2023年上海市静安区风华高考考前模拟数学试题含解析.pdf

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1、2023年高考数学模拟试卷注意事项1 .考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2 .答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3,请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题，必须用2 B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用0 5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5 .如需作图，须用2 B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出

2、的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。2 7 r1 .在AABC中，角A民。所对的边分别为a/,c,已知。=7，c =l.当。力变化时，若z =6 +而存在最大值,则正数的取值范围为A.(0,1)B.(0,2)C.(-,2)D.(1,3)22 .函数/(x)=2 c o s 2 x +(s i n尤+c o s x)2 2的一个单调递增区间是()71 717T 3万71 5万D.5 4 9 7 rT T3.如图，在A A B C中，点Q为线段AC上靠近点A的三等分点，点P为线段BQ上靠近点B的三等分点，则 向+正1 .2 5 7 .A.-BA+-B C B.-BA+-B C3 3 9 91

3、i n 2 7 C.-BA+BC D.-BA+-B C9 9 9 94 .某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有6名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如下表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照7 0,8 0),8 0,9 0),9 0/0 0 分组，绘成频率分布直方图如下：嘉宾ABCDEF评分9 6959 68 9979 8嘉宾评分的平均数为场内外的观众评分的平均数为所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为最，则下列选项正确的是（）A-+x2 n 一、玉+r-,X|+%2 n 一、一、一、玉+X,A.x=-

4、B.x -C.x x.x -2 2 2 25.设 a =l o g o.o g 0.0 4,b=l o g0 3 0.2,c=O.30 0 4 1 则、b c 的大小关系为（）A.c b a B.a b c C.b c a D.b a c3 x6.已知集合4 =口2|-0 ,8=y&N y=x-1,x G A ,则 4UB=（）x+2A.-1,0,1,2,3 B.-1,0,1,2 C.0,1,2 D.x-lx 方 0）的左、右焦点分别为、F2,过点片的直线与椭圆交于P、。两点.若的内切圆与线段尸鸟在其中点处相切，与P Q相切于点Z，则椭圆的离心率为（）A 后 /3 （5 a B.a /3y C

5、.a y /3 D.y a /31 2 .欧拉公式为*=c o s x+i s i n x,（i虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，e手表示的复数位于复平面中的（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。1 3 .九章算术卷5 商功记载一个问题“今有圆堡璇，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺，术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”，这里所说的圆堡璇就是圆柱体，它的体积为“周自相

6、乘，以高乘之，十二而一”，就是说：圆 堡 璇（圆柱体）的体积为丫=,乂（底面圆的周长的平方x高），则由此可推得圆周率乃的取1 2值为.1 4 .在棱长为1的正方体中，P、Q是面对角线4G上两个不同的动点.以下四个命题：存在P、。两点，使 B P L D Q；存在P、Q两点，使 B P、OQ与直线BC都成4 5。的角；若|P Q I=1,则四面体B D P Q的体积一定是定值；若I P Q|=1,则四面体6。尸。在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值.其中为真 命 题 的 是 一.1 5 .已知 ABC的三个内角为A ,B,C,且s i n A,s i n B,s i n C成等差数列，贝!

7、j s i n 2 8+2 c o s 3的最小值为,最大值为.1 6.设等比数列 a,的前项和为S,，若S 3 +S 6=S 9,则数列 叫 的 公 比q是.三、解答题：共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.（1 2分）已知A3是圆。：f+y2=4的直径，动圆M过A,B两 点,且与直线y +2 =0相切.（1）若直线A8的方程为x -y =（）,求。”的方程;（2）在 轴上是否存在一个定点P,使得以MP为直径的圆恰好与x轴相切？若存在，求出点P的坐标；若不存在,请说明理由.1 8.（1 2 分）已知。（）,b0,且。+。=1.1 2（1）求一+7的最小值;a b 证 明

8、：黑当1 9.（1 2分）某公司为了鼓励运动提高所有用户的身体素质，特推出一款运动计步数的软件，所有用户都可以通过每天累计的步数瓜分红包，大大增加了用户走步的积极性，所以该软件深受广大用户的欢迎.该公司为了研究“日平均走步数和性别是否有关”，统计了 2 0 1 9年1月份所有用户的日平均步数，规定日平均步数不少于8 0 0 0的为“运动达人”,步数在8 0 0 0以下的为“非运动达人”，采用按性别分层抽样的方式抽取了 1 0 0个用户，得到如下列联表：运动达人非运动达人总计男3 560女26总计1 0 0（1）（0将2 x 2列联表补充完整；（）据此列联表判断，能否有9 9%的把握认为“日平均

