2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-22年真题)专题13函数模型及其应用.pdf

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1、专题1 3函数模型及其应用【考点预测】1.几种常见的函数模型:函 数 模 型函 数 解 析 式一 次 函 数 模 型f(x)=ax+b(a,为常数且反 比 例 函 数 模 型f（x）+b（k,b为常数且。工0）X二 次 函 数模型f(x)=ax2+hx+c(a,b,。为常数且。工0)指 数 函 数 模 型f(x)=bax+c(a,b,c 为常数，b/0,tz0,对 数 函 数 模 型f(x)=hlogax+c(a,b,。为常数，。0,塞 函 数 模 型f(x)=ax+b(a,6 为常数，。中0)2.解函数应用问题的步骤：（1）审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型；（2

2、）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型；（3）解模：求解数学模型，得出结论；（4）还原：将数学问题还原为实际问题.【题型归纳目录】题型一：二次函数模型，分段函数模型题型二：对勾函数模型题型三：指数函数、对数函数模型【典例例题】题型一：二次函数模型，分段函数模型例1.（2022黑龙江哈尔滨三中三模（理）如图为某小区七人足球场的平面示意图，A 8为球门，在某次小区居民友谊比赛中，队员甲在中线上距离边线5米的P点处接球，此时=假设甲沿着平行边线的方向向前带球，并准备在点。处射门，为获得最佳的射门角度（即NAOB最大），则射门时甲离上方端线的距离为（

3、）B.576C.1072 D.10也【答 案】B【解 析】【分 析】先根据题意解出A 8长 度，设。=，得 到cosZAQ8=力2+150J/+3 2 5+22500 再分析求值域，判断取等条件即可求解.【详 解】设AB=x,并根据题意作如下示意图，由图和题意得：P H =25,BH =10,D JJ in n c所以 tan/3 P H=R tanZAPB=H P 25 5 315 2 I 3所以 tan Z A P H =tan(/A P B +Z BP H )=-,AH AB+BH x+10 x+10 3 口4 a 目一”又 tan/A PH=-=-=-，所 以-=-,解得 x=5,即

4、AB=5,P H P H 25 25 5设。”=力，/ze0,25,l/!ij AQ =Q +AH2=V/r+152,B Q =yQH2+BH2=J h2+02，所以在 AAQB 中，有c o s4 0 8 =m+/八1502 A Q x BQ J/+325川+22500令m=/?2+150(1504,”4775),所以=切一巾。,cos Z.A QB =所以,77-150)2+325(?-150)+22500 1 3750 25 门，V fn m因 为1504m4 7 7 5,所 以 4,4上，则要使NAQB最大，775 m 150c o s Z.A QB =,/3 7 5 0 7 5即 3

5、 7 5 0 2 5 要取得最小值,即J-号+2+1 取得最大值,J 1+1 V m2 mV fn tn3 7 5 0 2 5 1 1 1即一 年+丁在行4 K 瓦取得最大值,人1令/=GmJ_ _ _1 _市 询/(r)=-3 7 5 0 r2+2 5/+l,所以/的对称轴为：f=皋，所以/在 三，上 单调递增，在 4，上 单调递减,3 0 0 /D 3 U U J U U 1 2）U所以当，=工时，/（，）取得最大值，即NAQ8最大，此时_ 1 =工，即m=3 0 0，3 0 0m 3 0 0所以=1 5 0,所以/?=5,即为获得最佳的射门角度（即/AQ8最大），则射门时甲离上方端线的距

6、离为：5瓜.故选：B.例 2.（2 0 2 2 甘肃酒泉模拟预测（文）如图，在矩形4 3 c o 中,A B=2,B C =。是的中点，点尸沿着边B C、C O与 ZM 运动，记 N 8 O P =x,将 R W 的面积表示为关于1的函数/（X）,则/（%）=（)DOBA.当时，/(x)=2 t a n x幺 37 tB.当x i 旗=上 时，/(x)=-t a n x-34、C.当x e 7,左J时，/(x)=-t a n xD.当xe 亍，乃 J 时，/(x)=tanx【答案】C【解析】【分析】分T。?、片、.学 乃)三种情况讨论，求出E W 的边AB上的高，结合三角形的面积公式可得H(x

