2023年人教版高考数学总复习第二部分考点培优训练 考点六十五离散型随机变量及其分布列、均值与方差.pdf

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1、六十五离散型随机变量及其分布列、均值与方差基础落实练30分 钟60分一、单选题（每小题5 分，共 2 0分）1.设随机变量了的分布列为P（=.）=4（7=1,2,3）,则尸（=2）等于（）乙a1A-91B-61D-41 +2 +3【解析】选 C.由分布列的性质,得F=1，2解得 a=3,所以(=2)z x o2 .已知才的分布列为-101P121316设 2 1+3,则 （协的值为（）7A.-B.4 C.-1 D.1O【解析】M A.=-ix|+o x|+i x|=-|2 7(D=(2/+3)=2 Q)+3 =鼻 +3=-.oo3.有 10件产品,其中3件是次品，从中任取2件，若手表示取到次品

2、的件数，则 夙 f）等于（14C.-D.110Q2 7 C1 C1 7【解析】选 A.f 的所有可能取值为0,1,2,尸（f =0）=*=,P（f =1）=球 -=C；尸(4 =2)=#号，所以f 的分布列为3A。5)81C，3_1=3 ,士012P715715115广/八 7,7,1 3所以 (C=0 X和+1 X西+2 X-=-.【加练备选】一道试题,2 4甲解出的概率为三，乙解出的概率为 .设解出该题的人数为X则（协等于3()22 86 225 225A R-r-n-15 225 484 85【解析】选B.4的可能取值为0,1,2.2-3E 7,、1 1 1因 为/(1=0)=可x-=,

3、3 5 15以X的分布列为4-5X13-+11n _oX2-36-158-15=4-5X所以 E(X)=OXyTio8才012p1681515152215+1 XT5+2 X15=,入 1 C 22。（乃=正 义0-正15221522+15 Xl2-15,152 86=225,所1624.设O V V 1,随机变量f的分布列是则当0在（0,1）内增大时，（)012P1一。212p2A.（口减小B.C.（门先减小后增大 D.（口先增大后减小（增大【解析】选D.由分布列可知E（C=0 X=+i x|+2 x f =0+4 ,所以方差。（。=乙 乙 乙 乙（0一0一（+（10 x1+（2 一00 X

4、 苴=p+p+,所以 （f）是关于。的二次函数，开口向下，所以（f）先增大后减小.二、多选题（每小题5分，共 10分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）5.已知随机变量才的分布列为才4a910P0.3 0.1b0.2若 0)=7.5,则以下结论正确的是()A.a=7 B.6=0.4C.(a 万=5 2.5 D.双 什 8)=7.9【解析】AB C D.由 0.3+0.1+8+0.2=1,得 6=0.4.因为 (r=4*由 3+a X0.1+9X0.4+10X0.2 =6.8+a XO.1=7.5,所以 0.l a=0.7,所以 a=7.所以 K(a =a (=7 X 7.5

5、=5 2.5,(J+8)=7.5+0.4 =7.9.6.已知随机变量孑的分布列如表，则()-10aP142 +a-bA.2 +B.b=a1 5C.以。的最大值为一台64D.（门的最小值为一：【解析】选 B C.根据分布列的性质得，所有的概率和为1,且每个概率都介于0 和 1之间，得到 8a=0,a=b 三.根据公式得到 （f）=1X；+a（8）=+心 一”），化简得到b-.根据二次函数的性质得到函数最大值在对称轴8=（处取4 4o得，代 入 得 到 年=一 卷,最小值在仁 三 处 取 得，代入得到三、填空题(每小题5 分，共 10分)7.已知随机变量f 的分布列为123P0.5Xy若。=-7?

6、，则 D(f )=o【解析】由分布列性质，得 x+y=0.5.15I|又 以 9=3，得 2 x+3 尸 不，可得O O1x=,3y=8-，、(2 1 (2 1 (2 35 564 ,田自 5 5件茶：648.在一次随机试验中，事件/发生的概率为0,事件/发生的次数为几=，方差(9 的最大值为.【解析】记事件4 发生的次数4 可能的值为0,1.则数学期望E(4)01p1pp数学期望 (f)=0X a-p)+iXp=p,方差(f)=(o/?)2x(1/?)+(1/?)Xp=/?(l p)w；.故数学期望(C=P，方差(C的最大值为;.答案：P|【加练备选】若随机变量才满足尸(才=c)=l,其中c

7、 为常数，则(力的值为【解析】因为尸(X=c)=l,所以 =c X l =c,所以 M=（c-c）2Xl=0.答案：0四、解答题（每小题10分，共 2 0分）9.（2 02 2 吉林模拟）某学校为了解班级卫生教育系列活动的成效，对全校40 个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查（满分1 0 0 分，最低分2 0 分）.根据检查结果：得分在 8 0,1 0 0 评定为“优”，奖励3 面小红旗；得分在 6 0,8 0）评定为“良”，奖励2 面小红旗；得分在 40,6 0）评定为“中”，奖励1 面小红旗；得分在 2 0,40）评定为“差”，不奖励小红旗.已知统计结果的部分频率分布直方图如图：（1）