9、走步数和性别是否有关”？（2）将频率视作概率，从该公司的所有人“运动达人”中任意抽取3个用户，求抽取的用户中女用户人数的分布列及期望.附：尸（即“。）0.0 5 00.0 1 00.0 0 1k。3.8 4 16.63 51 0.8 2 8n(ad-bc)(a +b)(c +d)(a +c)(/?+d)2 0.(1 2分)已知两数/(x)=l n x +区.(1)当我=一1时，求函数f(x)的极值点；b(2)当k=0时，若/(x)+-a.O(a,O e R)恒成立，求e T-。+1 的最大值.x21.(1 2 分)已知函数 f(x)=c o s 2 x+2 6s i n x c o s x-s

10、 i n2x.(1)求函数y =/(x)的最小正周期以及单调递增区间；(2)已知AWC,若/(C)=l,c=2,s i n C+s i n(3 A)=2 s i n 2 A,求A A B C的面积.2 2.(1 0分)已知集合4=1,2.,n e N*,n 2,将4的所有子集任意排列，得到一个有序集合组(加|,加2,其中m=2.记 集 合 中 元 素 的 个 数 为%,k w N ，k m,规定空集中元素的个数为0.当=2时，求q+%1-1可,的值；(2)利用数学归纳法证明：不论(N 2)为何值，总存在有序集合组(必,M 2,M,“)，满足任意i e N*，1，都有同一厢|=1.参考答案一、选

11、择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】因为C =V，c=l，所 以 根 据 正 弦 定 理 可 得 彳=七=一 一 =2,所以a=2 si n A,b=%i n B,所以3 si n A si n 8 si n C ，3 J 3 J 3z=b+Act=si n B+=si n A=si n B+2 si n(-B)=(1-)si n B+G 6 G 3 7 3 2力 co s 3 =J(1 -g)2 +(力)2 si n(5+1),其中 tan。，0 B ,因为z=b +而存在最大值，所以由4 +。=2 +2%九,攵2

12、,可得2攵 兀+2。2女 兀+2,A Z,2 6 2所以tan 0 立，所 以 巫 ,解 得 4 2,所以正数X的取值范围为(g,2),故选C.3 2-2 3 2 22.D【解析】利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和辅助角公式化简/(X)表达式，再根据三角函数单调区间的求法，求得了(X)的单调区间，由此确定正确选项.【详解】因为/(%)=2 co s2 x+(si n x+co sx)2-2=l +co s2 x+l +si n 2 x 2 =0 si n(2 x+H,由 f(x)单调递增，则 2 b r 2 2 x+工4 2 4)+工(左 e Z),解得I 4 J 2 4 23乃 7

13、Tk7t-x兀,由于场外有数万名观众，所以，焉 捻 生 也 log麻 1=0,b=log0 30.2log0 31=0,所以 J =log02 血 而,J=log02 0.3且 y=log02 x在(0,+力)上单调递减，且 V0AJ8 a,a b又因为 a=log而丽 0-2 log而施 J。.08=1,c=0.3()M。，所以c.故选：D.【点睛】本题考查利用指对数函数的单调性比较指对数的大小，难度一般.除了可以直接利用单调性比较大小，还可以根据中间值“0,1”比较大小.6.A【解析】解出集合A 和 8 即可求得两个集合的并集.【详解】3 x.,集合A u&e Z I20=xZ|-2x3=

14、-1,0,1,2,3),x+25=j N ly=x-l,xGA=-2,-1,0,L 2,，A U B=-2,-1,0,1,2,3.故选：A.【点睛】此题考查求集合的并集，关键在于准确求解不等式，根据描述法表示的集合，准确写出集合中的元素.7.C【解析】根据“被 5 除余3 且 被 7 除余2 的正整数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前项和公式，可得结果.【详解】被 5 除余3 且被7 除余2 的正整数构成首项为23,公差为5x7=35的等差数列，记数列2 贝！%=23+35（-1）=35-122令 4 =35”12 4 2 0 2 0,解得 58二3558 x 57故该数列各项之

15、和为58 x23+x 35=59189.2故选：C【点睛】本题考查等差数列的应用，属基础题。8.D【解析】可 设 的 内 切 圆 的 圆 心 为/，设归用=?，忙 用=，可得“2+=2。，由切线的性质：切线长相等推得 7 =g，解得加、，并设|。耳|=八 求 得，的值，推得AP KQ 为等边三角形，由焦距为三角形的高，结合离心率公式可得所求值.【详解】可设A P EQ 的内切圆的圆心为/,M为 切 点,且 为 中 点，=周，设|尸耳|=m，周=，则且有?+=2 iz,解 得 机=彳，=F，设|明=f，|Q E|=2 a-r,设 圆/切。巴 于 点N,则|N用=|姐|=尊|例=以|=上由 2 a

