的水平角.北偏东a,即由指北方向顺时针旋转到达目标方向（如图）.（2）北偏西a,即由指北方向逆时针旋转a到达目标方向.（3）南偏西等其他方向角类似.（4）坡角与坡度（1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图，角。为坡角）.（2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图，i 为坡度）.坡度又称为坡比.【方法技巧与总结】1.方法技巧：解三角形多解情况在aABC中，已知a,6和 A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形zLC

5、A BA B；-B至cA-.Bc0A H关系式a=bsinAhsinAa baha t a n 3 =J3 lacTT又因为08/2 =s in fC-1 =2 2 2 I 2因为0 C 0,所以cosC=,2T T由c 为三角形内角得c=g：由 cos A=,则 sin A=,4 4所以 sin 2A=2sin Acos A=,cos 2 A=2 cos2 A-l=2x 二一 1 二 一 1,444 16 4 -o A r i o A-r 1 1 6 /i5 A/3sin 2A+C=sin 2 A cos C+cos 2 A sin C=-x-x =-；/4 2 4 2 8(2)因为aABC

6、的面积S=sin C=叵，所 以=6,2 2由余弦定理 c?=+加-2 a)8 s C 得 7 =a2+b2-a b a2+b2=1 3 ,由解得a =2,b =3 或。=3，b=2.例 6.(2 0 2 2 青海西宁二模(理)在a =6；a =8；。=1 2 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求co s A 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在AA3C,它的内角A,B,C 的对边分别为“，b,J面积为S,且 +/一。2=4 5,c -5 /2?【答案】答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】根据题干条件及余弦定理、面积公式，可求得角C 的值，若选。

7、=6,根据正弦定理，可求得s in A 的值，根据大边对大角原则，可得角A只有一解，根据同角三角函数关系，可求得co s A 的值；若选a =8,根据正弦定理，可求得s in A 的值，根据大边对大角原则，可得角A有两解，根据同角三角函数关系，可求得co s A的值；若选a =1 2,根据正弦定理，可求得s in A的值，因为s in A l,则三角形无解.【详解】由题意可知在AABC中，因为/+-c 2=4 S,且S=g必s in C,所以=s in C,2 a b由 余 弦 定 理 可 知=co s C,2 a b所以 co s C=s in C因为C w。),所以c=工；4若选a =6,

8、由正弦定理可 得 三 =-s in A s in eA =s in C=,在AA8C中，因为c “，所以C A,c 5 V2 2 5又因为C=(,则角4只有一解，且所以 co s A =Jl-s in。A =J l-(/)=；若选a =8,由正弦定理可得 一 二=一，s in A s in e解得 sin A=sinC=x =,c 5V2 2 5在AMC中，因为c “，所以C 1,所以AABC无解，即三角形不存在.【方法技巧与总结】(1)已知两角及一边求解三角形；(2)已知两边一对角；.大角求小角一解(锐)两解一sin A 1题型二：余弦定理的应用例 7.(2022全国高三专题练 习)设AAB

9、C的内角A,B,C 所对边的长分别为a,b,c,若AABC的面积为 S,且4A/5S=(a+6),则sin(c、()A.1 B.；C.D.正2 2 2【答案】B【解析】【分析】由三角形面积公式及余弦定理结合已知条件可得6 sin C-co sC =l,利用两角和差化积公式可得【详解】丁 S=absmC,a2+一/=2abcosC,代入4 G s=(a+bf-c2=a2+b2-c2+lab,即 2石扇sinC=2abeosC+2ab,。=0,V3sinC=cosC+l 即 6 s in C cosC=l,V s._ i厂.r 吟.sin C-cos C=-=sin C-=一,2 2 2 V 6

