2022年湖南省娄底市初三中考数学真题试卷(含详解).pdf

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1、娄底市2022年初中毕业学业考试试题卷数学一、选择题（本大题共2小题，每小题3分，满分3 6分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1.2022的倒数是（）A.2022B.-2 0 2 2c2 0 2 21D.2 0 2 22.下列式子正确的是（)A a3-a2=a5B.(Q2C.(6/Z?)2=a b2D.a3+a2=a53.一个小组10名同学的出生年份（单位：月）如下表所示:编号12345678910月份26861047887这组数据（月份）的众数是（）A.10B.8C.7D.64.下列与2022年冬奥会相关的

2、图案中，是中心对称图形的是（）5.截至2022年 6 月 2 日，世界第四大水电站云南昭通溪洛渡水电站累计生产清洁电能突破5000亿千瓦时，相当于替代标准煤约1.52亿吨，减排二氧化碳约4.16亿.5000亿用科学记数法表示为（)A.5 0 x 1 0 B.5 x 1 0 C.0.5 x l O1 2D.5 x l 01 26.一 条古称在称物时的状态如图所示，已知N l=8 0 ,则 N 2=（）jTA 20B.80C.100D.1207.不等式组3 x 2 12x-2的解集在数轴上表示正确的是（)8.将直线y=2 x+l向上平移2 个单位，相 当 于（）A.向左平移2 个单位 B.向左平移

3、1个单位C.向右平移2 个单位 D.向右平移1个单位9.在古代，人们通过在绳子上打结来计数.即“结绳计数”.当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（）A.1335 天B.516天C.435 天 D.54 天10.如图，等边AABC内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边AABC的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与A8C的面积之比是（）A1 1 .在平面直角坐标系中，。为坐标原点，已知点。（机,1）、。（1,加）（2 0 且2 工1）,过点P、。的直线与两坐标轴相交于A

4、、4两点，连接0尸、。，则下列结论中成立的是（）点P、。在反比例函数y 的图象上；成 等 腰 直 角 三 角 形；0 N P O Q 0,N0时，l g +l g N =I g（MN）,例如：I g 3+l g 5 =l g l 5,则（I g 5+l g 5 x l g 2 +l g 2 的 值 为（）A.5 B.2 C.1 D.0二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11 3 .函数丁 =7=亍的自变量x的取值范围是_ _ _ _ _.V X-11 4 .已知实数为，w是方程 2+_1 =0的两根，则入押2=.1 5 .黑色袋子中装有质地均匀，大小相同的编号为1 1 5 号台

5、球共1 5 个，搅拌均匀后，从袋中随机摸出1个球，则 摸 出 的 球 编 号 为 偶 数 的 概 率 是.1 6 .九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点E 是 AO 黄金分割点，即O E a 0.6 1 8 A ）.延长族 与 A Z 相交于点G ,则 E G -D E.（精确到 0.0 0 1）17.菱 形 A BC。的边长为2,NA3C=4 5 ,点 P、Q 分别是8 C、8。上的动点，CQ+P Q 的最小值为_ _ _ _ _ _18.如图，已知等腰AABC的顶角NS4C的大小为。，点。为边6 c 上的动点（与

6、5、。不重合），将 AO 绕点A沿顺时针方向旋转。角度时点。落在。C处，连接5 D.给出下列结论：ZA CD=A A B,；AAC B AAD。；当BD=C D 时，&4。的面积取得最小值.其中正 确 的 结 论 有 （填结论对应的序号）.三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19.计算：（20 22乃）+；+|l-V 3|-2 sin 6 0 0.2-先化简 再求值：2+百 其 中、是 满 足 条 件 的 合 适 的 非 负 整 数.四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）2 1.按国务院教育督导委员会办公室印发的 关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知要求，各中小