7、)的表达式.【详解】J I _ _;OB=OC=1,则 N BOC=1,易得 OC=OD=J r+/=&,:.0C2+0D2=CD2,时，点尸在线段8 c 上(不包括点3),则当x e。年时，点P 在线段C。上(不包括点C),Ji匕时x)=gA 8-B C=l；故选：c.例 3.(2 02 2上海交大附中高三开学考 试)2 02 0年 1 1 月 5日至1 0日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品，让展商变投资商，交流创意和理念，联通中国和世界，国际采购、投资促进、人文交流，开放合作四大平台作用不断凸显，成为全球共享的国际公共产品.在消费品展区，某企业带来了一

8、款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为1 5 0万元，每生产1 万台需另投入38 0万元.设该企业一年内生产该产品x 万台且全部售完，每万台的销售收入为5 00-2 x,0 x 2 0(1)写出年利润S(万元)关于年产量x (万台)的函数解析式；(利 润=销售收入一成本)(2)当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大？并求出最大年利润.【答案】(1)S=-2X2+120X-150,0X 2 0(2)当年产量为2 5 万台时，该企业获得的年利润最大，最大为1 49 0万 元【解析】【分析】(1)分0 2 0 两种情况，由利润=销售收入一成本，知5 =依?)(3

9、 8 0 x +1 5 0),再代入R(x)的解析式，进行化简整理即可，(2)当0 2 0 时，利用基本不等式求出S 的最大值，比较两个最大值后，取较大的即可(1)当 0 2 0 时，5 =x/?(x)-(3 8 0 x+l 5 0)=3 7 0 x+2 1 4 0-3 8 0 x-1 5 0 =-1 0 x-+1 9 9 0,X X所以年利润s (万元)关于年产量X (万台)的函数解析式为-2X2+120X-150,0X20当0 2 0 时，5 =-l 0 x-+1 9 9 0 =-(1 0 x+=)+1 9 9 0XX1 4 5 0,所以当年产量为2 5 万台时;该企业获得的年利润最大，最

10、大为1 4 9 0 万元例 4.(2 0 2 2 全国高三专题练习)某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为2 0 0 0 0 元，每生产一件“玉兔”需要增加投入1 0 0 元，根据初步测算，总收益满足函数,、4 0 0X-X2,(0 X4 0 0),-_R(x)=4 0 0)(1)将利润7 U)表示为月产量x的函数；(2)当月产量为何值时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？(总收益=总成本+利润)【答案】(1),-x2+3 0 0 x-2 0 0 0 0,(0 M 4 0 0)=j 2 ；-1 O O x+6 0 0 0 0,(x 4 0 0)(2)3 0

11、0,2 5 0 0 0 元.【解析】【分析】由题意，由总收益=总成本+利润可知，分赞k 4 0 0 及x 4 0 0 求利润，利用分段函数表示；(2)在谣/4 0 0 及x 4 0 0 分别求函数的最大值或取值范围，从而确定函数的最大值.从而得到最大利润.(1)由题意，当喷 火 4 0 0 时，/(x)=4 0 0 x -0.5A:2-2 0 0 0 0 -1 O O.r =3 0 0 x -0,5 x2-2 0 0 0 0 ;当 x 4 0 0 时，/(x)=8(X X X)-1(X)A-2(X X X)=6 0 0 0 0-l O O x；,-x2+3 0 0 x-2 0 0 0 0,(O

12、 g i j r 4 0 0)故/(x)=j 2 ；-1 0 0 x+6 0 0 0 0,(%4 0 0)(2)当噫！k 4 0 0 时，fx=3 0 0 x -0.5 x2-2 0 0 0 0 ：当 x =3 0 0 时，/。),四=/(3 0 0)=2 5 0 0 0(元)当x4 0 0 时，f(x)皿 2 0 0 0 0,.,.当x =3 0 0 时，该厂所获利润最大，最大利润为2 5 0 0 0 元.例 5.(2 0 2 2河北模拟预测)劳动实践是大学生学习知识、锻炼才干的有效途径，更是大学生服务社会、回报社会的一种良好形式某大学生去一服装厂参加劳动实践，了解到当该服装厂生产的一种衣服

