【三年高考+一年模拟】立体几何综合题-2023年天津高考数学真题模拟题分类汇编（原卷版）.pdf

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1、专题1 7立体几何综合题1.(2 0 2 2 天津)直三棱柱 ABC-ABC 中，4 =A 8 =A C =2,4 4,，4 8,A C _ L A 8 ,。为 A g的中点，E 为4A的中点，尸为8 的中点.求证：E F 平面A B C；(2)求直线8 E 与平面CG。所成角的正弦值；(3)求平面A.CD与平面CG D所成二面角的余弦值.2.(2 0 2 1 天津)如图，在棱长为2的正方体A8 C D-A 4 G。中，E 为棱BC的中点，F 为棱 C。的中点.(I)求证：。/平 面 4a；(II)求直线AG 与平面AE G 所成角的正弦值.(i n)求二面角A-AG-E的正弦值.E C3.(

2、2 0 2 0 天津)如图，在三棱柱 A B C A4G 中，CG，平面 A B C,A C 1 B C,A C =B C =2,CG=3,点O,E 分别在棱AA和 棱 C C 上，且 =1 CE=2,为 棱 A4的中点.(I )求证：(I I)求二面角8-力的正弦值；(III)求直线A 8与平面。4 E 所成角的正弦值.4.(2022天津和平一模)平行四边形A8CD所在的平面与直角梯形ABE尸所在的平面垂直,BE/AF,AB=BE=-A F =,且 AB，AF,/CBA=2,8 C =应，尸为。尸的中点.24 求证：A C E F；(2)求点P到平面B C E的距离；(3)若直线EF上存在点

3、H,使得直线C 8 H 所成角的余弦值为乎，求直线3与平面成角的大小.5.(2022天津北辰模拟预测)如图，在三棱柱A B C-A B C 中，四边形A C C/为矩形，且 A41=2AC=2,平 面 例 4 8,平面ACGA,AB=AB=&证明：AB_L平面BAG.(2)求点8 到直线AG的距离.(3)线段4 8 上是否存在一点/),使得平面D 4G 与平面ACGA的 夹 角 余 弦 值 为 画？若存14在，求出3?的值；若不存在，请说明理由.6.(2022天津河西一模)如图所示，在三棱柱4 3 F-O C E中，侧面A8CO和AOEF都是边长为2的正方形，平面4 8 8,平面A O E F

4、,点G、M分别是线段A。、8尸的中点.求证：A M/平面BEG；(2)求直线QM与平面BEG所成角的正弦值；(3)求平面8EG与平面A8C。夹角的余弦值.7.(2022天津经济技术开发区第一中学一模)菱形ABC。中，ZABC=120。E4_L平面ABCD,EA/FD,EAAD=2FD2,(1)证明：直线F C/平面43；(2)求二面角E-F C-A的正弦值；(3)线段EC上是否存在点M使得直线 8与平面瓦加所成角的正弦值为或？若存在,8EM求 若不存在，说明理由8.(2 0 2 2 天津南开一模)如图，P,。分别是正四棱柱A B CD-AS G。上、下底面的中心,E 是 4 B 的中点，AA,

5、=2,AB=2 a.求证：AE 平面P 8 C；(2)求直线PA与平面P 8 C 所成角的正弦值;(3)求平面P O C 与平面P B C 夹角的余弦值.9.(2 0 2 2 天津天津 二模)如图所示，在几何体户中，四边形A88为直角梯形，AD/BC,ABA.AD,，底面 A B C D,A E/C F ,A D =3,AB=B C =AE=2,CF=.求证：3 尸平面ADE；(2)求直线B E 与直线。下所成角的余弦值；(3)求点D到直线B 尸的距离.10.(2022.天津南开二模)如 图，在多面体A8C7)所 中，底面A8C。为正方形，平面 ABC。，平面48cO,DA=-D E =.2(

