2022届福建省福州高三下学期第三次质量检测数学试题（解析版）.pdf

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1、2022届福建省福州第三中学高三下学期第三次质量检测数学试题一、单选题1.已知集合4 =0,1,2,4 ,8 =伊/-6*+5 0 ,则 A QB=()A.0,1 2 3,4 B,1,2,4 C.0,1 D.2,4【答案】D【分析】求出集合&根据集合的交集运算即可求得答案.【详解】由题意得：B=d x2-6 x+5 o =x|l x/2【答案】C【分析】根据复数的除法运算求得复数z,可得其共辄复数，根据复数模的计算可得答案.详解z =言=g+R J +?=1 +2 i,J=l-2 i|z|=同=石,I 1 11 1)11+11 2.故选：C.3 .在平行四边形4 5 c o 中，A3 =2,A

2、Q =l,/=(2,百)，贝!厦)=()A.1 B.G C.2 D.3【答案】B【分析】根据向量的坐标求得比1=4,利用平行四边形的两条对角线的平方和等于四边的平方和这一结论即可求得答案.【详解】由题意得I而|=疗，由平行四边形的两条对角线的平方和等于四边的平方和,得：B D2+A C2=2(AB2+A D2),:.B D2+(/j)2=2(22+2)=0,:.B D =y/3 ,故选：B4 .已 知 函 数=1 ,x-1 在 R上单调递减，则实数。的取值范围是-X2-(6 7 4-1)x 4-2 a,X0()A.（-1,0）B.-1,0 C.（-l,+oo）D.T,伊）【答案】B【分析】判断

3、当X 40时，x）=W 7=l+1单调递减，故根据分段函数在R 上单调x-x-递减，列出相应的不等式，解得答案.Y1【详解】当X 40时，、）=告=1 +单调递减，,.（X）在 R 上递减,二一等 4 0 且 言 2-()2-(a+l)x0+24解得 IWaWO,故选：B.5.函数/（x）=s i n +t（0）在（0司 单 调 递 增，在 传,2,单调递减，则0 的值 为（）7A.4 B.1 C.2 D.-22【答案】A【分析】由题意可得与0+E =+2 E（Z eZ）,求得3 =；+3M keZ）,结合函数的单3调区间确定0 工;，即可确定出的值.4【详解】依题意得：笄 =sin 笄+*=

4、1,.笄0 +*=+2 E（k e Z）,/.3 =g+3攵（%Z）,又、（x）在 兀 单 调 递 减,彳 之 2兀 ，J）2 3 co 331解 得:c o 0,:.a）=-942故选：A.6.基本再生数H。与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：/）=e描述累计感染病例数/随时间f（单位:天）的变化规律,指数增长率一与Ho,T 近 似 满 足&=1+”.有学者基于已有数据估计出&=3.28,7=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（1112

5、=0.69）A.1.2 天B.1.8 天C.2.5 天 D.3.5 天【答案】B【分析】根据题意可得/（，）=e=e雨，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增 加 1倍需要的时间为力天，根据=2ew,解得4 即可得结果.a 1【详解】因为5=3.2 8,7=6,9=1+1,所以r=丝 浮=0.38,所以/（。=6=的，6设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1 倍需要的时间为4 天，则e。阳f=方的,所以e孙=2,所以0.3跖=In 2,In 2 0.69 丁所以4=-5 s-55 L8天.0.38 0.38故选：B.【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于

6、基础题.7.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面与底面所成锐角的余弦值为（）【答案】CC 6一.2D.2【分析】设出相关的线段长度，设正四棱锥的底面边长为43=2 a,高为PO=，斜高为 P M=,由题意得到它们之间的关系1-0 -=g,结合侧面与底面所成的锐角，的W h1余弦，可求得答案.【详解】如图，设正四棱锥的底面边长为A3=勿，设 O 为底面的中心，高为=设 M 为 A。的中点，则设斜高为连接。例，设侧面与底面所成的锐角为。，由于PM LA R O M LA。，即NPMO=，则 依=