13、日产量为尤件时，售价为S元/件，且满足s=820-2 x,每天的成本合计为600+20 x元，请你帮他计算日产量为件时，获得的日利润最大，最大利润为 万元.【答案】200 7.94【解析】【分析】将利润表示为关于x 的一个二次函数，求出该函数的最值即可.【详解】由题意易得 I I 利润 y=s x x-（600+20 x）=x（820-2x）-（600+20 x）=-2（x-200）2+79400.故当日产量为200件时，获得的日利润最大，最大利润为7.94万元，故答案为：200,7.94.【方法技巧与总结】I.分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当做几个问题，将各段的变

14、化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值.2.构造分段函数时，要准确、简洁，不重不漏.题型二：对勾函数模型例 6.（2022全国高三专题练习）某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2 万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2 万元.为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为（）A.8 B.10 C.12 D.13【答案】B【解析】【分析】设该企业需要更新设备的年数为x（xeN*）,设备年平均费用为y 万元，求得y 关于X的表达式，利用基本不等式求出y 的最小值及其对应

15、的X值，即可得出结论.【详解】设该企业需要更新设备的年数为x（x N*）,设备年平均费用为y 万元，贝 1X年后的设备维护费用为2+4+6+2X=X（2；2X）=X（X+I）,V/FAB%*中小 100+0.5x+x（x+l）100 3、J 100 3 43,十一、所以彳年的平均费用为y=-=x+-2 x+-=一（万兀），x x 2 x 2 2当且仅当x=10时，等号成立，因此，为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为10.故选：B.例 7.（2022全国高三专题练习）迷你K7V是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻

16、人的欢迎.如图是某间迷你K7V的横截面示意3图，其中AB =AE =,ZA=ZB =ZE =9 0 ,曲线段8 是圆心角为90。的圆弧，设该迷你K7V横截面的面积为S,周长为L,则的最大值为.(本题中取乃=3进行计算)【答案】6-3 3【解析】【分析】设圆弧的半径为x,根据平面几何知识写出，关于x 的函数关系式，运用基本不等式求解函数的最大值即可.【详解】设圆弧的半径为x(0 E =A8-x=|-xS=AEDE+(A B-D(AE -x)+；TT-X22兀 X 7TX Q I*2 1 q Q 丫 2L=2AB+BC+DE+=6-2 x+.乃=3，S=L=6 x.，=令 f=12-2x424 2

17、 L 2-2x(9?A。)的周长为20cm,把AB C 沿 AC折叠，A 3折过去后交OC于点P,设A5=xcm,AD=ycm.并写出函数y=/(x)的定义域;(2)求的最大面积以及此时的x 的值.【答案】(l)y=x)=1 0-x,定义域为(5,10)(2)x=5板,AADP的最大面积为(75-50夜卜0?【解析】【分析】(1)由题意可得y=1 0-x,再 由 钻 A)可求出x 的取值范围，(2)设AP=CP=z,在直角三角形ADP中利用勾股定理可得z=x+-1 0,从而可求得X以 的=；4 0-力 卜-+10)，化简后利用基本不等式可求得结果(1)因为A8=x,A D =y,矩形ABC。的

18、周长为20cm,所以2x+2y=2 0 n y =1 0-x,因为A B A D,所以x10-1 0,解得5V x=90。，C3=D 4,所以 zMD尸丝 AC B P,因此 AP=CP,DP=BP.设A P=C P=z.而 A8CZ)是矩形，所以DC=AB,因此 0P=D C CP=x z.950在直角三角形ACP中，有 A尸=AD?+。尸 n z?=(10-x)2+(x-z)-z=x 4-10,5 x 10.所以 SADP=-AZ)DP=-y(x-z)=-(10-x)fx-x-+i o 化简得S w=75-5 x-空=75-(5x+型)7 5-2 5 x-=7 5-50应，当且仅当5x=一

19、时取等号，即x=5后 时，的最大面积为(7 5-5 0&卜1 =100cm,设小扇形半径OA=Acm,N AOB=，弧度，则。关于x 的函数关系式。(幻=.若雕刻费用关于x 的解析式为Mx)=lOx+1700,则砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为DA【答 案】布*0m*v1 0 0 +2%/i n nx .-,X G(0,1 0 0)；31 0 0 +x 【解 析】【分 析】利用弧长公式求A B与OC根据扇环周长可得。关 于x的函数关系式；根据扇形面积公式求出扇环面积，进而得出砖雕面积与雕刻费用之比，再利用基本不等式即可求解.【详 解】由题意可知，Z A O B =9,O A =x,O D =0