10、j 2故选：B.例 8,（2022青海玉树高三阶段练习（理）在“BC中，内角A,B,C 的对边分别为 ，c,且a=2 ,cos4=J,sinB=2sinC,则=（）4A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】由正弦定理得b=2 c,在 ABC中，由余弦定理即可求解.【详解】因为sin 8=2sinC,由正弦定理可知b=2c,在“BC 中，由余弦定理可得：cos.J+f-叽/：，；-24=:,解得/=4,.-c0,.-.c=2,2bc 4 4c 4故b=4故选：D例 9.（2022青海大通回族土族自治县教学研究室三模（理）在“8 C 中，m b,c 分别是角A,B,的对边.若 ，b

11、,c 成等比数列，且/一 c?=（a-b）c,则A 的大小是（）B.工 C.生 D.斗6 3 3 6【答案】B【解析】【分析】由等比中项得=a c,结合题设得儿=+2-/,结合余弦定理即可求解.【详解】由已知得由 一 c?=（一 3）。，得/一 02=比 _ 历，所以/一廿=2-A ,be=h2+C2-CT由余弦定理得COSA=+C2-=上土=2,又A e（0,m,所以A=1.2bc 2bc 2 3故选：B.例 10.（2022河南安阳模拟预测（理）在AABC中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,满足2b2 -3 c2 一 ac=0,sin（A+8）=2sin A,则 t anC=.【答案

12、】B2【解析】【分析】由正弦定理角化边，即可得到。=为，从而得到 人 缶，再由余弦定理求出c o s C,最后由同角三角函数的基本关系计算可得；【详解】解：因为sin(A+8)=2 s in A,即sinC=2 s in A,由正弦定理可得 =为，又 2/一 3/=0,即0-1 2/-2 =0,即 b=&a,由1余八弦定理二 c 二 4+/-2abcosC P1即n cos C_ =c-i-+-h-c-=-。-+-7-。7=：4-=-2-y-,2ab 2。2 7所以 sin C=71-cos2 C=也 ,7叵sinC _ 7 _ _ V3所以 tan C=-=-f=-=；cosC 2/7 27

13、故答案为：息2【方法技巧与总结】(1)已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边.(2)己知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值，0,则 ABC为锐角三角形若余弦值=0,则AABC为直角三角形.0,则 ABC为钝角三角形题型三：判断三角形的形状例 11.(2022吉林三模(理)在AM C 中，A,B,C 所对的边分别为a,b,c,a2-b2=c2-y/2bcS.6cosC=a s in 8,贝 心 钻。是()A.等腰直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形D.直角三角形【答案】A【解析】【分析】由/-=c 2-J c 结合余弦定理可求得A=J,由6cosc=asinB 结合正弦

14、定理可求得C=,从而可44判断出三角形的形状【详解】由。2 -从 二-及 6。，得从+H 一。2 =0 。，所以由余弦定理得cosA=Cz d=X l丝=立，2bc 2bc 2因为 A w(0,7t),所以A=j4因为 bcosC =asin B,所以由正弦定理得sin B cos C =sin Asin B,因为 sin 8 w 0,所以 cos C=sin A=sin =，4 2因为C w(0,7 r),所以C=工，4所以3 =兀一A C 二兀 一 百 一 色=工，4 4 2所 以 为 等 腰 直 角 三 角 形，故选：A例12.(2022陕西西北工业大学附属中学模拟预测(理)设的内角A、

15、B、C的对边分别是人b、c,#-+7-=则 AABC的形 状 是()a b c a+b-cA.等边三角形B.C为直角的直角三角形C.C为顶角的等腰三角形D.A为顶角的等腰三角形或B为顶角的等腰三角形【答案】D【解析】【分析】将式子去分母整理即可得到(a+(a-c)出-c)=0,即可判断：【详解】解：.1+1-!-=,a b c a+b-cbc(a+力 一c)+ac(a-b-c)-ab(a+b-c)=abc,HP abc+b2c be2+a2c+abc-ac2 erb ab2+abc-abc=0,合并得：Ire-b e1+cc-ac1-erb-ab1+lube=0,(erb-a2c)+(-abc