7、学校积极行动，取得了良好的成绩.某中学随机抽取了部分学生对他们一周的课外阅读时间（A：10万以上，B：8/z-l O/z,C：6h8h,D：6以下）进行问卷调查,将所得数据进行分类，统计了绘制了如下不完整的统计图.请根据图中的信息，解答下列问题:共 名：(2)a=,b=（3）补全条形统计图.22.“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想”.墩墩使用握力器（如实物图所示）锻炼手部肌肉.如图，握力器弹簧的一端固定在点P处，在无外力作用下，弹簧的长度为3 cm,即PQ=3cm.开始训练时，将弹簧的端点。调在点8处，此时弹簧长PB=4 cm,弹力大小是100N,经过一段时间的锻炼后,他手部的力量大大提高，

8、需增加训练强度，于是将弹簧端点。调到点。处，使弹力大小变为300N,已知NPBC=120,求 8C 的长.注：弹簧的弹力与形变成正比，即/=%,左是劲度系数，Ar是弹簧的形变量，在无外力作用下，弹簧的长度为,在外力作用下，弹簧的长度为,则以=p五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23.“绿水青山就是金山银山”.科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用.已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4 m g ,若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62 m g .（1）请分别求出一片国槐树叶和一

9、片银杏树叶一年的平均滞尘量;（2）娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树，据估计三棵银杏树共有约5 0 0 0 0片树叶.问 这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克？24 .如图，以 为 边 分 别 作 菱 形B C D E和菱形B C F G （点C,D,b共线），动点A在以3c为直径且处于菱形8C E G内 圆弧上，连接 户 交3C于点。.设NG =.(1)（1）求证：无论。为何(2)值，EE与 相 互 平 分；并请直接写出使EFL BC成立的6值.（2）当。=90 时，试给出t a n/A B C的值，使 得 垂 直 平 分AC,请说明理由.六、综合题（本大题共2小题，每

10、小题10分，共20分）25 .如图，已知8。是Rh ABC的角平分线，点。是 斜 边 上 的 动 点，以点。为圆心，。8长为半径的BO。经过点,与Q 4相交于点E.0/VA DC(1)判定AC与0。的位置关系，为什么？3(2)若B C =3,C D =,2求 s i n/D B C、s i n/A B C 的值；试用s i n NO BC和c os NDBC表示s i n NABC,猜测s i n 2 a与s i n a ,c os a的关系，并用a =3 0 给予验证.1 ,26.如图，抛物线丁 =/炉 2x 6与x轴相交于点A、点3,与y轴相交于点C.点A,B ,。的坐标；(2)点P(根,

11、)(0 根6)在抛物线上，当加取何值时，APBC的面积最大？并求出APBC面积的最大值.(3)点尸是抛物线上的动点，作在 AC交工 轴于点E，是否存在点尸，使得以A、C、E、尸为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由.娄底市2022年初中毕业学业考试试题卷数学一、选择题（本大题共2小题，每小题3分，满分3 6分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1.2022的倒数是（）A.2022 B.-2022【答案】C【解析】【分析】根据倒数的定义作答即可.【详解】2022的倒

12、数是 一，2022故选：C.120221D.-2022【点睛】本题考查了倒数的概念，即乘积为1的两个数互为倒数，牢记倒数的概念是解题的关键.2.下列式子正确的是（）A.a3.a2=a5 B.1/=/C.（tzZ?）2=ab2 D.a3+a2=a5【答案】A【解析】【分析】根据同底数累的乘法可判断A,根据基的乘方可判断B,根据积的乘方可判断C,根据合并同类项可判断D,从而可得答案.【详解】解：/2=5,故A符合题意；=。6,故B不符合题意；（a b f=a2b2,故C不符合题意；不是同类项，不能合并，故D不符合题意；故选A【点睛】本题考查的是同底数基的乘法，幕的乘方运算，积的乘方运算，合并同类项

13、，掌握以上基础运算是解本题的关键.3.一个小组10名同学的出生年份（单位：月）如下表所示：编号12345678910这组数据（月份）的众数是（）月份26861047887A.10 B.8 C.7 D.6【答案】B【解析】【分析】根据众数的定义判断得出答案.【详解】因为8 月份出现了 3 次，次数最多，所以众数是8.故选：B.【点睛】本题主要考查了众数的判断，掌握定义是解题的关键.即一组数据中出现次数最多的数是众数.4.下列与2022年冬奥会相关的图案中，是中心对称图形的是（）【答案】D【解析】【分析】中心对称图形定义：如果一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形回完全重合,那么这个