7、+/,且cosO=。,h由已知条件可得：=g x 2 x/,.h,2-a2=ahf,.1 一=p,/.l-（cos）2=cos,解得：cos6=叵l （舍去负值），2故选：C.x x8.若 x,y,z 均为正数，且2，=3=5二，与一+一最接近的整数为（）zA.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【分析】设2*=3,=5=/,贝 ljx=bg2&,y=ogk,z=og5k,利用换底公式及对数的运算性质即可求解.【详解】解：设2，=3=5=%,所以x=log2%，y=log?%,2=log5k,x x=bg2&logk log 3+log5K log15=隰 匕,y z log,k log,k

8、logt2 log*2 。故选：C.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是，设20.22 0.232B（0.2）-2 （64）2 （100-72）0C.若x l,则x+一N4x-1 2D.若羽 y 。,1 ,则 2%+y N 8x y【答案】ABD【分析】对选项A,利用基函数的单调性和指数函数的单调性即可判断A正确，对选项 B,利用指数累运算即可判断B正确，对选项C,D,根据基本不等式即可判断C错误，D正确.【详解】对选项A,函数y =x0-2 单调递增，0.3 2 0.2 2,又y =0.2 单调递减，.0.2 2 0.2。3,故 A正确;对于选项 B,0.2-2 =5 2 =2 5 ,6 4

9、；=8，(1 0 0-&)0 =1,所以(0.2 产 (6 4 户(100-故 B正确；对于 C：X-10,X+-!-=X-1+-1-+12+1 =3,等号成立当且仅当x=2 时，x-1 x-1故 c错误；对于 D:2 x+y =(2 x+y)H +2 =4+”+)N 4 +2a=8,当且仅当2 x=y 时，y)y x即x=2,y =4 时取等号，故D正确.故选：A B D1 0.已知曲线 C：z m：2+y 2 =.()A.若则 C是椭圆，其焦点在y轴上B.若,=您0,则 C是圆，其半径为C.若相 0,则 C是两条直线【答案】A C D【分析】结合选项进行逐项分析求解，加 0 时表示椭圆，7

10、 =0 时表示圆，mn 0 时表示两条直线.x2 丁,c c .-1【详解】对于A,若贝 i j/n x=1 可 化 为 1 1-,m n因为”0,所以,0,则 如*+y 2 =1 可化为工2 +2 =j _ ,n此时曲线C表示圆心在原点，半径为巫的圆，故 B不正确；n对于C,若 1T m 2=i可化为丁2=，ny=+，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故 D 正确；n故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.11.AABC中，角 A,B,C的对边分别为a,c,且a=2,sinB=2 sin C,以下四个命题中正

11、确的是（）A.满足条件的AM C不可能是直角三角形4B.AABC面积的最大值为C.是 8 C 中点，应晨丽 的 最 大 值 为 3D.当A=2C时，AABC的面积为2 叵3【答案】BD【分析】建立平面直角坐标系，由条件确定点A 的轨迹，由此判断各选项对错.【详解】以C 为原点，以CB所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则C（0,0）,3（2,0）,设 A（x,y）,由 sinB=2 sin C,得 b=2c,即 AC=243,.F 7=2 而，77,化简得：卜-9+廿 若，即点A在 以 为 圆 心，以g 为半径的圆上（除去P,0 两点）.如图所示:对于A：以（1,0）为圆心，1为半径作圆，

12、记 该 圆 与 圆J +y 2=与 的交点为A,则A B C为直角三角形，A错误；1 4 4对于B：由 图 得 面 积 的 最 大 值 为S =/x 2 x =18正确；对于C:M是8c中点，砺.话 的 值 为 加 在 语 上 的 投 影 与|证|的积，又点A在以件0）为圆心，以;为半径的圆上（除去P,。两点），故 两.旃3，C错误；对于。：若 A =2 C,则 s i n A =s i n 2 C =2 s i n C c o s C,.a=2 c c o s C =2c-a +,.-：a=2,labb=2 c,4 2耳 C=7 F/.b1=a2+C2,：.B =,2.S =Lc=1x2x2