16、 =|Q 用=|Q N|+|N g|=f +?,解 得 仁 华，|尸。|=加+，=学，归居|=|。6|=?所 以 E Q为等边三角形,所 以，2c=6处,解 得 =立.2 3 a 3因此，该椭圆的离心率为 也.3故选：D.【点 睛】本题考查椭圆的定义和性质，注意运用三角形的内心性质和等边三角形的性质，切线的性质，考查化简运算能力，属于中档题.9.C【解 析】将的,%分 别 用4和d的形式表示，然 后 求 解 出 力 和”的 值 即 可 表 示%.【详 解】设 等 差 数 列 4的 首 项 为q,公 差 为。，+d=4,则 由%=4,4=8,得.。解 得4=2,d=2,q+3 =o,所 以。7

17、=q+6 d=1 4.故选 c.【点睛】本题考查等差数列的基本量的求解，难度较易.已知等差数列的任意两项的值，可通过构建内和的方程组求 通项公式.1 0.c【解析】原式由正弦定理化简得Gsi n C si n A =co sA si n C +si n C，由于si n C w。，（）v A4可求A的值.【详解】解：由 co s C+V 3cs i n A =+c 及正弦定理得 s i n A co s C +V S s i n C s i n A =s i n B +s i n C 因为 8=A C,所以 s i n B=s i n A co s C +co s A s i n C 代入上式

18、化简得 V 3 s i n C s i n A=co s A s i n C +s i n C 由于s i n C w O,所以s i n（A-?J2冗又0 4 a/3.故选：D.本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.1 2.A【解析】计 算/=co s%+i s i n =L +3 i，得到答案.3 3 2 2【详解】根 据 题 意=co s x+i s i n x ,故e?=co s +i s i n工，表示的复数在第一象限.3 3 2 2故选：A.【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力和理解能力.二、填空

19、题：本题共4小题，每小题5分，共20分。1 3.3【解析】|1,根据圆堡璇（圆柱体）的体积为丫=五、（底面圆的周长的平方x高），可 得 正、（2万 ）=/2,进而可求出乃的值【详解】解:设圆柱底面圆的半径为r，圆柱的高为，由题意知 x(2乃h=7vrh，解得 =3.故答案为：3.【点睛】本题主要考查了圆柱的体积公式.只要能看懂题目意思，结合方程的思想即可求出结果.1 4.【解析】对于中，当 p点与4 点重合，。与点G 重合时，可判断正确；当点P点与4 点重合，BP与直线AC所成的角最小为6 0。，可判定不正确；根 据 平 面 将 四 面 体 6 O P。可分成两个底面均为平面。8。，高之和为尸

20、。的棱锥,可判定正确；四 面 体 在 上 下 两 个 底 面 和 在 四 个 侧 面 上 的 投 影，均为定值，可判定正确.【详解】对于中，当 P点与A点重合，。与点G 重合时，B P Y D Q,所以正确；对于中，当点P点与A点重合，9 与直线4 C所成的角最小，此时两异面直线的夹角为60 1所以不正确；对于中，设平面A/iG 两条对角线交点为。，可得平面O 8 D,平面O B。将四面体8。可分成两个底面均为平面O B D,高之和为P Q的棱锥，所以四面体6OPQ的体积一定是定值，所以正确；对于中，四面体8 OPQ在上下两个底面上的投影是对角线互相垂直且对角线长度均为1的四边形，其面积为定义

21、,四面体6 O P。在四个侧面上的投影，均 为 上 底 为 正，下底和高均为1 的梯形，其面积为定值，故四面体8 DPQ在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值，所以正确.故答案为：.【点睛】本题主要考查了以空间几何体的结构特征为载体的谜题的真假判定及应用，其中解答中涉及到棱柱的集合特征，异面直线的关系和椎体的体积，以及投影的综合应用，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题.1 5.2+1 正2 2【解析】根据正弦定理可得2A=a+C,利用余弦定理cos 8=幺 士 乙以及均值不等式，可得角3的范围，然后构造函数2ac/（B）=sin2B+2cosB,利用导数，研究函数性质，可得结果.【详解

