2022年中考数学压轴题附答案.pdf

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1、2022年中考数学压轴题1 .问题探究：1.新知学习若把将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“面线”，其“面线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“面径”（例如圆的直径就是圆的“面径”）.2.解决问题已知等边三角形N2C的边长为2.（1）如图一，若 4 D 工B C,垂足为。，试说明NO是/8 C 的一条面径，并 求 的 长;（2）如图二，若 M E B C,且 A/是/B C 的一条面径，求面径M E的长；（3）如图三，已知。为 8 c 的中点，连接力。，M 为 上 的 一 点（0 4 A/2xy xy,：.ME V2,是等边三角形面径，也是等边三角形面积径，易知力

2、。=6，等边三角形N8C的面径长/的取值范 围 鱼 /0)的图象与x 轴、y 轴分别相交于点/、B,半径为4 的。与 x 轴正半轴相交于点C,与夕轴相交于点。、E,点。在点E 上方.第3页 共1 3页（1）若 直 线 与 前 有 两 个 交 点 尸、G.求 NC在 的 度 数：用 含 b 的代数式表示k 2,并直接写出6 的取值范围；（2）设 6）5,在线段1 8 上是否存在点P,使/C PE=45?若存在，请求出产点坐标;若不存在，请说明理由.N bE=/N C O E=45,（圆周角定理）方法一：*.*O M.L A B,直线的函数式为：y=OW所在的直线函数式为：12 16:交点 M(/

3、),b)1 12 1 16,：.0M2=(6)2+(A)2,25 25V O F=4,第4页 共1 3页：.FM2O F2-O A/2=42.(b)2,(b)2,25 25：FM=FG,c c 12、16 c 64 o：.FG2-=4FM24 X 42-(b)2-(2=6 4-W=6 4 X(1 一点序),25 25 m.直 线 与 前 有 两 个 交 点 尸、G.；.4W65,.F G2=64X(l-f t2)(4Wb 5)方法二：如图，作。MJ _/8点用，连接。尸，_4.5的坐标为(0,b),/的 坐 标 为(,，0),：.AB=yJOB2+OA2=|b,./n s BO b 3.s m

4、N8Z0=存=与=引3D.O M OM 3 s m Z M A O=A 0=-=5 OM弓b,.在 R T Z OA/中，FM=y/OF2-OM2=J 42-(/?)2：FG=2FM,；.F G2=4F M2=4(42-1|*2)=64一票 户=6 4 (1一 安贬),.直 线 与前有两个交点尸、G.；.4Wb 5 时，直线与圆相离，不存在尸3.如图，在 Rt&IB C中，Z/fC5=90,以斜边Z 8 上的中线C。为直径作。，与 BC交于点/，与/B 的另一个交点为E,过 M 作垂足为M(1)求证：MN是。的切线：O C=O M,：.4 0 C M=4 0 M C,在 RtZZ8C中，CD是

5、斜边ZB上的中线,:.C D=%B=B D,:/D C B=/D B C,：./O M C=N D B C,：.O M B D,:M N t B D,OM_LMN,O/W过o,N 是O。的切线；第7页 共1 3页 C。是G）O 的直径，：.ZC ED=9 0 ,ZDM C=9 0 ,即 C EA.A B,由（1）知：B D=C D=5,为 BC的中点，3V siri5=百，.cosB=耳,在 中，BM=BDCGSB=4,:B C=2 B M=8,Q9在 RtA C EB 中,B E=B CcosB=等，32 7：.ED=B E-BD=节 一5=g.4.已知NMPN的两边分别与O O 相切于点4

6、 B,O O 的半径为九（1）如 图 1,点 C 在点4 8 之间的优弧上，N M PN=80 ,求N4CB的度数；（2）如图2,点 C 在圆上运动，当P C 最大时，要使四边形NPBC为菱形，/尸8 的度数应为多少？请说明理由；（3）若 PC 交O O 于点。，求 第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含 的式子表示）.【解答】解：（1）如 图 1,连接0 4 0B,第8页 共1 3页图1,：P A,尸 8 为。的切线，孙。=/尸 80=90,V ZAPB+ZPAO+ZPBO+ZAOB360,A PB+AAO B=,V ZAPS=80,：.ZAO B00,./C 3=50；（2）如图2,当N

