2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-22年真题)专题22平面向量的数量积及其应用(解析版).pdf

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1、专题2 2平面向量的数量积及其应用【考点预测】一.平面向量的数量积。(1)平面向量数量积的定义己知两个非零向量与6,我们把数量l a l l R c o s。叫做a与b的数量积(或内积),记作即a b=|a|W|c os 6,规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2)平面向量数量积的几何意义向量的投影：l a l c o s e叫做向量。在。方向上的投影数量，当。为锐角时，它是正数；当。为钝角时，它是负数；当e为直角时，它是0.a 6的几何意义：数量积a )等于”的长度|a|与b在a方向上射影16 1c o s。的乘积.二.数量积的运算律已知向量a、b、c和实数2,则：a，b=b-a；(Aa)

2、-b=2(a b)=a-(Ab)；(a+b)c=a c+b c.三.数量积的性质设a、都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，。是。与e的夹角，则 e-a =a-e=|a|c o s0.a b a-b-0.当a与6同向时，a b a b；当a与入反向时，a-b=-a b.特别地，a =|“或|a|=&.c o s。=望 吆-(|a|)|#0).|a b|W|a|b|.四.数量积的坐标运算已知非零向量。=(%，乂)，b=(x2,y2),。为向量a、b的夹角.结论几何表示坐标表示模|a|=xla aI a|=2 +y 2数量积a b=a b co s0a b =xtx2+yy2夹角c o s 0

3、=0 HIMIc o s ,g+产a _ Lb的充要条件a b =0士七+%，2 =a 6的充要a=Abb 0)痞+y%=条件|a b|与|a|S I的关系1 万区当且仅当a 力时等号成立)1玉+X%饪 亚+片 +五、向量中的易错点(1)平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且|无5 国的出(2)当1 片。时，由4 5=0 不能推出5 一定是零向量，这是因为任一与a垂直的非零向量5 都有方方=0.当时，且&时，也不能推出一定有6=e,当行是与垂直的非零向量，e 是另一与。垂直的非零向量时，a h =a c=O,但 5 片机(3)数量积不满足结合律，即伍/；兄工(小)万，这是因为3 3

4、 兄是一个与0 共线的向量，而(儿1招是一个与共线的向量，而1 与0 不一定共线，所以石兄不一定等于(bl)4,即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项.(4)非零向量夹角为锐角(或钝角).当且仅当G历 0且 4*肪(2 0)(或2/0,且 a*4(2 =c(a KO)；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量4、b 0 满足&3=&(0),则不一定有b =E,即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量.(5)数量积运算不适合结合律,(d-b)-c a-b c),这 是 由 于 表 示-一 个与C共线的向量，a-(b e)表示一个与值共线的向量，而不与C不一定共线，因此(。啰

5、)吃与1 一(儿 1)不一定相等.【题型归纳目录】题型一：平面向量的数量积运算题型二：平面向量的夹角题型三：平面向量的模长题型四：平面向量的投影、投影向量题型五：平面向量的垂直问题题型六：建立坐标系解决向量问题【典例例题】题型一：平面向量的数量积运算JT例 1.(2022全国模拟预测(理)在AABC中，Z A B C =-,。为AM C的外心，丽 的=2,阮.前=4,I ,uu uuu则 B A-8 C=（）A.2 B.2/2 C.4 D.472【答案】B【解析】【分析】设的中点为R E,将 丽.的=2,变为2丽 的，根据数量积的几何意义可得I而 1=1,同理求得I而 I，根据数量积的定义即可

6、求得答案.【详解】如图，设AB,5c 的中点为D,连接ODOE,则OD_ LA8,OE，8c ,故 丽丽=2,即2丽 丽=2|丽|旃|c o s NO8D=2,即|而 =1,|而|=1,故|函|=2,反 屈=4,即2丽 旃=2|而旃|c o s NOBE=4,即|施 F=2,|而|=&,故|而|=2近,utr uiu utr uin 1故 BA-BC=|BA|BC|c o sN B A C =2x 2v 2x =2 2,2故选：B例 2.（2022河南安阳模拟预测（理）己知A H是Rt ZXABC斜边8 c 上的高，4=2 0，点”在线段A”上，满足（M月+M。）.4/7=8 0,则 丽.碇=

7、（）A.-4B.-2C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】由（而月+祝）而=8夜 结合数量积的运算可得囚 切=2,由A 8 是Rt A/l BC斜边3 c 上的高，A H =2叵，可 得 斥 H而|=|而=8,然后 对 丽.碇=（而+丽）.（而+亚）化简可求得结果【详解】因为A”是Rt Z ABC斜边3 c 上的高，A H =2叵所 以 丽丽=0,而 沅=0,|“3，=3 冏2 =8,因为（讪 +碇）.而 =8夜，所以（加+后方+M后+沅）相=8亚，所以2丽 丽+丽 而 +而 质 =8夜，所 以 说 而 =4&，所以而|=4&，所以|丽 卜2,所 以 砒 碇=（丽+丽）（丽+月 0=丽。丽.