14、答图形叫做中心对称图形，根据中心对称图形定义逐项判定即可.【详解】解：根据中心对称图形定义，可知D 符合题意，故选：D.【点睛】本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解决问题的关键.5.截至2022年 6 月 2 日，世界第四大水电站云南昭通溪洛渡水电站累计生产清洁电能突破5000亿千瓦时，相当于替代标准煤约1.52亿吨，减排二氧化碳约4.16亿.5000亿用科学记数法表示为（）5x10”【答案】B【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a x l O,其中1 4同 1 0,为整数，先将5 0 0 0亿转化成数字，然后按要求表示即可.【详解】解：5 0 0 0亿=5

15、 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,根据科学记数法要求5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0的5后面有1 1个0,从而用科学记数法表示为5*1 0”，故选：B.【点睛】本题考查科学记数法，按照定义，确定”与的值是解决问题的关键.6 .一条古称在称物时的状态如图所示，已知N l =8 0,则N2=()B.8 0 C.1 0 0 D.1 2 0【答案】C【解析】【分析】如图，由平行线的性质可得N B C Q =8 0。，从而可得答案.【详解】解：如图，由题意可得：AB/C D,N l =8 0。,?B C D?1 8 0?,?2 1 8 0?8 0?1 0 0?,故选C【点睛】本

16、题考查的是平行线的性质，邻补角的含义，掌 握“两直线平行，内错角相等”是解本题的关键.3 x 17 .不等式组 日、。的解集在数轴上表示正确的是()2 x-2【答 案】CD.-1 0 1 2【解 析】【分 析】先求出不等式组的解集，再根据解集中是否含有等号确定圆圈的虚实，方 向，表示即可.【详 解】V不 等 式 组 3-xl2 x-2 中 解得，烂2,解 得，x-l,.不等 式 组 3-x 1 c 的解集为-1烂2,2x 2数轴表示如下:山 ,，,故 选C.-1 0 1 2【点 睛】本题考查了一元一次不等式组的解集的数轴表示方法，熟练掌握解不等式的基本要领，准确用数轴表示是解题的关键.8.将

17、直 线y=2x+l向 上 平 移2个 单 位，相 当 于()A.向 左 平 移2个单位 B.向 左 平 移1个单位C.向 右 平 移2个单位 D.向 右 平 移1个单位【答 案】B【解 析】【分 析】函数图象的平移规律：左加右减，上加下减，根据规律逐一分析即可得到答案.【详 解】解：将直 线y=2x+l向 上 平 移2个单位，可得函数解析式为：y=2x+3,直 线y=2x+l向 左 平 移2个单位，可 得y=2(x+2)+l=2x+5,故A不符合题意；直 线y=2x+l向 左 平 移1个单位，可 得y=2(x+l)+l=2x+3,故B符合题意；直 线y=2x+l向 右 平 移2个单位，可 得y

18、=2(x-2)+l=2x-3,故C不符合题意；直 线y=2x+l向 右 平 移1个单位，可 得y=2(x-l)+l=2 x-1,故D不符合题意;故选B【点睛】本题考查的是一次函数图象的平移，掌握一次函数图象的平移规律是解本题的关键.9.在古代，人们通过在绳子上打结来计数.即“结绳计数”.当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（）【解析】B.516天C.435 天 D.54 天【分析】根据题意以及图形分析，根据满七进一，即可求解.【详解】解：绳结表示的数为5X7+3X7+3X72+1X73=5+21+49X3+7

