复变函数与积分变换课后习题解答.pdf

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1、i t 什 为 下 列 在K.-(3-2 0 s做(1-i)(3-2i)(t*i)-3 2i-24-3i.(2)(i-6 iP：解(a 6i)3 4 a-3 6i 3o(Ai)2-i2-2i i 2 1 -3iMs._ 1 _，+i”_ 1 _(x 1 ivX.r*1 iv)n+i _ JC.b +1，jr+1 *+，=r y8.1 2，y(a l 产 V1 2 g 明 卜 到 关j共 匏 复 效 的iE ll性 颜：(1 3)-(x i lyi)1 7 x j iy*)(x i 1 x)iCyi 1 y1)(JB(，q)-U,t*y j)n -uu t i 一 苹 i 土 匕 依 i,Q i

2、 b，(*2*)*z+3 z _(工1 _+5).立 一(jri y?)-4-3i.upJ 2 i|-12 i2”-2)i.U l -”-Az *(X|+交 +-3i.利 用 灯 数 相 等 的 概 念“I知2a：i-JC2-O.,21-2 I 1 i-2 4r i H+M 9 -3婚 用故l-1 -f i.*2 一 号-承1 4 杵 直 假 方 押 g +Ay c-O(a2+夕 天。)耳 成 双 效 服 式I 处 示 s iC x-f-i y x.解 出M-军-尹，-三 亓 代 人 直 线 方 程 得ax aS 6i(E 一充)2,0.(*(a *ib)e -2c-0.tt X *AA H-

3、O.JCn A-a*”-2e.1.5%寿 X 网力CXs 8 O PJfcRSE“附K(“川 在 小.族 中“一*ly).X 旭，工1).V-，击.1 十 一 m 5的爆力W.：(；一),2 *-2 ar cuiit g -g.M I-I-H-/-1)*rp -7 1.M 12-11-2?1P-VS.*.(2-i)Mr ciMn r c I 31.M I-1 3H-37-vH b.ar*-1-3t)-ar ctRn ir -ntvtMn 3.I 7 ULHH b M 国-e/2 =|s|p 4|2|2-2Re(Z|t2)ifiE t|-2p=(Z|-X2)(Zi-12)=(Z|-C j)(t|

4、。)=Z1-Z1*Z2 f?-?jt|-?|X2=I 町I+IQP-(t it2+rif j)=I 12*ln|2-2 R c(/%).国 益1?+|z i-Z =2(|z/+G P),并说明此式的几何意义；证|zi+z/2+|Z-Z/2=(打+Z?)(Z+Z2)+(Z-2)(t|-22)=(t(+2)(f|22)+(*l-%2)(句-Xj)=2 国|2+2 H P =2(E|，2).此式的几何意义是:平行四边形对角线平方和等于各边平方和.(3)4(|1|+小|)图 4|1 1+(其中 =小2证 显然有111 =|工+iyl=JJ?/.2 4|工|+|y|,而(|z|-Iyi)?。，则 21g

5、l 又(1工卜 Iy i):=|x 2+y 22xy2(ar2+y2)=2|t|2,ttl z|)(|x|+y).v2即11+I川&?IW x l+y-1.8 将下列各复数写成二角衣示式.(1)-3 +2i；解 I-3+2i|=/B,arg(-3+2i)=arban +农，故-3+2i-v F cos卜 一arcliin 3)+i-arctan g)(2)sin c+i a*)(1-0；解 1+i 二 可 1彳 +i sin；1 -i-(oos-+i sin 丁)，牧+-i)二 2(a仔-扑 isin仔-川=2.(2)(2 31)/(311);解 因-2+3i=ZT3C O S(arctan+

6、n)+i sin(an：tan+x)的 还是无界的？是单连通域还是多连通域？(1)2|z|3;解 圆 环，有界多连通城(2)|3;解 以 原 点 为 中 心，彳 为半径的圆的外部,无界多连通域.(3)J arg nV 号 且 1 I*!1 M l 1 2j解 圆 环 的 一 部 分,有 界、单连域.(5)Re r2 1?解-,2 V 1,尤 界 华 连 城(6)|-1|+J ar+1 14;解 椭圆的内部及桑 的 边 界，有 界、闭区域.(7)larg N|a(a 0).M 分 三 种 情 况:0 1为B8内.1 12 指 出 满 足 下 列 各 式 的 点z的轨迹是什么曲线？(1)I *-i