8、亚+丽丽+布.丽=1丽+|西1两c o s万=22+8X（-1）=-4.故选：A例3.（2 0 2 2全国高三专题练习（理）已知 向 量 满 足a=,b=/3,a-2 b=3,则.=（）A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【详解】解：|万 一2 5|2=|由2 _4万.5+4时,X.|a|=1,|6|=/3,a-2 b|=3,/.9 =l-4 a-i +4 x3 =1 3-4 -a b =1故选：C.例4.（2 0 2 2四川省泸县第二中学模拟预测（文）如图，正六边形/8 C D E F中，A 8 =2,点尸是正六边形4 8

9、c o M的中心，则 而.而=.【答 案】2【解 析】【分 析】找到向量的模长和夹角，带入向量的数量积公式即可.【详 解】在正六边形中，点P是 正 六 边 形/8CDEA的中心,/.Z P A B =6(),且 AP=AB=2,AP-A8=|AP|-|AB|-COS600=2X2X1=2.故答案为：2.例5.(2022安徽合肥市第八中学模拟预测(理)已知向量4,反。满 足。+1+，=6,|=1,|1|=3,=4,则a-b =【答 案】3【解 析】【分 析】由2+分+=6,得=两边平方化简可得答案【详 解】Si a+b+c =6 得 a+B=-c，两边平方，得7+2 4+片=3，因为|=1，忖=

10、3，卜|=4,所 以1 +234+9=16，得1万=3.故答案为：3.例6.(2022陕西模 拟 预 测(理)已知向量M =(l,x),5=(0,1),若卜+25卜 逐，则，彳=【答 案】0或Y#-4或0.【解 析】【分 析】由向量模长坐标运算可求得x,由向量数量枳的坐标运算可求得结果.【详 解】：a+2b=(,x+l),+2b卜 Jl+(x+2=后,解得：x=0 或x=-4；当 x=0 口 寸，a=(l,O),;.a-b=0：当工=7 时，=4).a-b=0 4=4t.出=0 或 4故答案为：0或Y.例 7.(2022上海徐汇二模)在 4 3 c 中，已知AB=1,AC=2,44=12()。

11、，若点尸是A43C所在平面上一点，且满足丽=福+几/，BP CP=-i,则实数几的值为.【答案】1或J【解析】【分析】根据平面向量的线性运算法则，分别把 丽 丽 用 丽,而 表 示 出来，再用丽.存=T 建立方程，解出义的值.【详解】由 丽=而+义/，得 而 一 丽=2 衣，即 丽=4/，CP=A P-A C =AB+(A-i)A C,在AABC中，己知/W=l,AC=2,ZA=120,ffilBPCP=AAC-(AB+(A-l)AC)=2ACAB+A(A-l)AC2)=22cosl20+4A(/t-l)=422-5/l=-l,B|J422-5/1+1 =0,解得4=1 或!4所以实数几的值为

12、1或!.故答案为：1或!.例 8.(2022陕西交大附中模拟预测(理)已知在平行四边形A 5 co 中，DE=EC,BF=FC,AE=2,网=，则 AC-DB值为.9【答案】7【解析】4【分析】.1 .AE=BC+-D C由向量加法的几何意义及数量积运算律 有 而.而=反 2.4 2,再 由 结合数量积运算律,AF=DC+-B C3即可得结果.【详解】由题设可得如下图：A C =A D+D C,D B =D C +C B,而 而=一瓦,所 以 衣 丽=反 2-而 2,又 诙 =!反，而2所以A E=A D+D E=B C+-D C3；_，则，A F =AB-BF=DC-BC3B C2+-B C

13、 D C +-D C2=43 9,2 2 ,1 ,2D C +B C D C +-B C=639i%-(D C2-B C2)=2,可 得 反 2 _ 前 2=2,即.而=2.9 4 49故答案为：4例 9.(2 0 2 2 福建省福州第一中学三模)过点(2,6)的直线与O C:(x-3)2 +y2 =1 6 交于/,B 两 点,当为线段A8中点时，CA CB=.【答案】-8【解析】【分析】由题意可得M(2,6)在。C内，又由“为线段A B中点A B，CM ,由两点间距离公式得G W =2 =g A C,进而求得4cB=1 2 0。，再由向量的数量积公式计算即可得答案.【详解】解：因为点 M(2