16、+ac2)+(ah2-abc)+(-h2c+he2)=0,a2(b-c)-ac(b-c)+ab(h-?)-hc(b-c)=0,(a2-a c+ab-bc)(b-c)=0,a(a c)+b(a c)(b-c)=0,.(a+b)(a-c)(b-c)=0,4=（?或方=c,所以AABC为以A 为顶角的等腰三.角形或B 为顶角的等腰三角形；故选：D.例 13.（2022青海 海东市教育研究室一模（理）AABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若c1+b1 cos2 A=2 bc c o sA,则 ABC 为（）A.等腰非等边三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形【答案】B【解析】

17、【分析】由条件可得c=b c o sA,由正弦定理结合三角形中有sinC=sin（A+8）,利用正弦的和角公式可得sin Acos 3=（）,从而可得出答案.【详解】山 c?+（bcos A）-2cbeos A=0,可得（c-bcos A）=0,所以c=bcosA,所以 sin C=cos Asin B.在 AABC 中，sin C=sin（A+B）=sin Acos B+cos Asin B,故 sinAcos3=0,因为sinA w O,所以cos8=0,因为0 8 由余弦定 理 从=a2+c,2-2accosB得：a c =a2+c2-a c，整理得3-。）2=0,即。=。，ABC是等腰

18、三角形，所 以AM C是等边三角形.故选：BA+例16.（2022.全国高三专题练习）在AABC中，NA,DB,NC的对边分别为“，b,c ,cos2-=,2 2 c则AABC的 形 状 一 定 是（）A.正三角形 B.直 角 三 角 形C.等 腰 三 角 形D.等腰直角三角形【答 案】B【解 析】【分 析】根据降暮公式，先得到匕受=詈，化简整理，再由正弦定理，得 到sinAcosC=0,推 出cosC=（）,进而可得出结果.【详 解】因为温仁宇2 2 c所以1 +cos A sin B+sinC sin B 1-=-=-1 2 2sinC 2sinC 2所 以cos A=sin BsinC即

19、 cos Asin C=sin B=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C,所以 sin Acos C=(),因为 sin A w 0,所 以cosC=0,因 为C e（O,乃），所 以C=,即A/IBC是直角三角形.故选：B【方法技巧与总结】(I)求最大角的余弦，判断AABC是锐角、直角还是钝角三角形.(2)用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰、等边还是直角三角形.题型四：正、余弦定理与的综合例 17.(2022.全国高三专题练习(理)如图，在AABC中，。是AC边上一点，ZABC为钝角，ZDBC=90.sin NABC=L AC=3AD.1

20、4注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)证明见解析(2)73【解析】【分析】(1)根据三角形的外角和性质及诱导公式即可求解；(2)选，根据同角三角形的平方关系，得出co sZ A B C,再利用余弦定理、正弦定理及锐角三角函数的定义，结合三角形的面积公式即可求解；选，设出A D,根据勾股定理，得 出 结 合 已 知 条 件 得 出 A。,8 2。，利用锐角三角函数的定义,得 出 角 C,进而得出角Z 4 D 8,再 利 用：角形的面积公式即可求解.(1)因为 ZAD3=90+C,所 以 cos ZADB=cos(90+C)=-sinC,故 cos ZADB+sin C=

21、0；(2)选 sinN4 8 c=14因为 NABC90。，所以 cos ZABC=-J l-sin 2 NABC=14在AABC中，由余弦定理可得AC=J28+4-2X2&X2X(-立)=6，2A/7 6由正弦定理可得sinC 一 3再14所以 sin C=,故 C=60,2在必中，因为 8 c =2,所以 8=8CtanC=2tan60o=2 G，又sin Z A B D =sin（NABC-90）=-c o sZABC =兴.S0 y=g4BxBOxsin NABQ=g x 2/x 2 x/5 x 春=&选 AC=3AD,设 AO=x,则。C=2 x,在肋C8O中，B D =D C-B