7、|=1;解 以(0.-i)为 圆 心，1为半径的圆冏.(2)I z-a)+|z+al=5,其 中。，分为正实常数；解 以土 a为 焦 点，立为长半 触的椭 圆a(3)I z-a I=Re(n 6),其中 a,b 为 实 雷 效；解 设 之=1+3,则 IQ-0.3+2：-cos(ar ctan y)i sm(ar ctan y)j.被(2 3i/(3 2i)-i.注:ar n(-2+玉)/(3 +2i)-Cr etan x-ar r mn ys e i；T-3 432m-2/3(2 的 y 号 r 水*B 山豪*公式知 *3.1+is irJ.J -i.5 r mi.*B l-2*2 il-8

8、.rg(-2 2 i)-所以由开方公式知mr i i 可 皿 叼 泮 一个 件 卜k 0.1,2,3.1 1“力程：xB*l,0.方程/1I,它的 是 (-i)i.由开方公式计算得x=(1,(m x i nw)i；必一 !.一。，1 2即*0-0(亨 i H崂亡 -1 冬.1-cm r nx=1,一，n-.5k 1 口.zj-3-y -y t.i n 播出卜列不等式防辛的庆”与加氏城,并指明它是菖停的还是无界的。是单违通域还是多连通城,(1)2|O|M 理可本界方堆通发|i|3解 以爆点.为中心，士为警怪的副的外部尢界多连通J*.(3)受 V arg nV 亨 且 I V I x I 1 H

9、I c I 2 aM M坏的一部分有界.单理域.(5)Re 2 a(a 0).解 分三M情况：。V “V 1 区*为 题 的 外 邮：*I为左半平面；1为MB内.1 12 指出满足下列各式的点的机决是什么曲线。(1)!=1解 ia(o.-i)为1心】为中程的咽面.(2)Ie -a l+I v+a l -3其 中a 分为正实素败；解 以士 a为焦点.*为性半轴的械网(3)Is -a I-R c(r-8)其中 a.6 为宾京政：愉 1殳*=B*+i.贝!J l Rc(x -iyj(x -a)2 y2=(*-6尸，x -b 0.符忸得的参政方瞿为写成又敷形bin I.式为 z-aa t+bw 4(0

10、 G，4 2n.1.14 试得函敷,r2-y1-i(ry -*)与成 的函散(，r+iy).解将 工,产工 萨 代人上式.将(*金*(2 一 *.(*1)(-2)44T 4i=。不错鸣1.15 M狂 啊R：，样 在.s 呵誓=阿 苫 令 =&.则上集核限为r1 4.随 去变 化 而 爻 化.因*存 在1.1 6 /)=/9 0试证/G)在=0处不连续.叽 0.it M蚓/为.我？,士.K fan A z)不存在,故人出在e:0处不连续.第二章(l)/(r)=7解 R 1所 g殳Eg)占.一%-AAr *“y Aw画意言潦m(t/oh/(x)-()*：?(x#0).(2)fz -zRc z.解

11、a11m/(M I A)，()ar-c 机 Um e z)呵Z，4)-?Be Za 4 As.*R e&+.A*Re:-Inn.Ar-C At KmRe s+Re Ar+t 会)Sgr 鬻)当*.0内,上述极限不存在,故易败小存在,马 =0时,卜.述根限为0.被守数为0.2.下列南数在何处可9?何处不可导？何处修析?何处不得析？(1)/()-*，(*)n ,/L W 2 *-I。|2 e(P *力(工/)n x(x2 力 iyCx2 力.这眼 (r.y),1(/y2).v(r,)-y(x3 /).口力 ,内 三，y2 2 ,=2jry.vf=2xy.要“4 一%，*y，-V j.当J1仪当J-

12、0,15”4，%均连线.故/()-tJ仅存r=0处可导,处处不解析 处成立，故“Q 仅在I 口 y上可睡,处处不解析.(3)/(r)-Jr3 3”？4 i(3x2jr -).M 这国上，3 -,-Jjcy2,v(x.y)-3x2y-y3.u,-3 r7-j/.M y -fix.y.Vx-61y.%-3i-3,四个偏导畋均连续且“，-叽处处成立,故/(g)在整个复平面I处处可分,也处处*析.(4)人三)-In 工 rh y i cos x sh.储 这里”()=sin“chy,贸i,y)-c w is h、.u,-cos xch yt“，-sin jr sh ytvz-bin ih y,-cm*

13、x ch y.四个保守均连续H%-4.a,句处处成立.故/U)处处町冷也处处6物.3.定下列函数的鼾折区域和奇点,月求出导鼓七第是由理函勤，除去分母为0的点外处处解析.故全平面除去点N -I及Z-1的区域为/(口的解析区域,奇点为-土 1J G)的导数为：则 可 推 出:;=0.即“=C(常致).故/(*)必 为D中常数.(3)设/(%)-“诂,由条件打arg-C,从而二。求导和“除物.0或 他考川.明u+v u 1 tr化偈，利用C R条件制 J 7 张=0，:L 齐.S所以1；=：；-。同 碑,S 0.即在中M,v为育故，故/(c)在。中为常数.(4)设 W0,M u*-(c-6v)Za,

