【高考真题】2022年高考数学真题试卷（新高考全国Ⅱ卷）.pdf

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1、【高考真题】2022年高考数学真题试卷(新高考全国II卷)阅卷人得分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共4 0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(共8题；共4 0分)1.(5 分)已知集合 A=-1,1,2,4,B=xx-1|W 1 ,则 A n B=()A.-1,2 B.1,2 C.1,4 D.-1,4)【答案】B【解析】【解答】B=x|0%=,则 t=()A.-6 B.-5 C.5 D.6【答案】C【解析】【解答】解：由己知条件可得c=(3 4-1/4)cos=cos ,即9+3t+16 _ 3+t5=同 解 得 t=5,故答案为：C【分析】利用向量的坐标运算和向

2、量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求解.5.(5 分)有甲乙丙丁戊5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有多少种()A.12 种 B.24 种 C.36 种 D.48 种【答案】B【解析】【解答】因为丙丁相邻，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有3!种排列方式；甲不在两端，则甲在三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有 2 种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有 2 种排列方式，故安排这5 名同学共有：3!x 2 x 2 =2 4 种不同的排列方式.故答案为：B【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可

3、得解.6.(5 分)若 sin(a+9)+cos(a+1)=2&cos(a+9 sin,则()A.tan(a+6)=-1 B.tan(a+0)=1C.tan(a-0)=-1 D.tan(a /?)=1【答案】C【解析】【解答】根据两角和的正弦、余弦公式化简已知式子得：sinacos/?+cosasin/?+cosacos/3 sinasin/?=2(cosa sina)sin6,即：sinacosjff cosasin/?+cosacos/?+sinasinf=0,即：sin(a 0)+cos(a )=0,所以 tan(a )=1,故答案为：C【分析】由两角和差的正、余弦公式化简，结合同角三角

4、函数的商数关系即可得解.7.(5 分)正三棱台高为1,上下底边长分别为3百 和 4V3,所有顶点在同一球面上，则球的表面积是()A.100KB.128兀C.144兀D.1927t【答案】A【解析】【解答】设正三棱台上下底面所在圆面的半径r2，所 以 2r1 2r2=sin60_ 邑，即 n =3,72=4,设球心到上下底面的距离分别为d2,球的半径为R,所以sin60M=J/?2 一 9,d2=V/?2-16 故|询 一 ci2l=1 或 幺+=1，即|，R2 一 9-V/?2-16|=1 或 V/?2-9+V/?2-16=1，解得 解=25,所以球的表面积为S=4nR2=100兀.故答案为：

5、A【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径勺，生，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而求出球的表面积.8.(5 分)若函数/(%)的定义域为 R,且/(%+y)+/(%-y)=/(x)/(y)，/(I)=1，则 当 f(k)=()A.-3 B.-2 C.0 D.1【答案】A【解析】【解答】因为/(x+y)+f(x -y)=/(%)/(y),令 久=1,y=0 可得，2/(1)=/(1)/(0),所以/(0)=2，令 x=0 可得，/(y)+/(-y)=2/(y),即 /(y)=/(-y),所以函数/(x)为偶函数，令 y=1 得，/(x+1)+/(

6、x -1)=/(x)/(l)=/(x),即有/(x+2)+/(x)=/(%+1),从而可知 f(x +2)=-/(%-1),f(x -1)=-/(%-4),故/(%+2)=f(x -4),即/(x)=/(x+6),所以函数/(x)的一个周期为6.因为/(2)=/(1)-/(0)=1-2=1，/(3)=/(2)-/(1)=-1-1 =-2 ,/(4)=/(-2)=/(2)=-1，f(5)=/(-I)=/(I)=1，/(6)=f(0)=2，所以一个周期内的/(1)+/(2)+/(6)=0.由于22除以6 余 4,所以 2*/=-1)+-2)+/+八4)=1-1-2-1 =-3.故答案为：A【分析】

7、根据题意赋值即可知函数/(x)的一个周期为6,求出函数一个周期中的/(I),/(2),-，/(6)的值，即可求解.阅卷人得分二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。(共4题；共2 0分)9.(5 分)函 数 f(x)=sin(2x+卬)(0 0 兀)的图象以(等，0)中心对称，贝 U ()A.y=/（x）在（0,驾）单调递减B.y=/（%）在（各晋）有 2 个极值点C.直 线 =普 是一条对称轴D.直 线 丫 =字 7 是一条切线【答案】A,D【解析】【解答】由题意得：/（手）=sin（等+