20、0,所 以48=夕尤，A =3C=1 0 0-x,D C-1 0 0 0,扇环周长 4 3+A D +B C+D C=3*+2 0 0 -2 x+1 0 0，=30 0,解得人际心叫砖雕面积即为图中环形面积，记 为S,则 S =S扇”-SMA O B=-O D D C-O A A B=-x lO O x lO O 6 -x-6 x =5 O O O 6 -x2=f 5 0 0 0 11 0 0 +2 1,2 2 2 I 2 J 1 0 0 +x即雕刻面积与雕刻费用之比为 加，S _ (1 0 0 0 0-x2)(1 0 0 +2 x)_ (1 0 0-x)(5 0 +x)w(x)2(1 0 0

21、 +x)(1 0 x +1 7 0 0)1 0(x +1 7 0)令t =x+1 7 0,则x =f-1 7 0,(2 7 0-r)(r-1 2 0)-r2+39 0/-1 2 0 x 2 7 0 t 1 2 x 2 7 0 ”.I，1 2 x 2 7 0 “”.m =-八-=-=-+39 0).若 采 摘 后1天，金针菇失去的新鲜度为4 0%,采 摘 后3天，金针菇失去的新鲜度为8 0%.那么若不及时处理，采 摘 下 来 的金针菇在多长时间后开始失去全部新鲜度(已知75=1.414,结果 取 一 位 小 数)()A.4.0 天 B.4.3 天 C.4.7 天 D.5.1 天【答 案】C【解

22、析】【分 析】由已知条件两式相除求出。，设，天后开始失去全部新鲜度，则iln(r+l)=l,再 与 已 知 式 相 除 可 求 得t.【详 解】fzln(l+)=0.4 ln(3+a),由已知 ，二、八,、，相 除 得 =2,ln(3+a)=21n(l+a),(l+a)2=3+a,因为。0,故解得mln(3+)=0.8ln(l+n)设f 天后开始失去全部新鲜度，则m l n 后+1）=1,又m l n（l+度=0.4,所以一，)=7 7 ，2 l n(Z +1)=5 I n 2 =I n 32 ,(/+1)2=32 ,t +=/32 =4 2 =4 x 1.4 1 4 =5.6 5 6 I n

23、 2 0.4t=4.6 5 6 4.7 .故选：C.例 1 2.（2 0 2 2 陕西西安三模（理）2 0 2 2 年 4月 1 6 H,神舟十二号3 名航天员告别了工作生活1 8 3天的中国空间站，安全返回地球中国征服太空的关键是火箭技术，在理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速 度 增 量 的 公 式=其中Av为火箭的速度增量，匕为喷流相对于火箭的速度，?。和班分别代表发动机开启和关闭时火箭的质量，在未来，假设人类设计的某火箭匕达到5 公里/秒真，从 100提高到600,则 速 度 增 量 增 加 的 百 分 比 约 为（）（参考数据：l n 2=0.7,l n 3 l.l,l n 51.

24、6A.15%B.30%C.35%D.39%【答案】D【解析】【分析】根据题意，速度的增量 为 钳=51n l 00,匕=51n 600,结合对数的运算性质，即可求解.【详解】由题意，当a=10时，速度的增量为A W=51n l 00：叫当 藁=200时，速度的增量为%=5I n 600=5I n 100+51n 6,v2-AV.5I n 100+5I n 6-5I n 100 I n 6 I n 2+l n 3 匕 51n l 00 I n 100 2（l n 2+l n 5）故选：D.例 13.（2022贵州模拟预测（理）生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统

25、造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为。，一年四季均可繁殖，繁殖间隔T为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型K（）=/Un”（X 为常数）来描述该物种累计繁殖数量”与入侵时间K （单位：天）之间的对应关系，且。=鼻+1,在物种入侵初期，基于现有数据得出。=6,7=50.据此估计该物种累计繁殖数量比初始累计繁殖数量增加11倍所需要的时间为（I n 2a o.69,l n 3 1.10）（）A.22.0天 B.13.8天 C.24.8天 D.17.9天【答案】C【解析】【分析】根据已知数据可求得4,设初始时间为匕，累计繁殖数量增加11倍后的时间为长 2,利用（-用,