14、求导得3u _ _ b?t Ou _ 6 3v3JC a 5x,dy a y*由C R条件演 /“Hv _ b_9va 3y 2*a*fy故M ,v必为常数.即f(z)t D中为常数世a r o,6 f 0 R O./讥,-c,颊 1 为常数，乂由C R条件知V也必为常数,所以f(t)D中为才数5设f i t)在区域D内解析.试证偌*$)1八“，4 6,小*&/(c)=M *iv,几)=如穹,|巾)1(却像。一+为m，)h 枭(/“)/)一隹)；H打 总.制 步 闱，弟卜乂析.飓实及中部均为M和啪数故(&*)W-=(S4&)E,罚山 (纣(舒卜”r6 mC R方程的板 垃 彩*;柝 皿吒牌晦卜

15、播-制汪 一，Ts 4，*，C R*f t：总得卷一:；因充打“红的而M-xar13XV-，2-2aia-a色2Jr*&rv92ad-J3-323，比较、和 d.即得包心aw的红*豆利用力Jr r f)0*Hr r 0$，喑+身=(史 -o-:”)=3,传+由卜岁像 串)唱：，唠)-(-卷+吟)(於+闺 g d-i d n，)V(患 堂)+傍T 需)二令 w 之 re,/(r)=/(r*)-u*iv.八*),=史 史.，/招 闺吒(碧 受 卜7.试 证u-X2-，.寿一&2 ,：,都是两知函数.但M 沁不是解析函数.证因居.*.2.招-2”书=-2.则念 总 2.(-2)=0.tt.-xJ21

16、 -T-?。.一 -2,驯，a l 3 力?，9 一 (?.再.级=K?二 2寸 一 足 7 也 B IxLzljA y力(x1*?)f(?t?)2,少(J T?，国 奈 塞。做 一 尸 二 是 词 和 函 数但,/居,2洪-故 ”不是解析函数8如 果/()“2为析函数.试证-是。的共K ill和两ft.任 只需H V-i“为 析 曲 效 区i,M+2均为加析函数.故-|(M *iV)也是析隶数，亦 即-U f t v的共和利和.9.由下列条件求M析函看/()-3 +；“(!)-3，)dy三 3上2y 3jy2-y3 F(X),又;-6ry 3/+而案 3/6JTY 3丁,所以9(1)-3工；

17、,明6*)=-工、。.故/()=*iv,(x-y)(xJ，4xy y1)*i(3rJ t 3-，7 C)-(1 -i)x2(x+y)y2(l i)(x+iy)l ray(l+i)-2(1-i)*Ci,*r(l i)(x2 j2)-2xyi x(l i)Ci=(1-i)r(x2-2jyi)*Ci-(1 +Ci.(2)v=2xy 3,;唠-2)+3.含 L 由/G)解析，育含 1 N-U S 卜 皿 7 r(y).又 居 .碧 2y 3,而居 7 3,所 以 小r)-2 y-3,则)-一，-3y+C 故/()，-3，*g 3x).(3)=2(x-l)y J(2)=-i:H 内 票 2 y.票2(工

18、1),向/的X析性有sin y)+cxous,vdy+C-(工 严 “in ydy c w ydy b C“卜Gn y-yea v-.*ydy+jcos yd)+C=elMn y-r*ya y C,故/(s)-YJcos y-Y$in v)+ieCxsn y-yca v)iC.由 /(0)=0 知 C 一 0.即/(*)-er(jea y-yn y)*ieCxsin y-ycos y)=ee,.1 0设u-/x n y,求p的值使K为词和小敏，并求出X忻函数/(),“解”u(x.y)为M加函数，宛有3v-0 2 dlin v-rin y-0.O.W所建=1时E为芭和而数,神，“）解析,M .-

19、）凸-“（x，y）s jr*a ydj=：1 a第.）.tty 二qLsin y+歹（3）-P/$in y所以/(y)*(；,(-(/)-十)/*C.W (x.y)-e rn y C,故_*(j n y)C-l-(i,v)+I I .陆明:一对共史刊和曲效的条枳仍为词和所欺证明 设U是M的共克利和由数令-MIf 折 flfilk,1（之）-/（）,/（）=（U IV）2=（M2-V2）+Uuv 也是解析雨散.故探虚部2皿 是网fU鬲散.从K 是刊和函数12.如果*“4沁&X 析的依，试证:，/（）也髭X 所喊败证 因 八)M析 国 含-器 含 c-卦H*v均可微,从而 u也可微,而i/(E)=