13、=迪,D 正确.2 2 百 3故选：B D1 2.在矩形A B C D中，A B =2 A。,E为边A8的中点，将 A D E沿直线OE翻折成 A。后，若点”为线段AC的中点，则在AADE翻折过程中，下述选项正确的是（）A.8M是定值B.点M在某个球面上运动C.存在某个位置，使。E1ACD.存在某个位置，使8 M 平面AOE【答案】A B D【分析】利用作辅助线，构造三角形，利用余弦定理表示8M,可判断出BM是定值,即可判断A,B;利用反证的方法，推出矛盾，判断C;证明面面平行，利用面面平行的性质定理可判断D.【详解】取 D C 中点F,连接则且=F B D E 且 FB=E D,所以N M

14、F B =Z4 E=NAE,且度数大小为定值，由余弦定理可得 M B2=M F2+FB-2 M F-F B-cosZMFB,由于M E B F 以及N M F B 是 定 值,故 MB为定值，故 A 正确；由于B 为定点，/B 为定值，所以M 是在以8 为球心，MB为半径的球上，可得B 正确；S J D E2=A D2+A E2=2AE2,CE2=B C2+BE2=2BE2,故 D E2+CE2=2AE2+2BE2=4AE2=(2AE)2=C D2，故 D E V C E ,假设。E L A C，由于 CEnAC=C,CE，A C u 平面 AEC,故 OEL平面 4E C,则 D E 1 A

15、 E,则 ZDEA,=90,而乙DAE=/DAE=90,这在AD41K 中是不可能的，故假设不成立，即不存在某个位置，使。E L A C，故 C 错误；由“/与尸且 M FnBF=F，AO nDE=。，可得平面M8F 平面ADE,BA7u平面故平面，可得D 正确；故选：ABD三、填空题13.如 果 3x+白)的展开式中各项系数之和为4096,则展开式中x 的系数为.【答案】1215【分析】由二项展开式中各项系数之和用赋值法求出的值，再利用展开式的通项公式计算含x 项的系数.【详解】由3 x+/的展开式中各项系数之和为4096,令 x=l 得(3+1)”=4 0 9 6,解得=6；(1 Y A_

16、5所以 J=C；(3X)6 方卜 C；3 F 2，令6-g r =l 得：r=2,从而得展开式中x的系数为C；36-2 =15x8 1=12 15,故答案为：12 15.【点睛】本题考查二项式定理，考查赋值法求展开式各项系数和，解题关键是掌握二项展开式通项公式.属于基础题.14.设 双 曲 线 鸟-=1(06)的半焦距为。，直线/过(。,0),(0两点.已知原点到直线/的距离为且c ,则 双 曲 线 的 离 心 率 为.4【答案】2【分析】先求出直线/的方程，利用原点到直线/的距离为叵c,c2=a2+b2,求出勺的值，进而根据0 。Ja2+b-42 2将匕=7 7 万代入平方后整理，得 16(

17、3)2-16-冬+3=0C C1解关于 的一元二次方程得5=上或7c2 c2 4 4又 0/2 .a a a应舍去e=.故所求离心率e=2.3故答案为：2【点睛】本题考查双曲线性质，考查求双曲线的离心率常用的方法即构造出关于凡 c 的等式，属于中档题.1 5.己知直线y =x-a +l 与曲线y =e -I相切，则 +。=.【答案】1【分析】首先求出函数的导函数，设切点为(内,%),即可得到方程组，解得即可;【详解】解：因为丫=尸-1,所以y=e、*y0=x0-a +,+/?=0设切点为(毛,%),则%解得 ，八，两式相减得。+%=1,k=l=eM I+1 =。故答案为：116.如果两个函数存