8、（p）=0,所 以 竽+3=/OT,k e Z ,即（p =-+k n,k Z,又 0 3 兀，所 以 k=2 时，盟=竽，故f（x）=sin（2x+冬）.对于A：当x G（0,罂）时,，2%+冬 （冬，岑），由正弦函数y=si n u图象知y=/（%）在（0,）上是单调递减；对于B：当 x e （各 岩）时，2%+孕 e g,竽），由正弦函数y=sin u 图象知y=/（x）只有1个极值点，由 2x+争=芋，解得=弯，即久=患 为函数的唯一极值点；对于 dx=藉 时，2%+争=3兀，/借 =0,直 线 =普 不是对称轴；对于 D：由 y=2cos（2x+=1 得：cos（2x+,解 得 2%

9、+羽=冬+2/兀或 2%+竽=等+2/兀，k Z,从而得：=/C T T 或%=+k i tf k E Z,所以函数y=/（x）在 点（0,空）处的切线斜率为k =yz|x=0=2cos=-1 ,切线方程为：y 亨=（久0）即y=与x 故答案为：AD【分析】先根据已知条件求出 0）的焦点F 的直线与C 交于A,B 两点，点A 在第一象限，点M（p,0）,若AF =AM，则（）A.直 线A B的斜率为2遍B.OB =OF C.AB 40F【答案】A,C,DD./.OAM +Z.OB M 连接 BD 父A C 于 点 M,连 接 EM,FM,易得BD 1 AC,又 E D _ L 平 面 ABCD

10、,AC u 平 面 ABCD,则 E D J.A C ,又 ED CBD=D,ED,BD u 平面 BDEF,则 AC 1 平面 BDEF,又BM=DM=BD=V a ,过 F作 P G _ L DE于 G ,易得四边形BDGF为矩形，则 FG=BD=2y/2a,EG=a,则 EM=J (2 a)2+(y/2a)2=6a,FM=J a2+(V 2 a)2=V 3 a，EF=J a2+(2 V 2 a)2=3a EM2+FM2=EF2,则 EM LFM,SlEFM=EM -FM=a2 AC=2 2 a，则 V 3 =，4-E F M +V c-E F M =g a c S&E F M =2 标,

11、则 2 匕=3 匕，1/3=3 1/2，V 3 =+，2，A、B不符合题意；C、D符合题意.故答案为：C D【分析】直接由体积公式计算匕，V2，连 接 B D 交 A C 于 点 M,连 接 EM,FM,由 匕=VA-EFM+Vc-EFM计算出匕，依次判断选项即可.1 2.(5 分)对任意 x,y,x2+y2 x y =1 ,则()A.%4-y 2 C.x2+y2 1【答案】B,C【解析】【解答】根 据 abw(竽/w包要(a,b e R),d+产 一 孙=1 可变形为，(x+y)2-1=3xy 所以 =cos6+%sin。，y=-sin0,Ellbk%2 4-y2=cos20+|sin20

12、4-sin0cos0=1 4-sin20 1 iW cos20+可=+sin(2 0-J)e|,2 ,所以当=坐，y=_率 时满足等式，但 是 x2+y2l 不成立，所以D 不符合题意.故答案为：BC【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。(共4题；共20分)13.(5 分)已知随机变量X 服从正态分布N(2,a2),且 P(2 X 阅卷人得分2.5)=.【答案】0.14【解析】【解答】因为XN(2,a2),所 以 P(X 2)=0.5,因 此 P(X 2.5)=P(X 2)-P(2 0 时 y=Inx,设切点为(x0,lnx0)，由

