2022年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题（解析版）.pdf

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1、2022年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题一、单选题1 .已知集合尸=0,1,2,Q=,2,3 ,则尸口。=()A.0 B.0,3 C.1,2)【答案】C【分析】根据题设，结合集合交集的概念，可得答案.【详解】.尸=0,1,2 ,。=1,2,3)：.PQ=,2 ；故选：C.2 .函数f(x)=一二 的定义域是x-2A.xx2 C.RD.0,1,2,3)D.xx2【答案】D【分析】由 即 可 得 出 定 义 域.【详解】n-2工0.,.尤即函数/(x)=的定义域为 x|x*2 x-2故选：D【点睛】本题主要考查了求具体函数的定义域，属于基础题.【分析】根据函数的解析式可得函数y =2”是以

2、义为底数的指数函数，再根据指数函数的图像即可得出答案.【详解】解：由 得函数y=2-，是以g 为底数的指数函数，且函数为减函数，故 D 选项符合题意.故选：D.4.已知 贝 ij cos(乃-a)=()A.since B.-sina C.cosa D.-cosa【答案】D【分析】利用诱导公式可以直接求出结果.【详解】因为cos(乃一a)=-co sa,故选：D.5.已知圆M 的方程为(x+l)2+(y-2)2=4,则圆心M 的坐标是()A.(-1,2)B.(1,2)C.(1,-2)D.(-1,-2)【答案】A【分析】根据圆的标准式，即可得到圆心的坐标.【详解】：(x-4+的圆心坐标为(。方)；

3、(x+l)2+(y-2)2=4 的圆心坐标为(-1,2)；故选：A.6.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体可能是()俯视图侧视图A.棱柱【答案】C【分析】根据几何体的特征可以直接求出结果.【详解】由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，从上面看为圆形，下面看是圆形，并且可以想象到该几何体是圆台,则该几何体可以是圆台.故选：C.B.圆柱 C.圆台 D.球7.已知函数y=2以3(叱0),则此函数是()A.偶 函 数 且 在(-0 0,+o o)上单调递减 B.偶 函 数 且 在(-0 0,+o o)上单调递增C.奇函数且在(-0 0,+0 0)上单调递减 D.奇函数且在(-0 0,+0 0)上单调

4、递增【答案】D【分析】根据函数的奇偶性的定义和基函数的单调性可得选项.【详解】解：令 丫 =尤)=2左，则函数y=/(x)=2左的定义域为R,且-x)=2a(-x)3=-2ar3=-f(x)，所以函数y=/(x)=2G?是奇函数，又因为a0,所以函数y =/(x)=2在(-0 0,+0 0)上单调递增，故选：D.8 .不等式f-4x：0的解集是()A.(0,4)B.(TO)C.(3,4)D.(-oo,0)u(4,+oo)【答案】A【分析】根据一元二次不等式求解的方法计算求解.【详解】X2-4X 0X(X-4)0,解得0 X 4,所以解集为(0,4).故选：A9 .设A,8是平面上距离为4的两个

5、定点，若该平面上的动点P满足|明-俨8|=3,则P点的轨迹是()A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线【答案】C【分析】根据双曲线的定义即可得出答案.【详解】解：因为|即-|尸网=34,所以P点的轨迹是双曲线.故选：C.1 0-不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 是)D.x【分析】画出直线x-2y+5=0与x+y+2=0,再代入（0,0）点判断不等式是否成立，从而判断出x-2y+5W0与x+y+20的平面区域.【详解】画出直线x-2y+5=0,经过一、二、三象限，对应图中的实线，代入（0,0）可得5 2 0成立，所以x-2y+520表示的区域为直线x-2y+5=0及直线右下方；画出直

6、线x+y+2=0,经过二、三、四象限，对应图中的虚线，代入（0,0）可得20不成立，所以x+y+2 直线 与b没有公共点”表示两条直线a/b或者。与b是异面直线，所 以 与b没有公共点 是 a/”的必要不充分条件.故选：B12.为了得到函数y=c o s x-j的图象，可以将函数y=cosx的 图 象（）A.向左平移?个单位长度 B.向右平移?个单位长度C.向左平移g个单位长度 D.向右平移g个单位长度【答案】D【分析】函数丫 =c o sx 中的x替换为x-；，可得到函数y =c o s(x-g),根据“左加右减”平移法则可得到图象的平移变换方法.【详解】函数y =c o sx 中的X替换为