18、在零点，分别为若满足4|，则称两个函数互为“度零点函数.若 x)=ln(x-2)与8(同=加-11互为“2 度零点函数”，则实数。的最大值为.【答案】2e【分析】由“X)的零点为3 得出g(x)的零点七的范围，g($)=o 得出。=增(1 /5),构造Mx)=l(i x 5),利用导数得出其最值，进而得出实数。的“0X最大值.【详解】函数X)的零点为3,设函数g(x)的零点为4,则%-3 卜 2,二1毛=0,。=殁(1 /5),令 (司=争 1 0；x e (Ve,5),(尤)0,即函数 A(x)在(1,五)上单调递增，在(加,5)上单调递减，皿=(五)=(,即实数。的最大值为故答案为：2e四

19、、解答题17.在2/7+c=2acosC,三角形4 3 c 的面积为9 1 f -,csinA=3asinB4这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 4 3 C 的周长;若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在 A B C,它的内角A,B,。的对边分别为。，b,c,且二扬，c=l,?【答案】选条件：存在，2+括；选条件：存在，2+6;选条件：不存在，答案见解析.【分析】方案一：选条件：先求出cosA以及A,再求出sinB 以及B,最后求出a=6.b=l 以及AABC的周长；方案二：选条件：先求出tanA=-g以及A,再求出sin 8 以及 B,最后求出=道，6

20、=1以及 4 5 c 的周长；方案三：选条件：先求出力=；以及=且，再判断a+/7=+,c,最后判断三角形不存在.3 3 3【详解】解：方案一：选条件因为 2b+c=2acosC,所以 2sin5+sinC=2sin AcosC，即2sin(A+C)+sinC=2sinA cosC,整理得sinC(2cosA+l)=0.因为sin C w O,所以cosA=-g,解得4=等27r.1 j r又因为 4=所以 sin A=G sin B,B P sin B=,2 6所以C=2,则三=三，得 =百，b=,o sm A sin C所以AABC的周长为2+石.方案二：选条件中*1 /3(a2-b2-c

21、2因为S38C=2Z,csin A=-4-所以支即 tan A=-5/3,因为4 w(0 z),所以A=号.1j r又因为 a=/5b，所以 sin A=Jsin 8,B P sin B ,B=,2 67T所以c=，则6sin A得 a=V3,b=l,所以 A B C的周长为2+V3.方案三：选条件c 1csin A=3sinB,则 ac=3a，=-=-,因为a=6 b,所以Q =.3又因为a+b=3+；2=2 +|J-(+l 2 =f 2 ，故 方=7-2.1 9 .如图，在四棱锥尸-Z BC Z）中，AB/CD,且 N A4 P =N C O P =9 0 .（1）证明：平面附3,平面必。

22、；（2）若 雨=P =4 B=Z）C,N A P。=9 0 ,求二面角 A-P 8-C的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）一旦.3【详解】（1）由已知N S 4 P =N C D P =9 0。，得A8 _ L AP,C D 1 P D.由于A 8 C Q,故ABJ _ P）,从而4 8，平面南。.设5=（x,y,z）是平面P C 3的法向量，则又A B u 平面B 4 8,所以平面B4 8 _ L平面以）.（2）在平面PA O内作P尸_ L A D,垂足为F,由（1）可知，AB_ L平面P4D,故A3 _ L P尸，以厂为坐标原点，成的方向为x轴正方向，坐标系F-阴.X由（1）及已知可得A

23、（，O,O1,P 0,0,当所 以 元=-白，1，一#），丽=（夜,0,0）,P可得P FJ L平面ABC Z）.良|为单位长，建立如图所示的空间直角I2 J I 2 JX =（4,0,-1），A B =（0,1,0）.万.定=0,为 0=0,即V2 /2-x+y-2 27 2%=0,z=0,可取万=（0,-1,-夜）.设而=（x,y,z）是 平 面 的 法 向 量，则m-P A 0,x-z=0,_ /.n 一 即2 2 可取z =（l,0,1）.玩 A8 二 0,八y =0.则稣 伍 同=瑞=一 当，所以二面角A P B C的余弦值为-3.3【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现