6、1)求证：AE平面8c户；(2)若BE=1,求 尸与平面ACE所成角的正弦值；(3)若 所_L平面A C F,求平面ACE与平面A C F夹角的余弦值.11.(2022天津市蓟州区第一中学一模)如图，正方形A B 8与直角梯形AOE尸所在平面互相垂直，ZADE=90,AF/DE,D E=D A 2 A F =2,求证：A C 7/平面班F；(2)求二面角A-田-8的正切值；求点D到平面B E F的距离.12.(2022.天津一模)如图，在四棱锥P-ABC。中，底面ABCD为直角梯形,其中AD/BC,A D =3,A B=B C =2,2 4,平面ABC。，且 P4=3,点M 在棱尸。上，点N

7、为 BC中点.(1)证明：若 D M =2 M P,直线M M/平面PAB；(2)求二面角C 9 N 的正弦值；(3)是 否 存 在 点，使 M 0 与平面PC所成角的正弦值为玄？若存在求出鬻 值；若不存在，说明理由.13.(2022 天津一模)如图，在四棱锥尸-ABCZ)中，底面A8C。是直角梯形，ZABC=Nft4T=90,APJL平面ABC。，=BC=2AP=2AD=2,点 M、N 分另I 为线段BC和尸。的中点.(1)求证：AN_L平面P D M；(2)求 平 面 与 平 面 PQC夹角的正弦值；(3)在线段PC(不包括端点)上是否存在一点E,使得直线B E与平面P D C所成角的正弦

8、值为|,若 存 在，求出线身PE 的长：若不存在，请说明理由.14.(2022天津河东二模)如图所示，直角梯形ABCO中，A D/B C,AO垂直AB,AB=B C =2 A D =2,四边形EDCF为矩形，CF=6，平 面 匹 b _L平面A8CD 求证：。尸平面4 B E；(2)求平面A 8 E 与平面E F 8 所成二面角的正弦值；(3)在线段。尸上是否存在点P,使得直线8 P 与平面A 8 E 所成角的正弦值为电，若存在,4求出线段B P 的长，若不存在，请说明理由.1 5.(2 0 2 2.天津河东.一模)如图，四棱锥S-A B C D 中，底面A B C O 为矩形，SA J_ 平

9、面A B C Z),E、F 分别为A。、S C 的中点，E F 与平面A 8 C Z)所成的角为4 5。.证明：E尸，平面SB C；若EF=；B C,求平面S C D和平面B S C 的夹角的余弦值.1 6.(2 0 2 2 天津二模)如 图，在三棱柱中，AABC为等边三角形，过 4。作平面 A C 平行于BC-交 A B 于点。.(1)求证：点。为 AB的中点；(2)若四边形8CC4是边长为2的正方形，且求平面A C。与平面A4G 所成的锐二面角的余弦值.1 7.(2 0 2 2.天津和平二模)如图，在四棱台A8CO-44CQ中，底面四边形488为菱形,A B C=6 0 ,A 4 j =4

10、4=AB=1,A 4,_ L平面 ABCD.若点M 是 AO的中点，求证：G M平面(2)求直线CtM与平面A DtD所成角的余弦值；棱 B C 上存在点E,使得C E=1-3，求平面班。与平面AR。的夹角的正弦值.21 8.(2 0 2 2 天津一模)如图，在四棱锥尸-A 8 C Z)中，方，平而A B C Z),ACA.AD,A B L B C,N 3 C 4 =6 Q ,4 P =A O =A C =2,E 为 C 的中点，M在 A 8 上，且A M =2MB(1)求证：E M平面以O；(2)求平面P A D与平面P B C所成锐二面角的余弦值；(3)点 F 是线段P。上异于两端点的任意

11、一点，若满足异面直线所与4C所成角为4 5。，求AF 的长.p1 9.(2 0 2 2 天津河北一模)如图，在三棱柱A B C-A&G 中，A C J.B C,A C =B C =BB 2,A B V B B,。为AB的中点，且C C 1 O A.求证：84,平面A 8 C；(2)求直线P C,与平面CDA,所成角的正弦值；(3)求平面C A 与 平 面 的 夹 角 的 余 弦 值.2 0.(2 0 2 2.天津和平.三模)如图，正四棱柱ABCD-ABCR 中，且 A B =2,。口=4 ,点瓦尸分 别 是 的 中 点.(1)求直线C E 与 直 线 所 成 角 的 正 切 值；(2)求平面D