14、,石)在 G)C:(x-3)2 +y2 =i 6 内,所以当为线段A 8 中点时，A B 1 C M ,又因为。的半径为4,C M =2 =；AC,所以 N A C M =60 ,所以 N A C 3 =1 2 0。，所以，C 4.C S=|C A|.|C B k o sl 2 00=4 x 4 x(-l)=-8.故答案为：-8.例 10.(2 0 2 2全国模拟预测(理)已知向量)与否不共线，且可 +勾=2,同=1,若(2 1 与 乂 2 +到，则 河 5)=.【答案】-3【解 析】【分 析】由 7R+=2得.5 =1，（2 a-b）l（2 a+b）=2,即可求解结果.【详 解】由 G（a

15、+B）=Q+/=1 +4 =2 得=1山（2 一B）_ L（2 a +B）得（2 一 万）.（2 q+）=4 a 2-/=0 ,所 以 恸=2则 见 _ ）=石.。_ 方=_4 =_ 3故答案为：-3例1 1.（2 0 2 2全国高三专题 练 习（理）设 向量,B的夹角的余弦值为g,且 同=1，1卜3,则（2办5”=【答 案】1 1【解 析】【分 析】设 与丐的夹 角 为。，依 题意可得c o se=；,再根据数量积的定义求出 石,最后根据数量积的运算律计算可得.【详 解】解：设Z与B的夹角为。，因 为 的夹角的余弦值为:，即c o se=g,又=1,1=3,所 以a.B =M W c o s

16、，=l x 3 x g =l,所 以（2 +与 彳=2 石+弓2 =2 7 B+W 1 =2 x l +3 2 =1 1.故答案为：1 1.例1 2.（2 0 2 2江苏徐州市第七中学模拟预测）如 图 是 第2 4届国际数学家大会的会标，它是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，大 正 方 形/8 C O是 由4个全等的直角三角形和中间的小正方形E F G”组成的.若大 正 方 形 的 边 长 为 石，E为 线 段8尸的中点，则 赤.而=.B【解 析】【分析】利用数量积的几何意义求解.【详解】解：如图所示：设C=x,由题可得8 F =2 x,所以犬+（2 力2 =5,解得x =L过尸作8 c的垂

17、线，垂足设为0,故 3 户尸=4,故答案为:4.【方法技巧与总结】（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路.（2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛.（3）平面向量的投影问题，是近几年的高考热点问题，应熟练掌握其公式：向量2在向量5方向上的投影为华.（4）向量运算与整式运算的同与异（无坐标的向量运算）同：（a土b）2 =a2 2ab+b?；卜 =加人+从;a（b +c）=6+a c公式都可通用异：整式：=|4同，同仅仅表示数；向量：万石=同忖8$

18、。（8 为a 与8 的夹角）,砌=J加 忖 2 m 忖网co s/9+2 ,使用范围广泛，通常是求模或者夹角.|m z z /-、-/-、T -72 T -因为o _ L ,所以 一 b =-ab=0,/.a=ab ,2 2切以。=2 a f:.h=y 2 a-_设：与了夹角为内 所以co s=.ab 0 1 a l 27 F因为夕。,所以e=J.4例 14.（2 02 2 安徽合肥一六八中学模拟预测（文）已知向量|5|=1,向量2 =（1,且 他-炀=卡,则向量方,5的夹角为.T T【答案】y#90【解析】【分析】由5-|=两边平方，结合数量积的定义和性质化简可求向量2,万的夹角【详解】因为

19、1=（1,行），所以同=JF+（/=2因为|2-优|=布，所以/一 2 女 法+2 庐=6，又出1=1，所以4-2 忘 7 5+2 =6,所以无6=0，向量4,5 的夹角为凡则 同|即。=0所以co s6=（）,则。=1.2故答案为：y-例 15.（2 02 2 湖北武汉模拟预测）两不共线的向量九h,满足同=3 忖，且W e R,*回 平-年 则co s(a,=()A.1 B.B C.-D.且2 2 3 3【答案】C【解析】【分析】由归-区上|一耳两边平方后整理得一元二次不等式，根据一元二次函数的性质可判断A4 0,整理后可知A只能为0,即可解得答案.【详解】解：由题意得：,/Vz e/?,|