22、C2=2 y 7 .y A rn -xxzF.+4x?4 28 2A/X 1由（1）cos Z A D B+sin C=01-,+-=0,2 x x 2/x2-1 2x解得 x=2,B J A D=2,BD=273,CD=4,在心C8D中，则tanC=73,0OC B=C+ZBC=60+90=150.所以 S=-x ADx BDxsin ZADB=-x 2x2 x-=.例 18.（2022全国高三专题练习）在AB=2 4）,sinZACB=2sin/4CZ）,=2S4Ao，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知在四边形ABCZ）中，Z A B C+Z A D C =i t,B C

23、 =C D =2,且.（1）证明：tanNABC=3tanNB4C；（2）若 AC=3,求四边形ABCO的面积.【答案】（1）证明见解析亚8【解析】【分析】（1）选择，由正弦定理及角度关系推出N5AC=4 M C 及sinNACB=2 sin/A C D,结合两角和的正弦公式及诱导公式，进行证明；选择，利用正弦定理推导出N84C=N D 4 C,直接利用两角和的正弦公式及诱导公式即可推出结论；选择，由正弦定理，面积公式及面积的倍数关系得到4 4 C =ND4C,sin/ACB=2 s in N A 8,使用两角和的正弦公式及诱导公式进行证明；（2）在证明出第一问的基础上，设出边长，利用余弦定理

24、求出A。的长及角的正弦值，进而利用面积公式进行求解.(1)方案一：选条件.在AABC中，由正弦定理得,在八4 8 中，由正弦定理得,AC BC ABsin ZABC sin ZBAC-sin ZACBAC CD ADsin ZADC sin Z.DAC sin ZACD因为 NABC+NAC=7 t,所以 sin/ABC=sinNAZ)C,因为BC=C E,所以sinN84C=sinNMC,因为/BAC+NOAC兀，所以/8A C =NZMC,因为A3=2AO,JWtAsinZACB=2sinZACD.因为 sin 4 c B =sin(ZABC+NBAC),sin ZACD=sin(ACAD

25、+ZADC)=sin(ABAC+n-ZABC)=sin(ZABC-ABAC),所以 sin(ZABC+ABAC)=2sin(ZABCNBAC),即 sin ZABCcos ABAC+cos ZABCsin NBAC=2(sin ZABC-cos NBAC-cos ZABCsin ABAC),所以 sin ZABCcos ABAC=3cos ZABCsin ABAC,所 以 tan ZABC=3tan ABAC.方案二：选条件.在AABC中,由正弦定理得,ACsin/ABCBCsin ABAC在ACO中，由正弦定理得,AC CDsin ZADC sin ZDAC因为/A8C+ZADC=7T,所以

26、 sinNABC=sinNAC,因为 3C=8,所以 sin NBAC=sin ND4c.因为 NBAC+NZMCVJT,所以 N8AC=Ntt4C.因为 sin ZACB=sin(ZABC+ZS4C),sin ZACD=sin(ACAD+ZADC)=sin(ABA C+n-ZABC)=sin(ZABC-ABAC),sin ZACB=2sin ZACD,所以 sin(ZABC+ABAC)=2sin(ZABC-ABAC),即 sin ZABCcos NBAC+cos ZABCsin ABAC=2(sin ZABC cos ABAC-cos ZABCsin ABAC),所以 sin ZABCcos

27、 ZBAC=3cos ZABCsin ABAC,所 以 tan ZABC=3 tan NBAC.方案三：选条件.因为 AC sin ZAC8，SAC D=CD-AC sinZACD,且 3 c =8，5 =2 5 ,所以 sin ZACB=2sin ZACD在 ABC中，由正弦定理得,AC BCsin ZABC sin NBAC在八4 8 中，由正弦定理得,AC CDsin ZADC sin ZDAC因为NA3C+ZADC=7 t,所以sinNABC=sinNADC,因为3 c =8,所以sinN84C=sinZQ4C,因为 N 84C+N D 4c兀，所以 NBAC=ND4C.因为 sin