12、、B F与平面BCDt的夹角的余弦值；(3)求点A到平面。出尸的距离.21.(2022天津河北二模)如 图，四边形ABC。是边长为2的菱形，NABC=60。，四边形以CQ是矩形，Q4=l,且平面PACQ_L平面ABCD(1)求直线8P与平面%CQ所成角的正弦值；(2)求平面BPQ与平面QPQ的夹角的大小；(3)求点C到平面BPQ的距离.22.(2022.天津南开三模)如图，在四棱锥P-ABC。中，底面A8CD是边长为4的正方形,皿)是等边三角形，平面PAD,E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AO的中点.求证：PO_L平面A8C；(2)求平面EFG与平面4 8 8的夹角的大小；(3)线段网上

13、是否存在点M,使得直线GM与平面EFG所 成 角 为 若 存 在，求线段PMO的长；若不存在，说明理由.23.(2022 天津红桥一模)如图，正四棱柱A B C O-A B C Q 中，/=2AB=4,点 E 在 华上且 GE=3EC.(1)证明：A C，平面BED；(2)求异面直线8E 与 4。所成角的大小；(3)求二面角A-O E-3 的余弦值.24.(2022.天津.南开中学模拟预测)如图，四棱柱ABCD-AIBIG DI中，侧棱AiAL底面ABCD,ABDC,AB1AD,AD=CD=1,AA尸AB=2,E 为棱AAi的中点.(1)证明 B iC ilC E；(2)求二面角B,-C E-

14、C1的正弦值.(3)设点M 在线段CiE上，且直线AM 与平面ADDiAi所成角的正弦值为正，求线段6AM 的长.25.(2022天津红桥二模)如图，在三棱柱A B C-A B G 中，CG，平面ABC，D,E,F,G 分别为 AA，AC,A G，8瓦的中点，AB=BC =亚,AC=AA,=2.证明：ACJ平面BEF；(2)求直线BE与平面6 8 所成角的正弦值;(3)求二面角Q-8 C-A 的余弦值.26.(2022天津一中模拟预测)如图，在四棱锥E-ABCD中，平面ABC_L平面ABE,AB/DC,A B 1 B C,AB=2BC=2CD=2,AE =BE=6,点 M 为BE 的中点.求证

15、：CM 平面AE；(2)求平面EBD与平面3C夹角的正弦值；(3)在线段AO上是否存在一点N,使 直 线 与 平 面 8EN所成的角正弦值为生色，若存在求出/UV的长，若不存在说明理由.2 7.(2 0 2 2 天津滨海新模拟预测)在如图所示的多面体中，四边形A B C。为正方形，A,E,B,厂四点共面，且 AABE 和A/W P均为等腰直角三角形，NBAE=ZAFB=9 0,平面A B C D 平面 A EB F,AB=2.(1)求证：直线3 E7/平面4 D F；(2)求平面C B F 与平面8 F C 夹角的正弦值；(3)若点P在直线DE.,求直线4P与平面8 C 尸所成角的最大值.2

16、8.(2 0 2 2.天津.模拟预测)如图，在四棱锥尸一A 8 C O 中，P A L n A B C D,底面A B C。是直角梯形，其中A O B C,AB LAD,AB=A D =B C =2,PA=4,E 为棱B C 上的点，旦4(1)求证：O E_ L平面P A C；(2)求二面角A-PC-。的余弦值；(3)设。为棱C P 上的点(不与C、P重合)，且直线QE 与平面以C所成角的正弦值为手,求 空 的值.汕B E29.(2022 天津 南开中学模拟预测)如图，在直角三角形A 0 5中，NOAB=30。，斜边A B=4,直角三角形4 0 C可以通过4。8以直线A。为轴旋转得到，且二面角

17、B-A O-C是直二面角，动点O在 斜 边 上.(1)求证：平面C 8 _ L平面AO&(2)当。为AB的中点时，求异面直线A。与CD所成角的正切值；(3)求C。与平面A 08所成角的正切值的最大值.30.(2022天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测)如图，平面ABC,C F/A E,AD/BC,A D LA B,AB=AD=,AE=BC=2.求证：BF 平面ADE；(2)求直线CE与平面9E所成角的正弦值；(3)求平面8 0 E与平面8。步夹角的余弦值.3 1.(2 0 2 2.天津耀华中学模拟预测)如图，在四棱锥P-A B C。中，底面A 8 C Z)为直角梯形,AD/BC,B C =；A