20、a-r&|a-|,同2 +12时-2 ta-b +b-2a-h即“问-6t|/|co s(,B)_ W+6|co s(a,B)2 01/|A|*0 Vz e/?,产 6f co s(a,B)-l +6co s(a,很)0故选：C例 16.(20 22云南师大附中模拟预测(理)已知向量1 ,2),S =(-/-2,-5),若向量 与向量 +石的夹角为钝角，则，的取值范围为()A.(-3,1)B.(-3,-l)U(-l,l)C.(T 3)D,1 1，；M别【答案】D【解析】【分析】求出Z+B 的坐标，求得当 与+1 共线时f =；,根据向量公与 向 量 的 夹 角 为 钝 角，列出相应的不等式，求

21、得答案.【详解】因为Z+B =(f-2,-3),又 与 +石 的夹角为钝角，当 与 +石 共线时，-6f-2Q-2)=0 =g ,所 以 （+坂）0且公与Z+B的不共线，即尸一2,-3 0且，所 以 海 卜，卜6,3）,故选：D.例17.（20 22广东深圳高三阶段练习）已知向量7=（8 s 30。,-s i n 210。）,值为【答 案】2【解 析】【分析】化简向量 入 根 据向量的模的公式，数量积公式和向量的夹角公式求解.【详 解】由 1=（c o s 30 0,s i n 210 0）知M =故 必/；=且x（G）+g x l =-l6=（-5 1）,则 与石夹角的余弦，/1=1,|5|

22、=2,记 M与5的夹角为。,则c o s 6=a bax b-1172故答案为：12例18.（20 22全国高三专题练习）已知向量 =（3,4）,1=（1,0）,=+力,A.6B.-5C.5D.若=,则7=()【答 案】C【解 析】【分 析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详 解】,、9+3/+1 6 3 +1解：无=(3+/,4),8$第 ：0$人,以即一 乖 =-|-,解得/=5,故 选：c例19.（20 22湖南长沙市明德中学二模）已知非零向量1、5满 足 无5=，(a+b)(a-b)=0,则向量5 与向量万-5夹 角 的 余 弦 值 为（）A-2后L.2B.

23、0D.B2【答 案】A【解 析】【分 析】根 据。0=0,设”（1,0）,6=（0 1）,根 据 伍+孙（万-5）=0求出产=1,再根据平面向量的夹角公式计算可得解.【详 解】因为存5=0,所以可设 a =（l,0）,b =（0,t）,则商+6=（1/）,a-b=（l,-t）,因 为,+5）件 方）=0,所 以1 7 2=0,即/=1._ _ b a-b -t2-1 72则 C O S=-=r-z-I 7=7=一 1 t a-b|z|-vl +r l x V 2 2故选：A.例20.（20 22辽宁大连市一 0三中学模拟预 测）己 知 单 位 向 量 另 满 足|-4=3|+q，则2与B的夹角

24、为（）A.30 B.60 C.120 D.150【答 案】C【解 析】【分 析】根据数量积的运算律及夹角公式计算可得；【详 解】解：因 为 九5为单位向量，所 以 口=M=I,又 归-q=6忖 +很|,所以=3（+5）,即 a -2 a/+石-=3（a +2a出+坂）,所 以2卜：+4/+万）=0,即2（忖+44+忖）=0,所以=所 以8 5（,%熊=弓，因 为 但%0,司，所以与；故选：C例21.（20 22北京市大兴区兴华中学三模）已 知 为单 位 向 量,向 量5=（1,2）,且 石=2,则,石-2 =（）【答 案】B【解 析】【分 析】先根据已知条件求出7但 一）和|1-彳，然后利用向

25、量的夹角公式可求出结果【详 解】因为3 为单位向量，向量否=(1,2),且 出=2，所以 4.伍-)=4 石-=2-1=1 ,-c=y(b-a)2=l b -2 a-b +a=j 5-2x 2+l =0，所以c o s 斓_ 今=一餐=4,/p|&-a|V 2 2因为 )-0,对，所以=故选：B例 22.（20 22全国模拟预测（理）已知平面向量公+各与1石互相垂直，模长之比为2：1,若|=不，则与+5 的夹角的余弦值为（）A.挛 B.毡C.D.；【答案】A【解析】【分析】利用向量3 +彼与-坂互相垂直，模长之比为2：1,利用数量积求得向量3,坂的模长及数量积，然后利用平面向量夹角公式求得结果

26、.【详解】平面向量+5与 5 互相垂直，模长之比为2：1,则3+40词=0 且|。+22|：-力|，得片J，又|=石，则|a|=|B|=石，将+6 1=2一口平方得2+2 7 5 +2 =4/-8 2 4+4）2,解得,|+司2 +2 a%+B =1 6,则卜+q=4,设与a +B的夹角为。,则c o s 9 =aa +_ a +a-b _ 5+3 _ 2 7 5即+,口而亍故选：A.例 2 3.（多选题）（2 0 2 2 福建省福州格致中学模拟预测）己知单位向量万万的夹角为1 2 0 则以下说法正确的是（）A.a+b=C.c o s 万一瓦5 二 2【答案】A B D【解析】B.（a+2 b