8、依据统计结果的部分频率分布直方图，求班级卫生量化打分检查得分的中位数；（2）学校用分层抽样的方法，从评定等级为“优”、“良”、“中”、“差”的班级中抽取1 0 个班级，再从这1 0 个班级中随机抽取2 个班级进行抽样复核，记抽样复核的2 个班级获得的奖励小红旗面数和为X 求 X的分布列与数学期望用心.【解析】（1）得分 2 0,40）的频率为0.0 0 5X 2 0=0.1；得分析0,6 0）的频率为0.0 1 0 X 2 0=0.2；得分 8 0,1 0 0 的频率为 0.0 1 5X 2 0=0.3；所以得分 6 0,8 0）的频率为 1-（0.1+0.2+0.3）=0.4.设班级得分的中

9、位数为x 分，于是x 6 00.1 +0.2+-X 0.4=0.5,解得 x=7 0.所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为7 0.（2）由（1）知评定等级为“优”、“良”、“中”、“差”的频率分别为0.3,0.4,0.2,0.1.又班级总数为40.于是“优”、“良”、“中”、“差”的班级个数分别为1 2,1 6,8,4.分层抽样的方法抽取的“优”、“良”、“中”、“差”的班级个数分别为3,4,2,1.由题意可得%的所有可能取值为1,2,3,4,5,6C C 2 C +C CPgl =4 =,P(=2)=JC o 45 C；o19P(=3)=C：C；+C；C：1 145尸(1=4)/C；3。4

10、1 5,、c：C；W=5)=r-3。4 C；=1 5 W=6)=E11 5所以X 的分布列为2 I 11 4 4 1 171 IQE(X)=1X+2 X-+3 X +4 X +5 X +6 X =所以才的数学期望X 43 1 u 1 0 i u 4。u123456p245191 1454T5415115/A 1 9E(X)=.51 0.某投资公司在2 0 2 1 年年初准备将1 0 0 0 万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%,也可能亏损1 5除7 2且这两种情况发生的概率分别为和 ;项目二：通信设备.据市场调研，投

11、资到该项目上，到年底可能获利50 除可能损失30%,也3 1 1可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为鼻，鼻和京.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.【解析】若 按“项目一”投资，设获利为X万元，%的所有可能取值为30 0,-1 50.则X的分布列为X30 0-1 50P792972所以 (%)=30 0 X +(-1 50)X-=2 0 0(万元).7 2M)=(30 0-2 0 0)2X-+(-1 50-2 0 0)2X-=35 0 0 0,若 按“项目二”投资，设获利4 万元，%的所有可能取值为50 0,-30 0,0.则刀的分布列为%50 0-30

12、00P351311 53 11所以次也)=50 0 X +(30 0)X-+0 X =2 0 0(万元)，5 3 1 53 1 1(4)=(50 0 2 0 0)2 X 工 +(-30 0-2 0 0)2X-+(0-2 0 0)2X=1 40 0 0 0.o lb所以(X)=夙后，(以口(4),这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥.综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.素养提升练 20分 钟4。分1.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后,从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为则才的均值少(乃等于()A/125C.168125D.6B，

13、575【解析】选 B.125个小正方体中8 个三面涂漆，36个两面涂漆，54个一面涂漆，27个没有涂漆，9 7 54 36 8所以从中随机取一个小正方体,涂漆面数乃的均值以及 =赤 X 0+x i+X 2+125 125 125 125150 6X 3=-125 5,2.(多选题)某学校共有6 个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐(选择每个餐厅的概率相同)，则下列结论正确的是()5A.四人去了四个不同餐厅就餐的概率为商loB.四人去了同一餐厅就餐的概率为1 痣1 29 b25C.四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为水2D.四人中去第一餐厅就餐的人数的均值为可【解析】选

14、 A C D.四人去餐厅就餐的情况共有6,种，4其中四人去了四个不同餐厅就餐的情况有A.种，6A,5则四人去了四个不同餐厅就餐的概率为于=玄，故A正确；同理，四人去了同一餐厅就餐0 186 1 C：X 5?25的概率为3，故 B 错误；四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为丁=釜，6 2166 216故C 正确；设四人中去第一餐厅就餐的人数为八 则 f=0,1,2,3,4.则 孑=0)=M，P(f =l)C*53/u、C：52/u、C：义5/u、1=-，P(f =2)-f -3)-71，Pk f =4)-T?，0 6 6 0则四人中去第一餐厅就餐的人数的分布列为01234P51C,536C；5