24、在以下几个方面：求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角：求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.2 0.2 0 1 7年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过60 0 元（含60 0元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有1 0 个形状、大小完全相同的小球（其中红球3 个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3 个球，其中奖规则为：若摸到3 个红球，享受免单优惠；若摸出2 个红球则打6 折，若摸出1 个红球，

25、则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有1 0 个形状、大小完全相同的小球（其中红球3 个，黑球7 个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1 球，连摸3 次，每摸到1 次红球，立减2 0 0 元.（1）若两个顾客均分别消费了 60 0 元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1 0 0 0 元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？【答案】（1）77二；（2）选择第一种抽奖方案更合算1 4 4 0 0【分析】（1）选择方案一，利用积事件的概率公式计算出两位顾客均享受到免单的概率;（2）选择方案一，计算所付款金额X的分布列和数学期望值，选择方

26、案二，计算所付款金额Z 的数学期望值，比较得出结论.【详解】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球,设顾客享受到免单优惠为事件A,贝 IJP（A）=焉,所以两位顾客均享受到免单的概率为尸=尸（P（A）=岛 历；（2）若选择方案一，设付款金额为X 元，则 X 可能的取值为0、600、700.1000.尸 。）=*看，*=6 0 0）=管系P（X=700）=2,P（X=1000）=V =工.0 40 ）4 24故 X 的分布列为，X0600700100017217r12040402417 21 7 1所以石（X）=0 x +600 x +700 x +l（X）0 x=7 6 4-（元

27、）.v 7 120 40 40 24 6若选择方案二，设摸到红球的个数为y,付款金额为z,则z =iooo-2ooy,由已知可得入 81端 故E（y）=3 x Q ,所以E（Z）=E（1000 200y）=1000 200E（y）=820（元）,因为E（X）（Z）,所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.【点睛】本题考查独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量分布列与数学期望，同时也考查了二项分布的数学期望与数学期望的性质，解题时要明确随机变量所满足的分布列类型，考查计算能力，属于中等题.2 1.设椭圆:二+=1（。60）的离心率为巫，点A,B,C 分别为的上、左、a b-2右顶点，且|8 Q=

28、4.（1）求的标准方程；（2）点。为直线4 8 上的动点，过点。作/A C,设/与的交点为尸，Q,求IP 0 T Q 0的最大值.x2【答案】（1）+/=1；（2）5。44【分析】（1）由题意得：2a=怛C|=4,即可求导值，根据离心率，可得c 值，根据a,b,c 的关系，即可求得b 值，即可得方程.(2)解法一：由(1)可得直线A8 的方程及直线AC的斜率，设直线/的方程为y=x+A,设 a%,%),。(芍,丫 2)，与椭圆联立，结合韦达定理，可得,+W，内的表达式及2范围，根据弦长公式，可得I P Q I、I Q O I,代入所求，结合2范围即可得答案；解法二：=A AB=(-2 A,-Z

29、),可得点。坐标，由点斜式，可得直线/的方程，与椭圆联立，结合韦达定理，可得%+%，X%的表达式及几范围，根据弦长公式，可得12。1、1。1,代入所求，结合2范围即可得答案；【详解】(1)由题意得：2a=BC=4,解得“=2.又因为e =3,所以c =G，则 从=/一,2=1.a 22所求的标准方程为三+V=1.4(2)解法一：由(1)可得A(0,l),8(-2,0),C(2,0),则 勉=4,直线A8 的方程为：x-2 y+2 =0,设直线/的方程为y=-Jx+31 2y=x+x/7 i联立方程组，消去，WX2+4(-X+2)2=4,X2 2.2+V=14整理得：X2-2AX+2A2-2 =