27、）L aD.万+2 万与2 2 +5可以作为平面内的一组基底【分析】根据向量的模的公式，数量积的运算，向量的夹角公式，判断向量共线的条件逐项验证即可【详解】据题意，讲=b2=,ab=l x l x c o s l 2 0 =-2因为(+E)2 =万2+记+2 万-5 =l +l +2 x(-g)=l所 以+所以A对因为0+2 6)万=不+2 /=l +2 x(-g =0,所以3+2仍_1 _万，所以B对.因为(2-5 5 =万5-5 2=-4一1 =-3,(万 一5)2 =万2+炉+2万.5=3所以2 2c o s1 一 5,5=(a-b)ba-b-b _ 3-2 二6,所以C错A/3X1 2

28、因为a +2B与2 1 +5不共线，所以可以作为平面内的一组基底，所以D正确故选：A B D例 2 4.(多选题)(2 0 2 2江苏模拟预测)已知向量&=(-3,2),5 =(2,1),c =(A,-l),/l e R,则()A.若(6 +2石)_1 _,则 4 =4B.若 a=t b+C i 则 4 +f =6c.忖+闷 的最小值为WD.若向量a+5与向量方+1的夹角为锐角，则2的取值范围是(-,-1)【答案】A B C【解析】【分析】利用向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示判断A,利用向量坐标的表示可判断B,利用向量的模长的坐标公式及二次函数的性质可判断C,利用向量数量积的坐标表示及向量共

29、线的坐标表示可判断D.【详解】对于 A,因为 4 +犷=(1,4),c =(2,-l),(a +2 f e)c,所以 l U+4 x(T)=0,解得;1 =4,所以 A 正确.对于 B,由 2 =石+上,得(-3,2)=r(2,l)+(2,-1)=+Zr-1),f 3 2 t +A,A=9则 c ,解得，故2 +f =-6,所以B正确.2 =t-l,t =3对于 C,因为a +5 =(-3,2)+“(2,1)=(2-3,+2),所 以卜+=J（2 -3）+（+2/=小?-8+1 3 二卜（w +,则当=：时，K+闷 取得最小值，为拽，所 以c正确.5 5对 于D,因 为。+=（-1,3），源+

30、3=（4 +4 1）,向量4 +5与 向 量 沙+1的夹角为锐角,所以 S+B (4 +C)=-l x(4 +/l)+3 x l 0,解 得/3%-2 e2-5 G.e2=0,1 /1即（=,所以 C O S（q.0 2）=1.故 选：D.例26.（2 0 2 2安徽师范大学附属中学模拟 预 测（理）非零 向 量&石 满 足 忖+可=|1一同=2同，则与5的夹 角 为（）A.B.生 C.生6 3 3【答 案】B【解 析】【分 析】根据给定条件，求 出75,再利用向量夹角公式计算作答.【详 解】由卜+4=卜一4 得：R+牙=（i 分，即7+力+3 2 1 2.2；/+解得7 5=0,因此，c o

31、 s -反 =（P）?=47 =而-0,兀,解得 a-B,“=g,a-ha 2 1 a l 2 2 3所以2 一 5与万的夹角为故选：B例 2 7.（2 0 2 2 内蒙古梅拉尔第二中学模拟预测（文）已知向量,石 为单位向量，口+解|=|右-矶/工 0）,则与E 的夹角为（).兀A.-B.-C.四D_.2 7 16323【答案】C【解析】【分析】山题干条件平方得到20=0,从而得到=0,得到 与弓的夹角.【详解】由|+/1.=卜 4（2*0）,两边平方可得：a+2Aa-b+A,2b=A,2a-2Aa-b+b（因为向 量 入 坂为单位向量，所以1 +2 花 出+外=把 一 2 二/+,即;1（7

32、石）=0.因为彳/0，所以a.B =O，即a 与坂的夹角为故选：C【方法技巧与总结】求夹角，用数量积，由|?|5|c o s q 得c o s q=叫=%+义 2 ，进而求得向量由五III 斤彳kG7的夹角.题型三：平面向量的模长例 2 8.（2 0 2 2福建省厦门集美中学模拟预测）已知向量、人工满足3+5 +6 =（今（，）=0,忸-4=9,【答案】3【解析】【分析】由己知条件可得出2 =多-，根据平面向量的数量积可求得片+7、=3 的值，结合平面向量的数量积可求得自的值.【详解】由已知可得a=B-c，则(a c)=(2另 一 c),(一 B 2c)=(2B+c)伍+2c)=0,即 2 b