7、ZP 8=60时，四边形ZP8C是菱形,连接CM,OB,囹2由（1）可知，NNO8+/P8=180,V ZAPB=60,ZAOB=20,A ZACB=60=A APB,.点 C 运动到PC距离最大，；.PC经过圆心，:P A,尸 8 为。的切线，：.PA=PB,NAPC=NBPC=3G,又：PC=PC,./PC丝BPC（.SAS）,第9页 共1 3页A ZACP=ZBCP=30，AC=BC,：.ZAPC=ZACP=30，：.AP=ACf:AP=AC=PB=BC,四边形Z P 8 C是菱形；(3)。的半径为八.OA=r,OP=2r,：.AP=V3 r,PD=r,：NN。尸=9 0 -Z APO=

8、60a,而 的 长 度=r,阴影部分的周长=P 4+P +尤=倔 廿+分=(V3+I +J)r.5.如图，均 为。的切线，P 8 C为。的割线，4DLOP于点D,/小？的外接圆与8 c的另一个交点为.证明：NBAE=NACB.【解答】证明：连 接0 4,OB,OC,BD.COA1.AP,ADA.0P,，由射影定理可得：PA2=PDPO,心=PD0 D.（5分）又由切割线定理可得PA2PB-PC,:.PB，PC=PDP0,：.D.B、C、。四点共圆，（1 0分）NPDB=4 PCO=NOBC=NODC,NPBD=A COD,:U B D sA C O D,PD BDCD 0D（1 5 分）二.B

9、ACD=PD，OD=AN,第1 0页 共1 3页.B D A DA D C D又 N B D A =N B D P+9 G =ZO DC+9 0 =ZA DC,:.B DA sA A DC,:.N B A D=Z A C D,：.A B是 Z O C 的外接圆的切线，6.如图，点/为 y 轴正半 轴 上 一 点 8两点关于x 轴对称，过点”任作直线交抛物线y=|x 2于 P，。两点.（1）求证：Z A B P=ZA B Q-,（2）若点4的坐标为（0,1）,且/尸8。=60 ,试求所有满足条件的直线尸0的函数解析式.【解答】（1）证明：如图，分别过点尸，。作y轴的垂线，垂足分别为C,D.设点力

10、的坐标为（0,/）,则点8的坐标为（0,-/）.设直线尸0的函数解析式为了=履+3 并设P,0的坐标分别为（必，y p）,（X 0,夕 0）.由Iy =f c x 4-1y =|%2%2 k x t =0,第1 1页 共1 3页3 2于是为 殉=-2 3 B Pt =-XPXQ.B C yp+t 京 P?+t 京 p2一 夕 p%Q 声 p(X p-X Q)X pB D yQ+t|x(j2+t XQ2XpXQ|X(2(X Q-X p)XQPC Xp 一 B C PC又因为-=-,加以-=-QD xQ B D QD因为4 8（7 尸=/8。=90 ,所以 A B C Ps/B DQ,故 N/8

11、尸（2）解：设 PC=a,D Q=b,不妨设a6 0,由（1）可知N/8 尸=/48。=3 0 ,B C=V 3 a,BD=同,所以 ZC=g a-2,A D=2 -V 3 b.因为 P C。，所以 NCPS/X4D。.于是空一些即士.金t 7 GD Q A D,即2 一 可所以 Q+b =y/3ab.由（1）中 工 pQ=一即一 a b=会 所以a b =W，C L b=于是可求得Q =2b=V 3.F5 n y/3 1将匕=芋代入y =%2,得到点。的 坐 标（不-）.乙 3 L L再将点。的坐标代入=b+1,求得卜=一字.所以直线P Q的函数解析式为y =-苧 x +1.根据对称性知，所求直线P Q的函数解析式为y =-字 x +1或y =字+1.第 1 2 页 共 1 3 页第1 3页 共1 3页