28、ZACB=sin(4B C+N 8A C),sin ZACD=sin(Z.CAD+ZADC)=sin(ABAC+n-ZABC=sin(ZABC-ABAC,所以 sin(ZABC+ZBAC)=2sin(ZABCNBAC),即 sin ZABCcos ABAC+cos ZABCsin NBAC=2(sin ZABC-cos ABAC-cos ZABCsin ZBAC),所以 sin ZABCcos ZBAC=3cos/ABCsin ABAC,所 以 tan ZABC=3 tan ZBAC.(2)选择，答案均相同,由(1)可设 A。=x,则 AB=2x,在AABC中，由余弦定理得，cos NABC=

29、4*叱30二2ABBC8x在ACO中，由余弦定理得,c+8-C?上2ADCD4x因为 cos ZABC=cos(it-ZADC)=cos ZADC,所 以4 r2 二-S =-3Y2-S,解得x=8x4x亭或一噜(舍去),所以 cos ZABC=8所以 sin ZABC=sin ZADC=35/6所以四边形 48CC 的面积 S=3SAA8=3ACO sinN4DC=%ACD 2 8例 19.(2022全国 高三专题练习)在sin2C=G c o sC,c(2+cosB)=屉sinC,0sin4+G cosB=0 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的三角形存在，求该三角形的面积

30、；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在AA 3 C,它的内角A B,C 所对的边分别为a,4C,且b=7,c=5,9【答 案】答案见解析.【解 析】【分 析】选 择 ，利用二倍角正弦公式得2sinCcosC=&cosC,通过边与角的关系知COSCR0,进 而 得sinC=也，2再利用正弦定理计算得s in B l,出现矛盾，故不存在；选 择 ，由正弦定理结合逆用两角和差化积公式计算得8=手24，利用余弦定理可得。=3,再利用面积公式得解；选 择 ，利用正弦定理结合同角之间的关系得到5=子，利用余弦定理可得。=3,再利用面积公式得【详 解】选择 sin 2c=0 cos C由 sin

31、2c=/5cosC,得 2sinCcosC=GcosC.若cosC=0,.=,与c 1,与sin841矛盾.所 以，若选择条件，则问题中的三角形不存在.选择 c(2+cos B)=yfihsin C在ABC中，根据正弦定理，得sinC(2+cos5)二百sinBsinC.v CG(O,),则sinC 0,2+cos8=V5sinZ?,即6 s in 3 cos3=2,整理为_ _ 7T _.7T 57r 八 7 C 7 C 八 20 v B v 4,-B-0,A sinB+VScosB=0.v B G(0,),sin B 0 cosBO,tan B=由=石,B=.cos 3 3根据余弦定理，a

32、2+c2-2accos B=b2 结合匕=7,c=5,a2+56/-24=0,解得：a=3 或。=-8(舍 去).ABC的面积为5=,八由8=走.2 4例 20.(2022全国高三专题练习)/XABC的内角A,B,C 的对边分别为，b,c,己知 A 3 c的面积为(；。2-从卜nC.(1)证明：sinA=2sinB；3、(2)右 acosC=/b ,求 cos A.【答案】(1)证明见解析；(2)一女.4【解析】【分析】(1)根据三角形面积公式及三角形内角性质可得:必一/，再由正弦定理的边角关系即2 2可证结论.(2)由(1)及题设可得cosC=3 e(X Z,3)，进而求得sinC=也，应用

33、余弦定理及正弦定理边角关4 2 2 4系求s i n S,即可求c o s B,注意根据8 的范围判断符号，最后利用cosA=-cos(8+C)及和角余弦公式求值即可.(1)由题设，；sin C =(ga2-ZJsinC,又sin C/0,所以=-A。,由正弦定理可得sin AsinB=sin2 A-Zsin?B 2 2所以 sin B(sin A+sin B)=sin2 A-sin2 B=(sin A+sin B)(sin A-sin B),又 sin A+sin 8w 0,所以 sinB=sin A-sin3,即 sin A=2sinB.(2)3由(1)及题设，sin Acos C=2si