26、结合对数运算法则可求得结果.【详解】T502 =+1 。=6,T=5（）,6=-+1,解得：A =10.A A设初始时间为K-初始累计繁殖数量为，累计繁殖数量增加11倍后的时间为勺，则 工 一 叫=2 呵 12）-刀 n =21n l 2=10（2l n 2+l n 3k 24.8（天）.故选：C.例 14.（2022四川省泸县第二中学模拟预测（理）2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动.该企业2 0 2 1 年初有资金1 50 万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴

27、 1 0 万 元.若要实现2 0 2 4年初的资金达到2 70 万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：Vh 82 1.2 2,1.2 ）（）A.1 0%B.2 0%C.2 2%D.32%【答案】B【解析】【分析】设年平均增长率为x,依题意列方程求x即可.【详解】由题意，设年平均增长率为X,则1 50（1 +4+1 0 =2 70,所以=故年平均增长率为2 0%.故选：B例 15.（2 0 2 2广西模拟预测（理）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以事函数形式表示.比如，某类动物的新陈代谢率了与其体重x 满足y =丘，其中人和a为正常数，该类动物某一个体在生长

28、发育过程中，其体重增长到初始状态的1 6倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8 倍，则a为（）A.-B.1 C.D.-【答案】D【解析】【分析】初始状态设为（西，凹），变化后为52，%），根据西 广 2，）1，乃的关系代入后可求解.【详解】设 初 始 状 态 为 则 =1 6，y2=8 i,又y=依f,y2=k x ,即8 =%（1 6x J =h l 6 ，8y h l 6 x f “a a “c 3=-1-,1 6a=8,2 4a=2 3,4z =3,a=-.X 烟0 4故选：D.例 1 6.（2 0 2 2 贵州贵阳二模（理）2 0 2 1 年 1 1 月 2 4 日，贵阳市修文县发生了

29、 4.6级地震，所幸的是没有人员伤亡和较大财产损失，在抗震分析中，某结构工程师提出：由于实测地震记录的缺乏，且考虑到强震记录数量的有限性和地震动的不可重复性，在抗震分析中还需要人工合成符合某些指定统计特征的非平稳地震波时程，其中地震动时程强度包络函数7（。=1,tvt2（单位：秒）分别为控制强震1平稳段的首末时刻；。（单位：秒）表示地震动总持时；c 是衰减因子，控制下降段衰减的快慢.在一次抗震分析中，地震动总持时是20秒，控制强震平稳段的首末时刻分别是5秒 和 1 0秒，衰减因子是0.2,则当，=1 5 秒时，地震动时程强度包络函数值是（）A.e-1 B.1 C.9 D.e-2【答案】A【解析

30、】【分析】由题可得当1 0 7 4 2 0 时，/（/）=寻 而，即得.【详解】由题可知=5 应=1 0，。=20,c =0.2,当 1（）,即传输距离增加了约3 倍，故选：C.4.（2022全国模拟预测）施工企业承包工程，一般实行包工包料，需要有一定数量的备料周转金，由建设单位在开工前拨给施工企业一定数额的预付备料款，构成施工企业为该承包工程储备和准备主要材料、结构件所需的流动资金.确定工程预付款起扣点的依据是：未完施工工程所需主要材料和构件的费用等于工程预付款的数额.计算公式为：T=P-Z （T：工程预付款起扣点，P：承包工程合同总额，M：工N程预付款数额，N：主要材料及构件所占比重）.某

31、施工企业承接了一个合同总额为208万元的新工程，该工程预付款起扣点为160万元，主要材料及构件所占比重为6 5%,则建设单位应预付给施工企业的金额为合同总额的（）A.12%B.15%C.18%D.21%【答案】B【解析】【分析】设建设单位应预付给施工企业的金额为合同总额的x%,根据所给公式得到方程，解得即可；【详解】解：设建设单位应预付给施工企业的金额为合同总额的x%，则由T=P-给，得160=208-丝兽，解得x=15,N 65%故 选:B.5.（2022北京二模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量尸（单位：m g/L）与 时 间 单 位：h）间的关系为P =4 e T