33、 +2 c+5B.c=0,因为%-q=9,则7+片 _2很.=81，所以，b2+c=4 5 b-c=-i s，因此，M=a=(-B-c)=b +c+2 b-c=9,故忖=3.故答案为：3.例 29.(2022辽宁沈阳三模)已知平面向量。,瓦0 满 足 同=1,同=1,乙+加+=0,存5=1,则忖=.【答案】案【解析】【分析】由题意得 =_)_，直接平方即得结果.【详解】由。+方+2=0 可得；工 J，两边同时平方得片=2+2出+不，.,同=1,同=1,必丐=一1,.,.1=1-2+|5|,解得 问=夜.故答案为：72.例30.(2022全国高三专题练习(文)已知向量1=(2,1)3=(-2,4

34、),则 卜，()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】先求得 力，然后求得 上”【详解】因为 5 =(2,1)(2,4)=(4,3),所以|_q=/12+(-3)2=5.故选：D例31.(2022江苏扬中市第二高级中学模拟预测)已知 与分为单位向量，且，B，向量之满足则的可能取值有()A.6 B.5 C.4 D.3【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐标系，由向量的坐标计算公式可得乙-a-5 =(x T,y-l),进而由向量模的计算公式可得(x-l)2+(y-l)2 =4 ,分析可得C在以(1,1)为圆心，半径为2的圆上，结合点与圆的位置关系分析可得答案.【详解】根据题意，

35、设 函=，OB=b O C =c以。为坐标原点，方 的 方向为 轴正方向，丽 的 方向为y轴的正方向建立坐标系，则 A(l,o),8(0,1),设 C(x,y),贝 =c-a-b =2,则有(x l)2+(y-l =4,则C在以(1,1)为圆心，半径为2的圆上，设(1)为点M,则|。加|=应，则有剥8 1 r+OM,即 2-在刑|O C|2+V 2,则 的取值范围为 2-及,2+&；故选：D.例3 2.(20 22江苏南京市天印高级中学模拟预测)已知平面向量入 分 满足同=2,恸=1,且公与坂的夹角为(，贝|山+4=()A.7 3 B./5 C.y/1 D.3【答案】C【解析】【分析】由归+耳

36、=J(a+b)2=4 a+l a-h+b 求解.【详解】解：因为同=2,忖=1,且 与加的夹角为?，所以B+=J R+M =小片+2 7 1+不，=22+2 X 2 X 1 X c os y+1 =/7 ,故选：C例3 3.(20 22河南开封市东信学校模拟预测(理)已知非零向量九B的夹角为2，|=6,打(一4,贝.【答案】2【解析】【分析】由平面向量的数量积的运算性质求解即可【详解】由 Z _L （-杨 得=|a F-a 台=|a F-|a I出|cos=3-万历卜0,解得I昨 2.故答案为：2例 34.（2022全国高三专题练习）已知三个非零平面向量,b，之两两夹角相等，且|=1,=2,=

37、3,求|2 力+3工|.【答案】例 或 9【解析】【分析】由三个非零平面向量2,b，2两两夹角相等得位 历=,=120。或0,再分别计算求解即可【详解】因为三个非零平面向量,人工两两夹角相等，所 以&,&=&=,=120。或0.当&,b）=（b,=,=120。时，123-5+3c|=J（2 力+3）2 =y4a+bf+9|c|2-4 a b +1 2 c a-6 b c=14+4+81+4-18+18=屈.当 a,6=b,c）=（a,c=0。，即 a，b c 共线时.r r r r r r|2a 8+3 c|=2|Q|-g|+3|c=|2-2 +9l=9.故答案为：9或 9例 35.（2022

38、全国高三专题练习）己知同=2,忖=3,1 与5 的夹角为120,求,+可 及卜-可的值.【答 案 a+b=s/l,a-b=y/i9.【解析】【分析】利用向量数量积定义可求得小5,由向量数量积的运算律可求得卜+可 和 卜-小 由此可得结果.【详解】-：a b=|-|/?|cos=6cosl20=-3,:.a+b=a2+2a-b+b2=4-6 +9=l,g-同2=万?一 2无5+户=4+6+9=19,|a+|=V7,=/19.例3 6.（20 22福建泉州模拟预测）已知 向 量g =（O,l）,5 =（r,百），若a石 的 夹 角 为（则|5|=.【答 案】2月【解 析】【分 析】根据平面向量的夹