20、w iu t+i(u)X%=红=么一sd 包=四 一 m.3x Oy 3y*3y 2 r 2工,即-M q t满足O R条 件 周 丽 也是懈析函数1 3心碎：(I M -1+/3 i;解 e I /3i=2(m y i sn y)=2ee1 n“小.：,A=0,1,2,故x In 2+i(2kit+亨)，;-0,1,2.(2)In r-2 i解 i =e51=cos y 1 i sai y -i.(3)sn =i sh 1;解 sin z=i sh 1 i(-i)sin i sin i,所以 z=”:r 1 i 或 z=(24 1)jr-i.A 为整数.另务.地本*第24.(4)城n z+a

21、 z=0.解由题设如lnz I,T A x-?,k为整数.41 4.求卜列各式的值.(O a i；内。.7 0 J，第 Or I-=一尸 (2)U(-3*4i)i解 L n(-3 +4i)=In 5+tA rg(-3 +4i)=In 5+i(2*n+it-ar ctan y j.(3)(1解(1-i)1*1=/川 川7=oos(ln乃-力 +i smCInTi-力：(4)33T.解 y-i-e(5-OL3 _ c(3-iHta32*n-e(5-Dta3._ JIO3+2A4.e-ita5=27e24 N -e=an x 2 -1 cos x =sin xch y +i cos xsh y.(2

22、)oos(2j+Z2)-cos ZjCQS 22-sin zjsin z i证cos zjeos 2-sin z】sin z?+不 )(酬：+”力(一 -e-.)(*2-e-T)44=：e k f)+e-iCt*r,+/+eK,i,+9，+/(,，-/=+C-i(,l*h =/P-1).注:/?二1含有“土”两根18.由于In t为多通函数，指出下列错误.(1)Ln z2 2Ln x.解 困Ln i =In|z +i(28+2kit).i =0,1,2,*-而2Ln z=2lnl zl+i(8+24x)二ln|z12+i(28-4Ax).k=0,1.2,*-两界的实部相同，而虚部的可取值不完全

23、相同.(2)Ln 1=Ln-Ln t-Ln 2=0.r解 Ln 1 =In 1 +i(0 2kn)-24xi,A *0,1 11 j.2,.即Ln 1 =0仅当A =0时成立.注:Ln(*i,a r=1*i+Ln=2 及 Ln 法=Ln 盯-Ln i等式的理解应是:对于它们左边的多值函数的总一值，一定有右边I值函数的各一值与它对虎，使薄有关等式成立；反过来也一样.1 9试问:在复数域中(/)=er*(cos y-i sin)=e1R=e*.(2)即=/()(P M为多项式).(3)sin2z+uoe?x-1;证 利用复数变量正弦函数和余弦函数的定义宜偿计算脩sii?z+ca?x-.y(c*+/

24、一 好”-2)+十(e2 e x 2)(5)I n z P M fl？x +ah2yi证 I sin z I 2-sin z n z=wn z ran tJ -e e*4-e *=2i 2igKxMy)e-W e-e d-S-4-=_ q_ e-2*+i.-J 孑+e2 u-2 +2-e2 z 3 tdtx+sh2y.宠-之)=C O S X.-x2)a M in X|CX*2-C O B T|5in CJ.Wn(2-下 )一媪n y aw r ctw 字sin z-cos z.1 6.证 明：解不一定.如p(z)=(a+ib)zt p(z j (a-i6)i而p(f)=(a i6)x.(3)

25、sin z=sin 5.解成立，因M f-/一5rH M.(4)Ln z=Ln 2.解 A A.B _Ln 2=In I?I+i(6*+=lnl z|-i(6+2AJT),A=0.l,2.Ln i =lnl w|+i(-8+21 x)=lnl r I-i(8+2Ax),58 0,I,2.-,第三章1 S jd*.根”胃程“aWUfinJki JMX l a i(2)i A沿实岫靠 1.再由 1 4 G flli-)ir J d r-f if*(l*i)d,-il.办 -t江：t r线段的毒政方程为*-(I n/.o*i j i(2)Ci iy -Ody O.dr-/|j x =O.d M ly