22、】由sin A,sin B,sinC成等差数列所以 2sin3=sin A+sinCci+c所以 2b=a+cn/?=-lac 2ac,c 3a2+3c2-lac 6ac-2ac 1化简可得cos B=-=-Sac 8ac 2当且仅当。=c时，取等号又 3 c（0,乃），所以 B e。,1令/（B）=sin23+2cosB,则 f（B）=2cos2B-2sinB=2-4sin2 B-2sinB/（B）=2（sinB g）（sinB+l）当sin 3 g,即 北 弓 总 时，f（B）0当sin8；,即 总 时，/（B）0则/（5）=sin23+2cos3在（0 递 增，在 仁 图 递 减所 以

23、以x（B）=/2卜呜+2也,=亭由/（O）=s in0 +2 c os 0 =2,/万）.2万 71 V3f =s in+2 c os=-FlU J 3 3 2所以s in2 8 +2 c os 8的最小值为遮+12最大值为史12故答案为：立+1,正2 2【点睛】本题考查等差数列、正弦定理、余弦定理，还考查了不等式、导数的综合应用，难点在于根据余弦定理以及不等式求出,考验分析能力以及逻辑思维能力，属难题.1 6.1.【解析】当 q=l 时，S3 +6 =3 q+6 q=9 q=Sg.当9工1时,S3+S6=S9,：.一）+4、-）=、（1一）2 q3 _ q6 =1 _/,.（/_ +1）=0

24、-q q-q.,.q=T,所以q=l.三、解答题：共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.(1)/+丁=4或(x+4/+(y 4)2=3 6.(2)存在，*0,1)；【解析】(D根据动圆A/过A,B两 点,可得圆心M在AB的垂直平分线上，由 直 线 的 方 程 为x-y =O,可知”在直线 =一 上；设M(a,a),由动圆M与直线y+2 =0相切可得动圆加的半径为r=|a+2 ；又由同。=2,M0=|V2|及垂径定理即可确定a的值，进而确定圆M的方程.（2）方法一：设“（x,y）,可得圆的半径为r=|y+2,根 据 丽J.K。，可得方程为V+产+4 =3+2）?并化简可得M

25、的轨迹方程为f =4 .设P（0,%），/（X，X），可得M P的中点。（自，团），进而由两点间距离公式表示出半径，表示出。到x轴的距离，代入化简即可求得先的值，进而确定所过定点的坐标；方法二：同上可得M的轨迹方程为f=4y,由 抛 物 线 定 义 可 求 得=y+1,表 示 出 线 段 心 的 中 点。的坐标，根据。到x轴的距离可得等量关系，进而确定所过定点的坐标.【详解】（1）因 为 过 点A，B,所以圆心M在A 3的垂直平分线上.由已知A 8的方程为工一丁=0,且A，8关于于坐标原点。对称，所以A/在直线y=x上，故可设M（a,a）.因为。与 直 线y+2 =0相切，所以0M的半径为r=

26、|a+2.由已知得|4 =2,缶又MO _ L X 0，故可得2 a2+4 =（a+2）2,解得。=0或“=4.故。M的 半 径2或厂=6,所以（D M的方程为V +y2=4或（x+4+（y 4）2=3 6.法 一：设M（x,y）,由已知得O的半径为r=|y+2,|4 =2.由 于 丽_L正，故 可 得/+产+4 =仔+2）2,化简得M的轨迹方程为f=4 y.设P（0,%），（4,凶），则得x：=4 y,M P的中点则 以 为 直 径 的 圆 的 半 径 为：gI=g&+（M-Vo。=；Jy；+y；+4 y-,。到x轴 的 距 离 为 号&=g|x+%|,令;Jy：+y；+4 y _2%y=3

27、 +%|，化简得%X =X，即（-l）y=0，故 当 先=1时，式恒成立.所以存在定点P(o,1)，使得以M P为直径的圆与X轴相切.法二：设由己知得O”的半径为/T y+Z，|4O|=2.由 于 而_1,近，故可得V+y2+4=(y+2)2,化简得M的轨迹方程为/=4).设M,y),因为抛物线%2=4)，的焦点/坐标为(0,1),点M在抛物线上，所以|入阳=y+l,线 段 叱 的 中 点。的 坐 标 为 停，铝,则。到x轴的距离为 土，2而怨=3附 可，故以ME为径的圆与x轴切，所以当点尸与尸重合时，符合题意，所以存在定点P(0,1),使得以M P为直径的圆与-v轴相切.【点睛】本题考查了圆

28、的标准方程求法，动点轨迹方程的求法,18.(1)3+2后(2)证明见解析【解析】(1)利用基本不等式即可求得最小值；(2)关键是配凑系数，进而利用基本不等式得证.【详解】八、1 2/1 2、2 a b e 、12a b(1)i=(4z+b)(i)=3-1-1 .3+2J=.a b a b b a b a1 9 L故一+丁的最小值为3+2a 5a bab+2h _ ah+2h ah+2h(2)/+/+产 4b2 “1 14b2a+T+T+,4-T+2v l-当且仅当“=且 时 取 等 号，此时a+2 2抛物线定义及定点问题的解法综合应用，属于难题.3+2&,当 且 仅 当 =&/，时取等号，ab