19、3=516故选B【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理 解“满七进一”是解题的关键.10.如图，等边AABC内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边AABC的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与AABC的面积之比是（）A 也 兀 R G r 6 兀 n 也-D.,_ x.-.-18 18 9 9【答案】A【解析】【分析】由题意，得圆中黑色部分面积是圆面积的一半，令B C=2 a,则 B Z A a,根据勾股定理，得出A Df a，同时在RtAB。中，。=立”，进而求出黑色部分的面积以及等边三角形的面积，最后求出3答案.【详解】解：令内切圆与8 c 交于

20、点。，内切圆的圆心为。，连接A。，08,由题可知，圆中黑色部分的面积是圆面积的一半，令 B C=2 a,贝 ij8D=a,在等边三角形4 8 c 中A DL BC,。8 平分NA 8C,N O B D=g ZAB C=30,由勾股定理，得百 a，在 R tA BOD 中，0且加。1）,过点P、。的直线与两坐标轴相交于A、B 两 点,连接O P、O Q,则下列结论中成立的是（）1 T!点尸、。在反比例函数丁=一的图象上；AAQB成等腰直角三角形；0 N P O Q 0且加。1）,点尸（肛1）、。（1,加）在第一象限，且 尸,Q不重合，0?POQ 90?,故符合题意；而PQ在直线y=-x+m+l上

21、,故选D显然NPOQ是随，的增大先减小，再逐渐增【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的性质，等腰直角三角形的判定，熟练的利用数形结合解题是关键.1 2.若1O=N，则称x是 以1 0为底N的 对 数.记 作：x =lg N.例如：1（）2=1 0 0,则2 =l gl 0 0；1 0 =1，则0 =l gL 对数运算满足：当”（）,N0时，l g M+l g N =l g（MN）,例如：I g3 +l g5 =l gl 5,则（I g5 y+l g5 x l g2 +l g2的 值 为（）A.5 B.2 C.1 D.0【答案】C【解析】【分析

22、】通过阅读自定义运算规则：l g M+l g N =l g（MN）,再得到l gl O =I,再通过提取公因式后逐步进行运算即可得到答案.【详解】解：.l g M +l g N =l g（MN）,0 g 5+l g5 x l g2 +l g2=l g5（l g5+l g2）+l g2 =l g5 ggl 0+l g2 =l g5 +l g2 =I gl O =1.故选 C【点睛】本题考查的是自定义运算，理解题意，弄懂自定义的运算法则是解本题的关键.二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，满分18分）11 3 .函数y =7后 的 自 变 量x的 取 值 范 围 是.【答案】x i【解析】【

23、分析】由7三有意义可得：再解不等式可得答案.【详解】解:1由不T有意义可得:U-1?01 .，即x T 0,fVTH?o解得：X 1.故答案为：x 【点睛】本题考查的是二次根式与分式有意义的条件，函数自变量的取值范围，理解函数自变量的取值范围的含义是解本题的关键.1 4 .已知实数看,是方程2+X一1 =0的两根，则【答案】-1【解 析】【分 析】由一元二次方程根与系数的关系直接可得答案.【详 解】解：实 数 不 是 方 程f+x 1 =0的两根，x2=-1,故答案为：-1【点 睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌 握“占 马=”是解本题的关键.a1 5.黑色袋子中装有质地均匀，大

24、小 相 同 的 编 号 为1 1 5号 台 球 共1 5个，搅拌均匀后，从 袋 中 随 机 摸 出1个 球，则 摸 出 的 球 编 号 为 偶 数 的 概 率 是.7【答 案】1 5【解 析】【分 析】根据概率公式求解即可.【详 解】解：由题意可知：编 号 为1 1 5号台球中偶数球的个数为7个，7摸 出 的 球 编 号 为 偶 数 的 概 率=百，7故答案为：.【点 睛】本题考查概率公式，解题的关键是掌握利用概率的定义求事件概率的方法：一般地，如果在一次试 验 中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事 件A包含其中的机种结果，那 么 事 件A发m生 的 概 率P（A）=.n1 6.