30、0 由 A 0,W-V 2 A V 2 .联立方程组.y =2X +A,解得。的坐标为(1，)，x-2y+2=0 I 2)设 Q(x2,y2),由知|=；一(几 一 1)(玉 +X2)+(A-1)2|(3)将代入，得|。卜|。|=三储-1|,4 e(-夜，壶)所以当2=0 时，|尸。卜|。0 有最大值J4解法二：设 4)=2 而=2(-2,-1)=(-2 4-；1),则 0(-2 41-;I),由点斜式，可得直线/的方程为y-(l-2)=-g(x+2 4),即 =-3-2 几+1.y=-X-2A+1联立方程组 ,2,消去V,WX2+(42-2)X+8A2-8A=0X-2 1一+V =14由A=

31、(4/l 2尸 4x(842-8 4)0,解 得 上 史 见匕立，2 2x+x2=2-42设 P(H M),Q(%，)，由得 Q%工2=84-8/1由题意可知|尸0|=岑|%-2 2|,|。|=4上+2川所以 l尸。IIQD|=1kx2+2/la+X2)+4分|将代入得PD QD=三4%一 4卜51储 一 R ,当/=!时，0 J Q Q I 有最大值g.24【点睛】解题的关键是熟练掌握弦长公式、韦达定理的应用等知识，易错点为，需结合A 0,求得4 范围，再求解，考查分析理解，计算求值的能力.2 2.已知函数y(x)=2ex+ln(x+1 )-2.(1)当 e 2 时,讨 论 段)的单调性;(

32、2)当元仁0,兀 时，火 x)Nsiar恒成立，求的取值范围.【答案】(1)函数/(X)在(-1,0)单调递减，在(0,+8)单调递增；(2)卜1,一).【分析】(1)将。=-2 代入，求出导函数，利用导数与函数单调性之间的关系即可求解.(2)令 g(x)=/(x)-sinr=2ex+aln(x+1)-2-sinr,xG0,n ,等价于 g(x)2 g(0)=0 恒成立，求出g(x),讨论或(),判断函数的单调性，其中-l.尸(x)=2/-%J (x)在(-1,找)单调递增,且/(0)=0.当XW(-1,0)时，r(x)0.所以函数 x)在(-1,0)单调递减，在(0,+8)单调递增.(2)-

33、g(x)=/(x)-sin x =2ex+oln(x+1)-2-sinx,xe 0,当x 0,同时，”x)siru恒成立等价于g(x)2g(O)=O恒成立.由于 g(x)=7(x)-cosx=2ex+-cosx,x e 0,句,所 以(i)当aNO时,g(x)W2e 10,函数y=g(x)在 0,句单调递增，所以g(x)2g(O)=O,在区间 0,司恒成立,符合题意.(ii)当a0时，g(x)=2e*H-cosx在 0,句 单 调 递 增,g(0)=2+a l=l+a.当 1 +a.O即T a 0时，gx)Ng，(O)=l+aN(),函数y=g(x)在 0,句单调递增，所以g(x).g(O)=

34、O在 0,司恒成立，符合题意.当 1+a 0 即 a v-1 时,g(0)=1 +a 0,g(%)=2e+1,%+1若 g S)4 0,即 a 4(乃 +1)(2/+1)时,g，(x)在(0,%)恒小于 0则g(x)在(0,万)单调递减，g(x)0,即一(万 +1)(2。，+1)a -1 时,存 在/e(),1)使得/(%)=0.所以当xe(O,x)时，g(x)0,则g(x)在(0,内)单调递减，g(x)g(O)=O,不符合题意.综上所述，。的取值范围是 T,+).【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数研究不等式恒成立，解题的关键是构造函数g(x)=2e+aln(x+1)-2-sinx,xe 0,句，不等式等价转化为g(x)2g(O)=O恒成立，考查了分析能力、计算能力以及分类讨论的思想.