29、+2h _ Vsj(a b +2b)2，i，ah+2h y/5/+/+i【点睛】本题主要考查基本不等式的运用，属于基础题.1 9.（1）（0 填表见解析5）没有99%的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”（2）详见解析【解析】（1）由已给数据可完成列联表，（i i）计算出K?后可得;（2）由列联表知从运动达人中抽取1 个用户为女用户的概率为，4的取值为0,1,2,3,由二项分布概率公式计算出各概率得分布列，由期望公式计算期望.【详解】解 运动达人非运动达人总计男3 52 56 0女1 42 64 0总计4 9511 0 0（）由 2 x 2 列联表得 k=100 x（3 5 x 26-14x

30、255 2 2 9 0,0 v x v l;f (x)v 0,x l所以在（0,1）上单调递增，在（L+8）上单调递减，所以/（%）有唯一的极大值点x =l,无极小值点.b b（2）当=0时，/（%）+a =l n x +a.x xb b若/（九）+-a.0,（。力 H）恒成立，贝（1 I n x+-a.0（凡beR）恒成立，x xb _所以凡 l n x+恒成立，x令y =l n x+2,则了=可，由题意。0,函数在（0力）上单调递减，在（b,+8）上单调递增，x x所以4，l n b +1,所以a-L,I n。所以e U,。，所以 e T-b+L,1，故e T-+l的最大值为1.【点睛】本

31、题考查用导数求函数极值，研究不等式恒成立问题.在求极值时，由/（幻=（）确定的玉,不一定是极值点，还需满足在玉，两侧/（X）的符号相反.不等式恒成立深深转化为求函数的最值，这里分离参数法起关键作用.21.(1)最小正周期为不，单调递增区间为k兀 唉,k兀啖 伍GZ)；(2)空.J 6 3【解析】(1)利用三角恒等变换思想化简函数 =/(%)的解析式为/(x)=2sin,+J 利用正弦型函数的周期公式可求得函数y=X)的最小正周期，解不等式2版-1 2x+Asin2x+cos 2x=2sin2x+,所以，函数y=/(x)的最小正周期为T=，由 2Z万一2 4 2x+2k7v+k eZ)7i-xA

32、:n+(Z:eZ),2 6 2 3 6jr jr因此，函数y=/(x)的单调递增区间为kTV-,k7r+-仅e Z)；(2)由/(C)=l,得2sin(2C+m=l，2C+2 =M+2版或2。+2=2 +2上乃，或k 6；6 6 6 6,.,Ce(O,),C=y,又 .sin C+sin(3 A)=sin(3+A)+sin(B A)=2sin Bcos A,/.2sin Bcos A=2sin 2A,即 sin Bcos A=2 sin Acos A.当cosA=0时，即4=工，则由C=工，c=2,得=_=迪，则8=.=哀1,此时，AABC的面积2 3 sinC 3 2 3为 S BC=/=；

33、当COSAKO时，则 sinB=2sinA,即 A =2a,则由cosC=Q2+2 b2 =_iL,解得a=空,b也lab 2S B C=”sin C=；-33综上，AABC的面积为S/I OC 3【点睛】本题考查正弦型函数的周期和单调区间的求解，同时也考查了三角形面积的计算，涉及余弦定理解三角形的应用，考查计算能力，属于中等题.22.(1)4；(2)证明见解析.【解析】(1)当=2时，集合A“共有22=4个子集，即可求出结果；分 类 讨 论，利用数学归纳法证明.【详解】(1)当=2时，集合A“共有22=4个子集，所以q+。2 +4=4；(2)当 =2时，to=22=4 由(1)可知，a+a2-1-a4=4,此时令 a=1,%=2,。3=1，。4=。，满足对任意注3(ie N ),都有何一4=1,且%=0；假设当=%(%之2)时，存在有序集合组(必,%，例2*)满足题意，且。2=。，则当=k+1时，集合A“的子集个数为2A=2 24个，因为2-2人是4的整数倍，所以令旬“1=1，匍+2 =2,%+3=1，匍+4=0，且=(1J 2-4)恒成立，即满足对任意,W2川一1,都有|4一%1|=1,且%+1=，综上，原命题得证.【点睛】本题考查集合的自己个数的研究，结合数学归纳法的应用，属于难题.