34、n Bcos C=-sin B,H sin B 0,2所以cosC=s(-,-),则故sinC=,7_又 a2+b2-c2 sin?A+sin?8-sin2 c 5sin B-3,可得弧 8=巫，2ab 2sin Asin B 4sin2 B 4 6若c o s B =-Z一 立，则 多 3 万，而=A +B,则 A D =6 s i n C,所以a =b s i n C,由正弦定理得s i n A =s i n B s i n C.由余弦定理得/=8 2+c2-2/?CCOS45=/?2+c2-y/lbc，因为 b c s i n 4 5 o =：az,所以/=受 儿，2 2 2所 以 乌

35、C =/+c 2 一 标 c,即从+2=：缶。,2 2所以尹鸿日例 22.（20 22山东潍坊模拟预测）在 他。中，内角A 5,C 的 对 边 分 别 为 a n 4 +A t a n 3 =*2c o s A求角B;（2）。是 4c边上的点，若 8=1,A D =B D =3,求s i n A 的值.T T【答案】（1）8 =(2)s i n A=7【解 析】【分 析】(1)利用正弦定理边化 角、切化弦，结合三角恒等变换公式可化筒己知等式求得c o s B,由此 可 得8；(2)设N 4 B =N B 4 =e；在AABC和ABDC分别利用正弦定理和余弦定理可构造关于s i n。的方程,解方

36、程可求得结果.(1)由6 t a n A +6 t a n 8 =显得：也1 +包 =金，c o s A c o s A c o sB bc o sAi l l i E 弦定理得 s i n +si n B _ s i n A c o s B+c o s A s i n B _ s i n(A +B)一 V3 s i n Cc o s A c o s 8 c o s A c o s B c o s A c o s B s i n B c o s A/s i n(A +B)=sin-C)=s i n C ,又。(0,4)，1.s i n C w O,.s i n B c o s A =G eo

37、s A c o s 8；t a n A 有意义，.c o s A w O,.t s i n 8 =VJ eo s 8,即 t a n 8 =6，又B e(O,万)，.B ug.(2)/A D =B D,：.ZABD =Z B A D，设N A B =N 6 A D =e,则N B D C =26,在仅4 B C中，由正弦定理得：刍二.与 廿,即8 C =邛=sin；s i n 0 s i n Z A B C s i n 3在 A8C 中，由余弦定理得：B C2=B D2+C D2-2-C D c o s 26 =1 0 -6 c o s 26 ；.y s i n26 =1 0-6 c o s

38、26 =1 0-6(l-2s i n26),解得：s i n26 =1,即s i n 2A =5,又A e(O,R,；.s i n A =母.【方法技巧与总结】先利用平面向量的有关知识如向量数量积将向量问题转化为三角函数形式，再利用三角函数转化求解.题 型 五：解三角形的实际应用例23.(20 22陕西西 安 中 学 一 模(理)为 了测量隧道口 A、8间的距离，开 车 从A点出发，沿正西方向行驶4 0 0 0米 到 达。点，然 后 从。点出发，沿正北方向行驶一段路程后到达C点，再 从C点出发，沿东南方向行驶400米到达隧道口 B点处，测得8 0间的距离为1000米.(1)若隧道口 B在点。的

39、北偏东。度的方向上，求cos。的值;(2)求隧道口 AB间的距离.【答案】(l)cos0=f(2)1000 米.【解析】【分析】(1)由正弦定理及同角三角函数的关系可求解；(2)由余弦定理可求解.在 B C D中，由正弦定理 得 空sineBCsin/CDBHn1 1 j _1_0_0_0_ 400=_ sin450-sin ZCDB?所以sin NCOS=也，5由题可知，NCDB8=,S U cos 0=-5 5由（1）可知，cosZADB=sin ZCDB=,5在ABD 中，由余弦定理得 A8?=82+A22 8 A COSNAQ8=10002+（400匹f -2x 1000 x4 0 0