39、角公式可求出结果.【详 解】由c os不=二1 1，得:=、，得I b=23.故答案为：2 丛.3|a|闻 2 b【方法技巧与总结】求 模 长，用平方，|=病.题 型 四：平面向量的投影、投影向量例3 7.（20 22新疆克拉玛依三 模（理）设B是两个非零向量，A B =a,CD =b，过 通 的 起 点A和终点B,分 别 作 前 所 在 直 线 的 垂 线，垂 足 分 别 为A ,可，得 到A瓦，则 隔 叫 做 向 量-在向量石上的投影向量.如下 图，已知扇形A O B的 半 径 为1,以。为坐标原点建立平面直角坐标系，砺=。,0）,丽=（；，等），则 弧A3的 中 点C的坐标为；向 量 由

40、 在 而 上 的 投 影 向 量 为.【解 析】【分 析】由已知，根据给到 的 丽，而 先 求 解 丽 与 丽 的 夹角,然后再利用点C是 弧 池 的中点，即可求解出N A O C,从而求 解 点C的坐标；根据前面求解出的点C的坐标，写 出 曲 和 诙，先计算向量 诙 在 而 上 的 投 影，然后根据 而 即 可写出向 量 诙 在 无 上 的投影向量.【详 解】由已知，函=（1,0）,而=所 以c o s（），诙）=雪丝=江=1，I2 2）/|丽阿 1 x 1 27T7T所 以4。8二,因 为 点C为 弧 项 的 中点，所 以NA*扇形AOB的半径为1,所以弧AB满足的曲线参数方程为os%为参

41、数，J),y=sina 3所以中点。的坐标为兀3x=cos=6 2,71 1y=sin=-6 2，所以C的坐标为 C O-一 -，一g)，向量 由_ _ _ _ _ _ _在砺上的投影为C B=_ 彳 一 彳=_3,OB 1 2(1 g)因为。8 二 合 与,所以向 量 由 在 砺 上 的投影向量为故答案为:住3 邛一例38.(2 0 2 2江西鹰潭二模(文)已知向量，之 =(百,1),|昨 夜,(2&石=3,则 在I方向上的投影为_ _ _ _ _ _ _ _ _【答案】74【解析】【分析】根据向量数量积性质和向量投影定义求解即可.【详解】因为。=(6 1),山=7 5,所以|=小 产 +(

42、G)2 =2,片=2，因为(2 垃=3,所以2 a石-9日 二胡啰一/尸=2无5 2 =3 ,所以，5 =5，所以B在 方向上的投影 为 兽=，|a|4故答案为：.4例39.(2 0 2 2江西南昌市八一中学三模(理)已知向量)=(1,-2),5 =(3,。，且2在B上的投影等于-1,则工=.【答案】4【解析】【分析】根据投影定义直接计算可得，注意数量积符号.【详解】因为 在 让 的 投 影 等 于-1,即同C O S&，历=符=-1所 以 行-1,且3 2 f 0,解得f=4.故答案为：4例 40.（2 0 2 2 江苏淮安模拟预测）已知|Z|=2,B 在 上的投影为1,贝丘+石在 上的投影

43、为（）A.-1B.2 C.3 D.亚【答案】C【解析】【分析】先利用另在Z 上的投影为1 求出 石，然后可求+瓦 在 上的投影.【详解】因为I a|=2 ,b在a上的投影为1 1所以上 =1，即a，=2 ;|a|所以2+,在 上的投影 为 此 也=也 厘=包 2=3;1 1 2故选：C.例 41.（2 0 2 2 四川成都三模（理）在AABC中，已知乙4 =，Z C =-J,AC=2五,则 向 量 丽 在 册 方1 2 6向上的投影为（）.A.2 夜 B.2 C.血 D.-0【答案】C【解析】【分析】7T利用三角形内角和及正弦定理求得二、谡=2,再根据向量投影的定义求结果.【详解】2J2 1由

44、 题 设=f ,4AB AC AB=-x-=2则.厂=.可得 V 2 2 ，s i ne s m B-2所以向量 丽 在 前 方 向上的投影为|而|c o s 8 =2x1=&.2故选：C例 42.（2 0 2 2 广西桂林二模（文）已知向量 =（1,2）=（0,-1）,则 在 3 方向上的投影为（）A.-1B.-2C.1D.2【答 案】B【解 析】【分 析】利用向量的投影公式直接计算即可.【详 解】向量 =（1,2）石=（0,-1）,则1在5方向上的投影为1利00$=静=?=-2,故选：B.例43.（2022内蒙古呼和浩特二模（理）非 零 向 量 入b 2满足坂_L（-）,与分的夹角为，同=