25、九年级融融陪同父母选购家装木地板，她 感 觉 某 品 牌 木 地 板 拼 接 图（如实物图）比较美观，通过手绘（如 图）、测 量、计 算 发 现 点E是AO的黄金分割点，即O E=0.6 1 8 A O.延 长 班 与AD相 交 于 点G,则 EG-DE.（精确到 0.0 0 1）【答案】0.6 1 8【解 析】【分 析】设每个矩形的长为x,宽 为y,则。E=A O A E=x-y,四边形 是 矩 形，则E G=M/=y,EG由OE a 0.6 1 8 AD得x一尸0.6 1 8 x,求 得 产0.3 8 2 x,进 一 步 求 得 万 万，即可得到答案.【详解】解：如图，设每个矩形 长为元

26、宽为y,则AE=xy,由题意易得NGEM=NEM产=ZMFG=90,四边形EFGM是矩形，.E G=M F=yf E0.618AD,.x产0 .618%,解得产0.382x,生=，心 S382XDE x-y x-0.382x0.618：.EG-0.6WE.故答案：0.618.【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、分式的化简、等式的基本性质、二元一次方程等知识，求得产0.382尤是解题的关键.17.菱 形 ABCO的边长为2,NABC=4 5 ,点 P、。分别是8 C、8。上的动点，CQ+P Q 的最小值【答案】V2【解析】【分析】过点C 作 CEJ_AB于 E,交 B D 于 G,根据轴对称确定

27、最短路线问题以及垂线段最短可知C E 为FG+CG的最小值，当 P 与点F 重合，。与 G 重合时，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即可求解.【详解】解：如图，过点C 作 CELAB于 瓦交 B D 于 G,根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为 FG+CG的最小值，当 P 与点尸重合，。与 G 重合时，PQ+QC最小，.菱形A BC。的边长为2,ZABC=45,B L.一6瓦:中，EC=BC=y/22；/。+。的最小值为近故答案为：y2【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质求线段和的最小值是解题的关键.18.如图，已知等腰AABC的顶

28、角N8A C的大小为。，点。为边8 c上 的 动 点（与B、C不重合），将绕 点A沿顺时针方向旋转。角度时点。落 在OC处，连接3。.给出下列结论：AC D二八 钻。；/XACBAA。；当=时，闻 乃 的面积取得最小值.其中正确的结论有.（填结论对应的序号）.【答案】【解析】【分析】依题意知，AABC和是顶角相等的等腰三角形，可判断；利 用SA S证明 A）C 0Z V U9 3,可判断；利用面积A H比等于相似比的平方，相似比为，故最小时AADD面积最小，即AO L B C,等腰三角形三线合一，AC。为中 点 时.【详解】：AD绕点A沿顺时针方向旋转。角度得到A D,D AD 0,A D=A

29、 DZ C A B=Z D A D 即 Z CA D+Z DA B=Z DA B+AB AD：.A CA D=AB AD AC=AB；Z.C AD =ZB AD A D=AD 得：AOC/AOB(SAS)故对,/AABC和 是 顶 角 相 等 的 等 腰 三 角 形AACB AADZ)故对.S QAD，D _(A5)2AC即A D最小时SA A D.D最小当ADJ_BC时，AO最小由等腰三角形三线合一，此时。点是BC中点故对故答案为：【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，手拉手模型，选项中将面积与相似比结合是解题的关键.三、解答题（本大题共2 小题，每小题6 分，共

30、12分）19.计算：（2022万）+L+|l-V3|-2sin60.【答案】2【解析】【分析】分别计算零指数基、负整数指数累、绝对值和特殊角的三角函数值，然后按照去括号、先乘除后加减的顺序依次计算即可得出答案.【详解】解：（2022-公+-+|l-V3|-2sin60=1 +2（1 一百）2 x =1+2 1 +出 一 石=2.【点睛】此题考查实数的混合运算，包含零指数基、负整数指数累、绝对值和特殊角的三角函数值.熟练掌握相关运算的运算法则以及整体的运算顺序是解决问题的关键.2 0.先化简，再求值：x+2+不47,其中x是 满 足 条 件 的 合 适 的 非 负 整 数.I x-2）X2-4X