13、y=(,所以田=/，所以切线方程为y-ln x0=(x-x0)，又切线过坐标原点，所以-l n%o =白(一%o)，解 得 Xg =e ,所以切线方程为y 1 =-(%e)，即y-x;xo e e当 即 y=；故答案为：y=xy=x【分析】分工0和 X 0两种情况讨论，当 x0时设切点为(x0,l n x0),求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出%0.即可求切线方程，当 x 0时同理求解即可.1 5.(5 分)已知点A(-2,3),8(0,a),若直线A B关 于y=a的对称直线与圆(%+3)2+(y+2)2 =1存在公共点，则实数a 的取值范围为

14、.【答案】，1【解析】【解答】解：因 为4(2,3)关 于 y=a对称点的坐标为/(2,2 a 3),B(0,a)在直 线 y=a上，所 以A B所在直线即为直线I ,所以直线I为y=-x +a,即(a -3)%+2y-2a=0；根据圆方程可得圆心C(3,-2),半 径 r =1 ,I 3(a 3)4 2 a|依题意知圆心到直线I的距离d=口 _ 京 苒/1，即(5 5 a)2 解得 a 即 a e 百,.故答案为：(，【分析】首先求出点A关 于 y=a对称点A 的坐标，即可得到直线I的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，求解即可.1 6.(5 分)已知椭圆4+4=1,直线1 与

15、椭圆在第一象限交于A,B两点，与x 轴，y 轴分别交于M,N 两点，且M A=N B,M N =2/3 ,则直线1 的方程为.【答案】x+V2 y 2 5/2 =0【解析】【解答】解：记A B的中点为E,因 为M A=N B ,所 以M E=N E,所 以 乱2_上 _+2 _ 一丝 _=0 ,即任匚辿 如 +应 广 如=06 6 3 3 6 3所以力次=-i ,即 k0E kAB=-i ,设直线 A B：y=k x+m,f c X-4 2 八”1 十4 z0 ,令 x =0 得 y=m,令 y=0 得=-,即 M（一0）,N（0,m）,所以 E（一线,m即 忆X 2 市2k又|MN|=2 V

16、 3，,解 得 k=一 孝 或 k=（舍去），即 M N =m2+（V2 m）2=2 次，解得 m=2 或 m=-2（舍去）,所以直线A B：y=-x+2，即 x +同 一 2 应=0 ;故答案为：x+V2 y-2 a=0【分析】记A B的中点为E,设%）,B（X2,y2）,利用点差法得到k0 E-kAB=-设直线AB：y=k x+m,k 0 ,结合已知条件求出M、N的坐标，再根据M N 求 出k、m,即可求得直线方程.阅卷入_ 四、解答题：本题共6小题，共7 0分.解答应写出文字说明，证明过得分 程或演算步骤.（共6题；共7 0分）1 7.（1 0 分）已知 出 3 为等差数列，bn）是公比

17、为2的等比数列，且&2-打=。3-砥=匕4 一。4 .（1）（5 分）证明：%=必；（2）（5分）求集合 刈尻=%+a 1 m 500中元素个数.【答案】证 明：设数列 即的公差为d,所以，I 014+.d-=i+2 d-461,即可解I+d 2 bl=8bl （a1+3a）得，比=4=9所以原命题得证.（2）解：由（1）知 d=2%=2%,由 bk =C Lm+Clj 知：b，2 k 1 =+（7 7 1 1）,d+的即 比 21=b1+（m-l）-2bl+瓦，即 2fe-1=2m ，因 为1 4 m 4500,故24 2k-1 1000,解 得24 k 410故集合（k bk=am+a1,

18、1 m 0,h 0）的右焦点为尸（2,0）,渐近线方程为y =a bV 3 x .（1）（6 分）求 C 的方程；（2）（6 分）过 F的直线与C 的两条渐近线分别交于A,B两点，点 P Q i，y i）,Q Q z，y2）在C 上，且 血 2 0,%0.过 P且斜率为-遮 的直线与过Q且斜率为V3的直线交于点M,请从下面中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：M 在 4 B 上；P Q I I 4 B ；|MA|=|MB|.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】（1）解：由题意可得|=V 3,7 a2+b2=2 ,故a =1,b =百.因此C 的方程为必-1 -（2）解