26、tfn 4】1 dLr/：*-t*t J：k|y /：,4 一 1 is)Lr故1014佛 力 嚼上武阳现察法描定卜列快分的值,弁说明理由,c为 此=1.1丁1T卢W 取分值为。.因被枳乘效在Iz|l内*析 土 星.K 做分值为0,理由同上.碱!&2解%一 彳 丸=2Kt.5求根分：!心 的 他,其中C为由正位18冏|2与负向圜周c sI d-1所组成.解|dz=4=-dz此 N J|(|.2 *J|(|a|Z=2ir i-2ir i=0，.计j r飘 分，,小 仙 筑 假 乂 i，-4M 令 ，力J Mf ，lt rd-IT,2 C.从 I iM l 妁 TTHIMLi C,tan 0.J

27、V 0 (r*2),*M 解米柯，.(-rA-Oid“0.8.n w卜列根分值(1)j gin xdx-解 I sin sdr =-cus z I=1 coe xi.M，ed*N(卡 -J -i 八.(3)(3e*2)ddr(*a)|1Jr1 os 3e*-I-3=3e*-49计算其中C为附周I*-2的行孝周走向为从-3 J HM 由数已 在全平面除去，0的区内力值析.同虚一个旅汴通域,例如D：Re -,l e l j ,用已 在D内聊析,子修取J的个原 函 数，蝴L；a=T m Y=V10.计算下列枳分M 原式 2iri2r2-x*1)|4ri.(3)f.卢J|-t|l L -t解 将械积溯

28、效分解因式得到由 于 点#在圆周I内 部,而 喷 数 在闭网盘G 1i|I ta-i J|=2xi-,*e*Ze*2 7住阊.m计 算1-后评E/中c是(l)l l-1;(2)|x-2 l-1;(3)l r-l l-p (4)|=3.M U)帔帙崎也在Iw lG I内仅有一个奇点t=2*#4)LT=5(2)被争函数在Ir 2 l 不能在G内取到它的0小模便 设/外=志.因/(，)为鲁南敢解析雨效，且Vr W G,八W O.M/Q为秀需敦解析而*,厮以8(,)#G内不施取出最大.1/(*)不使相(；内取傅小横”计算下列根分.M 大-2*1(an .夕 2 s|.*y -。3)f c c.i I

29、1-3.忆中“-2分-2 方|.0 vti(I)r k(t-O.14K*W r.H：l l-l l|a.a 由幽人利分公代如r -i i i fv+，忙 抨wV 田.1 二 _i f I.I.D T-1 4,2 k-84注：卜 一j|=z2-2一工 ：=1.工.：)：，(*,)在le i 1 .15.设 n)与g(c)在区域D内处处H析,C为D内的任何一条黄单闭曲线,它的内部全含于D，如果f(r)=K(r)在C上所有的点处成立,试证在C内所有的点处/G)-g(z)也成立.证 设卜(。=/(*)-/。,因/(*)送&)均 在。内第析,所以FQ)在。内M析,在C上,FG)=0(x C),V”在C内

30、有F(“=*f d z =0即/(“)g(”),由”的任意性可知，在C内，(z)=g(z).第四章f(2x)l-2-IT|-1.!.下列序列是否有极限。如果有极府,求出其极限(D r.j;(2)。=工 (3)t.=(f).M(D当-8 时 不 存 在 极 限，故 一 的极限不存在(2)|z.|二工 0(n-=0.H 7=on 2nd+i sin 2nd.一 8时,皿2/an2 的极限郡不存在，故。=(：)无极龈.2.下列级数是否收敛?是否绝对收敛？E低+3需却+皿崛发散.故E仔+:)发做 与二W土牧 如 故(2)绝对收敛.(3*)l imd*i)-。.故发散.3 iiiiF y)(2z)3|t

31、|J 时绝对收敛S 3fll l l=r|.HI(2x)*1-(2 r)B t M(i)lim2”|hm-*-l.柑L R*I.一I 一 n(2)lim 7|G,|limP(1+工)-iim(1+工)-e,故 K=如|誓|(*)!心故 K=3.5将下列在南敷及开为。的事级数.并指出其收敛区域.n)F P,(-)(a*(3)(J*?1，(4)ch r：(5)vina：*工-#?5=它(-A-0(-原点到所有高点的距离总;、值 为i,故 ：r i.G-l s-6,a*A).-L-/_ 1_ _ _ _ L b a a-e d-/6(1 f)j即I tl mini|a I|6|.若a=。，用(-a

32、K -d (-a)2(*一.)(r i-)=(恚)=E昌)_ S I tl Jal.岛i pT-(十)二-J (l)2xT=(-i)3 ll i.4 高,8(j Wt =L=i4(2i r=7 自曰S产l“8.(6)令/(2)=e-!./(0)w 1.，“)3(占)-(-(rh p)=-(7-17)5/).r -i=。)八 (券/务 r(0)1t2 43因为l 为八。的 唯：奇点,原点到1的死陶为1,故我数，生R 1.6 征则对任由的1，有Ie，-H a eM证国为一一像|浙T.又因为；-I|.|/J i，6 I el(1+削*|+=I+)11(1 +-)-lele1,1.所以7.求下列式敷在