32、 ，其中外，k 是正的常数.如果在前1 0 h污染物减少1 9%,那么再过5h后污染物还剩余（）A.40.5%B.54%C.6 5.6%D.7 2.9%【答案】D【解析】【分析】根据给定的函数模型及已知可得e-5 =0.9，再计算5h后污染物剩余量.【详解】由题设，（1-1 9%）4=柒-必，可得设%0.9,再过 5 个小时，P =（l-1 9%）e-=（0.81 x 0.9）4 =0.7 2 94，所以最后还剩余7 2.9%.故选：D6.（2 0 2 2 全国模拟预测）某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准，需要加入某种药剂，加入该药剂后，药剂的浓度C （单位：m g/n?）随时间f （单

33、位：h）的变化关系可近似的用函数（）=；0：（）刻画.由此可以判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过（）A.3 h B.4h C.5h D.6 h【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式求最值可得.【详解】依题意，0,所以1 +所以C（八 一 +_ 1 0 0。+。_ 1 0 0 1 +2一 正 一,当旦仅”1 1=即/3肘等号成、工，心由此可判断，若使被处理的污水中该药司的浓度达到最大值，t+需经过3 h.故选：A.7.（2 0 2 2 云南曲靖二模（文）某大型家电商场，在一周内，计划销售A、8 两种电器，已知这两种电器每台的进价都是1 万元，若厂家规定，一家商场进货B 的台

34、数不高于A的台数的2 倍，且进货B 至少2台，而销售A、5 的售价分别为1 2 0 0 0 元/台和1 2 50 0 元/台，若该家电商场每周可以用来进货A、8 的总资金为6 万元，所进电器都能销售出去，则该商场在一个周内销售A、B 电器的总利润（利润=售价一进价）的最大值为（）A.1.2 万元 B.2.8万元 C.1.6 万元 D.1.4万元【答案】D【解析】【分析】设卖场在一周内进货B 的台数为x台，则一周内进货A的台数为（6-x）,根据题意可得出关于x的不等式，解出X的取值范围，再写出 关于X的函数关系式，利用函数的单调性可求得y的最大值.【详解】设该卖场在一周内进货B 的台数为X台，则

35、一周内进货A的台数为（6-X）,设该卖场在一周内销售A、B 电器的利润为y万元，x 2由 题 意 可 得 二 V 可得2WXW4,且x w N,x 2 5.4 5,故 D正确.故选：C D1 0.（2 0 2 2 全国高三专题练习）某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间f（小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线.据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.1 2 5微克时，治疗该病有效，则（）B.注射一次治疗该病的有效时间长度为6 小时C.注射该药物:小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克8D.注射一次治疗该病的有效

36、时间长度为5记时【答案】A D【解析】【分析】利用图象分别求出两段函数解析式，再进行逐个分析，即可解决.【详解】4r（0 z l）由函数图象可知旷=01丫-/,、，旧（E当/=1 时，y=4,即g 产=4,解得a =3,4/（0 t 正确；注射该药物1小时后每毫升血液含药量为4 x：=0.5微克，故C 错误，O O故选：A D.1 1.（2 0 2 2 全国高三专题练习）“双1 1”购物节中，某电商对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额满一定额度，可以给与优惠：（1）如果购物总额不超过50 元，则不给予优惠；（2）如果购物总额超过50 元但不超过1 0 0 元，可以使用一张5 元优惠券；

37、（3）如果购物总额超过1 0 0 元但不超过30 0 元，则按标价给予9 折优惠；（4）如果购物总额超过30 0 元，其中30 0 元内的按第（3）条给予优惠，超 过 30 0 元的部分给予8 折优惠.某人购买了部分商品，则下列说法正确的是（）A.如果购物总额为7 8 元，则应付款为7 3元B.如果购物总额为2 2 8 元，则应付款为2 0 5.2 元C.如果购物总额为368 元，则应付款为2 9 4.4元D.如果购物时一次性全部付款442.8 元，则购物总额为51 6元【答案】A B D【解析】根据优惠规则计算应付款项，判断各选项.【详解】购物总额为78元，则应付款为78-5=73元，A 正

38、确；购物总额为228元，则应付款为228x0.9=205.2元，B 正确；购物总额为368元，则应付款为300 x 0.9+68x0.8=324.4元，C 错误；购物时一次性全部付款442.8元，则包含购物总额300元应付的270元，还有172.8 元对应购物额度为=2 1 6,因此购物总额为300+216=516元，D 正确.0.8故选：ABD.【点睛】本题考查函数的应用，在求解应付款时，如果购物总额大于300元，计算时需先计算300元应付270元，多于300元的乘以0.8,这才是正确结论,不能全部乘以0.8.12.（2022全国高三专题练习）某一池灌里浮萍面积y（单位：m2）与时间r（单位