18、 O =1 且 8 =6,E 为 AO的中点，F 是棱 的中点，PA=2,P E L底面 A 8 C D A D _ LC D(I)证明：平面P C D；(II)求二面角P-8。一 尸的正弦值；(III)在线段P C (不含端点)上是否存在一点M,使得直线BM和平面B A R 所成角的正弦 值 为 画？若存在，求出此时PM的长；若不存在，说明理由.1 33 2.(2 0 2 2 天津实验中学模拟预测)如图，四棱锥P-A B C。底面为正方形，已 知 平 面ABCD,P D=A D,点、M、N分别为线段南、2。的中点.(1)求证：直线MN平面P C ；(2)求直线P B 与平面AMN所成的角的余

19、弦值.3 3.(2 0 2 2 天津三中一模)如图，在正方体4 8 C D-A qCQ中，E,F分别是C6用 G 的中点.(1)求证：平面A0E；(2)求二面角R E-A-OC余弦值.3 4.(2 0 2 2 天津二模)如 图，在长方体 A8CQ-44G 2 中，AB =A D =,M =2.点 E在线段。A上.(1)求证：ACYBE-,(2)当E 是。的中点时，求直线AC与平面B&E 所成角的大小：(3)若 平 面 与 平 面 BQE 所成角的余弦值为g ,求线段D E的长.35.(2022.天津耀华中学一模)如图，在四棱锥E-4 3 8中，平面_L平面4近,AB/DC,A B L B C,

20、AB=2BC=2CD=2,AE=BE=4 5,点M 为BE 的中点.求证：CN 平面ADE；(2)求平面E B D与平面B D C夹角的正弦值；(3)N为线段AO的中点，求直线M N与 平 面 所 成 的 角 正 弦 值.36.(2022.天津市第七中学模拟预测)如图，四棱锥尸-ABCD的底面为直角梯形，BC/AD,ZBAZ)=9 0 A D =P D =2AB=2BC=2,M 为 的中点.(I)求证：8 M/平面PCO(H)若平面4?8_1_平 面 丛。，异面直线8 c与PO所成角为60。，且R4D是钝角三角形，求二面角8-P C-。的正弦值R37.(2022.天津市新华中学模拟预测)在如图

21、所示的几何体中，四边形ABC。是正方形，TT四边形ADP。是梯形，P D/Q A,乙PDA七,平面AOP。，平面ABC。，且AD=PD=2QA=2.求证：Q8平面O C；(2)求平面CP8与平面P3Q所成角的大小；(3)已知点H在棱尸。上，且异面直线A 与 依 所 成 角 的 余 弦 值 为 拽，求点A到平面H5C15的距离.38.(2022.天津.模拟预测)如图，在四棱锥P-4 3 Q 9中，侧面PC。，底面A6C,P3，CD,E为 PC 中点，底面 ABC。是直角梯形，ABCD,ZADC=90。,AB=AD=PD=T,CD=2.(1)求证：BE/平面 PA；(2)求证：平面P8C_L平面P

22、8Q；(3)设。为棱PC上一点，地=2无，试 确 定 义 的 值 使 得 二 面 角 一 尸 为45。.39.(2022天津市武清区杨村第一中学二模)如图，尸 _1 _平面ABC。，AD L C D,AB/CD,PQ/CD,A D =C D=D P =2PQ=2AB=2,点E,F,M分别为”，CD,8Q的中点.求证：E尸平面CPM；(2)求 平 面 与 平 面C P M夹角的大小；(3)若N为线段CQ上的点，且 直 线 与 平 面QPM所 成 的 角 为 求 线 段。N的长.640.(2022 天津 耀华中学二模)如图，在四棱锥P-A BC D中，孙，平面4 8 8,底面ABC。是直角梯形，其中A8C,AB LAD,PA=4,AB=A D =B C =2,E为棱8 c上的点,且4(1)求证：DE _L平面PAC；(2)求二面角A-P C-。的余弦值;(3)求点E到平面PC。的距离.