33、指定点”处的案物及式(1)$-1(2)sin.e#=1;(3)3；，的=1 ”(4)u n t.、=；*0)?=-(7)以。Mvs)*47-2一0-|15丫-2v三r一工J J(y“赤MWz)e+T ce，H E S9工罟J-I3I J F C T3I J.工-!?噩alEJ-ff、z w 3 J s5:1工745一学一一；一T rIT会上工T一手令L)T匚工I，1一S,s v-t-行产(工害乎一S(T ZF SM(IT+Z怎Lu s s.-=L-.-(Tz三+；(7M.A工-L)；(T)7-y w-al-舄 +(-止”条.11水 2.0 L*(4)n -l|g时，(1 产 一5 _ 1 _(

34、2)!-M(2n)!(l-6”9.将f(z)=*A t=1处展开洛朗级数.z-3z+2解 加殍土寸占-占/W 的奇点为 q-2.”在0 l-ll l fi.当0|r l|l时,0 岛|1，“八 _-L-._-J-+-L.L_1 Q.必 缶 为 法 嘏 梆 概 哪 嬲.U +1)R间 帼 献 力 二 州 楸 眯 削。z-ik2 懒圳“水 源VF尚 宓tZ-1 -1(泊)z+iBlxlmzy 1-W(z-1产得力63端.技勒河曲;毗捕期幡N时第五章1.问”0解奸艇魏酎毓？(De；(2)e o t-；(3):9nzH (*Q d8躺，如=0好#丸 帽e|/#的JI寸奇点(2)Wxx j 在*M处廿*

35、-t i.2.).M。处tx J 不便所.且山 0.故0不 为 3 4 筋孤立奇S*Z点(3)因 生.除，-W U-0.t l.1 2.-)外姓处嘛.所以为wn t兀51立奇d2.发出卜列各嫉数的所有零点，产指明真阶数.(1)K j，|(2)jn ci(3)/(5 -1).M,*然 g=3i 为 K 航零点.因”EL之常而？-e(.J-.(1-+),HrVl r、0 为 r un r 的二4，&I r=iwBt.rwn T-0.所口，*ir 为*(-I)4 k9 AO(*=t 1.s 2.-).故e 上屈为gain 的 阶 等 点.(3)41/(e)=，Z(/T).由/)-。可 用*0 A /

36、*2hn,ID c /24i(i-1 2).因/(e)=/-1)=(.:!.)所 以r 0为/)的IS阶等点.又r(r)-2r(e*-I)/2i e in)*0 (A=1.1 Z.*).U i-72iii(4-1 I,I 2.-/()阶零点.3 F列缶唯IK有线奇点？着属何类型(如是at.指出它的鼾ft).上亍凶；七亡I小叫L；u(口令人%)=#:%.=02；为2*)的背点.因三2r/Q)土，所 以*-0为何段点又所以彳-2i为二眇殿点.同理.t=-力 亦 为 二M叔京.(2)因 呵J静1二%=1,析 以*:0为二阶极点 令=皿*3二*的等息为 t kn-.A 0.1.12.-N(一)LT(内

37、 仁一川.二-%(*力|“1单极点.(7)今才/、_ tan(之-1)_ ain(n-1)八 名“二 一1 一(n D 8 s(n 1)，/(x )的 贝 立 奇 点 为x-1和 q =I 卜1(4=0 1,土 2 ,因细,“)=细吗 )/1-1)=1故z=1为 其 可 去 奇 点.又 N*=龙 穴+受，l,N/为CO(N-1)的 一 阶 零 点，故 为f(N )的 荀单 极 点.另 解31 _(N 1)CUS(Z 1)，(N)sin(N-1)因/_ I _ _ pm(x 1)而 =-X2 一 疝(台-1(雪-1)-wt 石-/-1)I/()/sn2x-1)_ 二 1 n-1)+-gin(H-

38、l)co e(N-1sin2(x 1)而(,(1 之)|.受.K O,故NA=K+左+1为/(之)的 简 单 极 点.4.证 明：设 喈 败“N)在0 V|N -卬|V 3(0 6 1-+m I,C _*K O.肚跳跚，捕 脑 一 跋 的 雕 为 8,后 一 腻 槌 购 得秫J，舰M/（加 M 7-C.,+C/z -a+T=8.F EL躯粹腕mn喇 州 心 上 戏Gm#）二 lim/）=Q胰虾g是对舸埼氏犍联林皖意扁衣）3,加津句他皴开效力水）川口4厂 卜：d 4产+“二 Q少4+如 卜-地+=（:-：|）f（Z）,帆 总 川 曲 汕 椭 懈 岫 厢 聪曲松滩口四）咻 加 山 州 波 懈 姆