40、 0 x =l000000,所以 4?=1（XX）,故两隧道口 A 8间的距离为1000米.例24.（2022上海市建平中学高三期中）如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通A、B两地，A处位3于 东 西 方 向 的 直 线 上 的 陆 地 处，8处位于海上一个灯塔处，在A处 用 测 角 器 测 得 下，在A处正西方向1km的点C处，用测角器测得tanNBCN=l.现有两种铺设方案:沿线段A 8在水下铺设；在岸 M N 上选一点P,设N B P N =9,0 e|o,y j,先沿线段A P 在地下铺设，再沿线段P B 在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/k m、4 万元/k m.

41、(1)求 4、8 两点间的距离；(2)请选择一种铺设费用较低的方案，并说明理由.【答案】(1)5千米；(2)选择方案，尸在A点正西方4-6 T米处，理由见解析.【解析】【分析】(1)设=千米，结合己知条件有t a n N =9 求出X,根据线段关系及勾股定理求4 BX 4-1 4两点间的距离；(2)计算方案的费用，根据己知可得方案的费用为2 4 尸+48P=8+迎二 普,利用导数研究最si n g值，然后比较两种方案的费用大小，即可确定费用较低的方案.(1)由 ta n N3C N=l,若 B C =0 x 千米，则X 3t a n N =,可得x=3,x+1 4所以A B =j 32+42

42、=5 千米.(2)方案：铺设费用为5x4=2 0万元；方案：AP=4一一BP=工,铺设费用为2 A P+48P=-+8 一 =8+6(2 ta n 夕 si n e si n。ta n。si n。令 f（e）=2-cossin，则/（，）=l-2cos0s i/。当cos，（0,g）,，呜时尸（6）0,当cos。e g,1）,（0,多 时 r（6）0.所以八。）在（0,争上递减，号 9）上递增，则/（%“=!）=6故铺设费用最小为8+6 g 万元20万元，综上，选择方案，尸在A 点正西方4-6 米处.例 25.（2022.广东湛江二模）如图，一架飞机从A地飞往8 地，两地相距200k m.飞行

43、员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成6 角的方向飞行，飞行到C 地，再沿与原来的飞行方向成4 5 角的方向继续飞行60五 k m 到达终点.【答案】（1）20国 k m【解析】【分析】（1）利用余弦定理可直接求得AC的长；（2）利用余弦定理求出cos。的值，结合同角三角函数的基本关系可求得tan。的值.（1）解：由余弦定理可得 AC?=4炉+8C?-2AB BCcos B=2002+(6 0 0 7 一 2 x 200 x 6 0 0 cos45=23200,所以，4 c =20屈 k m.解：由余弦定理可得cosA=AB+AC-BC?=竺2ABAC58所以，c

44、os=cos A=Z,则 6 为锐角，故 sin 6=Jl-cos?9=,因此，tan J.58 58 cos（9 7例 26.（2022.山东泰安高三期末）在某海域A 处的巡逻船发现南偏东6 0 方向，相距。海里的B处有一可疑船只，此可疑船只正沿射线y=x（x 2 0）（以B点为坐标原点，正东，正北方向分别为*轴，y 轴正方向，1海里为单位长度，建立平面直角坐标系)方向匀速航行.巡逻船立即开始沿直线匀速追击拦截，巡逻船出发f小时后，可疑船只所在位置的横坐标为初.若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，则恰好1小时与可疑船只相遇.(1)求的值；(2)若巡逻船以55海里/小时的速度进行追击