45、3,则2在 分 上 的 正 射 影 的 数 量 为（）A-4B.考c n 362【答 案】D【解 析】【分 析】利用垂直的向量表示，再利用正射影的数量的意义计算作答.【详 解】非零向量“，B，c满 足B_ L（4-C）,则6,他一）=不,5 Y,5 =0,c-b=a-b 又a与B的夹角 为:，卜|=3,所 以 在石上的正射影的数量B cosG，物=g =|c o s m =挛.|b|b 6 2故选：D例44.（2022辽宁渤海大学附属高级中学模拟预测）已知单位向量 石满足|-B|=1,贝必在各方向上的投影 向 量 为（）1 -1 -B.b1 一1 -A.-hC.-ciD.42222【答 案】A

46、【解 析】【分 析】根据投影向量公式，即可求解.【详 解】|a-|-a2-2a-b+b2=1 ,因为由=陷=1,所以a b b 1 r所 以）在各方向上的投影向量 为 下p w=5故选：A例45.（2022海南华侨中学模拟预测）已知 平面向量心5的夹角为?，且I町=2,5=（-1,且），则Q 在5方向上的投影向量为（）人.停B.-甥 C.4,4D-【答案】C【解析】【分析】利用投影向量的定义求解.【详解】解：因为平面向量&,B的夹角为（，且1初=2,8=（-1,道），_ _|泪讣c o s生所以&在5方向上的投影向量 为 出4 9 s 3I也）=（_ _ 骂 ,W 印 2 2故选：C题型五：平

47、面向量的垂直问题例46.（2022海南海口 二模）己知向量d,5的夹角为45。，同=3,且2,若卜,则；I=.【答案】-2【解析】【分析】先利用数量积的运算求解问，再利用向量垂直数量积为0即可求解.【详解】因为 2-B=忖忖 c o s 45。=2 得 W=2,又因为卜 +9，&所以（4 +匹石=2,石+万=2丸+4=0,所以X=2.故答案为：2.例4 7,（2022广东茂名二模）已知向量汗=（r,2 t）,5=（7,1）,若（万-5），（M+5）,则，=【答案】【解析】【分析】由（G-5），（a+h）,由垂直向量的坐标运算可得出/卜M，再由模长的公式即可求出九【详解】因 为（a-b ）_ L

48、（a+b）,所以（。一斗（。+万）=0,所以7-=0,则口=忖，所以产+4产=产+1,所以f=g.故答案为：士;.例 48.（2022青海玉树高三阶段练习（理）已知向量 =（一 1,1）,占=（1,旭）,若 0+3 可 以,则?=.【答案】:【解析】【分析】根据向量的坐标运算和数量积的坐标运算即可求解.【详解】.,R+3B）（4+3另）-“=O n a+3a-B=0,所以 2+3（l+i）=0 n m =；故答案为：g例 49.（2022河南开封模拟预测（理）已知两个单位向量不与号的夹角为三，若=召+2瓦，b =et+m e2,且1_1区，则实数机=（）44 5 5A.B.-C.D.-5 5

49、4 4【答案】A【解析】【分析】由向量垂直及数量积的运算律可得或+（机+2鸠瓦+2 兹=0,结合已知即可求m的值.【详解】由题意无6=（4+羽）碣）=弓+（什2鸠 自+2喈 =0,又不与备的夹角为三且为单位向量，？+2 4所以1 +-+2%=0,可得加=-.2 5故选：A例 50.（2022河南安阳模拟预测（文）已知向量2=（-2四,4）石=（l,c o s|,其中6 e（0,明 若 打.，则s i n【答案】1【解析】【分析】根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算坐标表示公式、特殊角的三角函数值进行求解即可.【详解】因为 所以 4.方=0，U P 2V2 xl+4cos =0=co

50、s =,2 2 20 Tt f)TT TT因为Oe(U),所以 e(0，a),因此|=t =e=,所以sin6=l,故答案为：1例 51.(2022全国模拟预测(文)设向量)=(2,1),加=(l,x),若 “石-),则恸=.【答案】5 0【解析】【分析】由平面向量数量积的坐标运算求解【详解】1一 =(3,x-l),由题意得7,一)=0,B P-6+x-l=0,得x=7W=Jl+4 9=5&.故答案为：5夜【方法技巧与总结】。_ 1 5。出=0。+/必=()题型六：建立坐标系解决向量问题例 52.(2022山东淄博三模)如图在AM C 中，Z A B C =90,尸为A 8中点，CE =3,C