39、襁版跚加断破，断 向a述悯祖嵇*询志庄勤熊 麻 糠C o+C j（z-：（）+1 1,肿。邦蒯加 入W祠二 六W _ G .（L Z/（L 沪+雌,病雇W帕射时 嫄川点水）助“鸠蒯舲相削哪旗,（i）i/tz）=mm（）.RB/U）,O =M*）=He!-l）=O.r*fi r*C（2）2嫡 单 被,一 节 力 二 用 随.戚 闻 小 妙-：）仁加陋工闻而扁.7/(z-2)(z-i)-3(z+2 +2,-4；H(t-M2+1-1 0 1同舸牌M/(z),-i二 不,(3)?=-lM.Ra/(),T：=，Msnltf=(-4sn 2 z)1T=2jjn 2.R e s f（t）,0=-1.（5）土

40、的粒栽加=0禺=IKhtL t2,“1膜 中,”崂 二 阶 脑，戏灯融 卜*.）巾犷|拈，演嗑“(1)令/V),L i t e 奇点仅*0.=hm(e*-1)=0(2)tRcMr),2-即 l 2)7文I)Z5R W.G J -啊(d 奇)U-2)J(*.i).2 j10*同理町廿算R e U/(C,4=(3)e=-I为其三极点R2sin 2.&卜力力-)=_ L-._.Rerf/(t).01(5)T 的孤立看点为z O.t*ir t4=12”).箕中.zsin?x=0为二龄蛾京，这是由于*-土 )邛-品,一)T 小，尢 5*1 处*心 耳 赤*，三 4?.(时3小潸。严 网 部-2m lim

41、 口 f 2i.i-e,(5l*1 la l =z、匕rr;,/(r)ft(-)(t-b)|g|-l内瓦奇京.故j1.J(*)d。=0.2*lal I I6IB4.J I ir ll l6 lI N.f-2mR(A t),a)2xiR(r(),6)J lill)1(凛-端&Q-尸 J2a-$b (6 7卢”-0.9 K定，8 是卜列各*的八久奇点,并水出在8 的数 占“3第+机-J*+1.(1)如(S -3*)不存在*s 为sin*-a w 的本忤4A.二 2xiR es(l/J+l)2(l/r4 2)3 c2，0)=2FRB(E7，1)M2 K i!S(l+eJ?(24*l?-2i.11.设

42、曲数外。在R la-q|h n#l 的整数其中C是以。为心，以p为半径的囱周，故Rcsl/(r),80-=-C i，12.求下列各机分之值.即R esI/G Ls等f/(z)在点8 的洛朗展式中!这一项半数的反号.I山-a)(z-,卢I力繇K 二 次 耀，2 1 =。艇掳妹，期c 1 4 1,椽娥小性1 =1匕 赭 箱 在 牵 跚 棉贿一愉粮心=悔RMM】+L.厂漆j“南:目的加含黑 匕 八 修 混|而1 k.2,(私也iJ|,|.i(3i+l)(H3F呵 前 k n H.,1 I=4 rr r叼 加 岛？掷解二僦回八押橡肚诵乩肚半串醐M 卵l&ci,肌 1,J,京 会=2iiR./(x),a

43、in.2如_2=2xi 曰lim卜;+虱)，了2a,不鹰验证/-不丁.兄皆尔华外宣条件，曲的/(*)有 角 个 阶 短 点-2*h-2-1.K(/(x).2 t i)T；,5)、2l!-fi*l_zu_S2-2a 2irJ 二:(o 2-i 7n 2).故6 C U B Jt.K C V B 2人7，+4一户一:(5)令/u)-./(W)在贯储L无奇点，且1 J 比/高二次“在上午事篇共4*i y(l ).q =拿(-I 两 个 阶 慑 点，故虫 -品 儿 佻 川-淞 D.的一伙1)所蚁I 二 血-垢 囱-%./(工 -附%,专马*足z 家=夕足条件.俄J|Hsin：-0 0 6 ：ia)=0

44、.(2)l i r a 一上一二。就00为 刖I捅，包iZ(z+D(zT)R(s(f。句;-匾/()z t叫大“卜6)期 8 如+1曲 即 假 发ReS(z-,产)=7K加旧口+而产*(1)t|小 志/=4h(f W J H f e(/W,-i)：=-2iriRe$!/(:)l )g白 八 面+口=珈2（/戊），4帆咻部-2xiResJ(j),a 2 n iR e S(l/xJ t l)2(L/r4i2)J t2，0)-2EResQ(+J)!(2/+)3,0)-2m.11.设函数。在 R|-o 的洛的纵数展开为/()S c.(-Io,的卡敷其中C 是以。为心，以 p 为半径的圜周.故R e/(