45、拦截，能否撼截成功？若能，求出撼截时间，若不能，请说明理由.【答案】(1)a=1。6力=15(2)能够拦截成功拦截，时间为2小时【解析】【分析】(1)设1小时后两船相遇于点C,根据AM C 关于y轴对称，且48=8。=,4 4 =120。，即可求解；(2)设7小时后两船相遇于点。，利用余弦定理列出方程，即可求解.(1)解：由题意，直线y=的倾斜角为3伊，若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，设1小时后两船相遇于点C,如图所示，则ACx轴，AC=3 0,且关于y轴对称，所以 AB=a,ZABC=1 2 0,所以 a=15-=1Q区。=1。6 cos 30=15.cos 30解：若巡逻船以

46、5 0海里/小时进行追击，设/小时后两船相遇于点O,如图所示,则.R O。，如袅=1。后，35历，团1。5因为AD2=AB2+BD2-2AB-BDcos ZABD可 得（5历）2 =（10扬2 +（10 4）2 _2xl0/3xlQ拒tx2整理得3/-4/-4 =0,解得f=2或f=-（舍去）,所以能够拦截成功拦截时间为2小时.例 2 7.(2 0 2 2 辽宁大连市一。三中学模拟预测)如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小 岛 B位于小岛A 北偏东7 5：距离6 0 海里处，小岛B北偏东15。距离3 0 石-3 0 海里处有一个小岛C.(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛C,求游船航

47、行的方向.【答案】(1)3 0 灰海里(2)游船应该沿北偏东60的方向航行.【解析】【分析】(1)三边一角，由余弦定理可以求小岛A到 小 岛 C的距离；(2)两边两角，由正弦定理可以求角.(1)解：(1)在 AABC中，AB=6 0,8 c =3 0 4-3 0Z A B C =18 0-7 5 +15 =12 0,根据余弦定理得：.A C2=AB2+B C2-2 AB-8 c c o s Z A B C=6 02+(3 0 6-3 0)2-2 x 6 0 x (3 0 石-3 0)-c o s 12 0 =5 4 0 0A C =3 0 n.所以小岛4到 小 岛C的最短距离是3 0 娓海里.

48、解：(2)根据正弦定理得:A C ABsi n 乙 ABC-si n NAC B30A/6si n 12 06 0si n Z.AC B解得 si n A AC B=2在A A B C 中，N A C B 为锐角Z A C B=4 5 Z C A B =18 0 -12 0 -4 5 =15 .由7 5-15 =6 0。得游船应该沿北偏东6 0。的方向航行答:小岛A到 小 岛 C的最短距离是3 0 几 海里;游船应该沿北偏东6（?的方向航行.例 2 8.（2 0 2 2 黑龙江大庆高三阶段 练 习（理）如图，测量河对岸的塔高A 8时，可以选取与塔底8 在同一水平面内的两个测量基点C与。.现测得

49、Z B C D=a =3 5。，N B D C=6=10 0。，C D =4 0 0 m.在点C测得塔顶A的仰角为5 0.5。.D 求 8与。两点间的距离（结果精确到1 m）；（2）求塔高A 8 （结果精确到1 m）.参考数据：取&si n 3 5 =0.8 11，/2 si n 8 0 =1.3 9 3 1 ta n 5 0.5 =1.2.【答案】3 2 4 m（2）6 6 9 m【解析】【分析】（1 ）求出N C B D =4 5。,在 B C D 中利用正弦定理进行求解；（2）先在 88中利用正弦定理求出BC的长度，进而利用正切值求出塔高A B.（1）在 38中，Z C B D =1 8

50、 0-a-/3 =4 5,由正弦定理得二=业,si n Z.C BD si n an,“A C D si n a 4 0 0 si n 3 5 0 厂则 BD=加 夜 疝 3 5。=4 0 0 x 0.8 1 1 =3 2 4.4 “3 2 4 m由正弦定理得C Ds i n Z C B DBCs i n PC D s E 0si n N C B D4 0 0 s i n 1 0 0。s i n 4 5 4 0 0 s i n 8 0 s i n 4 5 则8 C =4 0 0 应 s i n 8 0 =4 0 0 x 1.3 9 3 =5 5 7.2 m .故塔高 A B =B C t a