31、+4Y 2【答案】土 ，-1X【解析】【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，在根据分式的性质化简，最后将X=1代入求解【详解】解：原式=.（廿2）（=2）+4 X（t2）：x-2 x3_ X2-4+4（X-2）2=x-2x-2?-x.xW2的非负整数，刀工0,2，当x=l时，原式=一1【点睛】本题考查了分式的化简求值，不等式的整数解，正确的计算是解题的关键.四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）2 1.按国务院教育督导委员会办公室印发的 关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知要求，各中小学校积极行动，取得了良好的成绩.某中学随机抽取了部分学生对他们一周的课

32、外阅读时间（A：10/?以上，B：C：6h8h,D：6h以下）进行问卷调查，将所得数据进行分类，统计了绘制了如下不完整的统计图.请根据图中的信息，解答下列问题：(1)本次调查的学生共 名；(2)a=,b=；(3)补全条形统计图.【答案】(1)2 0 0 (2)3 0,5 0(3)画图见解析【解析】【分析】(1)由。组 有10人，占比5%,从而可得总人数;(2)由4,8组各自的人数除以总人数即可；(3)先求解C组的人数，再补全图形即可.【小 问1详解】解：10,5%=2 0 0 (人)，所以本次调查的学生共2 0 0人，故答案为：2 0 0【小问2详解】幽10 0%=3 0%,吧10 0%=5

33、0%,所以。=3 0,。=5 0,2 0 0 2 0 0故答案为：3 0,5 0【小问3详解】C组有2 0 0-6 0-10 0-10 =3 0 (人)，人数(单位:名)所以补全图形如下:T*种0 0B【点睛】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，求解扇形图中某部分所占的百分比，补全条形图,掌握以上基础统计知识是解本题的关键.2 2.“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想”.墩墩使用握力器(如实物图所示)锻炼手部肌肉.如图，握力器弹簧的一端固定在点P处，在无外力作用下，弹簧的长度为3 cm,即P Q =3 cm.开始训练时，将弹簧的端点。调在点B处，此时弹簧长P8=4 cm,弹力大小是100N

34、,经过一段时间的锻炼后,他手部的力量大大提高，需增加训练强度，于是将弹簧端点。调到点。处，使弹力大小变为300N,已知NPBC=120,求 8C 的长.注：弹簧的弹力与形变成正比,即产=%,左是劲度系数，Ax是弹簧的形变量，在无外力作用下，弹簧的长度为,在外力作用下，弹簧的长度为x,则Ax=x-xo.【答案】（2#-2卜利【解析】【分析】利用物理知识先求解上 再求解PC=3+3=6,再求解8 Mp再利用勾股定理求解M C,从而可得答案.【详解】解：由题意可得：当尸=100时，&x=4 3=1（。）攵=100,即尸=100gVx,当尸=300时，则 乩=3（加），.-.PC=3+3=6（。）,如

35、图，记直角顶点为M,Q?PBC 120靶 PMB=90?,?BPM30?,而PB-4cm,：.BM=2cm,PM=742-22=273（cm）,=，仅？=叵=2啊cm）,.BC=MC-BM=（2遥 一2卜加.【点睛】本题是跨学科的题，考查了正比例函数的性质，三角形的外角的性质，勾股定理的应用，含 30。的直角三角形的性质，二次根式的化简，理解题意，建立数学函数模型是解本题的关键.五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)23.“绿水青山就是金山银山”.科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用.已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐

36、树叶一年的平均滞尘量的2 倍少4 mg,若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62 m g.(1)请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量；(2)娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树，据估计三棵银杏树共有约50000片树叶.问 这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克？【答案】(1)一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量分别为22mg,40mg.(2)这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约2 千克.【解析】【分析】(1)设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x m g,则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为(2 x-4)m g,由一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘

37、总量为62m g列方程，再解方程即可；(2)列式5000 4 0 进行计算，再把单位化为kg即可.【小 问 1详解】解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x m g,则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为(2 x-4)m g,则 x+2 x-4=62,解得：x=22,2-4 =40,答：一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量分别为22mg,40mg.【小问2 详解】50000z 40=2000000(mg),而 20(X)000mg=2000g=2kg,答：这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约2 千克.【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，有理数的乘法运算，设出合适的未知数，确定相等关系是解本题的关

38、键.2 4.如图，以3 C 为边分别作菱形3C D E 和菱形8C FG (点C,D,F 共线)，动点A 在以3 c 为直径且处于菱形8 C E G 内的圆弧上，连接所 交 6 C 于点0.设 NG=6.F(1)值，E/与8C相互平分；并请直接写出使 尸，8 c成立的。值.(2)当。=90 时，试给出tanNA BC的值，使 得 所 垂 直 平 分AC,请说明理由.【答案】(1)见解析，60(2)2,理由见解析【解析】【分析】(1)连接8/、C E,证明四边形B尸CE为平行四边形即可，由题意可知四边形8尸CE为菱形，进而可证明AG B/为 等边三角形，即可求解；(2)连接A F,A O ,由垂

39、直平分线的性质易证A OEGAC O E,从而可知NR 4O=9 0,再由正方形的以及圆的相关性质可证得NA OH=N Q B 4,设正方形边长为x,在中，由正切的定义即可求解.【小 问1详解】证明：如图所示：连接3F、C E,(1).点G、B、E共线,:.FC BG,FC=BC=BE,:.FC BE,FC=BE,四边形BFCE是平行四边形，/.痔 与6C相互平分，即：无论。为何值，EE与 相 互 平 分;又：/BC,四边形BFCE是菱形，：.BE=BF,又；菱形BCDE和菱形BCFG,:.GF=BG=BF=BE,:.&GFB为等边三角形，.NG=e=60。；【小问2 详解】如图所示：连接A

40、F,A0,设 EF与 A C交于点H,AF=FC,AO=CO,ZAHO=90,由（1）知，。为 BC的中点，动点A在以。为圆心，8C为直径且处于菱形BCFG内的圆弧上,ABAC=90,AO=BO=CO,:.NOBA=/OAB,.ZOAB+ZOAC=ZAOH+ZOAC=90,：.ZAOH=ZOAB=ZOBA,在AAO尸和A。尸 中，AF=CF AO=CO,FO=FO：.AOFCOF,ZFAO=ZFCO,。=9 0 ,菱形 BCFG,四边形BCFG为正方形，/.ZFCO=90,FC=5C ,:.ZF AO=Z F C O =90 ,设厂C =8 C =x,则力尸=C F =x ,A O =O C

41、=-B C =-x ,2 2,.t a n Z.F OA=2在 心 f XO中，A O 1-x2Z A O H =Z O B A ,.t a n ZA B C =t a nZ F O A=2 .【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，圆中的相关性质，直径所对的圆周角为9 0度，正切的定义等，熟练掌握以上知识点，并能综合运用是解题的关键.六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）2 5.如图，已知8。是R A B C 角平分线，点。是斜边AB上的动点，以点。为圆心，O B长为半径的求 si n N D B C、

42、si n/A B C 的值；试用si n NO3C和c os Z DBC表示si n NABC,猜测si n 2 a与si n。，c os a的关系，并用夕=3 0 给予验证.【答案】（1）相切，原因见解析（2 ）sin N D B C =&，si n Z A B C =-；si n Z A B C=2 si n Z D B Cx c os ZD B C,5 5si n 2 a =2 si n a c os a ,验证见解析【解析】【分析】（1）连接。，根据角之间的关系可推断出O O B C,即可求得NQD4的角度，故可求出圆与边的位置关系为相切；（2）构造直角三角形，根据角之间的关系以及边长