45、t).-z t J c-).二-C-i，即 R e 4/(z).8 等于在点8 的洛朗版武中!这一项系数的反号.12.求下列缶枳分之值.4,a+%6，。D；丁+翁 8；仁(7 7 Q Oh 匚;；:12业；J二 学必储 f 11.1 i(2+2ae 1 产=了g|.i(x-cKz-*今,)=；(.；、；_，)$4.-0-Q、J J I 为实系数二次方 程，2 1 0 的两相算实模,显华e I,枳g数/(*)在 r-I 卜兀青点.花革位91内部又有个简单俵点。一因故一)6)十出吃酒即悬V加 3/=dr y产 de _2(J o 3 Scot 6 J ll*1 K3*10*3)-寺|.|-1(3

46、fi(t3)d x=2 小 彳 叫 琳也.“7=“勺(一 士)6.九.3)“士力(3)/()-石甲,它共有防个二阶慢点且(/在实犍上无奇点.在上半平面 仅 有.防 极 点 所U-好 回 ()1一 如 叼 77-会(4)不端验 址/(c);$漏足若尔当我用条件,函数/U)石两个一防救点-2*L-2-1.Mg,。3 I C O 8 2-i tin 2 2 F -改1-5+Z 产=2 n R a l/().-2 +；，：(a 2-i ain 2).故L n A I a.M M L2J-T T T T T s e C)令人在家输上无奇点,且i /比/育 一次,八)在上干平面共存i y d .”一 伙-

47、1.四个一断幔点，故w.1，品九知.乳，；).所以厂:品 入 a-i-D-gH42 零 所以(6)/(x)-容为攻进八彳)疆足占尔=引无条件.故黄：“d j=2ri/(z).i!i疝唐为L=2 汨*|e a ；n e.8 xsin a x.-必LFT京 a=模第 八 章注：I/(r)coft ai(，-r)dr 是(”的偶函敬2.试证:若，)满足傅氏枳分定理的条件,则有/(1)=I A(o)oos +I B(o)sin atda).其中.A(o)=:j f(r)cots MT dr.B(a)=j /(r)sinwr dr.if 由傅氏积分公式的三角形式展开即可证.3.试求/(。=I sin I

48、的离散频清和它的傅里叶级数的现指数:式.i.惟案修氏副分公式,推出就a的傅氏和分公式的三角形/(/)-./X r M 9(,-r)dr jdo磔/X f).J ./(rh X d tJ k d e.江 二 二 小)&k=当.j ./(r)a 3(-r)dr J ./()而 w(f-r)d r(U=W .j.j X r a 8(c-r)drdo*8二 I I 二/品 *f r)drd*=打.J.J OC O B a(f-r)dr jdoT J：U 二 小 -c(k)j解/()=lain f；以次为冏期,5)=2.当=0 时,Co-F(0)=i-|sin r dt=;Kw Q KJQ X当片90时

49、，CR=F 2O)=F(2 n)=:j。I sin 11，3”：1：小 入V d，2nt+jsin(-2n/)出,j%sin t sin 2ntdt+：J n tcu 2ru dtcos(2n+l)t-a(2”-+2i n(2+1”+stn(l-2n)r.di吗。+景-*叫:+联产I；_L _)=_2w(2w-1 2R-1J (42 1)*FH商2 而一4.求下列曲数的傅氏交换；-1,-!0,OI 0/to “:y F)m)老 垢I。，I 1;l o,：a+f*e*wdf一 J：L h.j：cf=-2 iJ n w d r.ic o.1x；-m(i _ M.).(2)F(w)-*y(!)e-d

50、x=1.e c 4 f .e +”dr=/u 卢(3)F()-J*/(r)e=d,=1 1 0 -P)e-*dr=f/d,-J cm X -pin otf)d/1”-八 而 a)t：-J2z M in cutd(4)F()-1:/(4)葭1 山=厂b 而 2r e-dt-1 i n 2“川 小”大.(1 j)J；M 2 ie-C id”-2 -1 血,e rd s in 2,j 中卜n 2 y+(1 间；而 2 e-a w&十山产I),故p/%.1 2(5-2 3)2 9 +(1+)=5 求下列函数的傅氏交换,并证明所列的枳分等式./北铝;产*TF(_L8 sin cuir sin 牧6.求F