19、：由已知得直线P Q的斜率存在且不为零，直 线A B的斜率不为零，若选由推或选由推：由成立可知直线A B的斜率存在且不为零；若选推，则M为线段A B的中点，假若直线A B的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M在X轴上，即为焦点F,此时由对称性可知P、Q关 于x轴对称，与 从 而 打=牝，已知不符；总之，直 线A B的斜率存在且不为零.设直线A B的斜率为k ,直 线AB方程为y=k x-2),则条件M 在 AB 上，等价于 y0=/c(x0-2)k y0=f c2(x0-2);两渐近线的方程合并为3/一 y 2 =(J ,联立消去y并化简整理得：(/3)x2 4 k 2%+4k 2-0%Ix

20、o 2设 Z(%3，丫3),F(X3,%)，线段中点为 N(XN，yN)，则 XN=32 4=，yN=fc(%/v -2)=z r-36kT T：k-3设 M(x 0，y o)，则条件|A M|=|B M|等价于(%0 -久3)2 +Q o -、3)2 =(久0 -久4)2 +(%-、4)2 ,移项并利用平方差公式整理得：(%3 4)2殉一(右+%4)+佻 一 丫4)团0 -佻 +%)=0，2%0-(x3+X，+蒋 兰2 y0-(Y3 +丫4)=o，即-+似 丫。-o)=o ，a n ,f 8 k 2即久0 +k y0=-2；K J由题意知直线P M的斜率为一百,直 线Q M的斜率为V 3 ,

21、由%一%=-0)，为 一 =-0)，.乃y2=-V 5(X+%2 -2%o)，所以直线P Q的斜率6=红 及=更 红 也 二 辿,直线 P M：y=-V 3(x x0)+y0，即 y =y。+V 3 x0 V 3 x ，代入双曲线的方程3 x2-y2-3 =0 ,即(、&+y)(bx y)=3中，得：G o +V 3 x0)2 V 3 x -(y0+V 3 x0)=3 ,解 得P的横坐标：5=乖(y+后x+V。+6%0)，同理：孙=一 市(铲%+、0一6%。),Xi -X2=-J=(2 x2+y。)xl+x2 2%0 =3 x()y。.条件P Q/I B 等价于 m=k c k y0=3 x0

22、 综上所述：条 件 M在A B上，等 价 于k y0=k2(x0-2)；条 件 P Q ZB等 价 于k y0=3 x0；.m =条 件|A M|=B M 等 价 于x0+k yQ选 推 ：8k2,2 k 3由解得:2 k 2xo=-/2cz-3%o +ky0-4%o =8 k 27 2-Tk-3，成立;选 推 :由解得:=3%Q,选 推 :2 k 2x0 7 2r-3.成立;,6k 2由解得:2k2&=-2k -3，k y06k 2,2 Qk-3，/.Xo -2 =6k/2 3o：.k y0=fc2(x0-2),.成立.【解析】【分析】(1)利用焦点坐标求得c的值，利用渐近线方程求得a,b的

23、关系，进而利用a,b,的平方关系求得a,b的值，得到双曲线的方程;(2)先分析得到直线4 B的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k,M(x O,y O),由|A M|=|B M|等价分析得到配+k y。=孝 :由直线P M和Q M的斜率得到直线方程，结合双曲线的k 一3方程，两点间距离公式得到直线P Q的斜率巾=攀，由 PQ 4 B等价转化为ky 0 =3久,由 M/0在4 B上，等 价 于k y0=k x0-2),然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.22.(1 2 分)已知函数 f (x)=xe。*一 e*.(1)(4分)当a =l时，讨 论/(%)的单调性；(2)(4分)

24、当x 0时，,求a的取值范围；(3)(4 分)设 n w N*,证明：r=+*+-r-l n(n+1).【答案】(1)解：解：a=1=/(%)=xex e =(%l)ex=/(%)=xex当%6 (-o o,0)时，/(x)o,f(x)单调递增.(2)令 g Q)=/(%)+1 =xea x ex+l(x 0)=g(x)0 恒成立又 g(x)=e +axeax ez=g (O)=0令/i(x)=g(x)=(x)=aea x+a(ea x+axea x)ex=a(2ea x+a xea z)ex则 h(0)=2 a-l若 h(0)=2a 1 0 即 a ,h(0)=lim*()=lim 0k 7