15、6C；X 56415,c1 53 C2 52 c3 X 5则四人中去第一餐厅就餐的人数的均值次f)=o x +1 X?+2 X-+3 X，+6 6 0 61 24又出=3 故D正确.教师专用(多选题)(2021 杭州模拟)已知随机变量f 的分布列如下:012P baba则当a 在(0,内增大时(A.E(f)增大C.先增大后减小)B.(f)减小D.先减小后增大【解析】选 A C.由随机变量f 的分布列得 0W 6a W l,OW b W l,一 一 解得 6=0.5,0W a W 0.5,所以双 f)=0.5+2a,OW a W O.5.OW a W l,b-力+a=1,故 a 在(0,j 内增

16、大时，E()增大.(f)=(-2a-0.5)2X (0.5-a)+(0.5-2a)2X 0.5+(1.52 a)2a所以当a W(0,1时，(f)单调递增,1-4当 aeR|时，(门单调递减.93.现有4 B,。3 个项目，已知某投资公司投资力项目的概率为可，投 资 反。项目的概率O均为P，且投资这3 个项目是相互独立的，记乃是该投资公司投资项目的个数，若。(=0)七，则随机变量才的均值【解析】由题意可知，/的所有可能取值为0,1,2,3,由于尸(X=0)=*(I。)2=2，所以。=1 L 乙 乙/、2 17?(X=1)=-X-1X21X21X2+l1X21X2412=3/、2 1W=2)=-

17、X-O 乙1X2+31X21X2+31X21X2_ _ 5_=12/、1P(X=3)=1 记4 512 1221216i i 5 1 5所以以乃=OXR+1 x-+2X-7T +3 X-=.XCJ0 1 乙 O O阡答案：q04.随机变量才的分布列如下：X-101Pabc其中a,b,c 成等差数列，则。（|川=1）=,公差d 的取值范围是【解析】因为a，b,c 成等差数列，所以2A=a+c.又 a+6+c=l,所以,O9所以尸（|才|=1）=a+c=w .又 a=:d,c=；+d,o o12 12 1 1根据分布列的性质，得d W 5,0-,所以一鼻W d W q .o o o o o o2

18、r i r答案：一 可，n 7.2 2 5 51 2又夕+鼻+q=l,q N O,所以夕 鼻.O o(3 2所以夕的取值范围为嫁，耳.(3)假设丙选择“投资股市”的方案进行投资，记才为丙投资股市的获利金额(单位：万元)，则随机变量的分布列为X40-2P12i83811 3 5则 (=4 X-+0 X-+(-2)X-=-.Z o o 4假设丙选择“购买基金”的方案进行投资，记 Y 为丙购买基金的获利金额(单位：万元)，则随机变量Y 的分布列为Y20-1I)5则 E(f)=2X-+0X-+(-l)X-=-.2 3 6 6因为(亚丹，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大.6

19、.在某电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项解密挑战活动，规则是由密码专家给出题目，然后由3 个人依次出场解密，每人限定时间是1分钟内，否则派下一个人.3个人中只要有一人解密正确，则认为该团队挑战成功，否则挑战失败.根据甲以往解密测试情况，抽取了甲100次的测试记录，绘制了如图所示的频率分布直方图.频率赢0.0140.010O 25 30 35 40 45 50 55 60 65 7 0时间/秒若甲解密成功所需时间的中位数为4 7,求 a,8 的值，并求出甲在1分钟内解密成功的频率.(2)在该节目上由于来自各方及自身的心理压力，用匕表示第/个出场选手解密成功的概率,R W 号(4

20、1，2,3),并且X定义为甲抽样中解密成功的频率，各人是否解密成功相互独立.求该团队挑战成功的概率；(ii)规定第三人无论解密成功与否比赛都结束，记该团队参加挑战人数为才，求才的分布列与数学期望.【解析】(1)甲解密成功所需时间的中位数为47,0.01X5+0.014X5+aX5+0.034X5+0.04X(47-45)=0.5 解得 a=0.026.所以 0.04X3+0.032X5+6X5+0.010X5X2=0.5,解得 b=Q.024.所以甲在1分钟内解密成功的频率是1 0.01X5X2=0.9.(2)(i)由题意及(1)可知第一个出场选手解密成功的概率为R=0.9；第二个出场选手解密成9 1 9 A功的概率为 =0.9Xm +X 1=0.91；第三个出场选手解密成功的概率为4=0.9乂 历)22 .1+X2=0.929.所以该团队挑战成功的概率为 0.9+0.1X0.91+0.1X0.09X0.929=0.999 361(ii)根据题意知犬的所有可能取值为1,2,3.由可知尸(X=1)=0.9,P(才=2)=(1-0.9)X0.91=0.091,M 1=3)=(1-0.9)(1-0.91)=0.1X0.09=0.009所以该团队参加挑战人数1 的分布列为123p0.90.0910.009E（X）=1X0.9+2X0.091+3X0.009=1.109.