7、T，可得到函数y =c o s(x-g,因此对应的图象向右平移移3个单位长度，可以将函数产c o sx 的图象变为函数y =c o s(x-g)的图象，故选：D1 3.已知函数f(x)=/-2 以+6 在区间(,1 是减函数，则实数a的取值范围是()A.L+o o)B.(-00,1 1C.-1,+8)D.(-c o,-1 【答案】A【分析】由对称轴与1 比大小，确定实数。的取值范围.【详解】f(x)=x 2-2 a r+6 对称轴为x =a,开口向上，要想在区间(-o o,1 是减函数,所以 a e l,+).故选：A1 4.已知向量迸满足同=4，W=6，B+=8,则 归 斗()A.2 B.2

8、M C.8 D.4 /1 0【答案】B【分析】利用向量的数量积运算和模的运算法则可得以(+小+,=2#+2%由此根据已知条件可求得答案.【详解】：口-/+=p 1-2 1|用+阳+2 帆+W)=21+24Xa=4,b=6,a+b=S|a-|+6 4 =2 x 1 6+2 x 3 6=1 04,；.卜-4=4 0,|-/|=2 /1 0,故选：B.1 5.如图，正方体ABCQ-ABCR 中，N 是棱。的中点，则直线CN 与平面所成角的正弦值等于()A1 R V10 而 n 2 后A._ D.-_z.-D.-2 5 5 5【答案】B【分析】通过连接AC、8。交于。的辅助线，确定CN与平面。B gA

9、所成的角，再设正方体棱长为2,根据CN与C。长度的关系，即可得出所求角的正弦值；【详解】连接AC、8。交于O,由正方形的性质可得COJ_3Z),又,：BB、J平面 ABC。，C O u 平面 A B C D,BB、1 C O,又BB、与8。在平面D B B R内相交，所以COL平面O8BQN C N O是CN与平面D B B R所成的角，设正方体的棱长为2,则CN=6 卬。=生=*=巫，CN加 5故选：B.功G，co=rAB1 6 .若l o g 2(2、-l)-x k)g 2(2 +3/l)对任意x e(0,4 o)恒成立，则几的取值范围是()A.(g,+8)B.(0,1)C.(收)D.(0

10、,1)【答案】A【分析】将不等式转化为l o g 2 kl o g 2 2+3 团，根据y =l o g z X 在(0,+8)上单调递增，可得二 l),可转化为在。,+8)上恒成立，利用基本不等式求 解 忌；的最大值，即可得几的取值范围.【详解】由 l o g2(2 -l)-x l o g2(A-2 +3 洋，可得l o g,(2A-l)-l o g2 2 l o g,(A-2、+3 2),所以l o g 2 m =l o g?X 在(o,+8)上单调递增，所以M(2、3)2 n 3)D，则在方 1 1(1,侄)上恒成立，令 Q +3)一“4 ,贝 It-1y=_ 1 _；两边平方化简可得M

11、-1)瑟-2|p 再平方化简整理得(2-2co s e)/l 2+(2co s，-2)2+：2 0 恒成立，然后由A4 0 可求出co s。的范围，从而4可求出，的最大值【详解】设向量1,夹角为。，设向量 与(2-的夹角为。，(4 1)2 (A 1)24(4 1)co s 0 4-2/12 24 +1 22(4 1)co s 0,-1由|+(2 1)/，得一2 一a+2。(几 1)2-+(4 -1)2-16以1(0 时，即8 s 2 V l，A =(2co s0-2)2-3(2-2co s0)O,(co s 8-1 )(2 co s +1)0,所以得-;Wco s 6 l,24因为80 0,乃

12、 I,所以0 。4 书综 上,0 0 0,y 0)贝!IX2+y2 的最小值为.【答案】|o.2【分析】根 据 丽=2xAV+y丽。(),丫 0)可 得 而,而,就 共 面，作M F/A V 交 ACE M M F于点M,连接M E,则M E/8 C,再 根 据 丽=丽+标，可 得 会=)，,笠=2x,BC A V再利用相似比可得CM=2x4C,A M =yAC,从而可得2x+y=l,再利用二次函数的性质即可的解.【详解】解：因 为 丽=2x；而+y肥(x 0,y 0),所 以 而，而，团共面,作 M F/A V 交 AC于点，连接M E,则M E/B C,因 为 乔=萧+标，E M =yBC

13、,MF=2xAV,=y,=2x,BC A VM F C M因为 M F /A V，所以-=2x,则 C M =2xAC,A V A CE M A M因为 M E/8 C,所 以 后=F=y，则 A =yAC,BC AC又CM+AM=A C,所以2xAC+yAC=A C,所以2x+y=l,则 y=1 -2x,0 x -,2故d +y2=JC+(1-2x)2=5x2-4x+l=5 一 )+(。太 0)的焦点尸到其准线的距离为2.求 P 的值；(2)设过焦点F 的直线/与抛物线C 交于A,B两 点,。为坐标原点，记AAOB的面积为S,当|E4|EB|=6S时，求直线/的方程.【答案】2(2)x-2