25、 2 x-o+x-0 欠 一0+x所 以3x0 0 使得当x e (0,x0)时，有 且 等 0 =g(x)0 =g(x)单调递增=g(%o)g(0)=0 ,矛盾若/i (0)=2a -1 即 a W ；时，g(x)=eax+a xe ex=ea r+ln1+a x)ex e|x+in(i+x)_ex 0 ,总 有x e2x _+1 v 0成立，令 t=/，贝1J t 1,t2=ex,x=2n t,故2t lnt t2-1即21 nt 1恒成立.所以对任意的nCN*,有如坪 耳一扁,整理得到:1ln(n+1)I nn ln2 I ni+ln3 ln2 H-1-ln(n 4-1)I nn J l

26、2+1 J 22+2 J n2+n=ln(n+1)，故不等式成立.【解析】【分析】(1)求出/(%)=XQ，讨论其符号后可得/(%)的单调性.(2)设g(x)=jc e。*一靖+？0),求 出 令 九(%)=(%),先讨论a 寺 时题设中的不等式不成立，再就0 a W ；结合放缩法讨论九(%)符号，最后就a 0结合放缩法讨论以X)的范围后可得参数的取值范围.（3）由（2）可得21 nt l 恒成立，从而可得ln（n+D 一1I nn 丁丁对任意的n e、九 4+九N*恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.试题分析部分1、试卷总体分布分析总分：150分分值分布客观题（占比）60.0(40.0

27、%)主观题（占比）90.0(60.0%)题量分布客观题（占比）12(54.5%)主观题（占比）10(45.5%)2、试卷题量分布分析大题题型题目量（占比）分 值（占比）解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.6(27.3%)70.0(46.7%)选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得。分。4(18.2%)20.0(13.3%)填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20分。4(18.2%)20.0(13.3%)选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40分.

28、在每小题给出的四个选项中，只8(36.4%)40.0(26.7%)有一项是符合题目要求的。3、试卷难度结构分析序号难易度占比1普通(86.4%)2容易(9.1%)3困难(4.5%)4、试卷知识点分析序号知识点（认知水平）分 值（占比）对应题号1函数的周期性5.0(3.3%)82频率分布直方图12.0(8.0%)193平面向量的坐标运算5.0(3.3%)44直线与圆的位置关系5.0(3.3%)155两角和与差的正弦公式5.0(3.3%)66椭圆的应用5.0(3.3%)167正弦定理的应用12.0(8.0%)188双曲线的简单性质12.0(8.0%)219同角三角函数间的基本关系5.0(3.3%)

29、610利用导数研究曲线上某点切线方程10.0(6.7%)9,1411复数代数形式的乘除运算5.0(3.3%)212抽象函数及其应用5.0(3.3%)813两角和与差的余弦公式5.0(3.3%)614向量在几何中的应用5.0(3.3%)1015与直线关于点、直线对称的直线方程5.0(3.3%)1516等差数列15.0(10.0%)3,1717排列、组合的实际应用5.0(3.3%)518正弦函数的奇偶性与对称性5.0(3.3%)919正弦函数的单调性5.0(3.3%)920棱台的结构特征10.0(6.7%)7,1121直线与圆锥曲线的关系22.0(14.7%)10,16,2122基本不等式5.0(

30、3.3%)1223正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义5.0(3.3%)1324直线与平面平行的判定12.0(8.0%)2025众数、中位数、平均数12.0(8.0%)1926利用导数研究函数的极值5.0(3.3%)927函数恒成立问题12.0(8.0%)2228棱柱、棱锥、棱台的体积5.0(3.3%)1129抛物线的简单性质5.0(3.3%)1030直线与平面平行的性质12.0(8.0%)2031利用导数研究函数的单调性12.0(8.0%)2232互斥事件与对立事件12.0(8.0%)1933解三角形12.0(8.0%)1834条件概率与独立事件12.0(8.0%)1935交集及其运算5.0(3.3%)136集合中元素个数的最值10.0(6.7%)1737余弦定理的应用12.0(8.0%)1838双曲线的标准方程12.0(8.0%)2139平面向量数量积的坐标表示、模、夹角5.0(3.3%)440球的体积和表面积5.0(3.3%)741用空间向量求平面间的夹角12.0(8.0%)2042等比数列10.0(6.7%)17