43、可求出si n N D 8 C,si n N A B C的值；先表示出来sinNOBC、以尤/。8。和5吊/46。的关系，进而猜测sin2a与sine,cos a的关系，然后将a =300代入进去加以验证.【小问1详解】解：连接OD,如图所示为NA3C的角平分线 ZABD=NCBD又丁。过点3、D,设 半 径 为rOB=OD=rNODB=NOBD=NCBDA OD/BC（内错角相等，两直线平行）OD1AC，AC与。的位置关系为相切.【小问2详解】3：BC=3,CD=-2；BD=y/BC2+CD2=地2；sin ZDBC=BD 5过点。作DE _L A3交于一点凡 如图所示CD=DF（角平分线的

44、性质定理）3BF=BC=3：.OF=BF-OB=3-r,OF=CD=2 OD2=OF2+DF-即 产=(3 +.15.r=8,/ODUBC，ZABC=ZFODsin ZABC=sin NFODDF _ 4OD5J5 4 sin ZDBC=工 sin ZABC=-5 5csN瓯=需=竽sin ZDBC x cos ZDBC=x=-5 5 5：.sin ZABC=2sin ZDBCx cosZDBC猜测 sin 2a=2 sin a cos a当 2 =30 时 2 a =60sin la =sin 60=2-/3 1sina=sin 30=cos a=cos 30=-：sin 2a=2 sin

45、a cos】=2x x =sin 2a2 2 2 2 2sin 2a=2 sin a cos a.【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系、切线的判定、三角函数之间的关系，解题的关键在于找到角与边之间的关系，进而求出结果.2 6.如图，抛物线丁 =/炉 2x 6 与x 轴相交于点A、点8,与轴相交于点（1）请直接写出点A,B,。的坐标；（2）点 P（m川（0 加6）在抛物线上，当加取何值时，APBC的面积最大？并求出APBC面积的最大值.（3）点尸是抛物线上的动点，作房 AC 交x 轴于点E，是否存在点 尸，使得以A、C、E、尸为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F 的坐标；

46、若不存在，请说明理由.【答案】（1）A（-2,0）,5（6,0）,C（0,-6）;27（2）加=3,P3C 面积的最大值一；2存在，（2+2 6,6）或（2-2彼,6）或（4,-6）.【解析】1 ,【分析】（I）令 y=0得到一 2x 6=0,求出X即可求得点A和点8 的坐标，令x=（）,则 丁 =一 62即可求点C 的坐标；（2）过 P作 PQ 丁轴交BC于 Q,先求出直线8 c 的解析式，根据三角形的面积，当平行于直线BC直线与抛物线只有一个交点时，点 尸到BC的距离最大，此时，APBC的面积最大，利用三角形面积公式求解；（3）根据点尸是抛物线上的动点，作 FE A C交x 轴于点得到AE

47、|C E,设歹（。,：/一 2。一6）,当点尸在x 轴下方时，当点尸在x 轴的上方时，结合点。=6,利用平行四边形的性质来列出方程求解.【小 问 1详解】解：令 y=o,1 ,则一无 2 一 2无一6=0,2解得 X 1 =-2 ,Z =6，A A（-2,0）,B（6,0）,令 x=0,则 y=-6,C（0,-6）；【小问2 详解】解：过 P 作 PQ 丁轴交8 c 于。，如下图./设直线8 c 为丁=丘+方（左。0）,得0=6k+bb=-6，k=1解得,，,直线8C为 y=尤-6,b=-6将 5（6,0）、C（0,-6）代入根据三角形的面积，当平行于直线BC直线与抛物线只有一个交点时，点 P 到 8 c 的距离最大，此时,P8C 的面积最大，P m,；2-2m-6Q(m,m-6,PQ=(m-6)-m2-2m-62=(时3-2,2k)2-2解得4=0 （舍去），4=4,-4,-6）.当点尸在X轴的上方时，令y=6,则,a?-2a-6=6,2解得生=2+2近，%=2-2 g，网2+2近,6）或（2-26,6）.综上所述，满足条件的点尸的坐标为（2+2J7,6）或（4,-6）或（2-2J7,6）.【点睛】本题是二次函数与平行四边形、二次函数与面积等问题的综合题，主要考查求点的坐标，平行四边形的性质，面积的表示，涉及方程思想，分类思想等.