39、：月）的关系为y=2 ,下列说法中正确的说法是（）A.浮萍每月增长率为1B.第 5 个月时，浮萍面积就会超过30m2C.浮萍每月增加的面积都相等D.若浮萍蔓延到2m2,3m2,6m2所经过时间分别为2 M，则4【答案】ABD【解析】函数关系式产2 f,再由可判断A；当 仁5 时，计算函数值可判断B：计算第二个月2 2比第一个月增加量，和第三个月比第二个月增加量，比较可判断C；运用指数与对数互化得，可判断D.【详解】函数关系式产力,（2 =次|二 2=1,.每月的增长率为1,A 正确；当时，y=25=3230,.B 正确；第二个月比第一个月增加y2-yi-22-2-2（m2）,第三个月比第二个月

40、增加32=23-22=4（/2）分，2-山，；.C 不正确；.,2=2，1 3=2,6=2，r/=log22,r?=log23,f=k）g26,0+f2=log22+log23=log26=/3,D 正确.故选：ABD.三、填空题13.（2022全国模拟预测）一种药在病人血液中的量保持lOOOmg以上才有疗效，而低于500mg病人就有危险.现给某病人静脉注射了这种药2000m g,如果药在血液中以每小时10%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过 小时内向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.（附：1g20.3010,1g30.4771,精确到 O.lh)【答案】6.6【解析】

41、【分析】写出血液中药物含量关于时间的关系式，解不等式求出答案.【详解】设x h 后血液中的药物量为),mg,则有 y=2000(1-10%),令 yN lOOO 得：x 0),劳累程度n O T l),劳动动机伙1匕 r2,T,T2,1cb5,0 Vl 4/|-0 l 4 r,7；7；0,则,-E2=1 0-1 0 7；1 4 1-(1 0-1 0 7；也4?=1 0(今也 肌 Ti 力 力 0,片 4,即甲比乙工作效率高，故正确；对于，1=（，4，仇 8，1 b严 伉.4 0,4 如2 4，则耳-刍=1 0-1 0 7；也-0 0-1 0（也如缶）=1 0 7；他如5-伪如乐）0 ,；.用

42、咨,即甲比乙工作效率高，故正确；对于，4=4，Et E2,4 c b 2,O7L2Et-E2=1 0(7；-b -7；-Z,-0 l 4，i)0 ,72 也知2 Tl-bl-4r,x-O.I 4/jTLb (bL7；b2-0 b2 1,7所以（7；,即甲比乙劳累程度弱，故错误;对于，仇=H，E、E,rt 0 11也”f 工业.向?:E =(a /所以（7；,即甲比乙劳累程度弱，故正确.故答案为：.1 6.（20 22全国高三专题练习）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益.每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础

43、上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数=（水库实际蓄水量）一 （水库总蓄水量）X1 0 0）来衡量每座水库的水位情况.假设某次联合调度要求如下：（i）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间 0,1 0。;（i i）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；（i i i）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变.记 x为调度前某水库的蓄满指数，），为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y关于x的函数解析式：,:一疝x?+6x；y =l（）/7；=0%；_ y =l OOs i n-j X.则 满 足 此 次 联 合 调 度 要 求 的 函 数 解 析 式 的 序 号 是.【答案】【解析】【分析】需满足四

44、个条件：1.自变量X 的取值范围为2,1 0 0 ;2.函数值域为 0,1 0 0 的子集；3 .该函数在 0,1 0 0 上恒有y2 x；4 .该函数为 0,1 0 0 上增函数；逐一对照分析求解即可.【详解】y =-*+6 x=$(x 2-1 20 x)=W(x-6 0)，1 80,该函数在x =60 时函数值为1 80,超过了范围,不合题意；y =1 0 6 为增函数，且x e 0,1 0 0 ,y e 0,1 0 0 且 五 4 1 0,则X4 1 0 A，符合题意；y =I O，。，当X=5 0 时。员=0 5 0，不合题意y =1 0 0 s i n 焉x,当x e 0,1 0 0