14、0 y-l=O 或x+2&y-l=0【分析】(1)由抛物线的几何性质可得焦点到准线间的距离为。，根据己知即可得到P的值；(2)根据题意可设直线/的方程为*=机.丫 +1,利用韦达定理可三角形面积公式得到S/oa关于加的表达式，利用抛物线的定义转化求得|刑|尸理关于机的表达式，根据已知得到关于，的方程，求解后即得直线/的方程.(1)抛物线C：丁=2夕*5 0)焦点为尸(5,0；准 线 为=.焦点到准线间的距离为 P,由已知得抛物线C：V=2px(p0)的焦点F 到其准线的距离为2,；P=2；(2)由 可得抛物线的方程为V=4 x,焦点尸(1,0),显然直线/的斜率不可能为零，故可设直线/的方程为

15、=?+1,代入抛物线方程整理得 2-4my-4=0,设 4(石，另)，8(孙 力),则 y+%=4 i，yty2=-4S/o=g|I|-%|=g (4m)2-4 x(-4)=2,乙+1 ,回陷=卜I+?卜 2 +垓)=(占 +1)(9+1)=(，孙+2)(冲 2+2)=;?乂弘+2 租(y+%)+4=Y n?+8/T?+4=4/n2+4,由却=6 S,得4汴+4=12/An+1，解得，=25,直线/的方程为x-2 0 y-1 =0 或x+2应 y-l=().2 5.己知函数 f(x)=x-a-+a9a e R.x若/(I)=2,求。的值；(2)若存在两个不相等的正实数内,，满足/(%)=/(/

16、)，证明：2 X +马 v 2。；强/+1.x【答案】(1)2；(2)证明过程见解析.【分析】(1)代入/(I)=2即可求出。的值；(2)分情况讨论，得 到 时 满 足 题意，根据函数单调性，不妨设。玉1毛”,构造差函数，证明极值点偏移问题；在第一问的基础上进行放缩即可证明.(1)由/=|1一 4_1+4=2,化简得：|l-a|=3 a,两边平方，解得：a=2.(2)不妨令&三,当x“H寸，x)=x-a-；+a =x-在(0,+8)上单调递增，故不能使得存在两个不相等的正实数知超,满足的士)=/(%),舍去；当x =a 时，/(x)=a-L为定值，不合题意；a当x“时，f(x)=2 a-(x

17、+；),由对勾函数知识可知：当a W l 时，/(x)=2 a (x +g)在(O,a)上单调递增，/(x)=x-在(,+1 时，函数/(X)在(0,1)上单调递增，在(1 M)上单调递减，在(。,)上单调递增，且/3)=2-甘=”二，即分段函数在x =a 处函数值相等，要想存在两个不相等的正实数百,与，满足/(占)=)，则芭,X 2 有三种类型，第一种：显然令Mx)=/(x)_ 2 r),则/z =0,当x O,l)时，1 1?7(x)=r(x)+f(2 7)=-2 +-X71 +-(-2-x7)2-2 +X(2-X-)-2 +-(-x-+-2-x-j-=0,即(x)在x e(O,l)单调递

18、增，所以/z(x)/i =0,即-x),由于再 e(O,l),所以 与)/(2-5)，又因为/(占)=/。2),所以/(毛)l,2-x,1,而 f(x)在 上 单 调 递 减，所以X z 2-%,即&+2,综上：2 x,+x22a.第二种情况：0 l xl a 2,接下来证明西+*2 ，即 g(x)=x)-/(2 a-x)在x e(l,a)单调递增，所以 g(x)=/(x)-/(2 a-x)g(a)=0,又 由 1,“)，所以/()/(2 -),又/(占)=/()，所以)(/)a,/(x)在(a,+w)上单调递增，所以 2。-玉，即玉+工2 2”，综上：2 x,+x22a-第三种情况：0 不

19、1 。2,由第二种情况可知：X 1 +/2，贝 U 2%+w v 2，综上：2%+%2。，证毕.由可知：当 0%工 2 。时，由 /（与）=/（X 2）得：2a +|=2 -|X2+,I X J I X2）卡 匕 p/日 1 +X：1 +X；X2 1 +X；1 +/整理得：一L=-即上=;T:-7 l+k;%W X1 1+X j 1+芍1（I n 1 1当0 X 4 x,时，x2-=2a X j H,整理得：xI+x2=2a-,整理得：X?I X J X 不 =-x l-Xlx2+2ax2+=-（x2+Y +1 +G T ）1 +&-2，因为 0 占 a ,%2 y 4 4所以 1 +（|一2）i +2,综上：+1,证毕.4 x【点睛】极值点偏移问题，是比较有难度的题目，一般处理思路有构造差函数，对数平均不等式，多元化单元等方法.