45、 时，0,g ,故该函数在 0,1 0 0 上单调递增，又20()2UU 2.y =I O O s i n-j x e O,l O O i S g(-v)=1 0 0 s i n j x-x,x e 0,1 0 0 g (x)=1 0 0 -c o s-x-l,%e 0,1 0 0 即=-c o s-x-1v 2 0 0 2 0 0 L$、,2 2 0 0易知g(x)=?c o s 矗x-1 在 0,1 0 0 上为减函数令g(x)=0,则存在x e 0,1 0 0 ,有 g(x)=0当x w 0,x 0 ；当x e X o，1 0 0 ,g(x)x2 0 0故符合题意故答案为：【点睛】本题考

46、查学生实际运用数学的能力.需要学生具备一定的数学建模思想，将文字语言描述的要求转化为数学表达式，再用数学方法分析求解.四、解答题17.(2022上海交大附中高三期中)“跳台滑雪 是冬奥会中的一个比赛项目，俗称“勇敢者的游戏“，观赏性和挑战性极强.如图：一个运动员从起滑门点A 出发，沿着助滑道曲线/(力=-/二7(4 4 x 4 0)滑到台端点B起跳，然后在空中沿抛物线g(x)=如 2 -20以-/x 0)飞行一段时间后在点C 着陆，线段B C的长度称作运动员的飞行距离，计入最终成绩.已知g(x)=o？-20依-匕在区间 0,30 上的最大值为-3 0,最小值为-70./(起滑门)助滑道8(台端

47、)空中飞翔 求实数明匕的值及助滑道曲线A 8的长度C(着陆点)(2)若运动员某次比赛中着陆点C 与起滑门点A 的高度差为120米，求他的飞行距离(精确到米，石 ”2.236).【答案】(1)=一七，匕=4 0,助滑道曲线A 8的长度为2(比米(2)89 米【解析】【分析】(1)令y=x),即可得至次+V=，(-6 x 0,-ft y 0),即可得到“力 的几何意义，根据二次函数的性质得到g(10)=-30,g(30)=-7 0,即可求出a、6 的值，从而求出曲线AB的长度；(2)由(1)可得g(x)的解析式，依题意可得打=-1 2 0,代入解析式中解出x,即可求出C 点坐标，根据两点间的距离公

48、式计算可得；(1)解:因 为 x)=-扬-/(q WO),令 y=x),则/+/=凡(-bx0,-by0)由图象可知函数开口向下，所以a|1()-0,所以当 X=10 时 g(x)心=g(10)=1004 力=-30,g(30)=3 0 0 a=-7 0,解得1Cl-I10,所以 A6=x 24*40=204,4方=40即。=-2,3=4 0,助滑道曲线A 8的长度为2（比米（2）解：依题意可得A（T 0,0）,8（0,-40）,%=T 2 0,由(I)可得 g(x)=-而%+2x-40(x 0),令 g(x)=-120,B P-X2+2X-40=-120,解得玉=40,%=-20(舍去);所

49、以 C(4(),-120),所以忸C|=J4 以+(-40+120)2=406 =89，即该运动员飞行距离约为89米;18.（2022上海市建平中学高三阶段练习）有一条长为120米的步行道OA,A 是垃圾投放点电，以。为原点，OA为 x 轴正半轴建立直角坐标系.设点B（x,0）,现要建设另一座垃圾投放点用&。），函数工（力表示与点B距离最近的垃圾投放点的距离.若f =60,求 几(1 0)、几(8 0)、启(9 5)的值，并写出治(x)的函数解析式；(2)若可以通过/(x)与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利.问：垃圾投放点电建在何处才能比建在中点时更加便利？【答案】%(1

50、 0)=5 0,%(8 0)=2 0,启(9 5)=2 5九(“=9 0 时,A)(A)=|1 2 0-X|;综上 4o(x)=，|6 0-X|,0 A;,9 0|1 2 0-x|,9 0 x 1 2 0：(2)由题意得(x)=|f-x|,|1 2 0-x|L,|r-x|,0 A;,0.5(1 2 0 +/)所以/(%)=3 门 的，则/(九)与坐标轴围成的面积如阴影部分所示,|1 2 0-x|,0.5(1 2 0 +0 x 1 2 01 I 3TlUS=-/2+-(120-z)2=Z2-60/+3600,由题意，5 5(6 0),g p-r2-6 0 r +3 6 0 0 2 7 0 0,解